3 Die sphärischen Besselfunktionen

Die sphärischen Bessel- und Neumannfunktionen, auch Bessel-Riccati und Neumann-Riccati Funktionen genannt, sind durch

definiert, wobei die Werte annimmt. Substituiert man in der Besselschen Differentialgleichung mit

so findet man als bestimmende Differentialgleichung für die sphärischen Besselfunktionen

Der zusätzliche Zahlenfaktor entspricht der üblichen Konvention.

Die Reihe (7) kann für die Funktion in der Form

geschrieben werden, so dass man leicht erkennt, dass

ist. Die Reihe für kann man entsprechend resummieren. Es ist

Damit findet man für die zugehörige Neumannfunktion

Die weiteren Funktionen bestimmt man am geschicktesten über die Rekursionsrelation ( )

die man durch direkte Umschreibung Grundrelationen für die Besselfunktionen gewinnt. Eine Rekursionsformel zur Berechnung der ersten Ableitungen kann man aus der zweiten Rekursion der Grundrelationen für herleiten. Man findet

Um die Rekursion (8) auszuwerten, benötigt man noch . Diese Funktion gewinnt man, ebenso wie Funktionen mit höherem , aus der umgeschriebenen Symmetrierelation, die für die sphärischen Funktionen

ergibt. Daraus folgt

Weitere Auswertung der Rekursion (8) und der Symmetrie liefert die nächsten Funktionen

Etwas allgemeiner ergibt sich die Aussage, dass die Funktionen die Form

haben, wobei die Polynome in sind, die durch die Rekursion (8)

gegeben sind. Die sphärischen Bessel- und Neumannfunktionen sind in Abb. 4.5a und Abb. 4.5b für dargestellt.

Abbildung 4.5: Sphärische Besselfunktionen

Aus dem Verhalten der Besselfunktionen für , das ist

und der Auflösung der -Funktion

findet man für das Verhalten der sphärischen Funktionen an der Stelle

Die sphärische Besselfunktion ist an der Stelle regulär, die sphärische Neumannfunktion divergiert.

Die asymptotische Form, die man über eine Konturintegation in der komplexen Ebene gewinnen kann, wird hier nur angegeben:

Vor allem bei der Diskussion von Streu- und Abstrahlungsproblemen sind die sphärischen Hankelfunktionen, die durch

definiert sind, gefragt. Der Grund ist das asymptotische Verhalten in der Form von ein- und auslaufenden Kugelwellen

Die folgenden zwei speziellen Funktionen zeichnen sich durch besondere Flexibilität aus. Viele elementare und nicht so elementare Funktionen können durch diese Funktionen dargestellt werden. Die benötigten Eigenschaften werden ohne Beweisführung zusammengestellt, eine eingehendere Darstellung wird in Band 3 dieser Reihe folgen. Sie können mit den gleichen Mitteln wie im Fall der ausführlicher diskutierten Legendre- und Besselfunktionen gewonnen werden.