7.2 Grundrechenarten
Die Aussage bezüglich der vier Grundrechenarten lautet: Mit
komplexen Zahlen kann man formal wie mit reellen Zahlen rechnen.
Bei der Addition und Subtraktion werden Real- und Imaginärteil getrennt
addiert bzw. subtrahiert
Die graphische Darstellung der Addition ist in Abb. 7.2 angedeutet.
Abbildung 7.2:
Addition zweier komplexer Zahlen
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Die Multiplikation entspricht, unter der Benutzung von
, der
Anwendung des Distributivgesetzes
Die Division kann dann, wie üblich, als Umkehrung der Multiplikation
definiert werden. Die Gleichung
mit unbekanntem
entspricht zunächst
Vergleich von Real und Imaginärteil ergibt
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(7) |
sowie durch Auflösung nach
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(8) |
Man gewinnt das gleiche Ergebnis, indem man den Bruch
in
geeigneter Weise erweitert
und Zähler und Nenner nach der Multiplikationsregel berechnet
Division durch die komplexe Zahl
ist natürlich nicht sinnvoll.
Die angegebenen Regeln für die Grundrechenarten mit komplexen Zahlen
reduzieren sich auf die entsprechenden Regeln für reelle Zahlen falls der
Imaginärteil von den Größen
und
verschwindet.
Die üblichen Erweiterungen, wie z.B. das Potenzieren
einer komplexen Zahl
mit einer natürlichen Zahl
,
mit der Rechenregel
ergeben sich durch konsequente Anwendung der Grundrechenarten.
Neben der angedeuteten
kartesischen Darstellung der komplexen Zahlen ist die trigonometrische
Darstellung (Abb. 7.3) nützlich, insbesondere auch für die Visualisierung von
Multiplikation und Division.
Abbildung 7.3:
Trigonometrische Zerlegung der komplexen Zahl
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In diesem Fall stellt man den Real- und
den Imaginärteil von
durch
dar. Diese Darstellung ist für jedes
reelle Zahlenpaar
möglich.
Die Umkehrung dieser Relationen für den Übergang von der kartesischen in
die trigonometrische Darstellung lautet
Die Größe
bezeichnet man als
den Betrag der komplexen Zahl
. Neben
dem Betrag benötigt man zur Charakterisierung der komplexen Zahlen
den Winkel
.
Die trigonometrische Zerlegung entspricht (vergleiche Buch.Kap. 2.4) der
Benutzung von ebenen Polarkoordinaten im
.
Für diverse
Grenzwertbetrachtungen im Komplexen benötigt man das Konzept des
Abstandes zweier komplexer Zahlen. Eine natürliche Definition dieser
Größe ist der Betrag der Differenz (Abb. 7.4)
Abbildung 7.4:
Abstand zweier komplexer Zahlen
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Mit der trigonometrischen Darstellung findet man für die Multiplikation
von zwei komplexen Zahlen
nach Ausmultiplizieren und Anwendung der Additionstheoreme für Sinus und
Kosinus
Es ist also
Abbildung 7.5:
Das Produkt zweier komplexer Zahlen
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In der trigonometrischen Darstellung ist das Produkt durch die Angaben charakterisiert:
Der Betrag des Produktes ist das Produkt der Beträge, der Winkel ist die Summe der Winkel (Abb. 7.5).
Für die Division findet man
das heißt
In der komplexen Ebene ergibt sich somit für die Division die in Abb. 7.6 dargestellte
Situation.
Abbildung 7.6:
Division komplexer Zahlen
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Ist insbesondere
, so gilt
Die Inverse einer komplexen Zahl erhält man durch Spiegelung des
Punktes
am Einheitskreis und anschließende Spiegelung an der
reellen Achse (die Reihenfolge ist vertauschbar). Das Bild einer am
Einheitskreis gespiegelten komplexen Zahl
kann man, wie in Abb. 7.7
Abbildung 7.7:
Zum Strahlensatz
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Animation zu Abbildung 7.6 und 7.7
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angedeutet, elementargeometrisch konstruieren. Die Konstruktion beruht
auf der Anwendung des Strahlensatzes in der Form
oder
Eine weitere Operation, die oft benutzt wird, ist die komplexe Konjugation
in trigonometrischer Form
Abbildung 7.8:
Komplexe Konjugation
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Dies entspricht einer Spiegelung an der reellen Achse (Abb. 7.8). Offensichtlich ist das
Produkt
eine reelle Zahl.
Die mehrfache Anwendung der Multiplikationsregel ergibt die Moivre-Formel
Wendet man auf
den binomischen Satz an
und trennt Real- und Imaginärteil, so gewinnt man eine Darstellung von
und
durch Potenzen von
und
, so z.B. im einfachsten Fall
Man kann hier die oft benutzten Relationen für den doppelten Winkel ablesen.
In gleicher Weise kann man entsprechende Formeln für die trigonometrischen
Funktionen mit dem dreifachen, vierfachen, Winkel relativ leicht
erzeugen.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008