4 Die Besselfunktionen

Separiert man die Laplacegleichung in Zylinderkoordinaten, so stößt man auf die Besselsche Differentialgleichung

die für verschiedene Formen der Separationskonstanten verschiedene Besselfunktionen definiert. In Math.Kap. 4.2.2 wurde gezeigt, dass der erweiterte Potenzreihenansatz die linear unabhängigen Lösungen

ergibt, falls nicht ganzzahlig ist. Ist jedoch so findet man

Da die Gammafunktion mit dem Argument Null oder einer negativen ganzen Zahl unendlich wird

beginnt die Summe mit . Setzt man nun , so folgt weiterhin

also

Die beiden Funktionen sind linear abhängig und man muss z.B. mit den in Math.Kap. 4.2.2 beschriebenen Methoden eine zweite von linear unabhängige Lösung suchen.

Von Interesse in der theoretischen Physik sind insbesondere die Besselfunktionen mit ganzzahligem Index (die Besselfunktionen erster Art von der Ordnung ) und mit halbzahligem Index , die sphärischen Besselfunktionen. Bevor diese Funktionen in einigem Detail diskutiert werden, ist eine Zusammenstellung der Eigenschaften der Besselfunktionen, die nicht von der speziellen Form des Index abhängen, von Interesse.