4.3.4 Ergänzung: Elliptische Integrale
In dem Math.Kap. 4.3.1 wurden als Beispiel für Funktionen, die durch ein
Integral definiert werden, die elliptischen Integrale erwähnt. Diese Funktionen
sollen in der folgenden `Ergänzung` kurz angesprochen werden.
Das Ziel ist nicht so sehr die Vorstellung aller möglichen Aspekte und
Eigenschaften sondern nur eine Darstellung der üblichen Klassifikation
und der verschiedenen Varianten, die in der Praxis auftreten.
Integrale der Form
oder
wobei
eine rationale Funktion von
und den Quadratwurzeln ist, lassen
sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen. Die
`Variable `
ist ein Parameter, der als Modul bezeichnet wird.
Die eigentliche Struktur der Funktion
wird durch das folgende Argument
verdeutlicht. Eine rationale Funktion kann durch einen Quotienten aus zwei Polynomen
dargestellt werden (der Modul ist bei der folgenden Diskussion nicht von
Interesse)
Die Wurzeln mit dem Polynom dritter oder vierter Ordnung wurde dabei mit
bezeichnet. Erweitert man den Quotienten zu
so kann man feststellen:
Das Produkt der beiden Polynome im Nenner ist eine ganzrationale Funktion
von
, da es sich bei der Transformation
nicht verändert. Es ist dann aber eine ganzrationale Funktion von
,
die Quadratwurzel tritt hier nicht mehr auf. Das Produkt
im Zähler denkt man sich ausmultipliziert. Jeder Term der Form
,
wobei
eine ganze Zahl ist, entspricht wiederum einer ganzrationalen
Funktion von
. Terme der Form
faktorisieren in
eine ganzrationale Funktion multipliziert mit
. Der Ausdruck für die
Funktion
lautet also im Endeffekt
Ein Integral über die ganzrationale Funktion
ist nicht weiter von
Interesse, es kann durch elementare Funktionen dargestellt werden. Zu
diskutieren sind also einzig die Integrale der Form
wobei
eine ganzrationale Funktion ist und
und
nicht beide
gleichzeitig gleich Null sein sollen.
Alle Integrale dieser Art lassen sich
auf drei Grundtypen zurückzuführen. Diese Grundtypen werden als
elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art bezeichnet. Die
Definitionen der einfachsten Varianten dieser Grundtypen (in mehr oder
weniger physikalisch motivierter Form) sind
Der Parameter
ist auf das Intervall
beschränkt. Er wird meist in der Form
geschrieben. Für Parameter, die größer als
sind, ist eine
Umschreibung der Integrale mittels einer geeigneten Substitution
notwendig. Für das elliptische Integral erster Art liefert z.B. die
Substitution
das Integral (mit
)
und somit die Möglichkeit
-Werte, die größer als
sind,
zu benutzen.
Eine in der Mathematik oft benutzte Form der elliptischen Integrale ergibt sich
mit der Substitution
Es ist dann
Man erkennt hier die ursprünglich anvisierten Polynome unter der
Quadratwurzel. Das elliptische Integral zweiter Art wird oft umgeschrieben
so dass man die reduzierte Form
erhält.
Eine Verallgemeinerung der zitierten, einfachsten Varianten stellen die Integrale
mit konstanten Parametern
dar. Auch diese Verallgemeinerungen werden als elliptische Integrale
erster bis dritter Art bezeichnet. Man kann zeigen, dass jedes kubische
oder quadratische Polynom (mit kleinen Einschränkungen)
mittels geeigneter Substitution in den angedeuteten Radikanden
übergeführt werden kann
Elliptische Integrale mit (je nach Variante) den oberen Grenzen
bzw.
bezeichnet man als vollständige elliptische Integrale
der jeweiligen Art. So ist z.B.
ein vollständiges elliptisches Integral der ersten Art.
Für elliptische Integrale (unvollständig oder vollständig) existieren
Zusammenstellungen von Eigenschaften (Verknüpfung mit anderen höheren
Funktionen, spezielle Werte, numerische Näherungen, etc.) sowie
Wertetabellen
.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008