1 Der Hilbertraum

Man betrachtet eine Folge von Teilräumen

wobei ist. Für einen Vektor in einem Raum mit der Dimension unendlich, kann man in den -dimensionalen Teilräumen eine entsprechende Folge von `Näherungen` betrachten

Der Vektor wird auf den jeweiligen Teilraum projiziert. Für die Angabe des `Fehlers` der -ten Näherung benutzt man das Betragsquadrat der Differenz von Vektor und Näherung. Es ist explizit

bzw. in der Klammernotation

Das Resultat ergibt sich infolge der Gültigkeit des Distributivgesetzes für das Skalarprodukt und der Tatsache, dass drei der Terme den gleichen Beitrag liefern. Der Fehler (per Definition das Quadrat eines Abstandes) ist immer positiv. Es gilt also

mit der Interpretation, dass der Vektor, der sich durch Projektion auf die Teilräume ergibt, immer kürzer ist als der Vektor selbst. Diese Aussage gilt auch in den Grenzfall

Diese Ungleichung, die Besselsche Ungleichung, ist die Basis für eine umsetzbare Definition des Begriffes der Vollständigkeit

Man bezeichnet einen Satz von orthonormalen Basisvektoren

des oder , einschließlich des Falles , als vollständig, falls die Gleichung

die Parsevalsche Gleichung, für jede Folge von Teilräumen gilt.

Diese Aussage ist für endlich dimensionale Räume mit der ursprünglichen Fassung der Vollständigkeit identisch. Da man mit dem Längenbegriff argumentiert, ist sie, im Gegensatz zu dem Begriff der linearen Unabhängigkeit, auch in dem Grenzfall anwendbar. Man definiert im Anschluss

Jeder Vektorraum der Dimension abzählbar unendlich, in dem die Parsevalsche Bedingung gilt, nennt man einen Hilbertraum.

Hilberträume sind also unendlich dimensionale Vektorräume, die per Definition eine vollständige Orthonormalbasis besitzen. Die Beschränkung auf die Formulierung `abzählbar unendlich` ergibt sich aus der Forderung, eine entsprechende, abzählbare Folge von Teilräumen in Betracht zu ziehen.

Die abstrakte Diskussion des Hilbertraumes lässt sich z.B. in eine reale umsetzen (man spricht dann von einer Realisierung eines Hilbertraumes), wenn man anstelle von Basisvektoren einen entsprechenden Satz von (reellen oder komplexen) Funktionen benutzt

Des weiteren ist die Umschreibung notwendig

Falls diese Basis vollständig ist, spannen die Funktionen einen Hilbertraum auf. Der Nachweis der Vollständigkeit ist in der Praxis nicht einfach. Er ergibt sich jedoch für viele Sätze von Funktionen aus dem Sturm-Liouville Theorem, das in dem Band 3 besprochen werden soll.

Ist ein Basissystem von Funktionen vollständig, so ist die folgende Anwendung möglich: Jede Funktion , die über dem gleichen Grundintervall wie die Basisfunktionen definiert sind, kann in einer Funktionenreihe

entwickelt werden. Die Entwicklungkoeffizienten sind für eine Orthonormalbasis die Skalarprodukte

Beispiele mit Funktionen einer Veränderlichen sind die Fourierreihen mit der Basis

und die Legendrereihen mit

Diese einführende Diskussion wird im Rahmen der Diskussion der Quantenmechanik (Band 3) vertieft.