1 Analytische Funktionen I

Die Neufassung der Begriffe Grenzwert, Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion einer komplexen Veränderlichen

beinhaltet die Aussagen:

• Man bezeichnet als den Grenzwert einer Funktion an der Stelle , falls für jede Zahlenfolge aus dem Definitionsbereich von mit dem Grenzwert die Folge der zugehörigen Funktionswerte stets gegen streben.
  

  Wie im Reellen bedeutet der Begriff des Grenzwertes nur, dass man diesem Wert beliebig nahe kommen kann, wobei der Unterschied zwischen zwei komplexen Zahlen durch den Betrag charakterisiert wird. Der Grenzwert macht keine Aussage über den Funktionswert an der Stelle . Die Definition unterscheidet sich formal nicht von der entsprechenden Definition im Reellen, so dass im Komplexen die gleichen Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten gelten wie im Reellen.

• Der Begriff der Stetigkeit verbindet eine Grenzwertaussage mit dem Funktionswert: Die Funktion ist an der Stelle stetig, falls
  
  
  
  
  ist, Funktionswert und Grenzwert also übereinstimmen.
• Eine Funktion ist an der Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar, falls der Grenzwert
  
  
  
  
  existiert.
  

  Die Ableitung in dem Punkt ist nur definiert, falls man den gleichen Grenzwert in diesem Punkt erhält, unabhängig von der Richtung in der komplexen -Ebene, mit der man sich dem Punkt annähert. So findet man z.B. für die Funktion unterschiedliche Grenzwerte für eine Annäherung an einen Punkt parallel zur reellen bzw. zur imaginären Achse. Diese Funktion ist nicht differenzierbar. In diesem Sinn ähnelt die Funktion einer Funktion von zwei reellen Variablen , obschon anderweitig deutliche Unterschiede bestehen.

  Wieder kann man infolge der formalen Ähnlichkeit der Definitionen alle Rechenregeln mit Ableitungen wie die Kettenregel, die Definition von höheren Ableitungen, etc. ins Komplexe übertragen.

Eine Standardmethode zur Definition von elementaren (und nicht so elementaren) Funktionen benutzt die Darstellung durch Potenzreihen

wobei je nach Situation ein Konvergenzradius zwischen Null und unendlich ( ) vorliegen kann. Für Funktionen, die auf diese Weise definiert werden, gelten die folgenden Aussagen:

• Die durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion ist an jeder Stelle innerhalb des Konvergenzkreises () stetig und differenzierbar. Die Ableitung kann durch gliedweise Differentiation gewonnen werden
  
  
  
  

• Die Potenzreihe ist an jeder inneren Stelle beliebig oft differenzierbar. Für die -te Ableitung an der Stelle gilt
  
  
  
  

• Die Entwicklung um die Stelle kann in der Umgebung eines inneren Punktes durch eine Potenzreihe der Form
  
  
  
  
  dargestellt werden.

In Band 1 Math.Kap. 7.3 wurde gezeigt, dass eine komplexe Funktion die Abbildung eines Bereiches der -Ebene auf einen Bereich der -Ebene vermittelt. Eine Abbildung durch eine analytische Funktion, also einer beliebig oft differenzierbaren Funktion, die durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, hat unter der Voraussetzung, dass die Ableitung in einem Punkt von Null verschieden ist, die Eigenschaften:

• Hat der Winkel zwischen zwei Kurven durch den Punkt den Wert , so hat der Winkel zwischen den Bildkurven den gleichen Wert. Diese Eigenschaft

  Abbildung 2.1: Eigenschaften der konformen Abbildung

  
  der Winkeltreue folgt direkt aus der Definition der ersten Ableitung in dem Punkt (Abb. 2.1).
• Ebenfalls aus der Definition der ersten Ableitung, dieses Mal aus der Betrachtung des Betrages anstelle des Arcus, folgt, dass alle von einem Punkt ausgehenden `kleinen` Vektoren in dem selben Verhältnis gestreckt werden. Die Abbildung ist (im Kleinen) maßstabsgetreu.
• Eine Abbildung mit den genannten Eigenschaften bezeichnet man als konform.

Zusammenfassend kann man feststellen: Eine durch eine analytische Funktion vermittelte Abbildung ist in der Umgebung jeder Stelle, an der die Ableitung nicht verschwindet, konform.