Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.18
-
Betrachte den
Energiesatz,
um eine Differentialgleichung für
zu
gewinnen.
-
Welche
Aussage
gilt für den Umkehrpunkt
? Bestimme daraus
.
-
Wie lautet die
Differentialgleichung
für die Funktion
?
-
Welche
Methode
bietet sich für die Lösung der Differentialgleichung an?
-
Berechne das
Integral.
Welche Substitution würde auf das in den Werkzeugen
angegeben Integral führen?
-
Da die Funktion
gesucht wird, muss die
Umkehrfunktion
bestimmt werden.
-
Zur
Diskussion
des Resultates kann man die Funktion
entwickeln.
Führe dies zuerst für kleine
-Werte durch.
Überprüfe das Ergebnis für
.
-
Betrachte die
Funktion
für große
-Werte.
Werkzeuge
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
3.18 Antwort zu H1
Der Energiesatz als Ausgangspunkt der Diskussion lautet in diesem Fall
Welche
Aussage
gilt für den Umkehrpunkt
? Bestimme daraus
.
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3.18 Antwort zu H2
Der Umkehrpunkt ist durch
charakterisiert. Dies ergibt
Wie lautet die
Differentialgleichung
für die Funktion
?
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2008
3.18 Antwort zu H3
Für die Berechnung der Bewegung ist die Differentialgleichung
zuständig, wobei das Minuszeichen eine Bewegung auf den Ursprung zu, das
Pluszeichen eine Bewegung in entgegengesetzter Richtung beschreibt. Das Pluszeichen
ist also für die Aufgabenstellung zuständig.
Welche
Methode
bietet sich für die Lösung der Differentialgleichung an?
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2008
3.18 Antwort zu H4
Zur Lösung der Differentialgleichung genügt Variablentrennung
Berechne das
Integral.
Welche Substitution würde auf das in den Werkzeugen
angegeben Integral führen?
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3.18 Antwort zu H5
Das Integral wird einfacher, wenn man die Exponentialfunktion durch
eine Potenz ersetzt. Man benutzt deswegen z.B.
und
Damit erhält man
(siehe Integraltafel oder Werkzeuge)
da
ist.
Da die Funktion
gesucht wird, muss die
Umkehrfunktion
bestimmt werden.
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3.18 Antwort zu H6
Die Umkehrung der Relation
liefert zunächst
und mit
das Endresultat
das in
umgeschrieben werden kann.
Zur
Diskussion
des Resultates kann man die Funktion
entwickeln.
Führe dies zuerst für kleine
-Werte durch.
Überprüfe das Ergebnis für
.
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3.18 Antwort zu H7
Als Probe der Rechnung kann man die Situation für
betrachten
Wenn dieses Ergebnis nicht auftritt, wurde ein Fehler gemacht (siehe Anfangsbedingungen).
Für kleine Argumente gilt für den hyperbolischen Kosinus
Abbildung 2:
Bewegung im Exponentialpotential:
(exakt (rot),
Entwicklung für kleine t (blau), zeitliche Asymptotik (grün)).
Parameterwerte:
,
,
,
)

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Außerdem gilt die Entwicklung
Kombination der Entwicklungen bedingt, dass die Bewegung mit einer quadratischen Abhängigkeit
der Wegstrecke von der Zeit beginnt
Betrachte die
Funktion
für große
-Werte.
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2008
3.18 Antwort zu H8
Für große Zeiten gilt
und somit für große
Die Variation der Position mit der Zeit ist für große Zeiten
gleichförmig
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2008
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