Zunächst muss man die Geometrie sortieren. Der Tunnel verläuft
nicht durch die N-S Achse der Erde (!).
Man wählt am geschicktesten den Punkt in dem Tunnel, der den kürzesten Abstand
von der N-S Achse hat, als den Ursprung eines
Koordinatensystems, in dem der Tunnel der -Achse entspricht.
Der Vektor beschreibt die Position eines Punktes in dem Tunnel
aus der Sicht des Erdmittelpunktes. Der Vektor hat die Länge
(Siehe Abb 1).
Abbildung 1:
Zur Geometrie der kürzesten Verbindung FFM - SF
In dem Dreieck MPO ist der Winkel zwischen den Strecken und
ein rechter Winkel. Den Winkel zwischen den Strecken
und bezeichnet man mit
(Abb. 2). Die Komponente der Kraft in Richtung des Tunnels ist
Abbildung 2:
Zur Geometrie der kürzesten Verbindung FFM - SF
Per Definition ist aber auch
gleich der Koordinate des Punktes P
aus der Sicht von O:
.
Wie lautet die
Bewegungsgleichung
und deren allgemeine Lösung?
Für die Bewegung in dem Tunnel gilt die Bewegungsgleichung
Dies ist eine Oszillatorgleichung mit der Kreisfrequenz
Startet man das Objekt aus der Ruhelage in Frankfurt, so wird es (im Rahmen der
gemachten Annahmen) zunächst beschleunigt, auf dem zweiten Viertel der
`Schwingung` abgebremst und kommt in San Francisco zur Ruhe. Von dort aus
würde es umkehren und eine entsprechende Bewegung in Richtung Frankfurt
ausführen.
Die allgemeine Lösung ist
. Um eine
spezielle Lösung anzugeben (z.B. startet aus der Ruhlage in Frankfurt),
müsste man die geographischen Daten auswerten (z.B. die Entfernung zwischen dem
Punkt und Frankfurt angeben).
Berechne die gesuchte
`Fallzeit`, die das Objekt
benötigt um von Frankfurt nach San Francisco (oder umgekehrt) zu gelangen.