6.2.1 Variablentrennung und Variablentransformation
Faktorisieren die Funktionen
und
in der Form
so kann die Differentialgleichung durch direkte Integration gelöst werden
Integrationskonstanten treten auf der rechten Seite nicht auf, alle Konstanten
sind in
zusammengefasst.
So erhält man für die Differentialgleichung
über Variablentrennung die
Lösung
In den meisten Fällen möchte man die so
enstandene implizite Form in eine explizite umschreiben, hier z.B.
mit der Auflösung
Die Form der Integrationskonstanten kann beliebig variiert werden. Schreibt man
so lautet die (völlig äquivalente) Lösung
Auflösung nach der Variablen
ergibt, bei einer anderen Umbenennung
der Integrationskonstanten,
Bei einer Differentialgleichung, für die die Variablen nicht getrennt werden können,
ist es unter Umständen möglich, die Differentialgleichung mittels einer
Variablentransformation in eine separable Form überzuführen.
Die Differentialgleichung
, die nicht direkt separabel ist, kann mit
der Transformation
in die separable Form
gebracht werden. Die implizite Lösung
kann nach Exponentieren
über die Schritte
in der expliziten Form
geschrieben werden. Für
das Auffinden von geeigneten Transformationen existieren keine festen
Vorschriften. Man ist auf die (schwer definierbare) mathematische
Intuition angewiesen.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008