Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.15
-
Wie lautet die
Formel
für die Berechnung des Gravitationspotentials?
-
Berechne die
Masse der Hohlkugel.
Interpretiere das Ergebnis.
-
Berechne das
Integral
für den Außenbereich
.
-
Interpretiere
dieses Ergebnis.
-
Was muss bei der
Berechnung
des Integrals für den Innenbereich
beachtet werden?
-
Berechne das
Integral für den Innenbereich
. Interpretiere
das Ergebnis.
-
Welche
Bemerkungen
kann man zu dem Superpositionsprinzip machen?
-
Überprüfe die links- und rechtsseitigen
Grenzwerte
der Potentiale an
den kritischen Stellen
und
.
-
Gilt die gleiche
Aussage
auch für das Gravitationsfeld
?
Überprüfe auch die Stetigkeit des Gravitationsfeldes an den
kritischen Stellen.
-
Berechne die geforderten
Koeffizienten
der Terme des Potentials
für
,
,
mit
.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
3.15 Antwort zu H1
Die Formeln zur Berechnung des Gravitationspotentials einer kugelsymmetrischen
Massenverteilungen wurden in Kap. 3.2.4.1 aufbereitet.
Für Punkte außerhalb der Massenverteilung
(
) gilt
Für Punkte innerhalb der Massenverteilung
(
) ist das Integral
zu berechnen.
Berechne die
Masse der Hohlkugel.
Interpretiere das Ergebnis.
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2008
3.15 Antwort zu H2
Die Masse der Hohlkugel ist wegen der Symmetrie
Die Masse entspricht (wie erwartet) der Masse
einer homogenen
Vollkugel mit dem Radius
von der die Masse
einer Vollkugel
(mit der gleichen konstanten Massendichte) mit Radius
subtrahiert
wird.
Berechne das
Integral
für den Außenbereich
.
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3.15 Antwort zu H3
Das Integral in Gleichung
kann
in 2 Beiträge zerlegt werden, wobei das erste Integral
wegen
verschwindet
Man erkennt die Masse der Hohlkugel und kann das Ergebnis in der Form
zusammenfassen.
Interpretiere
dieses Ergebnis.
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2008
3.15 Antwort zu H4
Aus der Sicht des Außenraumes kann man nicht erkennen, ob es sich um
eine Hohlkugel, eine Kugel oder eine kompliziertere Massenverteilung
mit der Masse
und Kugelsymmetrie handelt.
Was muss bei der
Berechnung
des Integrals für den Innenbereich
beachtet werden?
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3.15 Antwort zu H5
Für Punkte innerhalb der Massenverteilung ist das Integral
zu berechnen.
Es sind die Fallunterscheidungen
zu treffen. Der Punkt (eigentlich Kugelschale) , für den das Potential
berechnet wird, liegt entweder in der massenbelegten Kugelschale oder in
dem Hohlraum.
Berechne das
Integral für den Innenbereich
. Interpretiere
das Ergebnis.
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3.15 Antwort zu H6
Ist
, so trägt das Intervall
zu
dem ersten Integral nicht bei (
) und es ist
Dies entspricht wiederum der Differenz der Potentiale von zwei homogenen
Vollkugeln
(mit der gleichen Dichte
), wobei für die Kugel mit
dem größeren Radius das Potential im 'Innenbereich' (
) und
für die Kugel mit dem kleineren Radius das Potential im Außenbereich
(
) einzusetzen ist.
In dem zweiten Fall (
)
trägt das erste Integral gar nicht, das zweite erst ab dem Radius
bei. Es bleibt
Das Potential in dem Hohlraum ist konstant und entspricht wegen
ebenfalls der Differenz der Potentiale der Vollkugeln mit dem Radius
und
.
Welche
Bemerkungen
kann man zu dem Superpositionsprinzip machen?
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3.15 Antwort zu H7
Die Tatsache, dass das (Gravitations-)Potential durch Überlagerung (in
diesem Fall Subtraktion) der Potentiale von zwei Vollkugeln dargestellt
werden kann, bezeichnet man als Superpositionsprinzip. Das
Superpositionsprinzip beinhaltet letztlich die Linearität der
Differentialgleichungen, die das Potential bestimmen (siehe Band 2).
Die Gültigkeit des Superpositionsprinzips erlaubt
in vielen Fällen die Berechnung von Potentialen von komplizierteren
Massenverteilungen mit relativ einfachen Mitteln.
Überprüfe die links- und rechtsseitigen
Grenzwerte
der Potentiale an
den kritischen Stellen
und
.
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3.15 Antwort zu H8
Die Potentialfunktion ist stetig, denn es ist
und
Gilt die gleiche
Aussage
auch für das Gravitationsfeld
?
Überprüfe auch die Stetigkeit des Gravitationsfeldes an den
kritischen Stellen.
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3.15 Antwort zu H9
Es ist
somit folgt
Auch das Gravitationsfeld ist stetig. Die Ergebnisse deuten jedoch an,
dass eine entsprechende Aussage für die Ableitung des Feldes nicht
gilt.
Abbildung 2:
Das Gravitationspotential der Hohlkugel
(
in Meter)

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Berechne die geforderten
Koeffizienten
der Terme des Potentials
für
,
,
mit
.
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3.15 Antwort zu H10
Die numerischen Werte (gerundet) für die Massen der Vollkugeln und der Hohlkugel,
sowie der weiteren Konstanten, die in den Potentialen auftreten, sind
für die angegebenen Zahlenwerte:
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008