Durch welche
Transformation
kann das Problem auf zwei ungekoppelte
Differentialgleichungen reduziert werden? Wie sehen diese aus?
Welche
Erhaltungssätze
gelten und wie lauten sie im Schwerpunktsystem?
Wähle ein geeignetes Bezugssystem.
Übertrage das
Integral(B4.12), das die Bahnkurve beschreibt,
auf die vorliegende Situation.
Vor der Auswertung des Integrals soll die
Streusituation
in
anschaulicher Weise analysiert werden, um die spätere Rechnung
vereinfachen zu können. Betrachte zu diesem Zweck die Kräfte,
die der vorgegebenen potentiellen Energie entsprechen.
Benenne die
zwei Bahntypen,
die für die vorgegebene Streusituation
möglich sind.
Bei der Berechnung der Bahnkurve/(des Integrals) erweisen sich
einige
Umformungen
als nützlich. Ziehe als erstes den Faktor aus der
Quadratwurzel der Bewegungsgleichung heraus und benutze die Ausdrücke, die durch die
Anfangsbedingungen gegeben sind, um die Vorfaktoren des Integrals zu sortieren.
Führe anschließend die Substitution durch.
Wie bei dem Keplerproblem wird die
reduzierte Masse
in einem
Minimalabstand an dem Streuzentrum vorbeilaufen. Bestimme diesen
Abstand.
Was ergibt sich daraus für die
Wurzel
des Integranden?
Berechne das
Integral
für den Bahntyp (a), d.h. für .
Zeige, dass dieser Teil der Bahn eine
Gerade
ist, die senkrecht auf der Verbindungslinie des Zentrums
der Potentialkugel mit einem Punkt, in dem diese Gerade eine
Kugel mit dem Radius
berührt, steht.
Gib das
Teilintegral
von dem Eintrittspunkt bis zu dem Minimalabstand an.
Die Vorgabe eines Zentralpotentials für die Relativbewegung impliziert
Energie- und Drehimpulserhaltung mit den Anfangswerten
wobei die anfängliche Relativgeschwindigkeit bei sehr großen
Abständen darstellt. ist der Stoßparameter (siehe Abb. 1).
Drehimpulserhaltung bedingt, dass sich die Masse in einer Ebene
bewegt, die durch den Positionsvektor und den Geschwindigkeitsvektor
aufgespannt wird. Diese Ebene, die `Streuebene`,
verläuft durch das Zentrum der `Potentialkugel` und schneidet aus dieser
eine Fläche aus, die durch einen Großkreis (Radius ) begrenzt
ist.
Abbildung 1:
Die Stoßgeometrie
Es ist nützlich ein Koordinatensystem zu wählen, dessen - Ebene der
Streuebene entspricht. Der Ursprung ist das Zentrum des
Streubereiches
, Winkel werden von einer willkürlich gewählten
Bezugslinie, z.B. der -Achse, aus gemessen (siehe Abb. 1).
Übertrage das
Integral(B4.12), das die Bahnkurve beschreibt,
auf die vorliegende Situation.
Zur Berechnung der Bahnkurve des (fiktiven) Massenpunktes, der die
reduzierte Masse trägt, ist die Verallgemeinerung von (B4.12) zuständig
Vor der Auswertung des Integrals soll die
Streusituation
in
anschaulicher Weise analysiert werden, um die spätere Rechnung
vereinfachen zu können. Betrachte zu diesem Zweck die Kräfte,
die der vorgegebenen potentiellen Energie entsprechen.
Für die vorgegebene potentielle Energie ist die Kraftwirkung nur auf
der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius um den Bezugspunkt
von Null verschieden, denn es gilt außerhalb und innerhalb der Kugel
Abbildung 2:
Kraftwirkung auf der Kugeloberfläche mit
Nur auf der Oberfläche der Kugel tritt wegen
ein Kraftstoß auf, der auf den Bezugspunkt gerichtet ist
(Abb. 2). Will man diesen Kraftstoß explizit darstellen, so
benötigt man die -Funktion (eine Distribution).
