Lösung der Aufgabe 5.8



Die Lagrangefunktion


liefert die Bewegungsgleichungen

     
radial:
azimutal:    


Der Winkel ist eine zyklische Koordinate, es gilt Drehimpulserhaltung. Energieerhaltung ist über die Hamiltonfunktion


zu diskutieren. Wie erwartet, stellt sie die Energie dar. Diese ist wegen


eine Erhaltungsgröße. Die Substitution und führt über (Kettenregel)


und


auf die Bewegungsgleichung


Die Lösung dieser inhomogenen Oszillatorgleichung ist


bzw. nach Sortierung


mit


Wählt man das Koordinatensystem so, dass ist, sowie die Anfangsbedingungen und , so erhält man aus dem Energiesatz unter Benutzung der obigen Lösung die Aussage




Das Ergebnis ist also wieder die Kegelschnittgleichung des Keplerproblems.


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008