1.4.1.3 Cauchy-Hauptwerte.

Die Situation, dass eine singuläre Stelle des Integranden im Innenbereich des Integrationsintervalles liegt (siehe Abb. 1.19), behandelt man in ähnlicher Weise.

Abbildung 1.19: Singuläre Stellen im Integrationsintervall

Man spart zunächst ein `kleines Intervall` um die singuläre Stelle aus und betrachtet die entsprechenden Grenzwerte


Es ergeben sich drei Möglichkeiten:
1.
Die beiden Grenzwerte existieren, wenn man und unabhängig voneinander gegen Null gehen lässt. Das uneigentliches Integral ist dann konvergent.
2.
Ein endlicher Grenzwert existiert nur, wenn man setzt und sich dann sozusagen gleichmäßig der singulären Stelle von beiden Seiten nähert


Falls dieser Grenzwert existiert, bezeichnet man ihn als den Cauchy- Hauptwert des uneigentlichen Integrales.
3.
Existiert auch der Cauchy-Hauptwert nicht, so ist das uneigentliche Integral divergent.

Ein Beispiel für ein Integral, das einen Cauchy-Hauptwert besitzt, ist



Abbildung 1.20: Zum Cauchy-Hauptwertintegral

Die zu bestimmende Fläche ist in Abb. 1.20 angedeutet. Die allgemeine Grenzwertbetrachtung erfordert


Die einzelnen Grenzwerte existieren nicht


Betrachtet man jedoch den Fall , so findet man


Der Cauchy-Hauptwert dieses uneigentlichen Integrales existiert.


< Mechanik     Mathematische Ergänzungen >       R. Dreizler   C. Lüdde     2008