Es liegt eine Gleichung vor, in der die Geschwindigkeiten
linear auftreten und eine mit quadratischen Termen in den Geschwindigkeiten.
Kann man aus der zweiten eine lineare Gleichung machen?
Mit und erhält man für die Geschwindigkeiten
nach dem Stoß
Es findet nahezu ein Austausch der Geschwindigkeiten statt. Für
exakt gleiche Massen ist dies der Fall.
Wie verhalten sich die
Massen
nach dem Stoß für den Fall, dass eine der
Massen deutlich schwere als die andere ist (, )?
Ist eine der Massen wesentlich schwerer als die
andere (, ), so ergeben sich die folgenden
Geschwindigkeiten nach dem Stoß
Die Geschwindigkeit der schweren Masse wird nur beeinflusst, wenn die anfängliche
Geschwindigkeit der leichten Masse sehr hoch ist.
Berechne die
Endgeschwindigkeiten
der fast gleich schweren Massen im Fall (a):
Die Anfangsgeschwindigkeiten sind gleich groß und entgegengesetzt.
Die Anfangsgeschwindigkeiten sind gleich groß und entgegengesetzt
Man erhält mit
für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß
Die Massen tauschen ihre Bewegungsrichtung aus. Die schwerere Masse wird dabei etwas
verlangsamt, die leichtere erhöht ihre Geschwindigkeit.
Verfahre ebenso die in den
Fällen (b) bis (e):
(b)
Die Massen laufen aufeinander zu, die Anfangsgeschwindigkeit der
schweren Masse ist jedoch doppelt (zehnmal) so groß wie die der leichten
Masse.
(c)
Wie in (b), jedoch besitzt nun die leichte Masse die größere
Geschwindigkeit.
(d)
Die Massen laufen in die gleiche Richtung. Die Anfangsgeschwindigkeit
der größeren Masse ist jedoch doppelt (zehnmal) so hoch wie die der
leichteren.
(e)
Wie (d) jedoch mit einer doppelt (zehnmal) so großen
Anfangsgeschwindigkeit der kleineren Masse.
Die Massen laufen aufeinander zu, die Anfangsgeschwindigkeit der
schweren Masse ist jedoch doppelt (zehnmal) so groß wie die der leichten
Masse
bzw.
Man erhält mit
für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß
bzw.
Im ersten Fall () wird immer noch reflektiert, doch wird der Betrag
der Geschwindigkeit deutlich reduziert. Die leichtere Masse kehrt ihre
Bewegungsrichtung um und wird schneller.
In dem zweiten Fall () behält die schwere Masse ihre
Bewegungsrichtung bei, wird jedoch deutlich langsamer, während die
leichtere Masse reflektiert wird und entsprechend deutlich an Geschwindigkeit
gewinnt.
(c)
Man erhält mit
Beide Massen kehren ihre Bewegungsrichtung um, die leichtere wird
langsamer, die schwerere schneller als vor dem Stoß.
Für
erhält man
Es findet ebenfalls eine Umkehrung der Bewegungsrichtung statt, mit
einer deutlichen Erhöhung der Geschwindigkeit von und entsprechend
großer Reduktion der Geschwindigkeit von .
(d)
Die Vorgaben entsprechen hier
und
Man berechnet für das erste Wertepaar
Die Massen behalten ihre Bewegungsrichtung bei, wird verlangsamt
und wird beschleunigt.
Für den zweiten Satz von Vorgaben ergibt sich
Auch hier wird die Bewegungsrichtung der einzelnen Massen beibehalten mit
deutlich höherer Geschwindigkeit der leichteren Masse und erheblicher
Reduktion der Geschwindigkeit der schwereren.
(e)
Man erhält mit und
Die schwerere Masse wird von der leichteren eingeholt. Nach dem Stoß
läuft sie mit fast doppelt so großer Geschwindigkeit weiter, die
leichtere Masse wird langsamer.
