Detail 6.9
Kreiseltheorie: Bewegung des freien symmetrischen Kreisels
Die Bewegung des freien, symmetrischen Kreisels wird durch die
Differentialgleichungen (B6.160), (B6.161),
(B6.166)
charakterisiert.
Die ersten beiden Gleichungen ((6.9.1) und
(6.9.2))
beschreiben die Erhaltung der
generalisierten Impulse
und
, die letzte
Gleichung (6.9.3) entspricht dem Energiesatz.
Die drei (Integrations-)Konstanten
,
,
sind durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Die Differentialgleichung
für den Winkel
(6.9.3)
führt auf das Integral
mit den Konstanten (siehe ((B6.167))
und der Variablen
Die in diesem Integral auftretende Funktion
stellt eine nach unten offene Parabel dar, da die Größe
positiv ist.
Die Nullstellen dieser Funktion
sind für einen physikalisch sinnvollen Satz von Anfangsbedingungen reell
(dies erfordert
) und liegen
in dem Intervall
(Abb. 6.9.1).
Die Nullstellen entsprechen den Grenzen innerhalb derer der Winkel
bei der regulären Präzession aus der Sicht des raumfesten Koordinatensystems
variiert.
Abbildung 6.9.1:
Die Funktion
 |
Für die Auswertung des (elementaren) Integrals
(6.9.4) sind
Fallunterscheidungen zu beachten.
Die vorliegende Situation mit
führt auf das Ergebnis (siehe Integraltafeln)
Definiert man die Phase
die durch die Anfangsbedingungen festgelegt ist, so kann man das
Ergebnis in der Form
bzw.
notieren.
Mit diesem Ergebnis kann man nun in die
Differentialgleichungen
(6.9.2)
für
und
(6.9.1)
für
eingehen.
Für eine Anknüpfung an die Diskussion des freien symmetrischen Kreisels
mittels der Eulergleichungen, beginnt man mit den Relationen
(B6.140)
Auflösung dieses linearen Gleichungssystems in den Ableitungen der
Eulerwinkel ergibt
Die spezielle Lösung (B6.156)
liefert über das Additionstheorem
mit den Anfangswerten
Die Anfangswerte für die drei Eulerwinkel können noch vorgegeben werden.
Wählt man die Anfangszeit so, dass für
ist, so findet man für die Vorgaben in (B6.156)
sowie für die Rotationsenergie (B6.159)
Die Konstanten in der Funktion
(6.9.5)
und die Größen
,
in der Endformel für
(6.9.6)
können ebenfalls explizit durch die
Anfangsgrößen ausgedrückt werden.
Damit sind alle Größen, die in die Lösung von
(6.9.7) eingehen,
durch die Anfangswerte
,
,
sowie
bestimmt. Die noch zu lösenden Differentialgleichungen für
und
lauten in der speziellen, gewählten
Situation
Von Interesse ist auch die Betrachtung des (ansonsten trivialen)
Kugelkreisels mit
. Für einen Kugelkreisel sind die drei
Drehgeschwindigkeitskomponenten im körperfesten System unabhängig von
der Zeit
Da in dem Körper keine Lage der Koordinatenachsen ausgezeichnet ist,
kann man das Koordinatensystem so wählen, dass
ist. Der Körper dreht sich um die `willkürliche`
Figurenachse. Mit
folgt aus den Gleichungen
(6.9.8)
Diese Wahl des Koordinatensystems entspricht bei Anwendung der
Lagrangeformulierung der Forderung
Die Lösung einer Differentialgleichung für
entfällt, es
bleibt
Die Drehung um die
-Achse, die identisch mit der
-Achse ist,
ist uniform.
Bei einer Wahl des körperfesten Koordinatensystems, bei der die Drehachse
und eine der Hauptachsen nicht zusammenfallen, unterscheidet sich die
Diskussion des freien Kugelkreisels über die Lagrangeformulierung
nur wenig von der des freien symmetrischen
Kreisels.
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<Mechanik Details > R. Dreizler C. Lüdde
2008