2 Funktionentheorie

Die Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen ist ein besonderes Hilfsmittel zur Fassung von Problemstellungen der theoretischen Physik. Es stellt sich heraus, dass die Übertragung von Begriffen wie Grenzwert einer Funktion, Stetigkeit und Differenzierbarkeit von der reellen Analysis ins Komplexe zunächst nur eine Formsache zu sein scheint. Nach der Einführung des Begriffes `Differenzierbarkeit` zeigt sich jedoch, dass ein grundlegender Unterschied zwischen Funktionen einer reellen und einer komplexen Veränderlichen besteht: Bei Funktionen einer reellen Veränderlichen kann man aus der Existenz der ersten Ableitung nichts über die Eigenschaften von etwaigen höheren Ableitungen schließen. Für Funktionen von einer komplexen Veränderlichen folgt hingegen aus der Existenz einer ersten Ableitung automatisch die Existenz aller höheren Ableitungen. In einer etwas präziseren Formulierung lautet die Aussage:

Ist eine Funktion in einem offenen und zusammenhängenden Gebiet definiert und existiert in dem Gebiet die Ableitung , so existieren dort auch alle höheren Ableitungen

Solche Funktionen bezeichnet man als (in dem Gebiet) reguläre analytische Funktionen, bzw. in Abkürzung nur als reguläre oder nur als analytische Funktionen. Die Festlegung `offen` besagt, dass Randpunkte dem Gebiet nicht zugerechnet werden, sonst wird es als abgeschlossen bezeichnet. Die Bezeichnung `zusammenhängend` verlangt, dass zwei Punkte des Gebietes durch Kurven, die ganz in dem Gebiet verlaufen, verbunden werden können.

Das Kapitel beginnt mit der Übertragung der Grundbegriffe der reellen Analysis auf den Fall von Funktionen einer komplexen Variablen und einer ersten Charakterisierung der Klasse der analytischen Funktionen. Es folgt eine Zusammenstellung der Eigenschaften der elementaren Funktionen im Komplexen. In einem dritten Abschnitt werden die Eigenschaften analytischer Funktionen näher vorgestellt: die Charakterisierung durch Differentialgleichungen, Integrale mit komplexen Funktionen, die Integralformeln von Cauchy, Reihenentwicklungen und das Residuentheorem. Das Kapitel endet, als Ausblick, mit einer kurzen Klassifikation der komplexen Funktionen.