5.1 Zwangsbedingungen: Das aufrechte Rad

Ein rollendes Rad ist ein Paradebeispiel für ein System, das nicht durch holonome Zwangsbedingungen charakterisiert werden kann. In diesem Beispiel wird ein streng aufrecht rollendes Rad betrachtet. Etwas realer (aber ein wenig aufwendiger in der Diskussion, da ein zusätzlicher Freiheitsgrad hinzukommt) ist ein Rad, das noch kippen kann. Für das aufrechte Rad soll explizit nachgewiesen werden, dass holonome Zwangsbedingungen nicht möglich sind. Bei dieser Diskussion findet man zwangsläufig die relevanten nichtholonomen Bedingungen.

Aufgabenstellung

Ein scharfkantiges Rad (Masse , Radius ) rollt aufrecht auf einer horizontalen Ebene. Diese Bewegung wird durch 4 Freiheitsgrade charakterisiert: Die Projektion der Koordinaten des Radmittelpunktes auf diese Ebene, einen Drehwinkel und einen Winkel , der die momentane Orientierung des Rades in Bezug auf eine Richtung der Ebene charakterisiert (s. Abb. 1).


Abbildung 1: Freiheitsgrade des aufrechten Rades



Diese generalisierten Koordinaten sind durch Rollbedingungen verknüpft, die besagen, dass ein Punkt auf dem Rand des Rades sich wie ein Kreispunkt bewegt.
(1)
Zeige: Die Zwangsbedingungen können nicht in einer holonomen Form dargestellt werden.
(2)
Notiere die nichtholonomen Zwangsbedingungen.
          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008