5 Die hypergeometrische Funktion

Die Lösungen der Differentialgleichung

werden als hypergeometrische Funktionen bezeichnet. Die Lösung, die bei regulär ist, wird durch die (Gaußsche) hypergeometrische Reihe

dargestellt. Die Reihe bricht ab, wenn oder eine negative ganze Zahl ist, sie ist nicht definiert, wenn ist, es sei denn oder ist eine negative ganze Zahl mit . Der Konvergenzradius der Reihe ist mit den detaillierten Konvergenzaussagen ( werden als reell vorausgesetzt)

• : absolute Konvergenz auf dem gesamten Einheitskreis.
• : Konvergenz auf dem Einheitskreis mit der Ausnahme von .
• : Divergenz auf dem gesamten Einheitskreis.

Die Ableitungsformeln für die hypergeometrische Reihe

etc. ergeben sich direkt aus der Definition, ebenso eine größere Anzahl von Rekursionsformeln wie z.B.

Anhand der Integraldarstellung

kann man verschiedene Transformationsformeln herleiten, so z.B.

In der Liste von Funktionen, die durch die hypergeometrische Reihe dargestellt werden können, findet man unter anderem

• die elementaren Funktionen
  
  
  
  
  
  
  

• sowie die vollständigen elliptischen Integrale
  
  
  
  
  
  
  
  und die Legendre Polynome