5.1 Vektorfelder
Mit dem Begriff des Vektorfeldes ist eine Fülle von Möglichkeiten
angesprochen. Einige Beispiele aus der Physik und Mathematik sind:
- 1.
- Der Ortsvektor eines Massenpunktes
entspricht drei Funktionen von einer Veränderlichen, die die
Parameterdarstellung einer Kurve im Raum ergeben.
- 2.
- Kraftfelder, wie z.B. die Gravitationswirkung auf eine
Probemasse
werden durch drei Funktionen von drei Veränderlichen dargestellt. Zur
Veranschaulichung dient hier die Zuordnung von Vektorpfeilen zu jedem Punkt
eines Gebietes im
.
- 3.
- Ein Satz von drei Funktionen von zwei Veränderlichen
Man kann ein solches Vektorfeld als die Parameterdarstellung einer
Fläche im Raum interpretieren. Explizite Beispiele sind z.B.
Kugelflächen und Tori:
Bei der Parameterdarstellung
fährt der Endpunkt des Vektors
die Oberfläche einer Kugel ab,
wenn
und
in den angegebenen Grenzen variieren.
Ein Torus wird durch die Angaben
beschrieben. Betrachtet man zuerst die Situation in der (rechten)
-
Ebene, so
findet man wegen
die Parameterdarstellung eines Kreises um den Punkt
(Abb. 5.1a). Dieser
Kreis wird dann
um die
-Achse gedreht und
ergibt die Ringfläche (Abb. 5.1b).
Abbildung 5.1:
Ein Torus
 |
In der physikalischen Anwendung spielen die Fälle
aus offensichtlichen Gründen eine besondere Rolle. Die weitere Diskussion wird
sich deswegen in der Hauptsache auf diese Fälle konzentrieren.
Die Aufgabe, der man sich in der Vektoranalysis stellen muss, ist die
Übertragung der verschiedenen Grenzwertbetrachtungen (Differentiation
und Integration) von dem Fall von Skalarfeldern auf den Fall von
Vektorfeldern.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008