Detail 4.3

Erzwungene Schwingungen: Exakte Auswertung der Halbwertsbreite

Die Definition der Halbwertsbreite ist (B4.59)


Um die erforderlichen -Werte anzugeben, muss zuerst die Gleichung (B4.56) invertiert werden

Setzt man hier ein, so erhält man wegen


wie zu erwarten
Für folgt
und somit

(4.3.1)

Dies sind die gesuchten Frequenzwerte oberhalb (Pluszeichen) und unterhalb der Resonanzstelle. Die Halbwertsbreite entspricht der Differenz dieser beiden Ausdrücke. Die Gleichung (4.3.1) ist nur sinnvoll, falls der Radikand größer oder gleich Null ist.

Für -Werte unter- bzw. oberhalb der Resonanzstelle ist dies der Fall wenn


ist. Es ist die kleinere dieser zwei Größen,


die eine obere Grenze für die Definition einer Halbwertsbreite darstellt. Die Abhängigkeit der Halbwertsbreite von dem Reibungskoeffizient (jeweils in Einheiten von ) ist in Abb. 4.3.1 dargestellt.

Abbildung 4.3.1: Variation der Halbwertsbreite mit dem Reibungskoeffizient (rot: exakte Definition, blau: Näherung für )


Sie wächst zunächst linear mit , in der Nähe der Grenze jedoch deutlich stärker. Vergleicht man dies mit der Variation des Gütefaktors


mit in Abb. 4.3.2, so stellt man fest, dass Resonanzstrukuren nur für Gütefaktoren mit ausgeprägt sein können.

Abbildung 4.3.2: Variation des Gütefaktors mit dem Reibungskoeffizient

Für den Fall kann man durch Umformung und Entwicklung (auf der Basis der binomischen Reihe) eine Näherung gewinnen



so dass sich für die Halbwertsbreite die genäherte Formel


ergibt (siehe Abb. 4.3.1).





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<Mechanik   Details >  R. Dreizler C. Lüdde     2008