2 Vektoranalysis in orthogonalen krummlinigen Koordinaten

Bei der Diskussion von vielen Problemen der theoretischen Physik ist der Übergang zu krummlinigen Koordinaten nützlich. Dazu ist es notwendig, alle auftretenden Größen (wie z.B. das Volumenelement) und alle Differentialoperatoren (wie z.B. den Gradientenvektor) in diesen Koordinaten darzustellen.

Der Ausgangspunkt ist die (umkehrbare) Transformation zwischen den kartesischen Koordinaten und einem beliebigen Satz von krummlinigen Koordinaten

Basisvektoren in den krummlinigen Koordinaten können durch Differentiation von

nach den krummlinigen Koordinaten gewonnen werden

Diese Relation stellt bei bekannter Transformation der Koordinaten die Verknüpfung der Basisvektoren in dem System von krummlinigen Koordinaten mit den kartesischen Einheitsvektoren dar. Die krummlinigen Koordinaten werden als orthogonal bezeichnet, falls das Skalarprodukt von zwei verschiedenen Basisvektoren verschwindet

Die Skalarprodukte von Basisvektoren mit sich selbst, die Diagonalelemente des metrischen Tensors,

werden als metrische Koeffizienten bezeichnet, in der Standardnomenklatur

Es bietet sich natürlich an, mit normierten Basisvektoren zu arbeiten. Diese Einheitsvektoren in den krummlinigen Koordinaten

erfüllen die üblichen Relationen

Für die Diskussion des Längenelementes, der Oberflächenelemente und des Volumenelements in den krummlinigen Koordinaten benötigt man die totalen Differentiale der Funktionen

Damit folgt für den infinitesimalen Abstand von zwei Punkten bzw. dessen Quadrat

die Aussage

Diese Relation zeigt, dass infinitesimale Abstände entlang der krummlinigen Koordinatenachsen die Form

haben. Die koordinatenabhängigen Vorfaktoren tragen der Tatsache Rechnung, dass die krummlinigen Koordinaten nur lokal definiert sind. Die Basisvektoren ändern ihre Richtung von Raumpunkt zu Raumpunkt (siehe Band 1, Kap. 2.4).

Mit diesen Vorgaben findet man für ein Flächenelement auf der - Fläche

und für ein Volumenelement in den krummlinigen Koordinaten

Zu beachten ist, dass einer eigenständigen Zerlegung eines Raumbereichs entspricht und nicht volumengleich mit einem kartesischen Volumenelement

ist. Entsprechendes gilt für die infinitesimalen Oberflächenelemente.

Das infinitesimale Volumenelement stellt ein (lokales) Spatprodukt (Abb. 5.1)

der drei Vektoren

dar.

Abbildung 5.1: Lokales infinitesimales Volumenelement in krummlinigen Koordinaten

Der Gradient einer Funktion in den orthogonalen krummlinigen Koordinaten kann in der folgenden Weise gewonnen werden. Man betrachtet das totale Differential des Vektors

Mit dem Ansatz

für den Gradienten bildet man das totale Differential der Funktion mittels

Auf der anderen Seite gilt für das totale Differential

Vergleich der beiden Aussagen liefert

Es ist also in formaler Notation

mit der Verabredung, dass dieser Vektoroperator auf eine skalare Funktion einwirkt.

Die Divergenz einer Vektorfunktion der krummlinigen Koordinaten entspricht dem Skalarprodukt des Gradientenoperators mit dieser Funktion

In der Anwendung des Gradienten tritt die Ableitung der Einheitsvektoren nach den Koordinaten auf

die aufgrund des nichtlokalen Charakters des krummlinigen Koordinatensystems nicht trivial auszuwerten sind. Aus diesem Grund ist es zweckmäßig, auf die ursprüngliche Definition des Divergenzbegriffes zurückzugreifen (siehe Band 1, Math.Kap. 5.3.3): Der Nettofluss durch die Oberfläche eines infinitesimalen Volumens geteilt durch das Volumen

Abbildung 5.2: Zur Berechnung des Divergenzoperators in krummlinigen Koordinaten

Das infinitesimale Volumen wird von 6 Flächen begrenzt, auf denen jeweils , und konstant ist, z.B. und (Abb. 5.2). Der Nettofluss durch das Volumen setzt sich aus dem Fluss durch gegenüberliegende Flächen zusammen. So ist der Nettofluss durch die Flächen auf denen konstant ist

Benutzt man für den ersten Term die Definition der partiellen Ableitung (Band 1, Math.Kap. 4.2.2), so erhält man

Der Ausdruck in der Klammer ist der infinitesimale Fluss in der Form `Komponente der Vektorfunktion mal Fläche`. Entsprechende Aussagen gelten für die zwei anderen Flächenpaare, so dass man

für den Nettofluss durch das Volumen erhält. Berücksichtigt man noch das Volumen

so findet man

Eine andere, oft benutzte Schreibweise mit

ist

Für die Rotation einer Vektorfunktion benutzt man entsprechend die Definition

Die -te Komponente der Rotation entspricht dem Kurvenintegral über den Rand einer infinitesimalen Fläche geteilt durch diese Fläche. Die Kurve die in die Definition der -ten Komponente der Rotation eingeht, liegt in einer Fläche mit const. Sie wird aus 4 Kurvenstücken gebildet (Abb. 5.3).

Abbildung 5.3: Zur Berechnung des Rotationsoperators in krummlinigen Koordinaten

Es ist dann z.B. der Beitrag der zwei Kurvenstücke zu , auf denen jeweils konstant ist

wobei die infinitesimale Strecke zu den Punkten mit wachsendem positiv gerechnet wird. Der Beitrag der restlichen zwei Kurvenstücke ist

Für die 3-Komponente der Rotation erhält man somit mit

Die Herleitung der restlichen Komponenten von folgt dem gleichen Muster. Insgesamt erhält man

bzw. in der alternativen Notation

Eine nützliche Merkregel für die Auswertung der Rotation einer Vektorfunktion ist auch hier die Determinantenform

Eine Darstellung des Laplaceoperators folgt dann durch Kombination der Gradienten- und Divergenzbildung

bzw. in kompakter Form

Es ist noch anzumerken, dass diese Betrachtungen verallgemeinert werden können.

(i)

Anstelle der oben angegebenen Basisvektoren kann man die Basisvektoren

benutzen, die senkrecht auf den Koordinatenflächen stehen. Im Fall von orthogonalen Koordinaten gilt (siehe Diskussion des Gradienten)

Die Basis unterscheidet sich (für orthogonale, krummlinige Koordinaten) nur in der Normierung.

(ii)

Anhand der zwei möglichen Basissätze kann man auch im Fall von orthogonalen krummlinigen Koordinaten eine ko-/kontravariante Beschreibung benutzen (Band 1 Math.Kap. 3.1.4 und Math.Kap. 5.4). Die Koeffizienten bei der Darstellung eines Vektors durch die Basis

sind die kontravarianten Komponenten, die Koeffizienten bei der Darstellung nach der Basis sind die kovarianten Komponenten

Es ist dann z.B.

Für die zwei wichtigsten Sätze von krummlinigen Koordinaten, Zylinder- und Kugelkoordinaten, erhält man die folgenden Detailaussagen