Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.4
  1. Wie lauten die Lösungen der Bewegungsgleichungen?
  2. Stelle die Geschwindigkeit als Funktion von und den Koordinaten des Endpunktes dar.
  3. Berechne den Minimalwert von .
  4. Eliminiere den Winkel aus der Relation um als Funktion der Koordinaten des Endpunktes auszudrücken.
  5. Wie ist der Auftreffwinkel definiert? Wie hängt der Winkel mit dem Winkel zusammen?
  6. Stelle die Funktion durch die Koordinaten des Endpunktes dar. Man benötigt dazu eine Relation zwischen und diesen Koordinaten.
  7. Berechne die Komponenten und der Endgeschwindigkeit .
  8. Bestimme die Koordinaten des höchsten Punktes.
  9. Berechne die Flugzeit bis zu dem Maximalpunkt .
  10. Fertige eine Skizze der angesprochenen Winkel an. Betrachte den Tangens des Sichtwinkels und stelle einen Zusammenhang zwischen den Winkeln und her.
  11. Beweise die Aussage durch Anwendung der Additionstheoreme für das Komplement von zu .
  12. Berechne die geforderten Zahlenwerte für die Vorgabe



Werkzeuge




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2.4 Antwort zu H1



Es liegen die gleichen Anfangsbedingungen wie in Aufg. 2.3 vor. Aus diesem Grund sind die Lösungen der Bewegungsgleichungen (gegebenenfalls nachrechnen)





   Stelle die Geschwindigkeit als Funktion von und den Koordinaten des Endpunktes dar.


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2.4 Antwort zu H2



Um in der gewünschten Form darzustellen, geht man von den Lösungen der Bewegungsgleichungen zu der Bahngleichung (Elimination der Zeit) über. Aus der Bewegungsgleichung für folgt


Einsetzen in die Bewegungsgleichung für ergibt die Bahngleichung


Diese kann nach aufgelöst


und unter Benutzung von




vereinfacht werden. Die resultierende Gleichung ist für alle Punkte der Bahnkurve gültig, so auch für die Koordinaten des Endpunktes



   Berechne den Minimalwert von .


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2.4 Antwort zu H3



ist minimal, wenn minimal ist. Diese Größe ist minimal, wenn der Nenner maximal ist. Das Maximum des Nenners bestimmt man aus


Daraus folgt die grundlegende Relation zwischen dem Wurfwinkel und den Koordinaten des Zielpunktes


Negative Werte der Tangensfunktion treten in dem Intervall bis (modulo ) auf. Der Winkel liegt dann zwischen den Werten und (d.h. im ersten Quadranten), in Übereinstimmung mit der Vorgabe, dass und positive Größen sind. Um sicherzustellen, dass der gefundene Extremwert ein Maximum ist, muss man die zweite Ableitung des Nenners betrachten




Setzt man das Ergebnis für ein, so folgt


In dem Intervall ist die Funktion negativ. Die Extremalstelle ist ein Maximum des Nenners von , falls ist. Für erhält man , was dem Ergebnis aus Aufg. 2.3 entspricht.

   Eliminiere den Winkel aus der Relation um als Funktion der Koordinaten des Endpunktes auszudrücken.


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2.4 Antwort zu H4



In der Gleichung


treten und auf. Diese Funktionen können mit den unter `Werkzeugen` angegebenen Relationen mit


in Verbindung gebracht werden. So ergibt die Auflösung der Relation


nach


In dem vorliegenden Fall,


ist das negative Vorzeichen zuständig. Es gilt also


Den Term (mit positivem Vorzeichen) berechnet man folgendermaßen


Damit erhält man





Nebenrechnung
Der vorgegebene Punkt wird bei einem Wurfwinkel von


mit einer minimalen Wurfgeschwindigkeit


getroffen. Im Fall erhält man (vergleiche Aufg. 2.3).

   Wie ist der Auftreffwinkel definiert? Wie hängt der Winkel mit dem Winkel zusammen?


