5.4 Zwangskräfte entlang einer ebenen Führungsschiene
Bewegungsprobleme entlang einer vorgegebenen Kurven (hier ein Massenpunkt in der
Ebene) kann man mit den Lagrangeschen Gleichungen erster Art behandeln.
Ein erster Schritt ist die Bestimmung der Zwangskraft. Anstatt die (wie in
vielen Fällen nur numerisch zugänglichen) Bewegungsgleichungen zu lösen,
werden in dieser Aufgabe die Zwangskräfte für zwei Führungskurven
analysiert und einige explizite Fragen bezüglich der Wirkung der
Zwangskräfte gestellt.
Aufgabenstellung
Ein Massenpunkt
bewegt sich reibungsfrei in der
-
Ebene
entlang einer Führungsschiene
unter dem Einfluss der einfachen
Schwerkraft
.
- (1)
- Berechne die Zwangskraft
und zeige, dass sie in Richtung des
Normalenvektors zeigt.
- (2)
- Für die Führungskurve (Abb. 1)
soll die Variation der Zwangskraft entlang der Kurve für den Fall, dass
die Masse in der Höhe
startet, berechnet werden. In welchem Punkt
ist die auf die Führungsschiene ausgeübte Kraft maximal? Überlege zunächst
ohne zu rechnen!
Abbildung 1:
Hyperbolische Führungsschiene I
 |
- (3)
- Auf der Führungskurve (Abb. 2)
beginnt der Massenpunkt an der Stelle
mit einer infinitesimalen Anfangsgeschwindigkeit
. An welcher Stelle, mit welcher Geschwindigkeit
und in welcher Richtung verlässt der Massenpunkt die Führungsschiene?
(Die infinitesimale Anfangsgeschwindigkeit dient lediglich dazu, den
Massenpunkt aus der labilen Ausgangslage zu entfernen).
Abbildung 2:
Hyperbolische Führungsschiene II
 |
Werkzeuge:
Deine Antworten:
Fragen
zur schrittweisen Gewinnung der Lösung
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008