4.1.1 Funktionen von zwei unabhängigen Veränderlichen
Eine explizite Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen wird in der Form
geschrieben.
Zur Veranschaulichung einer solchen Funktion fasst man
,
,
als
kartesische Koordinaten in einem dreidimensionalen Raum auf. Der
Definitionsbereich der Funktion ist im Allgemeinen ein Gebiet der
-
Ebene. Die Punkte
bilden dann eine räumliche Fläche
über dem Definitionsbereich. Die Menge der
-Werte, die sich anhand
der Zuordnung ergeben, bezeichnet man wieder als Wertebereich (Abb. 4.1).
Abbildung 4.1:
Schaubild einer expliziten Funktion von zwei Veränderlichen
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Einige Beispiele sollen die Möglichkeiten verdeutlichen.
- Der Definitionsbereich der Funktion
ist das Innere des Einheitskreises der
-
Ebene, einschließlich
Rand
. Der Wertebereich der Funktion ist
.
Die Funktion stellt eine Halbkugel dar (Abb. 4.2a).
- Für die Funktion
ist
der Definitionsbereich die gesamte
-
Ebene, der Wertebereich
ist
. Die Funktion beschreibt ein nach oben offenes Drehparaboloid
(Abb. 4.2b).
- Die lineare Gleichung
ist die Gleichung einer Ebene im Raum, die durch den
Nullpunkt verläuft. Der Definitionsbereich ist die gesamte
-
Ebene, der Wertebereich
ist
(Abb. 4.2c).
Abbildung 4.2:
Beispiele für Funktionen von zwei Veränderlichen
 |
Eine Möglichkeit solche Flächen in präziser Weise graphisch darzustellen, ist die in der
Geographie benuzte Darstellung durch Höhenlinien. Die offizielle
Bezeichnung dieser Darstellung ist kotierte Projektion.
Man betrachtet die Schnittkurven der Fläche
mit den Ebenen
const. und zeichnet die Projektion der Schnittlinien in die
-
Ebene. In der Praxis sieht dies folgendermaßen aus:
Bei der Kugelschale sind die Höhenlinien konzentrische Kreis um den Nullpunkt.
Sie haben den Radius
.
Am zweckmäßigsten wählt man äquidistante
-Werte (wie man es von den
Landkarten gewohnt ist (Abb. 4.3)).
Abbildung 4.3:
Kotierte Projektion
 |
Die Höhenlinien in dem zweiten Beispiel sind konzentrische Kreise um den
Nullpunkt mit dem Radius
.
In dem dritten Beispiel sind es die Geraden
.
Ein etwas kompliziertes Beispiel wird durch die Funktion
vorgegeben. Der
Definitionsbereich dieser Funktion ist die gesamte
-
Ebene, außer
dem Koordinatenursprung. Für
ist diese gebrochen rationale
Funktion nicht definiert. Um eine Vorstellung von der entsprechenden
Fläche zu gewinnen, benutzt man zweckmäßigerweise anstelle
von kartesischen Koordinaten
in der
-
Ebene Polarkoordinaten. Es ist dann
Abbildung 4.4:
Die Funktion
 |
Animation der Abbildung 4.4a:
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Dieser Form entnimmt man die Aussagen
- 1.
- Der Wertebereich der Funktion ist
.
- 2.
- Die Höhenlinien der Funktion sind die Geraden
const.
Aus dem Höhenlinienbild (Abb. 4.4b) liest man die folgende Eigenschaft ab.
In beliebiger Nähe des Nullpunktes kann die Funktion alle Werte zwischen
und
annehmen. Die Fläche selbst (Abb. 4.4a) ist nicht so einfach zu zeichnen. Sie
windet sich pro Quadrant von +1 nach -1 (und umgekehrt) unter Aussparung
des Ursprungs.
Bei der expliziten Angabe der Funktion wird jedem Punkt eines Gebietes
der
-
Ebene ein
-Wert zugeordnet. Eine
Verallgemeinerung erreicht man mit der impliziten Funktion (von zwei Veränderlichen)
Beispiele für eine derartige Vorgabe sind:
- Kugelhalbschalen unter und über der
-
Ebene werden durch die
expliziten Funktionen
beschrieben. Die Vollkugel (Abb. 4.5a) würde man in der folgenden Weise darstellen
Diese Gleichung beschreibt Punkte, die sowohl auf der oberen als auch
auf der unteren Schale liegen. Ausmultipliziert erhält man die implizite Form
Mit einer impliziten Funktion kann man mehrdeutige Gebilde (z.B.
geschlossene Flächen) in kompakter Weise darstellen.
- Die implizite Vorgabe
sieht recht kompliziert aus. Nach einer (kurzen)
Betrachtung könnte man jedoch herausfinden, dass der Ausdruck faktorisiert
werden kann
Die `Fläche` besteht aus zwei konzentrischen Vollkugeln mit
den Radien
und
(Abb. 4.5b). Sie ist vier- bzw. zweideutig.
- Die allgemeine Gleichung einer Ebene im Raum
lautet
Ist z.B.
, so kann man leicht zu einer expliziteren Form zurückfinden
Ist auf der anderen Seite z.B.
, so reduziert sich die Vorgabe auf
Auch dieser Ausdruck ist als Darstellung einer Ebene zu interpretieren,
und zwar einer Ebene parallel zur
-
Ebene durch den Punkt
auf
der
-Achse.
Bei einer impliziten Form ist die Rolle der unabhängigen Variablen und der
abhängigen Variablen beliebig vertauschbar. Die Gleichung
würde man nicht unbedingt nach
auflösen,
sondern in der Form
und feststellen, dass es sich um die Beschreibung eines Drehparaboloides
um die
-Achse handelt (Abb. 4.5c).
Abbildung 4.5:
Implizite Funktionen
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< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008