Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.10
-
Definiere
Schwerpunkt- und Relativkoordinaten
und die entsprechenden
Geschwindigkeiten der beiden Massen.
-
Gib die
Geschwindigkeiten
der Massen aus der Sicht des
Schwerpunktes (siehe Abb. 3) an.
-
Betrachte den
Impulserhaltungssatz.
-
Notiere die
Konsequenzen der Impulserhaltung
aus der Sicht des Schwerpunktsystems.
-
Drücke die
Geschwindigkeiten
der Massen vor und nach dem Stoß durch die
Relativgeschwindigkeiten
und
und die Schwerpunktgeschwindigkeit
aus.
-
Betrachte die
kinetische Energie
vor und nach dem Stoß als Funktion der
Relativgeschwindigkeiten. Welche Aussagen kann man über
und
machen?
-
Fertige eine
Skizze der Geschwindigkeiten
der Massen aus der Sicht
des Schwerpunktsystems an und identifiziere den Streuwinkel
aus der Sicht dieses Systems.
-
Vergleiche den
Streuwinkel
mit dem Winkel zwischen den Vektoren
der Relativgeschwindigkeiten vor und nach dem Stoß (
und
).
-
Finde, unter der Voraussetzung
,
Relationen
zwischen
den Vektoren
und
und zwischen den Vektoren
und
.
-
Skizziere die
Geschwindigkeitsvektoren
(
vorausgesetzt) in den
beiden Systemen vor und nach dem Stoß. Identifiziere den Streuwinkel
(Laborsystem) und den Streuwinkel
(Schwerpunktsystem).
-
Finde über den Sinussatz der ebenen Trigonometrie
eine
Relation
zwischen den beiden Streuwinkeln (
vorausgesetzt).
-
Kann man den
Bruch
durch die Massen darstellen?
-
Löse die
Relation zwischen den beiden Streuwinkeln
nach dem Winkel
, bzw. nach
auf.
-
Betrachte die
Grenzfälle
und
-
Betrachte das in Kap. 4.1.3 angesprochene
Streuproblem
aus der Sicht der nun vorliegenden Ergebnisse.
Werkzeuge
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Abbildung 3:
Schwerpunkt- und Relativkoordinaten
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4.10 Antwort zu H1
Die Definition der Schwerpunkt- und Relativkoordinaten und der
entsprechenden Geschwindigkeiten lautet
Die gleichen Aussagen gelten für die Situation nach dem Stoß (gestrichene
Koordinaten).
Gib die
Geschwindigkeiten
der Massen aus der Sicht des
Schwerpunktes (siehe Abb. 3) an.
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4.10 Antwort zu H2
Die Geschwindigkeiten der beiden Massen kann man auf den
Schwerpunkt beziehen.
Es gelten die folgenden Relationen,
die Geschwindigkeit der Massen im Laborsystem und im
Schwerpunktsystem verknüpfen
(siehe Abb. 4)
...
Abbildung 4:
Schwerpunkt- und Relativkoordinaten

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Abbildung 5:
Schwerpunkt- und Relativkoordinaten

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Der Vektor für die Relativgeschwindigkeit kann
auch durch die schwerpunktbezogenen Geschwindigkeiten
ausgedrückt werden. Vor bzw. nach dem Stoß ist
Betrachte den
Impulserhaltungssatz.
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4.10 Antwort zu H3
Für den Stoß gilt (unabhängig ob der Stoß elastisch oder inelastisch
ist) der Impulserhaltungssatz
Ersetzt man die jeweiligen Summen durch die Schwerpunktgeschwindigkeiten, so findet man
Der Schwerpunktimpuls ist erhalten
die Geschwindigkeit des Schwerpunktes ändert sich nicht
.
Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß bezogen auf den Schwerpunkt lauten deswegen
Notiere die
Konsequenzen der Impulserhaltung
aus der Sicht des Schwerpunktsystems.
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4.10 Antwort zu H4
Setzt man in die Definition des Schwerpunktimpulses vor dem Stoß die
Umrechnungen für die Geschwindigkeiten
ein, so erhält man über
die Relation
Entsprechend ergibt Einsetzen der Umrechnungen der Geschwindigkeiten nach
dem Stoß
die Aussage
Aus der Sicht des Schwerpunktes sind die Impulsvektoren (
) der beiden
Massen vor und nach dem Stoß gleich groß und entgegengesetzt gerichtet
(Abb. 6).
Abbildung 6:
Die Impulsvektoren (
) der beiden
Massen vor und nach dem Stoß

|
Aus der Sicht des Schwerpunktes lautet der Impulssatz
Drücke die
Geschwindigkeiten
der Massen vor und nach dem Stoß durch die
Relativgeschwindigkeiten
und
und die Schwerpunktgeschwindigkeit
aus.
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4.10 Antwort zu H5
Aus der Definition des Schwerpunktimpulses folgt z.B. bei Ersetzung von
durch
und die Relativgeschwindigkeit
nach einfacher Sortierung die Relation
Mit einem entsprechenden Argument findet man
Betrachte die
kinetische Energie
vor und nach dem Stoß als Funktion der
Relativgeschwindigkeiten. Welche Aussagen kann man über
und
machen?
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4.10 Antwort zu H6
Für die kinetische Energie gilt aus der Sicht des Laborsystems
vor (
) und nach (
) dem Stoß
wobei
die reduzierte Masse ist.
Für einen elastischen Stoß mit
ist somit
Der Vektor für die Relativgeschwindigkeit kann in einem elastischen
Stoßprozess seine Richtung, nicht aber seinen Betrag, ändern.
Fertige eine
Skizze der Geschwindigkeiten
der Massen aus der Sicht
des Schwerpunktsystems an und identifiziere den Streuwinkel
aus der Sicht dieses Systems.
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4.10 Antwort zu H7
Der Streuwinkel
aus der Sicht des Schwerpunktsystems ist der Winkel
zwischen den Vektoren
und
bzw. zwischen
und
(Abb. 7).
Abbildung 7:
Der Streuwinkel
aus der Sicht des
Schwerpunktsystems

