Gib die
Relation
zwischen der Radialkoordinate und der
Zeit in dem einfachen Keplerproblem an.
Welche
Aussagen
ergeben die Anfangsbedingungen für die
Erhaltungsgrößen und ?
Der
Integrand
kann unter Verwendung der Hyperbelparameter , und
umgeschrieben werden. Gib , und
für die Hyperbel an und führe die Umschreibung durch.
Welche
Substitution
bietet sich an, um das Integral zu vereinfachen?
Gibt die Substitution in dem entsprechenden Planetenproblem, das sich durch
einen endlichen Abstand des Massenpunktes von dem Zentralkörper
auszeichnet, einen Hinweis?
Fertige anhand der
Parameterdarstellung
eine Skizze der Hyperbeln an. Welche
Hyperbeläste entsprechen welchem Parameterbereich? Was gibt das
Vorzeichen von an?
Wie unterscheiden sich die
Parameterdarstellungen der Keplerhyperbeln
und der Keplerellipsen? Vergleiche den Zeitablauf auf den beiden
Kegelschnitten (z.B. durch Tabellierung von und ).
Aus (B4.17) und (B4.18) ist bekannt, dass
die Konstanten des Keplerproblems und die Parameter der Hyperbel durch
sowie
verknüpft sind. Der Integrand kann mit Hilfe der Größen
Schenkelabstand:
Imaginäre Achse:
Exzentrizität:
umgeschrieben werden. Man findet
Welche
Substitution
bietet sich an, um das Integral zu vereinfachen?
Gibt die Substitution in dem entsprechenden Planetenproblem, das sich durch
einen endlichen Abstand des Massenpunktes von dem Zentralkörper
auszeichnet, einen Hinweis?
erhält.
Der Bereich der Variablen ist
Fertige anhand der
Parameterdarstellung
eine Skizze der Hyperbeln an. Welche
Hyperbeläste entsprechen welchem Parameterbereich? Was gibt das
Vorzeichen von an?
In Abb. 1 sind die Zweige der Keplerhyperbeln als Funktion des
Parameters dargestellt. Das Vorzeichen von (bzw. )
reguliert die Orientierung der Hyperbel. Das Pluszeichen ergibt eine nach
links offene, das Minuszeichen eine nach rechts offene Hyperbel. Die entsprechenden
Parameterbereiche
und
sind
farbkodiert.
Abbildung 1:
Zweige der Keplerhyperbel für verschiedene Bereiche
des Parameters
(rot:
,
grün:
,
gelb:
,
cyan:
).
Die Frage der Orientierung wird noch einmal in Abb. 2 angesprochen,
in der, für die beiden Kegelschnitte, der Polarwinkel (bzw.
)
als Funktion des Parameters aufgetragen ist. Man erkennt z.B., dass
bei der nach rechts offenen Hyperbel (mit
gekennzeichnet) für
kleine -Werte negative -Werte autreten, dann aber der Ast bis
zur Asymptote durch positive -Werte charakterisiert wird. Bei der Ellipse erkennt
man die periodische Struktur und den Umlaufsinn (wachsendes entspricht
fortschreitender Zeit).
Abbildung 2:
Vergleich des -Koordinate (bzw. des Polarwinkels in der Form
)
für Hyperbel und Ellipse für positives (grün) bzw. negatives (pink) Vorzeichen
(Parameter
)
Wie unterscheiden sich die
Parameterdarstellungen der Keplerhyperbeln
und der Keplerellipsen? Vergleiche den Zeitablauf auf den beiden
Kegelschnitten (z.B. durch Tabellierung von und ).
Die Parameterdarstellung der kartesischen Koordinaten für Keplerellipsen ist
Es treten also anstelle der hyberbolischen Funktionen die
trigonometrischen Funktionen auf. Dies bedingt die Beschränkung der
Kurven auf einen endlichen Raumbereich.
Die Parametrisierung der Zeitentwicklung ist
hat also eine andere Struktur. Die Parameterdarstellungen der Radialkoordinate
und der Zeit werden für die beiden Keglschnitte in Abb. 3 verglichen.
Man erkennt die überlagerte periodische Zeitstruktur (Sonnennähe Perihel
und Sonnenferne Aphel) sowie die Begrenzung der Bahn (ebenfalls mit
periodischer Struktur) auf einen bestimmten Raumbereich für die Ellipse.
Abbildung 3:
Vergleich der Parameterdarstellungen der Größen
und für die Hyperbel und die
Ellipse (Parameter
)