Detail 4.3
Erzwungene Schwingungen: Exakte Auswertung der Halbwertsbreite
Die Definition der Halbwertsbreite ist (B4.59)
Um die erforderlichen
-Werte anzugeben, muss zuerst die Gleichung
(B4.56) invertiert werden
Setzt man hier
ein, so erhält man wegen
wie zu erwarten
Für
folgt
und somit
Dies sind die gesuchten Frequenzwerte oberhalb (Pluszeichen) und
unterhalb der Resonanzstelle. Die Halbwertsbreite entspricht der
Differenz dieser beiden Ausdrücke.
Die Gleichung (4.3.1)
ist nur sinnvoll, falls der Radikand
größer oder gleich Null ist.
Für
-Werte unter- bzw.
oberhalb der Resonanzstelle ist dies der Fall wenn
ist. Es ist die kleinere dieser zwei Größen,
die eine obere Grenze für die Definition einer Halbwertsbreite
darstellt. Die Abhängigkeit der Halbwertsbreite von dem
Reibungskoeffizient
(jeweils in Einheiten von
) ist in
Abb. 4.3.1 dargestellt.
Abbildung 4.3.1:
Variation der Halbwertsbreite mit dem Reibungskoeffizient
(rot: exakte Definition, blau: Näherung für
)
 |
Sie wächst zunächst linear mit
, in der Nähe der Grenze
jedoch deutlich stärker. Vergleicht man dies mit der
Variation des Gütefaktors
mit
in Abb. 4.3.2, so stellt man fest, dass
Resonanzstrukuren nur für Gütefaktoren mit
ausgeprägt
sein können.
Abbildung 4.3.2:
Variation des Gütefaktors mit dem Reibungskoeffizient
 |
Für den Fall
kann man durch Umformung und
Entwicklung (auf der Basis der binomischen Reihe)
eine Näherung gewinnen
so dass sich für die Halbwertsbreite die genäherte Formel
ergibt (siehe Abb. 4.3.1).
Zurück zum Inhaltsverzeichnis
<Mechanik Details > R. Dreizler C. Lüdde
2008