Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.5
-
Wähle
geeignete Koordinatensysteme
und stelle die Bewegungsgleichungen
eines Massenpunktes in dem rotierenden Koordinatensystem
für die Teilaufgaben A und B auf.
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Gib die
allgemeine Lösung
dieses Satzes von Differentialgleichungen
für den Fall A an.
-
Gib die
spezielle Lösung
im Fall A für die genannten Anfangsbedingungen an.
-
Bestimme den
Bewegungsablauf
im Fall A aus der Sicht eines Inertialsystems.
-
Löse die
Bewegungsgleichungen
im Fall B im rotierenden System (am einfachsten direkt, also
ohne Rückgriff auf Aufg. 6.4).
-
Bestimme für den
Fall B die Lösungen
und
aus der Sicht
eines Inertialsystems.
-
Diskutiere und vergleiche die
Bewegungsabläufe
in den beiden Fällen
aus der Sicht eines Inertialsystems.
-
Diskutiere und vergleiche die
Bewegungsabläufe
in den beiden Fällen
aus der Sicht des rotierenden Systems.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
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6.5 Antwort zu H1
Das rotierende Koordinatensystem (
) wird so gewählt, dass die
-Achse
mit der Drehachse zusammenfällt. Zum Zeitpunkt
sind das
rotierende und das Inertialsystem (
) deckungsgleich (Abb. 1).
Abbildung 1:
Wahl der Koordinatensysteme
|
Die Bewegungsgleichungen im rotierenden System sind allgemein (mit
)
Die Rotationsgeschwindigkeit der Erde
ist sehr klein
und kann im Vergleich zu `normalen Rotationsgeschwindigkeiten`
vernachlässigt werden.
Mit den Vektoren (entsprechend der Wahl des rotierenden
Koordinatensystems)
erhält man über
die Bewegungsgleichungen für den Fall A (vergleiche (B6.74), (B6.75))
Im Fall B gilt per Vorgabe
Dies entspricht den Gleichungen (B6.83) mit
, doch kann
bei einer schnelleren Drehung des Springbrunnens die Zentrifugalwirkung
eigentlich nicht vernachlässigt werden.
Gib die
allgemeine Lösung
dieses Satzes von Differentialgleichungen
für den Fall A an.
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6.5 Antwort zu H2
Die Lösungen der gekoppelten Differentialgleichungen für die
Koordinaten
und
wurden in Kap 6.2.2 aufbereitet.
Elimination der Koordinate
führt auf eine lineare Differentialgleichung
vierter Ordnung für die Koordinate
Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist
Die Zeitabhängigkeit der Koordinate
kann mit der Relation
berechnet werden.
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung für
ist
Gib die
spezielle Lösung
im Fall A für die genannten Anfangsbedingungen an.
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6.5 Antwort zu H3
Die Anfangsbedingungen sind
Zur Bestimmung der vier Integrationskonstanten
benötigt man
und
. Aussagen über die zweite und die dritte
Ableitung gewinnt man aus der Bewegungsgleichung für
, deren
Zeitableitung und den Anfangsbedingungen für
und
Um das lineare Gleichungssystem zur Bestimmung der Integrationskonstanten
aufzustellen, muss man die Lösung
dreimal differenzieren
und die Bedingungen zur Zeit
einsetzen
Kombination der Gleichungen Nr. 2 und 4 ergibt
. Aus Gleichung
Nr. 1 folgt dann
Die verbleibenden Gleichungen
haben die Lösungen
Setzt man diese Resultate in den Ausdruck für
ein und fasst
die Exponentialfunktionen zu trigonometrischen Funktionen zusammen, so
erhält man
Zur Angabe der speziellen Lösung für
benötigt man die
Ableitungen
Die schon benannte Relation
ergibt dann
Für die Koordinate
findet man mit den vorgegebenen
Anfangsbedingungen
Bezüglich der
-Richtung liegt ein Standardfallproblem vor.
