3 Euklidische und unitäre Räume mit der Dimension unendlich

In euklidischen und unitären Vektorräumen mit einer endlichen Dimension kann man eine Basis anhand des Begriffes der linearen Abhängigkeit definieren:

Gilt für jeden Vektor in einem Vektorraum: Die Vektoren sind linear abhängig, so ist eine Basis des Raumes.

Die Betonung liegt auf dem Wort `jeder`. Ist die Basis eine Orthonormalbasis, in einheitlicher (der Quantenmechanik entlehnter) Notation

so werden die Vektoren durch ihre Projektion auf die Basis dargestellt

Bei dem Versuch, den Grenzfall unendlicher Dimension (genauer gesagt abzählbar unendlicher Dimension) zu diskutieren, stellt es sich heraus, dass der Begriff der linearen Abhängigkeit nicht mehr greift. Man benötigt, den Begriff der Vollständigkeit eines Vektorraumes, der durch die folgenden Aussagen charakterisiert wird:

• Jeder Vektor des Raumes lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.
• Jede Linearkombination der Basisvektoren ist ein Vektor aus dem Raum.

Ist z.B. ein Satz von Vektoren des eine (Minimal)-Basis, so ist diese trivialerweise vollständig. Ist jedoch die Dimension des Raumes unendlich, so macht das Argument

Die vielen Vektoren sind linear unabhängig, die () Vektoren sind linear abhängig, also ist eine Basis des Raumes.

keinen Sinn (was ist der Unterschied zwischen und ?). Die einzige Möglichkeit, das Konzept einer vollständigen Basis in den Griff zu bekommen, ist eine explizite Grenzbetrachtung, die ein Kriterium für die Vollständigkeit der Basis liefert.