Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.9
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Wie wird der
Positionsvektor
in ebenen Polarkoordinaten dargestellt?
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Berechne den
Geschwindigkeitsvektor
in ebenen Polarkoordinaten.
Berechne die nötigen Einzelgrößen und setze
daraus zusammen.
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Das Muster wiederholt sich bei der Berechnung des
Beschleunigungsvektors
in der Darstellung durch ebene
Polarkoordinaten. Führe diese Rechnung aus.
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Berechne den
Geschwindigkeitsvektor
in der kartesischen Zerlegung.
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Gibt es eine
alternative Möglichkeit?
Berechne auch den Beschleunigungsvektor.
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Wie lautet die
Transformationsgleichung
zwischen dem kartesischen Koordinatenzweibein
und dem Koordinatenzweibein der Polarkoordinaten?
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Benutze die Transformation zwischen den kartesischen Basisvektoren und den Basisvektoren
der Polarkoordinaten, um die
kartesische Zerlegung der drei kinematischen Vektoren
,
und
in eine Zerlegung nach den Basisvektoren
der Polarkoordinaten umzuschreiben.
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Für welche Zeiten ist die
Geschwindigkeit maximal/minimal?
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Wie ändert sich die
Flächengeschwindigkeit
mit der Zeit?
Werkzeuge
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
2.9 Antwort zu H
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2.9 Antwort zu H1
Die Definition des Positionsvektors
in ebenen Polarkoordinaten
lautet
Berechne den
Geschwindigkeitsvektor
in ebenen Polarkoordinaten.
Berechne die nötigen Einzelgrößen und setze
daraus zusammen.
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2.9 Antwort zu H2
Zur Berechnung des Geschwindigkeitsvektors
(die Zeitabhängigkeit wird im Folgenden nicht immer explizit
ausgeschrieben) benötigt man die Größen
und
. Mit der Vorgabe ist
und
Setzt man diese Zutaten zusammen, so erhält man
Das Muster wiederholt sich bei der Berechnung des
Beschleunigungsvektors
in der Darstellung durch ebene
Polarkoordinaten. Führe diese Rechnung aus.
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2.9 Antwort zu H3
Die Beschleunigung ist
Man benötigt die zweiten Ableitungen von
und
.
Mit diesen Größen erhält man das Zwischenergebnis
Die Komponente der Beschleunigung proportional zu
verschwindet, es liegt also eine Radialbeschleunigung vor.
Um diesen Term weiter zu bearbeiten,
bringt man die einzelnen Beiträge auf einen gemeinsamen Nenner (wobei
der Faktor
im Zähler ausgeschrieben wird)
Man sammelt nun die Faktoren von
,
und
Hier erkennt man das zugrunde liegende zweidimensionale Oszillatorproblem
(harmonisch).
Berechne den
Geschwindigkeitsvektor
in der kartesischen Zerlegung.
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2.9 Antwort zu H4
Der Geschwindigkeitsvektor ist
Die Ableitungen der kartesischen Komponenten
können über
berechnet werden, wobei die oben angegebenen Ausdrücke für
und
einzusetzen sind.
Gibt es eine
alternative Möglichkeit?
Berechne auch den Beschleunigungsvektor.
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2.9 Antwort zu H5
Ja, man berechnet zuerst die explizite Zeitabhängigkeit der kartesischen Koordinaten
(mit den vorgegebenen Umschreibungen der
-Funktion):
und
Man hätte diese Relationen auch direkt aus den Vorgaben ablesen können:
und
Die Berechnung von
und
in der
kartesischen Darstellung, beginnend mit
ergibt dann
Wie lautet die
Transformationsgleichung
zwischen dem kartesischen Koordinatenzweibein
und dem Koordinatenzweibein der Polarkoordinaten?
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2.9 Antwort zu H6
Die Transformationsgleichung ist
deren Umkehrung
(vergleiche (B2.52) und (B2.53)).
Benutze die Transformation zwischen den kartesischen Basisvektoren und den Basisvektoren
der Polarkoordinaten, um die
kartesische Zerlegung der drei kinematischen Vektoren
,
und
in eine Zerlegung nach den Basisvektoren
der Polarkoordinaten umzuschreiben.
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2.9 Antwort zu H7
Die Transformation zwischen den beiden Zerlegungen der drei Vektoren
erfordert die Anwendung der Transformationsgleichungen
und die Relationen
Man berechnet dann
Die Umrechnung von
unterscheidet sich von der Umrechnung von
nur durch den zusätzlichen Faktor
.
Für welche Zeiten ist die
Geschwindigkeit maximal/minimal?
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2.9 Antwort zu H8
Der Betrag der Geschwindigkeit ist
Um die Extremwerte der Geschwindigkeit zu berechnen, werden die Nullstellen
der ersten Ableitung von
gesucht
Nur der Zähler kann Null werden, es folgt demnach
Mit Hilfe der zweiten Ableitung wird entschieden, ob
ein Minimum oder Maximum vorliegt
Maximalwerte der Geschwindigkeit werden für
erreicht. Minimalwerte liegen für
vor. Die Maximalwerte entsprechen Punkten, die näher an dem
Koordinatenursprung liegen.
Wie ändert sich die
Flächengeschwindigkeit
mit der Zeit?
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2.9 Antwort zu H9
Die Flächengeschwindigkeit ist gemäß der Formel
zu berechnen.
Die Flächengeschwindigkeit ist zeitlich konstant, wie es für ein Problem
mit Zentralbeschleunigung zu erwarten ist.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
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