Die Bewegung in der
-Richtung (
im Fall
)
wird, aus der Sicht des rotierenden Systems, durch die Drehung modifiziert.
In der
-Richtung tritt eine `Abweichung` auf.
Bestimme den
Bewegungsablauf
im Fall A aus der Sicht eines Inertialsystems.
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6.5 Antwort zu H4
Die Zeitabhängigkeit der Koordinaten
und
kann entweder
durch Lösung der Bewegungsgleichungen
mit den Anfangsbedingungen
oder durch Anwendung der Transformation
bestimmt werden. Man erhält das erwartete Resultat für eine uniforme
Bewegung
Aus der Sicht des Inertialsystems liegt eine Anfangsgeschwindigkeit in der
-Richtung vor.
Löse die
Bewegungsgleichungen
im Fall B im rotierenden System (am einfachsten direkt, also
ohne Rückgriff auf Aufg. 6.4).
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6.5 Antwort zu H5
Die Bewegungsgleichung für die Koordinate
ist unverändert und
muss nicht weiter diskutiert werden. Aus den Differentialgleichungen
kann
eliminiert werden (differenziere und ersetze). Die
lineare Differentialgleichung dritter Ordnung
hat die allgemeine Lösung
Die Koordinate
kann aus der Relation
per Einsetzen auf der rechten Seite und direkte Integration bestimmt
werden.
Zur Bestimmung der Integrationskonstanten
benötigt man
die erste und zweite Ableitung von
und die Anfangsbedingungen.
Mit der Bewegungsgleichung
und
erhält man zur Bestimmung der Konstanten das lineare
Gleichungssystem
Die Lösung
ergibt
Integration von
liefert dann
Die Koordinate
oszilliert zwischen den Werten
und
mit der Frequenz
, die Koordinate
mit der gleichen Frequenz zwischen den Werten
und
.
Bestimme für den
Fall B die Lösungen
und
aus der Sicht
eines Inertialsystems.
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6.5 Antwort zu H6
Benutzt man, wie für den Fall A, die Transformation
so findet man im Fall B, nach Auflösung der trigonometrischen Funktionen
mit dem Argument
, die Aussagen
Auch die Koordinaten in den
- und
-Richtungen zeigen ein
oszillatorisches Verhalten. Um dieses Verhalten zu verstehen, muss man die
Differentialgleichungen
betrachten, die der kräftefreien Bewegung, korrigiert um die bei der
Diskussion im rotierenden System unterdrückten Zentrifugalwirkung,
entsprechen. Die Lösung dieser (harmonischen) Oszillatorgleichung
mit den Anfangsbedingungen
sind in der Tat
Zu bemerken ist noch:
Die Tatsache, dass die Komponenten der Zentrifugalkraft im Inertialsystem
durch die Ersetzung
und den Vorzeichenwechsel
gewonnen werden können, beruht auf der Koinzidenz beider
-Achsen
mit der Drehachse.
Diskutiere und vergleiche die
Bewegungsabläufe
in den beiden Fällen
aus der Sicht eines Inertialsystems.
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6.5 Antwort zu H7
Die Flugzeit des Massenpunktes (eines `Tropfens` in dem Strahl)
beträgt
. Die Projektion der Bewegung in der
-
Ebene aus
der Sicht eines Inertialsystems (wie oben gewählt) kann
folgendermaßen charakterisiert werden:
- Fall A: Der Massenpunkt bewegt sich uniform auf einer Geraden, die den
Anfangspunkt
und den Punkt
verbindet
(während er beschleunigt steigt und fällt). Die Gerade wird durch
die Gleichung
beschrieben. Die Endpunkte der Bewegung in dieser Ebene sind
(siehe Abb 2a)
- Fall B: Der Massenpunkt bewegt sich auf einer Ellipse, deren Mittelpunkt
der Drehpunkt ist. Sie hat die Achsenabschnitte
Die Hauptachsen sind um den Winkel
bzw.
gegen die
-Achse
gedreht (siehe Abb 2b).