Benenne die
zwei Bahntypen,
die für die vorgegebene Streusituation
möglich sind.
Für die vorgegebene Streusituation sind zwei Bahntypen möglich:
(a)
Der Stoßparameter ist größer als der Kugelradius . Die
reduzierte Masse erfährt keine Kraftwirkung, folglich erwartet man eine
gerade Bahn (Abb. 3).
Abbildung 3:
Bahn für
(b)
Ist , so tritt die reduzierte Masse in die Kugel ein. Die
gerade Bahn im Außenbereich erfährt einen `Knick`. Im
Innenbereich verschwindet die Kraftwirkung ebenfalls, so dass die
reduzierte Masse sich auch hier auf einem (anderen) Geradenstück bewegt.
Da der Kraftvektor an der Eintrittsstelle auf das Zentrum der
Potentialkugel gerichtet ist, ist dieses Geradenstück auf das Zentrum
zu gedreht. Beim Austritt aus der Kugel erfährt die reduzierte Masse
einen zweiten Kraftstoß, der sie auf die auslaufende Gerade befördert.
Die Auswirkung dieses Kraftstoßes ist eine zweite Drehung der Bahn
mit dem gleichen Drehsinn wie die erste. Die kumulative Wirkung der
beiden Kraftstöße bedingt den Streuwinkel
(Abb. 4).
Abbildung 4:
Bahn für
Offensichtlich
stellt die beschriebene Bahn eine gewisse Idealisierung der Realität
dar. Gerade aus diesem Grund ist die Streuung an einem homogenen
kugelförmigen Potential einfacher zu berechnen und sowohl in der
Elektrodynamik als auch der Quantenmechanik wieder zu finden.
Bei der Berechnung der Bahnkurve/(des Integrals) erweisen sich
einige
Umformungen
als nützlich. Ziehe als erstes den Faktor aus der
Quadratwurzel der Bewegungsgleichung heraus und benutze die Ausdrücke, die durch die
Anfangsbedingungen gegeben sind, um die Vorfaktoren des Integrals zu sortieren.
Führe anschließend die Substitution durch.
Der Minimalabstand markiert einen Umkehrpunkt der Radialbewegung, es
gilt . Damit folgt aus den Erhaltungssätzen
und
mit der Definition
Läuft die Masse an der Potentialkugel vorbei, so ist
und der Minimalabstand ist gleich dem
Stoßparameter. Dringt die Masse in die Potentialkugel ein, so ist
und somit (wie zu erwarten)
Was ergibt sich daraus für die
Wurzel
des Integranden?
zu berechnen.
Das Integral ist elementar (siehe Werkzeuge) und liefert
Für die in Abb. 5 angedeutete Situation dreht sich der
Abbildung 5:
Variation des Winkels mit dem Abstand
Radiusvektor im Uhrzeigersinn. Die Winkeldifferenz
ist somit negativ. Die inverse trigonometrische Funktion hat jedoch in dem
relevanten Bereich positive Werte. Aus diesem Grund muss
man das negative Vorzeichen wählen und erhält mit der Definition
das Ergebnis
Der Winkel ist ein positiver Winkel, der von der Geraden durch
den Koordinatenursprung aus, die parallel zu der Bahn verläuft, gemessen wird.
Interpretiere
dieses Ergebnis.
Diese Gleichung beschreibt die (an sich) triviale Variation des Abstandes
von dem gewählten Ursprung für die Bewegung auf einer Geraden. Der
Minimalabstand ist gleich dem Stoßparameter
Was ist bei der
Berechnung des Integrals
für die zweite Bahnform, bei der die
fiktive Masse in die Potentialkugel eindringt, zu beachten?
Bei der Auswertung des Integrals für den Bahntyp (b) ist eine Aufspaltung
in konsekutive Beiträge durchzuführen
setzen
Dabei stellt den Oberflächenpunkt beim Einlaufen der reduzierten
Masse in die Kugel und den Punkt beim Austritt dar. Da die
beiden Größen den gleichen Zahlenwert haben, ist bei der Auswertung
des mittleren Integrals offensichtlich Vorsicht geboten.
