2 Eigenschaften der Deltafunktion

Einige der Eigenschaften der -Funktion kann man mit Hilfe der pragmatischen Definition nachweisen. Beispiele sind:

(1) Es gilt

oder in Kurzform

Die -Funktion ist symmetrisch. Diese Eigenschaft ergibt sich aus der Tatsache, dass die Funktion symmetrisch in ist und dass diese Eigenschaft bei dem Grenzprozess nicht verloren geht.

(2) Es gilt

vorausgesetzt die Funktion kann an der Stelle in eine Potenzreihe entwickelt werden. Man kann diese Eigenschaft der -Funktion auch folgendermaßen ausdrücken: Die -Funktion `sieht` nur den Wert der Funktion an der Stelle . Man kann also in dem Integral sozusagen durch ersetzen und dann vor das Integral ziehen. Der Beweis dieser Eigenschaft ist etwas aufwendiger. Man betrachtet der Einfachheit wegen den Fall und schreibt

mit der Definition

Kann die Funktion in eine Taylorreihe um die Stelle entwickelt werden, so folgt

Es sind dann die Integrale

bzw. mit der Substitution

zu berechnen. Da der Integrand für ungerades eine ungerade Funktion ist, folgt

Für gerade schreibt man

Das verbleibende Integral ist trivial, so dass man die Rekursionsformel

gewinnen kann. Zur Auswertung der Rekursion benötigt man (wie oben benutzt)

Setzt man nun voraus, dass die Grenzprozesse

vertauscht werden können, so folgt

Im Endeffekt lautet das Argument

Der nichttriviale Nachweis, dass die angedeuteten Grenzprozesse vertauscht werden können, wird hier nicht ausgeführt.

(3) Es gilt )

oder in der üblichen Kurzform

Der Beweis ergibt sich durch einfache Substitution, z.B. für

Für gilt wegen der Symmetrie der -Funktion

Eine alternative Definition der -Funktion kann man mit Hilfe der Ableitung der Stufenfunktion angeben. Diese Funktion wird durch die Angaben

definiert (Varianten in der Definition mit oder sind möglich). Das Integral

wobei und positive Zahlen sind, kann man mittels partieller Integration auswerten und findet

Das Resultat entspricht der Aussage

Die Ableitung der Stufenfunktion stellt eine alternative Definition der -Funktion dar.

Die Argumentation wird problematisch, wenn man die Formel

für die Ableitungen der -Funktion beweisen möchte. Diese Formel kann man durch ein mathematisch nicht ganz sauberes Argument illustrieren, doch nicht streng beweisen. So findet man für die erste Ableitung durch partielle Integration (deren Anwendung stückweise stetige Funktionen voraussetzt)

und argumentiert: Der erste Term verschwindet, da für ist. Somit folgt wegen der Eigenschaft (2)

Wiederholt man das Argument für höhere Ableitungen, z.B. für

so entsteht die Frage, welche Bemerkung man zu bzw. machen kann. Entsprechendes gilt für die höheren Ableitungen.

Versucht man den Nachweis der Relation mit den Ableitungen der -Funktion mittels der Grenzwertdefinition zu erbringen, so gerät man in größere Schwierigkeiten. Der Grund ist: Nur Integrale mit Ableitungen der -Funktion sind wohldefiniert. Die Ableitungen selbst können nicht widerspruchsfrei definiert werden. Da für derartige Objekte der Differentialquotient nur in dieser eingeschränkten Form (unter einem Integralzeichen) definiert ist, können sie keine Grenzwertfunktionen sein. Diese Unstimmigkeiten im Umgang mit der Grenzwertdefinition lassen sich jedoch mit dem Programm von Schwartz zur Definition von verallgemeinerten Funktionen beheben.