6 Die konfluente hypergeometrische Funktion

Die Differentialgleichung der konfluenten hypergeometrischen Funktionen

hat eine reguläre Singularität bei und eine irreguläre Singularität bei . Die Ähnlichkeit mit der Differentialgleichung der hypergeometrischen Funktionen zeigt, dass beide Differentialgleichungen Spezialfälle einer übergeordneten Differentialgleichung, der Riemannschen Differentialgleichung, sind.

Die bei reguläre Lösung

heißt Kummersche Funktion oder konfluente hypergeometrische Reihe. Das Konvergenzverhalten richtet sich nach Form der Parameter und . Es gilt ( und sind positive ganze Zahlen)

• : Die Reihe konvergiert für alle Werte von .
• : Die Lösung ist ein Polynom vom Grad
• oder mit : Es existiert ein einfacher Pol bei dem Parameterwert .

Auch für diese Funktion gibt es Ableitungs- und Rekursionsformeln, sowie Integraldarstellungen. Beispiele sind

und

sowie die Integraldarstellungen

Von Interesse in der Anwendung ist auch das asymptotische Verhalten

und

Mit Hilfe der konfluenten hypergeometrischen Reihe kann man ebenfalls eine gute Zahl von Funktionen darstellen, so z.B. die Exponentialfunktion

die trigonometrischen Funktionen wie

und Besselfunktionen

Weitere Verwendung dieser Funktion wird sich im Rahmen der Diskussion der Quantenmechanik (Band 3 dieser Reihe) ergeben.