1 Euklidische und unitäre Vektorräume endlicher Dimension

Die formale Definition eines abstrakten, linearen Vektorraumes lautet:

Eine Menge von Elementen (Vektoren) wird als linearer Vektorraum bezeichnet, wenn

• für je zwei Elemente eine Summe definiert ist, die zu gehört und
• zu jedem Element und zu jeder Zahl (Skalar) r ein Produkt definiert ist, das zu gehört und wenn die Rechenregeln
• Assoziativ- und Kommutativgesetz der Addition,
• Assoziativgesetz für die Multiplikation mit einer Skalar,
• Distributivgesetze für die Multiplikation einer Summe mit einem Skalar und für die Multiplikation eines Vektors mit einer Summe von Skalaren,

gelten. Zusätzlich muss eine Basis des Raumes existieren, die durch

• Es gibt Vektoren , so dass für jeden Vektor die Darstellung
  
  
  
  mit (reellen) Zahlen existiert.

axiomatisch festgelegt ist. Anhand dieser Definitionen kann man die Differenz zweier Vektoren und den Nullvektor ( ) einführen.

Ein zentraler Begriff ist der Begriff der linearen Abhängigkeit bzw. der linearen Unabhängigkeit. Diese Begriffe werden folgendermaßen definiert:

Die Vektoren sind linear unabhängig, falls die Linearkombination

nur mit erfüllt werden kann. Sie sind linear abhängig, wenn in der Linearkombination wenigstens eine der Zahlen von Null verschieden ist. Die Tatsache, dass die erste Definition nicht unbedingt einen praktischen Weg zur Überprüfung der linearen Unabhängigkeit eines Satzes von Vektoren darstellt, tut der Präzission dieser Definition keinen Abbruch.

An den benannten Satz von Basisvektoren wurden keinerlei Voraussetzungen bezüglich linearer Abhängigkeit gemacht. Stellt man nun fest, dass die Maximalzahl von linear unabhängigen Vektoren in diesem Satz ist, so bezeichnet man einen solchen Satz von linear unabhängigen Vektoren (in der Mathematik formal) als Minimalbasis und als die Dimension des Vektorraumes. Im folgenden wird vorausgesetzt, dass die vorgegebene Basis eine Minimalbasis ist. Die Zahlen in (9) sind dann die (eindeutigen) Koordinaten oder Komponenten des Vektors (vergleiche Band 1 Math.Kap. 3).

Durch die Definition eines Skalarproduktes von zwei Vektoren

wird in dem Vektorraum eine Metrik eingeführt. Bei der Klassifizierung von metrischen Vektorräumen unterscheidet man euklidische und unitäre Vektorräume:

• Sind die Koordinaten reell (ist ein Vektorraum über dem reellen Zahlkör-per) und ist das Skalarprodukt zweier Vektoren symmetrisch sowie das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst positiv definit
  
  
  
  
  so bezeichnet man den Vektorraum als euklidisch.

  In derartigen Räumen ist es möglich, Längen und Winkel zu definieren. Die Länge eines Vektors ist
  

  
  
  
  und es gelten die (leicht zu beweisenden) Ungleichungen:
  
  • Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:
    
  • Dreiecksungleichung:
  
  Der Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren und ist
  
  
  
  

  Benutzt man eine Darstellung der Vektoren in einer (Minimal-) Basis der Dimension , so lautet das Skalarprodukt
  

  
  
  
  Im Allgemeinen gilt in einem euklidischen Raum für das Skalarprodukt der Basisvektoren
  
  
  
  
  mit einem (siehe oben) symmetrischen, positiv definiten metrischen Tensor . In einem euklidischen Raum ist es jedoch immer möglich, eine Basistransformation
  
  
  
  
  zu bestimmen, so dass in der neuen Basis für das Skalarprodukt der Basisvektoren
  
  
  
  
  ist. Ein solches System von Basisvektoren, in dem das Skalarprodukt von zwei Vektoren und die Form
  
  
  
  
  hat, wird als ein Orthonormalsystem bezeichnet. Die Koordinaten der Vektoren in der Basis sind mit den Koordinaten in dem System durch
  
  
  
  
  verknüpft. Die übliche Bezeichnung für einen durch eine Orthonormalbasis der Dimension aufgespannten euklidischen Raum im Reellen ist .

  Letztlich ist noch die Frage zu beantworten, unter welchen Basistransformationen das Skalarprodukt invariant ist. In Matrixschreibweise lautet die Antwort: Die Forderung ( bedeutet Transposition)
  

  
  
  
  ergibt
  
  
  
  
  Transformationsmatrizen , die diese Forderung erfüllen, nennt man orthogonale Matrizen, die durch sie induzierte Transformationen orthogonale Basistransformationen.

• Sind die Koordinaten komplex (ist ein Vektorraum über dem komplexen Zahlkörper) und ist das Skalarprodukt eine hermitesche Form, charakterisiert durch
  
  
  
  
  so bezeichnet man den Vektorraum als unitär. Die Forderung einer hermiteschen Form bedingt die Basisdarstellung des Skalarprodukts
  
  
  
  
  der Betrag eines Vektors ist
  
  
  
  
  wobei auch in diesem Fall die genannten Ungleichungen gelten. Es liegt eine orthonormale Basis, die immer bestimmt werden kann, vor, wenn
  
  
  
  
  gilt. Das Skalarprodukt in einer orthonormalen Basis
  
  
  
  
  ist invariant gegenüber unitären Basistransformationen, die durch eine Matrix mit komplexen Koeffizienten, die die Bedingung
  
  
  
  
  erfüllt, vermittelt wird. Unitäre Vektorräume (im Komplexen) mit der Basisdimension bezeichnet man mit .

Der folgende Abschnitt über orthogonale krummlinige Koordinaten in drei Raumdimensionen stellt eine Variation der obigen Diskussion im Euklidischen Raum dar. Da die Betrachtung von Differentialformen erforderlich ist, betrachtet man den vektoriellen Abstand von zwei infinitesimal benachbarten Punkten und bildet daraus das Wegelement

im Fall einer orthonormalen Basis ist

Orthogonale krummlinige Koordinaten werden dadurch charakterisiert, dass der metrischen Tensor in Bezug auf die zugehörigen Basisvektoren positiv definit ist, nur diagonale Elemente besitzt, die diagonalen Elemente jedoch von den Koordinaten abhängen

Diese Koordinatenabhängigkeit hat natürlich weitreichende Konsequenzen.