Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.10
-
Berechne das
Trägheitsmoment
des Vollzylinders.
Verwende dabei zweckmäßigerweise Zylinderkoordinaten.
-
Wähle die
generalisierten Koordinaten
für das vorliegende Problem
und gib die Zwangsbedingungen an.
-
Stelle die
Bewegungsgleichungen
nach Lagrange I auf.
-
Bestimme die
Lagrangemultiplikatoren
mit Hilfe von Relationen, die man durch
Differentiation der Zwangsbedingungen erhält.
-
Berechne die
Komponenten
der Zwangskraft allgemein und für den Vollzylinder.
-
Berechne die
Zwangskraft
für einen Massenpunkt
und vergleiche die
Ergebnisse mit denen des Vollzylinders.
Abbildung 2:
Der Zylinder auf der schiefen Ebene: Mittelpunktskoordinaten

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6.10 Antwort zu H1
Es ist dann
da das Zylindervolumen
ist.
(Siehe auch Aufg. 6.8)
Wähle die
generalisierten Koordinaten
für das vorliegende Problem
und gib die Zwangsbedingungen an.
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6.10 Antwort zu H2
Als generalisierte Koordinaten wählt man die Koordinaten der
Zylinderachse
(in der angedeuteten Ebene
Abb. 3) und den Drehwinkel
des Zylinders (
). Die Betrachtung der
-Richtung ist
nicht von Interesse.
Abbildung 3:
Der Zylinder auf der schiefen Ebene: Drehwinkel
|
Die drei Freiheitsgrade werden durch die
folgenden Zwangsbedingungen eingeschränkt:
- (a)
- Die Drehachse des Zylinders bewegt sich parallel zu der schiefen Ebene.
Für die Koordinaten
gilt somit
- (b)
- Die Strecke, um die der Zylindermantel abrollt, ist gleich der von dem
Achsenpunkt zurückgelegten Strecke
(siehe Abb. 3). Bezeichnet man
die Anfangsposition der Zylinderachse mit
, so gilt
Benutzt man die Zwangsbedingung (a), so kann man auch schreiben
Stelle die
Bewegungsgleichungen
nach Lagrange I auf.
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6.10 Antwort zu H3
Als eingeprägte Kraft wirkt nur die einfache Schwerkraft, so dass die
Bewegungsgleichungen lauten
In der letzten Gleichung tritt anstelle einer Zwangskraft ein Zwangsdrehmoment auf.
Bestimme die
Lagrangemultiplikatoren
mit Hilfe von Relationen, die man durch
Differentiation der Zwangsbedingungen erhält.
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6.10 Antwort zu H4
Die benötigten Relationen sind
sowie
Unter Verwendung der letzten beiden Relationen
können zwei der zweiten Ableitungen aus den drei Bewegungsgleichungen eliminiert
werden
Benutzt man hier noch
so kann man zwei lineare Gleichungen zur Bestimmung der Multiplikatoren
gewinnen. Aus den ersten beiden Gleichungen folgt durch Elimination der Terme
in
durch Substitution von
aus der letzten Gleichung in die zweite
Die Lösungen dieses linearen Gleichungssystems in
und
sind
Berechne die
Komponenten
der Zwangskraft allgemein und für den Vollzylinder.
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6.10 Antwort zu H5
Mit der Kenntnis der Multiplikatoren können die
Komponenten der Zwangskraft
und das Zwangsdrehmoment
berechnet werden.
Für den Vollzylinder mit
erhält man
Die Gesamtkraft, die die Translation des Zylinders bestimmt, ist
. Sowohl die Translationsbewegung als auch die Rotation
sind uniform beschleunigt.
Berechne die
Zwangskraft
für einen Massenpunkt
und vergleiche die
Ergebnisse mit denen des Vollzylinders.
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6.10 Antwort zu H6
Die entsprechenden Aussagen für einen Massenpunkt
sind bei gleicher
Geometrie der Ebene
Ein Punkt, der auffällt, ist die Tatsache, dass für den Massenpunkt
eine vektorielle Zwangskraft der Länge
auf die Koordinatenachsen
projiziert wird. Für den Zylinder ist die Situation bezüglich der Zwangskraft
infolge der zusätzlichen Drehbewegung nicht so durchsichtig.
Der Grenzübergang
reproduziert die Ergebnisse für den Massenpunkt nicht
(außer der Aussage
). Der Grund dafür, ist in der
Zwangsbedingung (b)
zu finden, die in diesem Grenzfall die Situation
für einen Massenpunkt nicht wiedergibt.
Der direkte Vergleich (
vorausgesetzt) zeigt, dass die Zwangskraft
in der
-Richtung gegenüber dem Massenpunkt reduziert ist. Der
Zylinder bewegt sich langsamer als der Massenpunkt in dieser Richtung.
Die Gesamtkraft in der
-Richtung hat den Wert Null für
,
die Zwangskraft kompensiert die Schwerkraft.
Für
ist
die Wirkung der Gravitation reduziert und zwar stärker für den
Zylinder. Ist
, so erhält man für den Zylinder
so dass die Gesamtkraft in der
-Richtung
ist (im Vergleich zu
für den Massenpunkt).
Falls der Zylinder die `steile Wand` herunterrollt, wird
die Fallbewegung ebenfalls verlangsamt. Ein Teil der potentiellen
Energie im Schwerefeld wird in kinetische Energie der Drehbewegung
umgesetzt. Die Drehbewegung selbst wird durch die Bewegungsgleichung
mit der Lösung
beschrieben.
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