Lösung der Aufgabe 6.3



Abbildung 3: Die Geometrie des Doppelpendels



Für das gefederte Doppelpendel mit den vier Freiheitsgraden ( ) lautet die Lagrangefunktion




Man gewinnt daraus die Bewegungsgleichungen




Sortierung nach den vier Ableitungen zweiter Ordnung liefert dann die (einfacher programmierbaren) Bewegungsgleichungen für das Doppelpendel mit zwei Federn




Möchte man eine der Federn (bzw. beide Federn) durch eine (bzw. zwei) starre Stangen ersetzen, so muss man den Grenzfall in dem ersten Satz von Gleichungen durchführen und nur die Bewegungsgleichungen für die relevanten generalisierten Koordinaten für die weitere Diskussion beibehalten. Man erhält so z.B. für das klassische Doppelpendel mit zwei starren Stangen




In der harmonischen Näherung (kleine Ausschläge) wird es durch die Differentialgleichungen




beschrieben. Lösung dieser linearen Differentialgleichungen ergibt Eigenmoden mit den Frequenzen




die in dem Fall gleicher Massen und gleicher Pendellängen antisymmetrischen und symmetrischen (-) Normalschwingungen entsprechen.

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Aufruf eines Applets




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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008