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Vergleiche den
Streuwinkel
mit dem Winkel zwischen den Vektoren
der Relativgeschwindigkeiten vor und nach dem Stoß (
und
).
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4.10 Antwort zu H8
Für die Vektoren
und
folgt aus
den obigen Definitionen
Der Streuwinkel
zwischen den Vektoren
und
ist gleich dem Winkel zwischen den Vektoren
und
.
BEMERKUNG:
Es wird im Folgenden nur der Fall betrachtet, dass die Masse
vor
dem Stoß ruht (
).
Die Herleitung der gesuchten Relation ist für den allgemeinen Fall
(
) recht mühselig. Für die meisten Experimente ist die
Bedingung
, das Target ruht vor dem Stoß, ausreichend.
Finde, unter der Voraussetzung
,
Relationen
zwischen
den Vektoren
und
und
zwischen den Vektoren
und
.
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4.10 Antwort zu H9
Falls
ist, folgt sofort
. Außerdem gilt
für die Schwerpunktgeschwindigkeit vor dem Stoß
Von den Relationen, die noch angegeben werden können,
interessiert im Folgenden nur
Skizziere die
Geschwindigkeitsvektoren
(
vorausgesetzt) in den
beiden Systemen vor und nach dem Stoß. Identifiziere den Streuwinkel
(Laborsystem) und den Streuwinkel
(Schwerpunktsystem).
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4.10 Antwort zu H10
Anhand der Vorgaben kann man die folgende Zeichnung anfertigen
(siehe Abb. 8).
Abbildung 8:
Definition und Relation der beiden Streuwinkel
und

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Aus der Sicht des Schwerpunktsystems sind sowohl die Geschwindigkeiten der beiden Massen
vor dem Stoß als auch nach dem Stoß entgegengerichtet.
Vor dem Stoß ist zusätzlich
proportional zu
. Nach dem Stoß setzt sich die Geschwindigkeit der Masse
aus der Sicht des Laborsystems vektoriell aus
und
(einem Vektor parallel zu
) zusammen
In dem von den drei Vektoren
und
gebildeten Dreieck treten die Winkel
(als Stufenwinkel gegenüber der Seite
) und (
) (gegenüber der Seite V) auf.
Finde über den Sinussatz der ebenen Trigonometrie
eine
Relation
zwischen den beiden Streuwinkeln (
vorausgesetzt).
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4.10 Antwort zu H11
Der Sinussatz der ebenen Trigonometrie angewandt auf das Dreieck, das von
den drei Vektoren
und
aufgespannt wird, liefert die Beziehung (siehe Abb. 9)
Abbildung 9:
Relation der beiden Streuwinkel
und

|
Einfache Auflösung liefert
Benutzt man für
das Additionstheorem, so kann man dies
in die Form
umschreiben, in der der Tangens des Streuwinkels im Laborsystem durch den Streuwinkel
im Schwerpunktsystem dargestellt wird.
Kann man den
Bruch
durch die Massen darstellen?
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4.10 Antwort zu H12
Die Vektorgleichungen
und
ergeben für einen elastischen Stoß mit
für das
Verhältnis der Beträge
Löse die
Relation zwischen den beiden Streuwinkeln
nach dem Winkel
, bzw. nach
auf.
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4.10 Antwort zu H13
Für die Auflösung nach dem Winkel
ist eine kleine
Zwischenrechnung notwendig. Durch Quadrieren der Gleichung
erhält man eine quadratische Gleichung für
mit der Lösung
Betrachte die
Grenzfälle
und
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4.10 Antwort zu H14
In dem Grenzfall
ergibt sich
aus
bzw.
die beiden Winkel sind gleich.
In dem anderen Grenzfall
findet man
bzw.
Beide Aussagen entsprechen in der allgemeinen Relation zwischen den beiden
Streuwinkeln dem positiven Vorzeichen vor dem Term mit der Wurzel.
Betrachte das in Kap. 4.1.3 angesprochene
Streuproblem
aus der Sicht der nun vorliegenden Ergebnisse.
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4.10 Antwort zu H15
In dem in Kap. 4.1.3 angesprochenen Streuproblem ist
der
Winkel zwischen den beiden Vektoren der Relativgeschwindigkeit
und
. Dieser Winkel ist, wie oben
gezeigt, mit dem Winkel
identisch.
Ist die `Targetmasse`
groß genug gegenüber
der `Projektilmasse`
, so ist der Winkel
(fast)
gleich dem Streuwinkel
in dem Laborsystem.
In dem
Grenzfall gleicher Massen ist
durch
zu ersetzen.
In dem Fall eines beliebigen Massenverhältnisses muss man
für
den Ausdruck
in die Rutherfordformel einsetzen, um die Abhängigkeit von dem Streuwinkel
in dem Laborsystem zu erhalten.
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