Lösung der Aufgabe 2.7
Um die Kurve in der Darstellung durch Polarkoordinaten abzufahren, kann man
eine beliebige `Zeitabhängigkeit` der Variablen
angeben, am einfachsten
. Es ist dann
Die Flächenberechnung stützt sich auf den Flächensatz
Für die Bewegung in der
-
Ebene ist
Die Fläche der Kardioide ist somit
Eine Bogenlänge wird mittels
berechnet. Auswertung des Integrals
ergibt mit der Substitution
nach Sortierung der korrekten Vorzeichen für die Intervalle
den Umfang der Kardioide zu
Die kartesische Darstellung gewinnt man durch Projektion der
Radialkoordinate auf die kartesischen Achsen
Es kann hier wieder die Ersetzung
vorgenommen werden
oder direkt mit der Variablen
gearbeitet werden. Man benutzt dann
Das Flächenintegral, berechnet über
liefert das gleiche Resultat wie zuvor. Zur Berechnung des Umfangs ist
auszuwerten. Auch hier erhält man nach einer leicht langatmigeren Auswertung
das gleiche Resultat wie zuvor.
Anhand der kartesischen Darstellung zeigt man, dass die Kardioide die implizite
Kurvengleichung
erfüllt.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008