Der formale Beweis, der hier nicht ausgeführt wird , ergibt sich, wenn man
die allgemeinen Konvergenzkriterien für Folgen auf die Betrachtung der
Folge von Partialsummen überträgt.
Die komplementäre Aussage, die zuvor benutzt wurde, lautet
Betonen sollte man noch die Bedingung für alle n
N: Eine beliebige,
aber endliche Anzahl von Termen der Reihe
darf größer (im
ersten Fall) bzw. kleiner (im zweiten Fall) sein als die
entsprechenden Terme der Vergleichsreihe.
Es ist nun möglich, für jede vorgegebene Reihe
eine geeignete
Vergleichsreihe zu suchen, deren Konvergenz/Divergenz bekannt ist.
Ökonomischer ist es jedoch, zum Vergleich einige Standardreihen
heranzuziehen, mit deren Hilfe man handlichere Kriterien gewinnen kann.
Eine geeignete Vergleichsreihe ist die geometrische Reihe
Der Beweis des Kriteriums wird folgendermaßen geführt:
Man schreibt die Bedingung des Theorems in der Form
Auch in diesem Fall lautet der Kommentar: Wieder ist nur verlangt, dass alle
Terme mit
(
eine endliche Zahl) die Bedingung erfüllen.
Voraussetzung ist natürlich auch, dass alle Terme mit
endlich
sind.
In ähnlicher Weise kann man das verwandte Quotientenkriterium beweisen. Die Formulierung ist analog, nur ist die Bedingung durch
zu ersetzen.
Die komplementäre Aussage zu dem Majorantenkriterium erlaubt es, entsprechende Kriterien für Divergenz anzugeben
Die Anwendung dieser Kriterien führt jedoch nicht immer zum Ziel.
Sie sind unter Umständen nicht `fein` genug.
Für den Fall der Reihe für die Zahl
findet man mit dem
Quotientenkriterium
Im Fall der harmonischen Reihe (ob alternierend oder nicht) ergibt das
Kriterium
Die Kriterien ergeben somit notwendige Bedingungen für Konvergenz oder Divergenz. Sie stellen jedoch keine hinreichende Bedingung dar. Zu bemerken ist noch: