4 Lineare Räume mit nichteuklidischer Metrik

Euklidische (und unitäre) Vektorräume sind dadurch ausgezeichnet, dass das Skalarprodukt eines Vektors, insbesondere eines Basisvektors, mit sich selbst positiv definit ist. Besteht man nicht auf dieser Eigenschaft, sondern lässt eine allgemeinere Metrik des Raumes zu, so ist es möglich, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst, negativ oder gleich Null sein kann

Man spricht dann von einer nichteuklidischen Metrik. In einem solchen Raum muss man zwischen einer kovarianten und einer kontravarianten Zerlegung eines Vektors bzw. Basis unterscheiden. So definiert man z.B. den Satz von Basisvektoren

mit dem (per Definition symmetrischen) metrischen Tensor

als die Basis der kontravarianten Zerlegung eines Vektors

Entsprechend setzt man für die kovariante Zerlegung mit der Basis

und dem metrischen Tensor

die Darstellung

an. Die Basisvektoren der beiden Zerlegungen sind durch

bzw.

verknüpft. Der Tensor ist der zu inverse metrische Tensor, denn es gilt dann

wobei das Kroneckersymbol trotz der Hochstellung eines der Indizes die übliche Bedeutung hat. Die Konsistenz der Transformationen der Basisvektoren wird z.B. durch die Gleichungskette

bestätigt. Man findet auch

für das Skalarprodukt der kovarianten Basisvektoren mit den kontravarianten und

für die Transformation zwischen den Sätzen von Koeffizienten.

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren kann entweder in der kontra- oder der kovarianten Basis ausgewertet werden

In beiden Fällen erhält man im Endeffekt das gleiche Ergebnis in der Form einer speziellen Kontraktion, einer Summe über Produkte von gleich indizierten kovarianten mit kontravarianten Komponenten. (Das allgemeine Konzept der Kontraktion wird im nächsten Abschnitt vorgestellt).

Ein direktes Beispiel, dessen Metrik auch als pseudoeuklidisch bezeichnet wird, ist ein vierdimensionaler Minkowskiraum mit

Es ist jedoch zu bemerken, dass weder die Durchzählung der Koordinaten des Minkowskiraumes noch die Vorgabe der Metrik in der Literatur eindeutig gehandhabt wird. Man findet z.B. eine Durchzählung von bis , wobei die Zeitkoordinate meist mit indiziert wird, und die Sequenz anstatt für die Metrik.

Die formale Fassung des Minkowskiraumes ist der Inhalt des nächsten Abschnitts. Das Kapitel wird durch eine kurze Zusammenfassung der Grundaussagen der relativistischen Mechanik und der Elektrodynamik in der formalen (ko- und kontravarianten) Schreibweise abgerundet.