Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.3
-
Wähle geeignete
generalisierte Koordinaten
zur Charakterisierung
der Bewegung des gefederten Doppelpendels in der Ebene.
-
Bestimme die
Transformationsgleichung
zwischen den kartesischen
Koordinaten der beiden Massen und den generalisierten Koordinaten.
Berechne den Zusammenhang zwischen den kartesischen Geschwindigkeiten
und den generalisierten Geschwindigkeiten.
-
Stelle die
kinetische Energie
durch die generalisierten Koordinaten und
Geschwindigkeiten dar.
-
Betrachte die
potentielle Energie.
Stelle sie durch die generalisierten
Koordinaten dar.
-
Berechne die
Ableitungen
der Lagrangefunktion, die zur Aufstellung der
Bewegungsgleichungen notwendig sind.
-
Leite die vier
Bewegungsgleichungen
nach dem Standardmuster
her. Kommentiere.
-
Sortiere die
Lagrange Bewegungsgleichungen
durch Lösung eines Systems
von linearen Gleichungen, in denen die zweiten Ableitungen der vier
Variablen die Rolle der Unbekannten spielen. Die Terme, in denen keine
zweiten Ableitungen auftreten, stellen die inhomogenen Terme dar.
-
Betrachte die Bewegungsgleichungen z.B.
in dem Grenzfall
ersetze also die Federn durch starre Stangen. Kommentiere das Ergebnis.
-
Berechne die Bewegungsgleichungen für das
klassische Doppelpendel
mit
starren Stangen im Fall kleiner Auslenkungen (harmonische Näherung).
-
Bestimme die
Eigenfrequenzen
des linearen klassischen Doppelpendels mittels
der ersten Schritte zur Lösung der linearisierten Differentialgleichung.
-
Betrachte die Eigenfrequenzen und
Normalkoordinaten
des linearisierten Problems
für das Beispiel gleicher Massen
und gleicher Pendellänge
.
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2008
6.3 Antwort zu H1
Wie bei vielen Pendelproblemen benutzt man am besten den Auslenkwinkel
und die Pendellänge (hier variabel) als generalisierte Koordinaten.
Bestimme die
Transformationsgleichung
zwischen den kartesischen
Koordinaten der beiden Massen und den generalisierten Koordinaten.
Berechne den Zusammenhang zwischen den kartesischen Geschwindigkeiten
und den generalisierten Geschwindigkeiten.
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6.3 Antwort zu H2
Wählt man das kartesische Koordinatensystem wie in
Abb. 2
angedeutet, so kann man die Positionen der beiden Massen wie folgt
ablesen.
Abbildung 2:
Die Geometrie des Doppelpendels
|
Für die erste Masse gilt
für die zweite Masse
Hier deutet sich schon die Verkopplung der Bewegungen an. Für die
Ableitungen erhält man
wobei eine kleine Abkürzung eingeführt wurde.
Stelle die
kinetische Energie
durch die generalisierten Koordinaten und
Geschwindigkeiten dar.
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6.3 Antwort zu H3
Die kinetische Energie
entspricht mit den obigen Abkürzungen
Auswertung der einzelnen Beiträge ergibt
sowie
Die Zusammenfassung lässt sich mit dem Differenzwinkel
vereinfachen. Das Resultat ist
Betrachte die
potentielle Energie.
Stelle sie durch die generalisierten
Koordinaten dar.
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6.3 Antwort zu H4
Bezeichne die Längen der nicht ausgelenkten Federn mit
und
.
Die potentielle Energie setzt sich aus zwei Beiträgen zusammen. Die
potentielle Energie
aufgrund der Rückstellkraft (nach dem Hookeschen
Gesetz) ist
die potentielle Energie der Gravitation
(mit dem Aufhängepunkt der
oberen Feder, hier die Position der
-Achse, als Referenzpunkt und der angegebenen Richtung
der x-Achse)
Berechne die
Ableitungen
der Lagrangefunktion, die zur Aufstellung der
Bewegungsgleichungen notwendig sind.
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6.3 Antwort zu H5
Man benötigt die Ableitungen der Lagrangefunktion
nach den generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten. Diese sind
Leite die vier
Bewegungsgleichungen
nach dem Standardmuster
her. Kommentiere.
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6.3 Antwort zu H6
Die Ergebnisse dieser mit einiger Schreibarbeit verbundenen Rechnung sind:
Die Bewegungsgleichungen zeichnen sich durch eine merkliche Symmetrie aus.
Ein Unterschied ergibt sich durch eine verschiedene Gewichtung mit den
Massen und in einigen Vorzeichen. Auch hier zeigt sich die starke Kopplung
der Bewegung der beiden Massenpunkte. Zwecks (numerischer) Lösung ist
jedoch eine weitere Aufbereitung notwendig. Isoliere die einzelnen
Ableitungen zweiter Ordnung, so dass die Bewegungsgleichungen die Form
haben.