Für
erhält man
Die schwere Masse wird beschleunigt, die leichtere wird reflektiert und
verliert deutlich an Geschwindigkeit.
Welche
Konsequenzen
ergeben sich aus der Forderung ?
Aus der Bedingung folgt für die Geschwindigkeiten vor dem Stoß
Nach dem Stoß bewegt sich die zweite Masse mit einer Geschwindigkeit von
Beide Massen müssen anfänglich aufeinander zu laufen, wobei die Geschwindigkeit
der schwereren Masse viermal so hoch ist wie die der leichteren. bleibt nach dem
Stoß stehen, die Masse kehrt ihre Bewegungsrichtung um und wird deutlich
schneller.
Welche
Ergebnisse
erhält man für , , wenn die zweite Masse nach dem
Stoß ruht?
Mit erhält man für die Geschwindigkeiten vor dem Stoß
Nach dem Stoß bewegt sich die erste Masse mit einer Geschwindigkeit von
Beide Massen laufen hintereinander her, ist vor dem Stoß sechsmal
so schnell wie . Nach dem Stoß bleibt stehen,
wird deutlich beschleunigt.
Betrachte die
gleichen Situationen (a)-(e)
für
und .
für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß:
Für die Anfangsbedingung (a)
ist
Die sehr viel schwerere Masse verliert bei dem Stoß etwas
Geschwindigkeit, die leichtere Masse ändert ihre Bewegungsrichtung und
verdreifacht fast ihre ursprüngliche Geschwindigkeit.
Hier ist (b)
gegeben und man erhält
Mit
folgt
In beiden Fällen setzt die schwere Masse ihren Weg nach dem Stoß
fast unbeirrt fort, während die leichte Masse auch hier ihre
Bewegungsrichtung umkehrt und ihre Geschwindigkeit erheblich vergrößert.
Für (c)
und
Bei einer zehnfach höheren Geschwindigkeit der leichteren Masse,
verliert die schwerere Masse fast die Hälfte ihrer Geschwindigkeit,
während sich die leichtere Masse nach Umkehr der Bewegungsrichtung mit
leicht erhöhter Geschwindigkeit fortbewegt.
Für (d)
folgt
sowie für
Die schwere Masse holt die leichtere und langsamere Masse ein und
verdreifacht bzw. verzwanzigfacht nahezu durch den Stoß deren Geschwindigkeit.
Sie selbst wird nur unwesentlich langsamer.
Und schließlich (e) für
Die leichtere Masse holt die schwerere Masse ein, beschleunigt diese ein
wenig und reduziert dadurch ihre Geschwindigkeit fast auf Null.
Für
Auch hier wird die schwere Masse von der leichteren eingeholt und wird
durch diese beschleunigt. Die leichte Masse wird reflektiert und erhöht
ihre Geschwindigkeit erheblich.
Welche
Ergebnisse
erhält man für die Bedingung, dass eine der Massen nach dem
Stoß ruht (, )?
Mit berechnet man für die Geschwindigkeiten vor dem Stoß
Nach dem Stoß bewegt sich die zweite Masse mit einer Geschwindigkeit von
Beide Massen laufen aufeinander zu, die schwerere Masse mit einer
Geschwindigkeit von nur 4 % der Geschwindigkeit der leichteren Masse.
Nach dem Stoß bleibt stehen, kehrt seine Bewegungsrichtung
um und wird nur unwesentlich beschleunigt.
Mit erhält man für die Geschwindigkeiten vor dem Stoß
Nach dem Stoß bewegt sich die erste Masse mit einer Geschwindigkeit von
Beide Massen laufen vor dem Stoß in die gleiche Richtung, die schwerere
Masse hat eine
Geschwindigkeit von 49% der Geschwindigkeit der leichteren Masse
und wird von dieser verfolgt.
Nach dem Stoß bleibt stehen, während sich die Masse
nun mit 51% ihrer ursprünglichen Geschwindigkeit weiter
fortbewegt.