Der Fall A gibt die Bewegung der Massenpunkte korrekt wieder,
solange die Drehgeschwindigkeit
groß im Vergleich zu der
Rotationsgeschwindigkeit der Erde ist. Um den Wasserstrahl zu modellieren,
muss man jedoch berücksichtigen, dass der nachfolgende `Wassertropfen` eine andere Ausgangsposition und somit einen anderen Auftreffpunkt hat
(siehe Abb. 2a). In der
- und der
-
Richtung greifen aus der Sicht des Inertialsystems keine Kräfte an.
Die Bewegung entspricht dem Wurf unter dem Einfluss der einfachen
Schwerkraft. Die Rotation der Scheibe äußert sich in einer
Anfangsgeschwindigkeit
.
Abbildung 2:
Bewegung aus der Sicht des Inertialsystems
 |
Im Fall B erhält man nur eine konsistente Aussage in Bezug auf
Transformationsgleichungen und Bewegungsgleichungen, wenn man in den
Bewegungsgleichungen eine negative Zentrifugalkraft
als effektive Kraft im Inertialsystem berücksichtigt. Die negative
Zentrifugalkraft wirkt dann wie eine Zentripetalkraft und hält die
Massenpunkte (sprich Wassertropfen) in der Nähe des Drehzentrums.
Diskutiere und vergleiche die
Bewegungsabläufe
in den beiden Fällen
aus der Sicht des rotierenden Systems.
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6.5 Antwort zu H8
Aus der Sicht des rotierenden Systems ergeben sich die Aussagen, die in
den folgenden Abbildungen illustriert werden. Sie beziehen sich auf negative
Werte von
(Anfangsbewegung nach innen)
und positive Werte von
.
Nicht illustriert wurde die Variation mit den Vorzeichen von
(anfängliche Bewegung nach außen) und
(Umkehrung des
Drehsinnes). Den Resultaten (überprüfe selbst) entnimmt man die Aussagen:
- Fall A: Aus der Sicht des Inertialsystems bedingen positive Werte
von
einen Endpunkt in der oberen, negative Werte eine Endpunkt
in der unteren
-
Halbebene. Negative
Werte führen
zu einer Verringerung der
-Koordinate des Endpunktes, positive Werte
entsprechend zu einer Vergrößerung. Aus der Sicht des rotierenden
Systems wird die Spirale (bei anfänglicher Bewegung in die untere
-
Halbebene) für positive Werte von
(unabhängig
vom Vorzeichen von
) im Uhrzeigersinn, ansonsten gegen den Uhrzeigersinn
durchlaufen.
- Fall B: Die große Halbachse der Ellipsenbahn ist aus der Sicht des
Inertialsystems um einen positiven Winkel gedreht, falls
und
das gleiche Vorzeichen haben, sie ist um einen negativen Winkel gedreht
bei ungleichen Vorzeichen. Der Umlaufsinn ist positiv für positive
-Werte,
negativ im anderen Fall. Die Kreisbahn aus der Sicht des rotierenden Systems
wird jedoch im positiven Sinn für negative und im negativen
Sinn für positive
-Werte durchlaufen. Das Zentrum des Kreises liegt in der
unteren
-
Halbebene wenn die Vorzeichen von
und
gleich sind, ansonsten in der oberen Halbebene.
Animation der Bahnkurven eines Massenpunktes in dem
`Springbrunnenproblem` aus der Sicht des rotierenden und des Inertialsystems.
Gezeigt werden in allen Filmen die Folge von vollständigen Bahnen eines
`Wassertropfens` als Funktion der Drehgeschwindigkeit
.
Dies entspricht nicht der Form der wirklichen Wasserstrahlen.
Um diese zu berechnen, müsste man für einen
-Wert die zeitliche
Abfolge der Bewegung von vielen `Wassertropfens` mit versetzten Anfangspositionen
aufzeichnen.
(Die Animationen sind hier auch getrennt für den
Fall A
und den
Fall B
aufzurufen.)
Aufruf
eines Applets zum Spielen...
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