Sortiere die
Lagrange Bewegungsgleichungen
durch Lösung eines Systems
von linearen Gleichungen, in denen die zweiten Ableitungen der vier
Variablen die Rolle der Unbekannten spielen. Die Terme, in denen keine
zweiten Ableitungen auftreten, stellen die inhomogenen Terme dar.
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6.3 Antwort zu H7
Auch zur Bewältigung dieses Schrittes ist ein gewisser Schreibaufwand
und geschickte Organisation erforderlich. Als Methoden bieten sich die
Anwendung von Cramer's Regel (da
Determinanten
auszuwerten sind, vielleicht nicht der geschickteste Zugang) und die
Umformung des Gleichungssystems auf eine Dreiecksform (durch Kombination
von Zeilen) an. Das Ergebnis der länglichen Sortierung ist:
Überprüfe diese Ergebnisse durch Einsetzen in die
Ausgangsgleichungen.
Betrachte die Bewegungsgleichungen z.B.
in dem Grenzfall
ersetze also die Federn durch starre Stangen. Kommentiere das Ergebnis.
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6.3 Antwort zu H8
In dem Grenzfall erhält man die Gleichungen
Diese Gleichungen sind (offensichtlich) nicht korrekt. Die Aussage ist
somit: Man darf, im Einklang mit den Zwangsbedingungen, nur die
Bewegungsgleichungen betrachten, die wirklichen, generalisierten
Koordinaten entsprechen. Ist z.B.
, so müssten die partiellen
Ableitungen
in dem Grenzfall verschwinden, tun es aber nicht. Die inkorrekte
Bewegungsgleichung für
wird aber bei der Sortierung benutzt und
bedingt somit einen falschen Satz von Bewegungsgleichungen, wenn man den
Grenzfall nach der Sortierung durchführt.
Eine korrekte Behandlung des genannten Grenzfalls
verlangt somit:
- Gib die Lagrangefunktion für die zwei Freiheitsgrade der
Winkelbewegung an
- Berechne die Bewegungsgleichungen auf dieser Basis.
Sie lauten
Dieses Ergebnis entspricht den vorher gewonnenen Bewegungsgleichungen
für die zwei Winkel vor der Sortierung mit
.
- Falls erwünscht, kann nun die Sortierung dieses Gleichungssystems nach
und
vorgenommen werden.
- Eine entsprechende Aussage gilt, falls nur die obere oder die untere Feder
durch eine starre Stange ersetzt wird. Es ist dann die Lagrangefunktion für
die drei aktuellen Freiheitsgrade aufzustellen. Die drei resultierenden
Bewegungsgleichungen entsprechen den zuerst gewonnenen mit
bzw. mit
. Anschließende Sortierung dieser drei Gleichungen ergibt
dann die korrekten (programmierbaren) Bewegungsgleichungen für diesen
Fall.
Berechne die Bewegungsgleichungen für das
klassische Doppelpendel
mit
starren Stangen im Fall kleiner Auslenkungen (harmonische Näherung).
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6.3 Antwort zu H9
Entwicklung der trigonometrischen Funktionen in linearer Näherung
ergibt
Zusätzlich muss man in konsistenter linearer Näherung die Terme in
und
vernachlässigen, so dass letztendlich für kleine
Auslenkungen beider Pendel die Differentialgleichungen
zur Diskussion stehen.
Bestimme die
Eigenfrequenzen
des linearen klassischen Doppelpendels mittels
der ersten Schritte zur Lösung der linearisierten Differentialgleichung.
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6.3 Antwort zu H10
Die Linearität der Differentialgleichung erlaubt den Ansatz
Die gleiche Argumentation wie bei der linearen Oszillatorkette
führt für jedes
auf das lineare Gleichungssystem
(unterdrücke den Index
)
mit der charakteristischen Gleichung
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung in
kann man in der Form angeben
Betrachte die Eigenfrequenzen und
Normalkoordinaten
des linearisierten Problems
für das Beispiel gleicher Massen
und gleicher Pendellänge
.
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6.3 Antwort zu H11
Für dieses spezielle Doppelpendel sind die Eigenfrequenzen bei kleinen
Ausschlägen
Es kommen nur die positiven Wurzeln von
in Frage. Die Normalschwingungen
werden durch
charakterisiert. Es liegt (in gewisser Analogie zu der Federkette mit zwei gleichen
Massen und drei gleichen Federn) eine antisymmetrische
und eine symmetrische (-)
Normalschwingung vor.
Aufruf
eines Applets
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2008