Detail 6.7

Starre Körper: Übergang von den Lagrangegleichungen zu den Eulergleichungen der Drehbewegung

Gesucht werden geeignete Linearkombinationen der Gleichungen (B6.146), (B6.147) und (B6.148), die Gleichungen der Form
ergeben. Es ist sinnvoll, zunächst die Ableitungen der Drehgeschwindigkeitskomponenten (B6.140) zu berechnen, um einen Ansatz für eine geeignete Linearkombination zu gewinnen

 
(6.7.1)
     
 

Die gesuchte Gleichung mit muss (wegen Gleichung 1 aus (6.7.1)) einen Term bzw. die Gleichung mit einen Term enthalten. Daraus ergibt sich der Ansatz für die Linearkombination der drei Bewegungsgleichungen (BWGL) (B6.146) - (B6.148)

(6.7.2)
   
(6.7.3)
  .  

Man sucht eine Linearkombination der Terme in , so dass sich die angegebenen Faktoren der -Terme von bzw. ergeben. Gleichung (6.7.2) liefert
woraus, wegen der Unabhängigkeit der Hauptachsenträgheitsmomente, das Gleichungssystem
gewonnen werden kann. Die Lösung dieses linearen, inhomogenen Gleichungssystems ist


Für die Eulergleichung in findet man entsprechend das Gleichungssystem
mit der Lösung
Es ist dann (in mühseliger Kleinarbeit) noch zu überprüfen, dass die Kombination der drei Bewegungsgleichungen in den Eulerwinkeln mit den so bestimmten Koeffizienten Term für Term den Aussagen
entsprechen. Man benutzt dazu die Produkte
Die Drehmomente und in (B6.149) und (B6.150) geben die berechneten Linearkombinationen direkt wieder.


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<Mechanik   Details >  R. Dreizler C. Lüdde     2008