5.14 Chaos oder nicht
Das getriebene mathematische Pendel mit Stokescher Reibung ist ein System,
für das bei bestimmten Werten der Kontrollparameter ein chaotisches
Verhalten auftritt (vergleiche Kap. 5.4.3). In dieser Aufgabe können anhand
eines Applets die verschiedenen Bahnkurven dieses Pendels (regulär als
auch chaotisch) in der Phasenraumdarstellung und im Poincaréschnitt
beobachtet werden.
Aufgabenstellung
Die Differentialgleichung eines getriebenen mathematischen Pendels mit Stokescher
Reibung (Notation
) lautet
Die Lösungen dieser Differentialgleichung sollen für Anfangsbedingungen mit
und
anhand des bereitgestellten Applets untersucht
werden. Einstellbar sind die Parameter
(Stärke der Reibung),
und
(Stärke und Frequenz der angreifenden Kraft).
Betrachte und diskutiere die Phasenraumdarstellung und, im Fall des getriebenen Pendels,
den Poincaréschnitt (Geduld!) für
- das freie mathematische Pendel (
),
- das gedämpfte mathematische Pendel (
) bei schwacher und bei starker
Reibung,
- das getriebene, freie mathematische Pendel (
) bei variabler Stärke und
Frequenz der Anregung,
- das getriebene, gedämpfte mathematische Pendel bei variabler Stärke und
Frequenz der Anregung sowie starker und schwacher Dämpfung.
Vergleiche die Charakteristika der Pendelbewegung mit der Bewegung eines
harmonischen Pendels (
), insbesondere auch als Funktion
der anfänglichen Auslenkung
.
Versuche in den letzten zwei Fällen chaotische und nichtchaotische Bereiche
der Parameter einzustellen. Diskutiere Kriterien zur Erkennung von chaotischem
Verhalten.
Aufruf des Applets
Anregungen
zur Diskussion des Applets
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008