Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.3
  1. Erstelle eine Skizze zu dem Problem.
  2. Stelle die Bewegungsgleichungen auf und löse diese Differentialgleichungen.
  3. Bestimme die Integrationskonstanten mit Hilfe der angegebenen Anfangsbedingung.
  4. Stelle die Geschwindigkeitskomponenten durch den Winkel dar und setze diese Relation in die Bewegungsgleichungen ein.
  5. Verwende die Koordinaten für die Endposition , um Relationen zwischen und sowie und zu bestimmen.
  6. Wie wird die maximale Höhe der Flugbahn berechnet?
  7. Wie führt man die Elimination der Zeit am geschicktesten durch? Berechne die Koordinaten des höchsten Punktes .
  8. Berechne die Komponenten der Auftreffgeschwindigkeit .
  9. Gesucht ist der maximal mögliche Wert von .
  10. Berechne , und mit .
  11. Berechne die Zahlenwerte von , für die Vorgaben sowie (Vorgabe 1) und (Vorgabe 2) .


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2.3 Antwort zu H1



Abbildung 1: Das freie Wurfproblem

   Stelle die Bewegungsgleichungen auf und löse diese Differentialgleichungen.


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2.3 Antwort zu H2



Die Bewegungsgleichung für die -Komponente lautet


bzw.


und hat die Lösung




Für die -Komponente ergibt sich







   Bestimme die Integrationskonstanten mit Hilfe der angegebenen Anfangsbedingung.


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2.3 Antwort zu H3



Die Anfangsbedingungen für die Position lauten:


Daraus folgt


Außerdem ist der Betrag der Anfangsgeschwindigkeit gegeben.

  Wie kann dieser verwendet werden?





















































ist der Betrag der Anfangsgeschwindigkeit Die Komponenten sind zwar noch unbekannt, aber man kann sie wie folgt verwenden




Die Bewegungsgleichungen für dieses Beispiel sehen demnach wie folgt aus





   Stelle die Geschwindigkeitskomponenten durch den Winkel dar und setze diese Relation in die Bewegungsgleichungen ein.


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2.3 Antwort zu H4



Abbildung 2: Das freie Wurfproblem
Abb. 2 entnimmt man




Demnach gilt:





   Verwende die Koordinaten für die Endposition , um Relationen zwischen und sowie und zu bestimmen.


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2.3 Antwort zu H5



Der Gleichung entnimmt man






und somit


bzw.


(die Lösung bezieht sich auf die Anfangssituation)


Ersetze mit diesem Ausdruck in der Gleichung für und erhalte



   Wie wird die maximale Höhe der Flugbahn berechnet?


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2.3 Antwort zu H6



Der höchste Punkt ist durch


charakterisiert. Um diese Bedingung anzuwenden, benötigt man die Funktion . Diese gewinnt man durch Elimination der Zeit aus der Parameterdarstellung der Bahngleichung.

   Wie führt man die Elimination der Zeit am geschicktesten durch? Berechne die Koordinaten des höchsten Punktes .


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2.3 Antwort zu H7



Löse die Bewegungsgleichung für nach auf




und setze die Auflösung in die Gleichung für ein





Bilde die erste Ableitung und bestimme deren Nullstellen:






Der höchste Punkt wird bei der Hälfte der Flugstrecke erreicht. Die maximale Flughöhe selbst ist





Hier geht es weiter    Gibt es eine alternative Möglichkeit, die gestellte Frage zu beantworten?





















































Da die Zeit und die -Koordinate durch eine lineare Relation verknüpft sind ( ), folgt aus auch . Die gesuchte Antwort kann in diesem Fall einfacher gewonnen werden:


ergibt die Flugzeit bis zu dem Maximalpunkt zu


und somit



   Berechne die Komponenten der Auftreffgeschwindigkeit .


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2.3 Antwort zu H8



Die Endgeschwindigkeit ergibt sich durch Einsetzen von in die Formeln für die Geschwindigkeit


Es ist


(unabhängig von ) und

Aus


folgt



   Gesucht ist der maximal mögliche Wert von .


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2.3 Antwort zu H9



Wie berechnet, ist


Da und Konstanten sind, wird das Maximum durch den Sinus bestimmt. Die Größe kann maximal den Wert annehmen


für


Für alle Werte von gilt


bzw.


Die maximale Weite, die bei vorgegebenem erreicht werden kann, ist also


der optimale Wurfwinkel ist .

   Berechne , und mit .


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2.3 Antwort zu H10





Wegen ist


Die Komponenten der Endgeschwindigkeit sind





   Berechne die Zahlenwerte für die Vorgabe und Berechne auch für die Vorgabe (Vorgabe 1) . Wiederhole die Berechnung der Zahlenwerte für die Vorgabe und (Vorgabe 2) .


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2.3 Antwort zu H11 (1)



Gegeben:


     
Schwerkraft mit



(a)




(b)




(c)









(d)









   Berechne die geforderten Zahlenwerte von für die Vorgabe und (Vorgabe 2) .


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2.3 Antwort zu H11 (2)



Die Berechnung der halben Wurfweite gemäß Teil (1)

ergibt

und zeigt sofort, dass die hier geforderte Wurfweite von nicht erreicht werden kann.



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