2 Die Funktionen

Die Funktionen

sind die Koeffizienten in der Entwicklung der erzeugenden Funktion

Zum Nachweis dieser Aussage entwickelt man

und sammelt die Potenzen von mit der Ersetzung . Mit der erzeugenden Funktion kann man die Grundrelationen für noch einmal herleiten. Außerdem ist man in der Lage, eine große Anzahl von Eigenschaften der Besselfunktionen bereit zu stellen. Einige Beispiele folgen.

• Ersetzt man in der erzeugenden Funktion durch so folgt aus
  
  
  
  
  durch Entwicklung nach und Vergleich der Koeffizienten von t auf beiden Seiten der Gleichung das Additionstheorem
  
  
  
  
  Dieses Ergebnis kann man durch Aufspaltung der Summe in die Teilsummen
  
  
  
  
  den Umbenennungen der Summationsindizes
  
  
  
  
  
  
  
  und der Nutzung der Symmetrierelation in eine Form gebracht werden, die nur Besselfunktionen mit positiver Ordnung enthält
  
  
  
  
  
  
  

• In der erzeugenden Funktion benutzt man
  
  
  
  
  Aus der Aussage
  
  
  
  
  erhält man (benutze wiederum die Symmetrierelation z.B. für den Realteil
  
  
  
  
  Mit ergibt die erzeugende Funktion
  
  
  
  
  woraus man die Werte
  
  
  
  
  ablesen kann. Alle Besselfunktionen außer haben am Ursprung den Wert Null.
• Mit der Ersetzung entspricht die erzeugende Funktion
  
  
  
  
  bzw. bei Trennung von Real- und Imaginärteil
  
  
  
  
  
  
  
  Derartige Relationen dienten 1824 F.W. Bessel zur Beschreibung der Differenz zwischen mittlerer und exzentrischer Anomalie von Planeten.

  Multipliziert man diese Relationen mit bzw. mit und integriert unter Benutzung der Orthogonalitätsrelationen
  

  
  
  
  so gewinnt man die Integraldarstellungen ( in beiden Fällen, die Formel mit gewinnt man explizit)
  
  
  
  
  
  
  

  Betrachtet man anstelle der ersten Gleichung ein entsprechendes Integral mit , in der zweiten mit , so findet man infolge der Periodizität der trigonometrischen Funktionen jeweils den Wert Null. Man kann somit für alle Werte von das Resultat zu
  

  
  
  
  zusammenfassen.

Im Gegensatz zu den kompakten Ausdrücken für die Winkelfunktionen in Math.Kap. 4.3 sind die Besselfunktionen essentiell nur über die Reihendarstellung oder daraus abgeleiteten Relationen gegeben. Eine derartige Relation ist z.B.

die man aus den Rekursionsformeln für die Ableitung der Besselfunktionen herleiten kann. Insbesondere findet man

eine Relation, die es erlaubt aus zu gewinnen. Die Schaubilder von in Abb. 4.4 sind aus diesem Grund numerisch erzeugt.

Abbildung 4.4: Die Besselfunktionen und

Man kann erahnen, dass diese Funktionen eine unendliche Anzahl von Nullstellen besitzen. Die Bestimmung einzelner Nullstellen ist letztendlich auch nur numerisch möglich.