Die explizite Berechnung des Integrals aus Aufgabe 5.7

Die Auswertung des Integrals


folgt den Standardschritten für die Berechnung von Integralen mit einem Integranden der Form . Als erstes macht man die Substitution und erhält


Die Substitution


führt dann auf ein Integral der Form

  

























































Nebenrechnung
Die im nächsten Schritt anstehende Partialbruchzerlegung wird vereinfacht, wenn man die Umformung




benutzt. Es ist dann


mit




Das Integral


kann mit der quadratischen Ergänzung


und der Substitution


auf das Grundintegral für den Arcustangens zurückgeführt werden


In dem zweiten Integral


wird der Zähler in der Form


umgeschrieben.




Das Integral kann mit der Substitution


direkt integriert werden.

  























































Für das Integral


ist eine Reduktionsformel auf der Basis der Aussage




notwendig. Man erhält damit

  
























































wobei das noch verbleibende Integral dem Integral entspricht. Das Endergebnis lautet somit




Macht man hier die Substitutionen rückgängig ( ), so erhält man





Nebenrechnung
Dies unterscheidet sich von dem Ergebnis der Integraltafel nur um die Konstante


die natürlich in die allgemeine Integrationskonstante des unbestimmten Integrals eingearbeitet werden kann.

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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008





















































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