Berechne das Integral für den
Bahntyp (b)
( ) im Außenbereich.
umgeschrieben werden. Wieder ist die Winkeldifferenz negativ, der
Ausdruck in der Klammer auf der rechten Seite wegen
postiv, so dass wiederum das negative Vorzeichen zu wählen ist.
Mit der positiven Winkeldifferenz
erhält man
Zeige, dass dieser Teil der Bahn eine
Gerade
ist, die senkrecht auf der Verbindungslinie des Zentrums
der Potentialkugel mit einem Punkt, in dem diese Gerade eine
Kugel mit dem Radius
berührt, steht.
Eine kleine Nebenrechnung zeigt, dass dieser Teil der Bahn eine Gerade
ist, die durch den angegebenen Berührungspunkt und den
Schnittpunkt der Kugel und der einlaufenden Geraden verläuft.
Es sind (Abb. 6) drei Abstände von dem
Koordinatenursprung zu betrachten:
Minimalabstand
Abstand
Oberfläche
.
Abbildung 6:
Geometrie der Bahn im Innenbereich
Unter der Voraussetzung, dass dieser Teil der Bahnkurve senkrecht auf
der Verbindungslinie Zentrum-Berührungspunkt steht, gelten die Beziehungen:
Von Interesse ist der Winkel
. Für diesen gilt
(mit dem Additionstheorem)
Setzt man hier
ein, so
findet man
Dieses Ergebnis zeigt, dass die Bahn der Masse im Innern der Potentialkugel
in der Tat eine Gerade ist und die Kugel mit dem Radius
in einem Punkt berührt.
Gib das
Teilintegral
von dem Eintrittspunkt bis zu dem Minimalabstand an.
Der Beitrag des Integrals von
bis zu dem
Punkt, der mit bezeichnet wurde, ist genauso groß wie der
Beitrag des Integrals von bis
.
Dies ergibt sich auch durch direkte Rechnung. Die Sortierung der
Vorzeichen und Winkel verläuft in diesem Fall folgendermaßen:
Für das Integral findet man
Sowohl die Winkeldifferenz als auch der Ausdruck in der Klammer sind negativ,
so dass in diesem Fall das positive Vorzeichen vor dem Integral zu wählen ist.
Mit der Definition
und der Relation
(da
ist), folgt
Berechne das Integral für den Bahntyp (b) ()
im Außenbereich
nach
der Wechselwirkung.
In der Rutherfordformel wird der Sinus des halben Streuwinkels benötigt,
der mit
angegeben werden kann. Ersetzt man in den letzten beiden Gleichungen durch
, so erhält man die gesuchte Relation zwischen dem
Streuwinkel (oder dem Sinus des halben Streuwinkels) und dem
Stoßparameter (und den Potentialparametern).
Skizziere den
Verlauf
der Funktion für einige Sätze
von Potentialparametern und kommentiere die Ergebnisse.
In Abb. 8 ist der Verlauf der Funktion für die
Parametersätze
(in beliebigen Einheiten) dargestellt. Die Werte für den Parameter ,
der ein Maß der Potentialtiefe im Vergleich zu der anfänglichen
kinetischen Energie ist, entsprechen Potentialtiefen von bzw.
mal der Einschussenergie.
Abbildung 8:
Variation des Streuwinkels mit den Potentialparametern
für grün, schwarz,
blau
Für den Stoßparameter
findet keine Ablenkung statt. Die Masse durchläuft die
Potentialkugel in Fortsetzung der einlaufenden Geraden. Innerhalb der
Kugel erhöht sich die Geschwindigkeit auf den Wert
Die Streuung ist am stärksten, wenn die Masse die
Potentialkugel gerade noch streift ().
Für größere -Werte findet keine Streuung statt.
Der maximale Streuwinkel wird alleine durch den Parameter bestimmt.
Für (bzw. ) folgt aus den angegebenen Gleichungen