Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.8
-
Wie lautet der Ausdruck für die
kinetische und die potentielle Energie
in ebenen Polarkoordinaten?
-
Stelle die
Lagrangeschen
Bewegungsgleichungen auf.
-
Wie gewinnt man in diesem Rahmen Aussagen über die
Erhaltungsgrößen?
Wie lauten sie?
-
Führe die angegebene
Substitution
und
durch.
Berechne
die erste und die zweite Ableitung von
nach
mit der Kettenregel.
-
Eliminiere
und
zugunsten der Ableitungen
von
aus der radialen Bewegungsgleichung, benutze dabei die
Relation zwischen
und dem Drehimpuls..
Mit Hilfe der so gewonnenen Relation kann man
in der
Radialgleichung
durch
ersetzen und
erhält die gesuchte Differentialgleichung.
-
Wie kann man die vorliegende
Differentialgleichung
lösen?
-
Wie gewinnt man aus der
Lösung
der vorliegenden Differentialgleichung
die Standardlösung des einfachen Keplerproblems?
-
Welche
Anfangsbedingungen
und welches Koordinatensystem muss man wählen,
damit
identisch mit den Parametern aus (B4.18)
ist?
Zurück zur Aufgabenstellung
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.8 Antwort zu H1
Die kinetische Energie lautet in ebenen Polarkoordinaten
die potentielle Energie ist
Stelle die
Lagrangeschen
Bewegungsgleichungen auf.
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.8 Antwort zu H2
Die Lagrangefunktion
liefert die Bewegungsgleichungen
Wie gewinnt man in diesem Rahmen Aussagen über die
Erhaltungsgrößen?
Wie lauten sie?
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.8 Antwort zu H3
In der Lagrangefunktion
tritt der Winkel
nicht auf, d.h.
ist eine zyklische Koordinate. Der Drehimpuls
mit
ist erhalten.
Die Hamiltonfunktion, definiert durch
ergibt mit
und
die Aussage
Wie erwartet, stellt sie die Energie dar und ist wegen
eine Erhaltungsgröße.
Führe die angegebene
Substitution
und
durch.
Berechne
die erste und die zweite Ableitung von
nach
mit der Kettenregel.
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.8 Antwort zu H4
Der Ansatz
mit
bedingt
Den Nenner kann man durch den Drehimpuls darstellen, so dass man
erhält. Für die zweite Ableitung von
nach
findet
man (wieder Kettenregel)...
Eliminiere
und
zugunsten der Ableitungen
von
aus der radialen Bewegungsgleichung, benutze dabei die
Relation zwischen
und dem Drehimpuls..
Mit Hilfe der so gewonnenen Relation kann man
in der
Radialgleichung
durch
ersetzen und
erhält die gesuchte Differentialgleichung.
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.8 Antwort zu H5
Verwende
und
um die Radialgleichung
in eine Differentialgleichung für
umzuschreiben:
Wie kann man die vorliegende
Differentialgleichung
lösen?
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.8 Antwort zu H6
Die Differentialgleichung ist eine inhomogene, lineare Differentialgleichung
zweiter Ordnung bzw., anschaulicher gesprochen, eine harmonische Oszillatorgleichung
mit (konstantem) inhomogenen Term.
Die allgemeine Lösung hat die Form
Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung kann durch
(mit den Integrationskonstanten
,
) angegeben werden.
Eine Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung ist
Die allgemeine Lösung lautet demnach
Wie gewinnt man aus der
Lösung
der vorliegenden Differentialgleichung
die Standardlösung des einfachen Keplerproblems?
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.8 Antwort zu H7
Direkte Sortierung ergibt
mit
Welche
Anfangsbedingungen
und welches Koordinatensystem muss man wählen,
damit
identisch mit den Parametern aus (B4.18)
ist?
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.8 Antwort zu H8
Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass
ist.
Mit den Anfangsbedingungen für (
)
folgt aus dem Energieausdruck für
Setzt man hier das Ergebnis für
(zum Zeitpunkt
) ein, so
erhält man
bzw. nach Auflösung
Die Größe
ist identisch mit
dem Standardparameter
des Keplerproblems.
Die spezielle
Lösung mit den genannten Anfangsbedingungen lautet wie bei der Standardbehandlung
Zurück zu den Hinweisen
Zurück zur Aufgabenstellung
Zurück zum Inhaltsverzeichnis
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008