Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.5
  1. Gib die Relation   zwischen der Radialkoordinate und der Zeit in dem einfachen Keplerproblem an.
  2. Welche Aussagen  ergeben die Anfangsbedingungen für die Erhaltungsgrößen und ?
  3. Der Integrand  kann unter Verwendung der Hyperbelparameter , und umgeschrieben werden. Gib , und für die Hyperbel an und führe die Umschreibung durch.
  4. Welche Substitution  bietet sich an, um das Integral zu vereinfachen? Gibt die Substitution in dem entsprechenden Planetenproblem, das sich durch einen endlichen Abstand des Massenpunktes von dem Zentralkörper auszeichnet, einen Hinweis?
  5. Wie kann der brennpunktbezogene Polarwinkel  durch den Parameter dargestellt werden?
  6. Bestimme die Parameterdarstellung  der kartesischen Koordinaten für die Hyperbel.
  7. Fertige anhand der Parameterdarstellung  eine Skizze der Hyperbeln an. Welche Hyperbeläste entsprechen welchem Parameterbereich? Was gibt das Vorzeichen von an?
  8. Wie unterscheiden sich die Parameterdarstellungen der Keplerhyperbeln  und der Keplerellipsen? Vergleiche den Zeitablauf auf den beiden Kegelschnitten (z.B. durch Tabellierung von und ).



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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































4.5 Antwort zu H1



Ausgangspunkt ist die Gleichung (B4.9), das erste Integral des Energiesatzes (setze )


mit



   Welche Aussagen  ergeben die Anfangsbedingungen für die Erhaltungsgrößen und ?


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4.5 Antwort zu H2



Aus den Anfangsbedingungen erhält man ( ist der Stoßparameter)





   Der Integrand  kann unter Verwendung der Hyperbelparameter , und umgeschrieben werden. Gib , und für die Hyperbel an und führe die Umschreibung durch.


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4.5 Antwort zu H3



Aus (B4.17) und (B4.18) ist bekannt, dass die Konstanten des Keplerproblems und die Parameter der Hyperbel durch


sowie


verknüpft sind. Der Integrand kann mit Hilfe der Größen


     
Schenkelabstand:         
Imaginäre Achse:         
Exzentrizität:         
           


umgeschrieben werden. Man findet





   Welche Substitution  bietet sich an, um das Integral zu vereinfachen? Gibt die Substitution in dem entsprechenden Planetenproblem, das sich durch einen endlichen Abstand des Massenpunktes von dem Zentralkörper auszeichnet, einen Hinweis?


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4.5 Antwort zu H4



Mit der Substitution




geht das Integral über in




Man kann über die Konstante so verfügen, dass der Parameter dem Zeitpunkt entspricht. Es ist dann


Die Parameterdarstellung der Zeitentwicklung auf der Keplerhyperbel lautet somit

(wie?)


























































   Wie kann der brennpunktbezogene Polarwinkel  durch den Parameter dargestellt werden?


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4.5 Antwort zu H5



Für den Polarwinkel (brennpunktbezogen) findet man aus der Hyperbelgleichung




bzw.



   Bestimme die Parameterdarstellung  der kartesischen Koordinaten für die Hyperbel.


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4.5 Antwort zu H6



Für die kartesischen Koordinaten folgt


Zur Angabe der -Koordinate benötigt man


so dass man


erhält. Der Bereich der Variablen ist

   Fertige anhand der Parameterdarstellung  eine Skizze der Hyperbeln an. Welche Hyperbeläste entsprechen welchem Parameterbereich? Was gibt das Vorzeichen von an?


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4.5 Antwort zu H7



In Abb. 1 sind die Zweige der Keplerhyperbeln als Funktion des Parameters dargestellt. Das Vorzeichen von (bzw. ) reguliert die Orientierung der Hyperbel. Das Pluszeichen ergibt eine nach links offene, das Minuszeichen eine nach rechts offene Hyperbel. Die entsprechenden Parameterbereiche und sind farbkodiert.




Abbildung 1: Zweige der Keplerhyperbel für verschiedene Bereiche des Parameters (rot: , grün: , gelb: , cyan: ).


Die Frage der Orientierung wird noch einmal in Abb. 2 angesprochen, in der, für die beiden Kegelschnitte, der Polarwinkel (bzw. ) als Funktion des Parameters aufgetragen ist. Man erkennt z.B., dass bei der nach rechts offenen Hyperbel (mit gekennzeichnet) für kleine -Werte negative -Werte autreten, dann aber der Ast bis zur Asymptote durch positive -Werte charakterisiert wird. Bei der Ellipse erkennt man die periodische Struktur und den Umlaufsinn (wachsendes entspricht fortschreitender Zeit).

Abbildung 2: Vergleich des -Koordinate (bzw. des Polarwinkels in der Form ) für Hyperbel und Ellipse für positives (grün) bzw. negatives (pink) Vorzeichen (Parameter )




   Wie unterscheiden sich die Parameterdarstellungen der Keplerhyperbeln  und der Keplerellipsen? Vergleiche den Zeitablauf auf den beiden Kegelschnitten (z.B. durch Tabellierung von und ).


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4.5 Antwort zu H8



Die Parameterdarstellung der kartesischen Koordinaten für Keplerellipsen ist


Es treten also anstelle der hyberbolischen Funktionen die trigonometrischen Funktionen auf. Dies bedingt die Beschränkung der Kurven auf einen endlichen Raumbereich. Die Parametrisierung der Zeitentwicklung ist


hat also eine andere Struktur. Die Parameterdarstellungen der Radialkoordinate und der Zeit werden für die beiden Keglschnitte in Abb. 3 verglichen. Man erkennt die überlagerte periodische Zeitstruktur (Sonnennähe Perihel und Sonnenferne Aphel) sowie die Begrenzung der Bahn (ebenfalls mit periodischer Struktur) auf einen bestimmten Raumbereich für die Ellipse.




Abbildung 3: Vergleich der Parameterdarstellungen der Größen und für die Hyperbel und die Ellipse (Parameter )






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