In der Praxis sind nicht nur die Elemente der Trägheitsmatrix für
einige homogene Grundkörper zu berechnen, sondern auch für Objekte mit
einer komplizierteren Dichteverteilung. Zu diesem Thema gibt es hier
drei (im Detail durchaus aufwendige) Aufgaben: Jeweils ein Körper in
Kugelgestalt, wobei in zwei Fällen die Dichteverteilung
winkelabhängig ist und in der letzten Teilaufgabe eine Hohlkugel
betrachtet wird.
Aufgabenstellung
Gesucht ist die Trägheitsmatrix der folgenden starren Körper.
(1)
Eine gewichtete Kugel mit dem Radius hat die folgende Dichteverteilung
in Bezug auf ein Koordinatensystem durch den Kugelmittelpunkt. Berechne die
Trägheitsmatrix in Bezug auf Achsen durch den Schwerpunkt, die parallel zu den
Koordinatenachsen durch den Kugelmittelpunkt verlaufen.
Berechne die Halbachsen des äquivalenten Trägheitsellipsoides.
(2)
Für die gewichtete Kugel mit der Dichteverteilung
ist, analog zu dem Fall (1), die Trägheitsmatrix in Bezug auf Achsen durch
den Schwerpunkt zu berechnen.
(3)
Berechne die Trägheitsmatrix einer Hohlkugel mit der Dichteverteilung
Bestimme die konstante Dichte
so, dass die Hohlkugel die
gleiche Masse hat wie eine Vollkugel mit gleichem Radius und der Dichte
.
Vergleiche die Elemente der Trägheitsmatrix.
Begründe.
(4)
Für Liebhaber der Integration noch eine nicht kommentierte
Zugabe:
Berechne die Hauptträgheitsmomente der kugelsymmetrischen
Dichteverteilungen
Die Dichte hat den Wert Null außerhalb der Kugeln.
Es sollten wenigstens für zwei der Beispiele die Masse und alle 6 Elemente des
Trägheitstensors berechnet werden (nutze die Symmetrie).
Es treten Winkelintegrale auf, die im Anhang in einer
Tabelle zusammengestellt sind. Diese bestimmten bzw. unbestimmten
Integrale können Integraltafeln entnommen werden oder (per partieller
Integration) relativ leicht berechnet werden.