4 Rechenregeln für die Deltafunktion

Zum Abschluss dieses Kapitels sollen noch einmal die Regeln für den praktischen Umgang mit der -Funktion zusammengestellt werden. Diese Regeln kann man zum Teil über die heuristische Definition nachempfinden. Ein strenger Nachweis lässt sich nur mittels der Benutzung von geeigneten Folgen von Testfunktionen führen.

1. Für jedes Intervall um die Stelle und für jede in diesem Intervall differenzierbare Funktion gilt
   
   
   
   
   insbesondere ist
   
   
   
   
   Zur Abkürzung schreibt man auch
   
   
   
   
   Eine differenzierbare Funktion , die unter einem Integralzeichen als Faktor von auftritt, kann durch den Wert der Funktion an der Stelle ersetzt werden.
2. Die -Funktion ist eine gerade Distribution
   
   
   
   
   Diese Rechenregel wird oft in der Form
   
   
   
   
   zitiert. Die -Funktion ist eine gerade 'Funktion'.
3. Ist das Argument der -Funktion mit einem Faktor skaliert, so gilt
   
   
   
   
   Setzt man , so entspricht dies der Regel 2: .
4. Hat die Funktion einfache Nullstellen , so gilt für ein Intervall , das alle Nullstellen enthält,
   
   
   
   
   
   
   
   Die Größe stellt die Ableitung der Funktion an der Stelle dar. Insbesondere ist z.B.
   
   
   
   
   
   
   

5. Die -Funktion ist die Ableitung der Stufenfunktion
   
   
   
   
   Es gilt also
   
   
   
   

6. Die Relation
   
   
   
   
   definiert die Ableitung der -Funktion. Die Verallgemeinerung für die -te Ableitung lautet
   
   
   
   

7. Eine viel benutzte Darstellung der -Funktion ist das Integral
   
   
   
   
   Der Grund ist, dass diese Darstellung infolge der Faktorisierung der Exponentialfunktion auf höhere Raumdimensionen erweitert werden kann, so z.B. für
   
   
   
   
   
   
   
   Das Dreifachintegral erstreckt sich über den gesamten -Raum.