4.3.3 Integrale mit f(x,y,z)
Die Diskussion der Integration von Funktionen mit drei Veränderlichen
verläuft weitgehend analog zu dem Fall von Funktionen mit
zwei Veränderlichen, wenn auch die Details infolge eines weiteren
Integrationsschrittes etwas aufwendiger sein können. Die Darstellung
wird sich auf einen gewissen Überblick beschränken.
Liegen feste Integrationsgrenzen vor, so kann man z.B. die folgende Hierarchie
von Integralen betrachten
In keinem der Fälle ist eine anschauliche Darstellung möglich. Man kann
sich jedoch eine Vorstellung von den Integrationsbereichen machen.
- 1.
- Der Integrationsbereich ist eine gerade Strecke. Die Gerade, auf der
die Strecke abgetragen ist, verläuft durch den Punkt
der
-
Ebene und ist parallel zu der
-Achse (Abb. 4.37).
Berechnet wird eine `Fläche` über dieser Strecke in der
nicht darstellbaren vierten Dimension.
Abbildung 4.37:
Integration über eine Gerade im
 |
- 2.
- Der Integrationsbereich ist ein Rechteck in der Ebene
const.,
das von Geraden parallel zu der
- und der
-Achse begrenzt ist (Abb. 4.7a).
Berechnet wird ein Volumen über dieser Fläche und zwar in dem
dreidimensionalen Unterraum, der von den Koordinaten
aufgespannt
wird.
- 3.
- Der Integrationsbereich ist ein Quader (Abb. 4.38b) im
, begrenzt
von den sechs Ebenen
,
und
.
Das Resultat der Integration ist ein vierdimensionales Volumen.
Abbildung 4.38:
Integration über zwei- und dreidimensionale Bereiche
 |
In allen drei Fällen ergeben sich aus rechentechnischer Sicht keine
neuen Gesichtspunkte, so ist z.B. mit

In den Fällen 2 und 3 steht wieder die Frage nach der Vertauschung der
Reihenfolge der Integration an. Auch hier lautet die Bedingung: Die
Vertauschung ist möglich, falls die Funktion
über dem jeweiligen
Grundbereich beschränkt ist. Man benutzt dann auch die Kurzformen
bzw.
mit der Vorstellung, dass der Integrationsbereich in infinitesimale
Rechtecke oder Quader aufgeteilt wird.
Für Integrale mit variablen Grenzen existiert eine entsprechende Hierarchie.
Die Gestalt der Integrationsbereiche ist jedoch unter Umständen komplizierter.
Benutzt man eine entsprechende Bezeichnung wie für die Integrale mit festen
Grenzen, so sind die verschiedenen Integrale dieser Hierarchie
Der Integrationsbereich ist immer noch eine Strecke parallel zur
-Achse.
Die Strecken werden jedoch nicht durch die Ebenen
begrenzt, sondern (Abb. 4.39) durch die
Flächen
bzw.
.
Abbildung 4.39:
Integration über eine gerade Strecke im
mit variabler Begrenzung
 |
Der Integrationsbereich ist eine Fläche in der Ebene
const.
Die Begrenzung der Fläche kann folgendermaßen beschrieben werden:
- (a)
- In der
-Richtung sind es die Schnittkurven der Flächen
und
mit der Ebene
const. (Abb. 4.40a).
- (b)
- In der
-Richtung sind es Geraden parallel zur
-Achse, die durch
die Schnittpunkte der Kurven
und
mit der Ebene (oder
Geraden)
const. bestimmt werden (Abb. 4.40b).
Abbildung 4.40:
Zur Integration über eine ebene Fläche mit krummliniger Begrenzung
im
 |
Die Gestalt des Integrationsbereiches ändert sich demnach mit jedem
-
Wert. Das Integral, das eigentlich interessiert, ist
Dieses Integral stellt wieder ein vierdimensionales Volumen dar, der
Integrationsbereich ist dieses Mal ein `Standardbereich` im
.
