Die formale Definition hört sich folgendermaßen an:
Trotz der etwas formalen Ausdruckweise ist dieses Konvergenzkriterium
eine rechentechnische Vorschrift, mit der man die Konvergenz einer Folge
logisch einwandfrei überprüfen kann. Die Anschauung, die man damit
verknüpfen könnte, ist die folgende: Betrachte eine
naive, explizite Darstellung einer (konvergenten) Folge auf dem Zahlenstrahl.
Die Forderung des Kriteriums lautet: Wenn man ein beliebiges Intervall
der Größe
um den Grenzwert
vorgibt, (die Zielsetzung ist ein beliebig kleines Intervall), so dass
der Term
in dem Intervall liegt, so muss man nachweisen können,
dass alle Terme der Folge mit
auch in diesem Intervall liegen.
Dies bedeutet: Man muss eine Rechenvorschrift finden, die es erlaubt, aus
der Vorgabe von
das
zu bestimmen, für das dies der Fall ist.
Um die Anwendung des Kriteriums zu erläutern, kann man das folgende explizite
Beispiel, eine Folge mit dem Bildungsgesetz
Eine Warnung soll noch einmal ausgesprochen werden: Für eingefleischte Praktiker
mag es genügen, die Terme mit
zu berechnen und
den Grenzwert abzuschätzen. Logisch einwandfrei ist jedoch ein solches
Verfahren nicht. Man muss die Abschätzung in eine explizite Vorschrift
der Form
umsetzen können.
Über Konvergenz und insbesondere über Varianten von Konvergenzkriterien ließe sich noch einiges sagen (so kann man z.B. Kriterien formulieren, die es erlauben, die Konvergenz einer Folge nachzuweisen, ohne dass man den Grenzwert kennt oder vermutet), doch soll auf der Basis der Definition des Grenzwertes einer Folge zielstrebig das Konzept des Grenzwertes einer Funktion erläutert werden.