1.3.4.1 Zur Konvergenz von Fourierreihen.
Vor der Detaildiskussion, z.B. der Berechnung der Entwicklungskoeffizienten einer
vorgegebenen periodischen Funktion
, ist zunächst wieder die Frage der
Konvergenz der Reihen zu betrachten. Man kann im ersten Schritt versuchen, die
periodische Funktion durch Partialsummen
mit
zu approximieren. Das folgende Argument zeigt, dass eine Näherung mit
wobei
die vorgegebene periodische Funktion darstellt,
diese periodische Funktion im Mittel am besten approximiert. Approximation
im Mittel bedeutet Minimierung des mittleren Fehlerquadrates
Hier ist die Fourierdarstellung von
einzusetzen.
Zur Berechnung dieses Integrales benötigt man die `
Orthogonalitätsrelationen` der
trigonometrischen Funktionen.
Diese lauten
sowie
Man erhält diese Relationen durch
- die Substitution
mit
und den Grenzen
und
, sowie
- Umformung der Integranden mit Hilfe der Additionstheoreme wie z.B.
- und den Grundintegralen (
ganzzahlig)
Die Auswertung des mittleren Fehlerquadrates ergibt
also einen Ausdruck, der offensichtlich minimal ist, wenn die letzten
drei positiven Terme verschwinden, also wenn
und
für
ist. Eine Partialsumme
mit den
Koeffizienten
und
, zu berechnen gemäß den oben angegebenen
Integralen, approximiert für jeden Wert von
die
vorgegebene periodische Funktion
im Mittel am besten. Da das
mittlere Fehlerquadrat per Definition positiv definit ist, folgt aus der
obigen Argumentation die Ungleichung
 |
(1) |
die als die Besselsche Ungleichung
bekannt ist. Falls
ist, ist diese Ungleichung auch für
gültig.
Der Übergang von den Partialsummen
zu der Fourierreihe
mittels
, wobei die Koeffizienten durch
gegeben sind, erfordert eine aufwendigere Diskussion. Es muss gezeigt
werden, dass die Funktion in dem Grundintervall
absolut und gleichmäßig konvergiert.
Nur dann kann man die Koeffizienten der Reihe durch die angedeutete
gliedweise Integration berechnen.
Gleichmäßige Konvergenz beinhaltet, in der Sprache der Epsilontik,
dass es zu jedem
eine Partialsumme
gibt, so dass
für alle
ist.
Unter dieser Voraussetzung stellt die Fourierreihe in allen (endlich vielen)
Stetigkeitsbereichen die Funktion dar. Liegt an der Stelle
eine
Sprungstelle vor, so ergibt die Reihe den Wert
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008