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2.4 Antwort zu H5



Der Winkel , unter dem der Massenpunkt den Zielpunkt trifft, ist durch


definiert (Abb. 2).
Abbildung 2: Geschwindigkeitssituation im Zielpunkt


Setzt man hier den Ausdruck für


ein und formt um, so erhält man





   Stelle die Funktion durch die Koordinaten des Endpunktes dar. Man benötigt dazu eine Relation zwischen und diesen Koordinaten.


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2.4 Antwort zu H6



Eine Relation zwischen und gewinnt man aus dem Additionstheorem


Lösung der quadratischen Gleichung für sowie Einsetzen der Koordinaten des Endpunktes ergibt


bzw., da für positiv ist, mit dem positiven Vorzeichen vor der Wurzel



Nebenrechnung

Setzt man dieses Ergebnis (und das Resultat für ) in den Ausdruck für ein, so findet man




Für ist . Der Auftreffwinkel ist dann .

   Berechne die Komponenten und der Endgeschwindigkeit .


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2.4 Antwort zu H7



Die gesuchten Geschwindigkeitskomponenten gewinnt man, indem man von den Definitionen




ausgeht und die schon berechneten Relationen zwischen den Koordinaten des Endpunktes und den trigonometrischen Funktionen (bzw. ) einsetzt. Für die -Komponente der Geschwindigkeit ergibt sich




Für die -Komponente ist die Argumentation dann kürzer





   Bestimme die Koordinaten des höchsten Punktes.


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2.4 Antwort zu H8



Man benutzt die Bahngleichung


und bestimmt deren Extremum


Die Maximalstelle (ist es ein Maximum?) hat die -Koordinate


Benutzt man die Ausdrücke für


und für


so erhält man für


Für , ist, wie in Aufg. 2.3, . Für positive Werte von , liegt der Maximalpunkt näher an dem Zielpunkt als für


(Wäre etwas anderes zu erwarten gewesen?) Die entsprechende -Koordinate


berechnet man am einfachsten mit Hilfe der Relation (siehe oben)


Der Ausdruck vereinfacht sich dann zu


so dass sich nach Einsetzen der erforderlichen Ausdrücke und Sortierung das Resultat


ergibt.

   Berechne die Flugzeit bis zu dem Maximalpunkt .


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2.4 Antwort zu H9



Die Relation , kann in


umgeschrieben werden. Setzt man hier die schon gewonnenen Ergebnisse ein, so erhält man direkt



   Fertige eine Skizze der angesprochenen Winkel an. Betrachte den Tangens des Sichtwinkels und stelle einen Zusammenhang zwischen den Winkeln und her.


Abbildung 3: Die Winkel und


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2.4 Antwort zu H10



Der Winkel , unter dem der Zielpunkt angepeilt wird, ist durch


gegeben (Abb. 3). Mit der Relation


folgt somit die Aussage



   Beweise die Aussage durch Anwendung der Additionstheoreme für das Komplement von zu .


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2.4 Antwort zu H11



Benenne die Winkel zur Abkürzung


(Abb. 4).
Abbildung 4: Winkelgeometrie
Es ist dann


Außerdem gilt (mit dem Additionstheorem für den Tangens)



Nebenrechnung
Benutze die Relation zwischen und


und erhalte




Dies lässt sich mit der Relation


zu


vereinfachen.

Nebenrechnung
Es folgt somit


bzw.


Dies bedeutet: Der Winkel ist gleich der Hälfte des Komplementes des Zielwinkels zu


Um den Punkt zu treffen, muss man den Zielpunkt anpeilen. Hat man durch Peilung bestimmt, so kann man den entsprechenden Wurfwinkel in einfacher Weise berechnen.

   Berechne die geforderten Zahlenwerte für die Vorgabe




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2.4 Antwort zu H12



Es ist nützlich die Zahl


zu notieren. Einsetzen der Koordinaten in die gewonnenen Gleichungen liefert:

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