Beliebig geformte dreidimensionale Integrationsbereiche lassen sich aus solchen
Standardbereichen zusammensetzen. Ein Beispiel (Abb. 4.41) für einen
Standardbereich soll etwas eingehender betrachtet werden,
zur Abwechslung in einer Variante mit vertauschter
Reihenfolge der Integrationen
Der durch die angegebene Begrenzung definierte Bereich kann
folgendermaßen beschrieben werden: Die Grenzen der
-Integration sind die Ebenen
.
Die Grenzen der
-Integration sind die Ebenen
.
Projiziert man die Grundfläche, die auf diese Weise festgelegt ist, in
den Raum und versieht sie mit einer Bodenfläche
und einer
Deckelfläche
, so erhält man den Integrationsbereich
.
Abbildung 4.41:
Ein Standardbereich im
 |
Ist der Integrand beschränkt, so kann man den vorgegebenen Bereich
in beliebiger Weise in infinitesimale Volumenelemente zerlegen
(infinitesimale Quader ist nur eine Möglichkeit) und über Bildung der
infinitesimalen vierdimensionalen Volumina
zu dem Grenzwert
gelangen.
In Erweiterung der Situation bei Integralen mit
ergibt sich hier
die Möglichkeit den Rauminhalt von beliebigen dreidimensionalen Volumina
zu berechnen. Für
erhält man
Es folgen einige explizite Beispiele für dreidimensionale
Integrationsbereiche, wobei zunächst die folgende Unterteilung des
des Integrationsbereiches benutzt wird
Für ein Kugelvolumen (Abb. 4.42) um den Koordinatenursprung (Radius
)
erhält man bei dieser
Reihenfolge die folgenden Integrationsgrenzen in den drei Koordinatenrichtungen:
Abbildung 4.42:
Ein kugelförmiger Integrationsbereich
 |
In der
-Richtung (Boden und Deckel) sind es die Halbkugeln
In der
-Richtung hat man zwei Kreisbogen
In der
-Richtung sind die Grenzen konstant
Bei der symmetrischen Form des Bereiches ist eine Vertauschung der
Reihenfolge der Integration bei entsprechender Variation der Grenzen
ohne Weiteres möglich. Das Kugelvolumen könnte nun mit
berechnet werden, doch offensichtlich ist ein Übergang zu
Kugelkoordinaten vorteilhaft.
2. Ein elliptischer Zylinder über der
-
Ebene mit parabolischer Kappe
(Abb. 4.43) wird durch die folgenden Grenzen charakterisiert:
Abbildung 4.43:
Ein (elliptischer) Zylinder mit Parabolkappe
 |
Der Boden ist die
-
Ebene
, der Deckel das Paraboloid
.
In der
-Richtung wird das Integrationsvolumen durch die Ellipsenbogen
begrenzt, in der
-Richtung durch die Konstanten
3. In dem letzten Beispiel ist eine Unterteilung in Standardbereiche notwendig.
Der Bereich ist eine Pyramide der Höhe
über einem Quadrat mit der Seitenlänge
in der Ecke des ersten Quadranten der
-
Ebene (Abb. 4.44).
Abbildung 4.44:
Ein Bereich in der Form einer Viertelpyramide
 |
Die Pyramide ist von oben durch vier Dreiecksflächen begrenzt, ist also
kein Standardbereich. Es ist notwendig, den Gesamtbereich in vier
Teilbereiche zu zerlegen. Die vier entsprechenden ebenen Bereiche in der
-
Ebene müssen zweckmäßigerweise mit wechselnder Reihenfolge
der Integration charakterisiert oder nochmals zerlegt werden. Hier werden
nur zwei der vier Teilbereiche beschrieben:
- 1.
- Der Teilbereich, der an die
-Achse grenzt, wird in der
-Richtung
durch die Ebene
und durch eine Ebene, die durch die
-Achse und
durch die Spitze der Pyramide
verläuft, begrenzt
In der
-Richtung sind es die Geraden
und
, in der
-Richtung die festen Grenzen
und
.
- 2.
- Für den Teilbereich, der an die
-Achse grenzt, benötigt
man
Die Angaben für die zwei restlichen Teilbereiche bleiben dem Leser überlassen.
Für ein Viertel des Pyramidenvolumens erhält man somit
Dieses Ergebnis kann man natürlich auch elementar gewinnen, das Ergebnis für die
ersten zwei Beispiele jedoch bestimmt nicht.
Bei der Auswertung von Dreifachintegralen ist die Substitutionsregel
äußerst nützlich.
In diesem Fall lautet sie folgendermaßen:
Das Integral
geht bei der Transformation
über in
Die Funktionaldeterminante der Transformation ist
Die Reihenfolge der Koordinaten ist wieder unwesentlich, deswegen tritt
auch hier der Betrag der Funktionaldeterminante auf.
ist das Bild
des Bereiches
in dem
,
,
-System. So ist z.B. das Bild einer
Kugel (in kartesischen Koordinaten) ein Quader in Kugelkoordinaten (Abb. 4.45).
Abbildung 4.45:
Die Abbildung einer Kugel in kartesischen Koordinaten in einen Quader
bei Benutzung von Kugelkoordinaten
 |
Offensichtlich liegt eine direkte Erweiterung der entsprechenden
Regeln für den Fall von Doppelintegralen vor. Man unterteilt den Bereich
durch Flächen
const.,
const.,
const.
und stellt ein unregelmäßiges Volumenelement, das durch
infinitesimal benachbarte Flächen gebildet wird, in linearer Näherung
dar.
Zwei wichtige Spezialfälle werden immer wieder benötigt:
Ein Kugelvolumen würde man somit nicht in
kartesischen Koordinaten sondern in Kugelkoordinaten berechnen
Das Volumen eines Kugelsegmentes mit dem Öffnungswinkel
erhält man entsprechend als (Abb. 4.46)
Abbildung 4.46:
Zur Berechnung des Volumens eines Kugelsegmentes
 |
Als weitere Übung kann man das Volumen des
elliptischen Zylinders mit Paraboloidkappe zu berechnen.
Geeignete Koordinaten sind
Das Resultat ist
Dreifachintegrale treten in der theoretischen Physik in fast allen
Bereichen auf. Ein mögliche Aufgabe aus der Mechanik lautet: Vorgegeben
ist die Dichte eines Objektes als Funktion des Ortes.
Dies beschreibt einen Körper mit scharfer Begrenzung und beliebiger
Zusammensetzung.
Es sind folgende Größen zu berechnen:
Diese Formeln ergeben sich aus der Überlegung: Bei einer
infinitesimalen Zerlegung des Körpers summiert man über
entsprechende Beiträge, die im Grenzfall ein Dreifachintegral ergeben,
so z.B. für die Masse
Entsprechendes gilt für die Schwerpunktskoordinaten.
Ein konkretes Beispiel ist die Berechnung dieser Größen für eine
Halbkugel mit uniformer Massenverteilung
. Die Masse ist
Für die Schwerpunktskoordinaten erhält man bei Auswertung in Kugelkoordinaten
mit
für eine
Halbkugel:
Das Integral faktorisiert in drei gewöhnliche Integrale. Wegen
ist
. Entsprechend findet man
und
Der Schwerpunkt liegt auf der
-Achse (eine Symmetrieachse), in einem
Abstand von (
) Einheiten über dem Koordinatenursprung.
Integrale mit mehr als drei Integrationsvariablen
findet man in allen Bereichen der Physik, von der klassischen Mechanik bis
zu der Quantenfeldtheorie. Das Muster zu deren Diskussion und Auswertung
ist jedoch durch die Betrachtung der einfacheren Situationen vorgegeben,
rechentechnische Komplikationen nicht eingerechnet.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008