Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.3
  1. Wie hängt der Radius einer Kreisbahn   von der Energie und dem Drehimpuls ab?
  2. Wie kann man die Umlaufzeit  des Satelliten (bzw. seine Kreisfrequenz ) ins Spiel bringen?
  3. Was ist also der Zusammenhang  zwischen dem Radius der Bahn und der Rotationsfrequenz?
  4. Wie kann man diese Formel  mit anderen Argumenten gewinnen?
  5. Berechne die Radien  der stationären Satellitenbahnen.
  6. Berechne die Geschwindigkeit  des Satelliten auf seiner jeweiligen Bahn.
  7. Wie lautet der Energiesatz  im Fall einer Parabelbahn und wie bestimmt man die Geschwindigkeit, die man dem Satelliten geben muss, um den Übergang von der Kreis- in die Parabelbahn zu erreichen?



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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































4.3 Antwort zu H1



Für eine Kreisbahn mit lautet der Energiesatz


( Satellitenmasse, Zentralmasse). Die Kreisbahn ist die Bahn mit der niedrigsten Energie. Deswegen gilt

(was?)























































Der Radius der Kreisbahn wird durch den Drehimpuls bestimmt. Alternativ kann man (setze das Ergebnis für den Radius in den Energieausdruck ein) Energie und Drehimpuls verknüpfen

























































   Wie kann man die Umlaufzeit  des Satelliten (bzw. seine Kreisfrequenz ) ins Spiel bringen?


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4.3 Antwort zu H2



Die Umlauffrequenz des Satelliten ist gleich der Rotationsfrequenz des Zentralkörpers . Für den Drehimpuls gilt bei einer uniformen Kreisbewegung .

   Was ist also der Zusammenhang  zwischen dem Radius der Bahn und der Rotationsfrequenz?


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4.3 Antwort zu H3



Setze den Ausdruck für in das Resultat für den Radius ein und erhalte

























































   Wie kann man diese Formel  mit anderen Argumenten gewinnen?


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4.3 Antwort zu H4



Man benutzt die Bedingung, dass die angreifende Kraft (Gravitation) gleich der Zentripetalkraft sein muss, und kann die gleiche Relation (schneller) herleiten. Aus Masse mal Zentripetalbeschleunigung ist gleich Gravitation


folgt ebenfalls die oben angegebene Relation.

   Berechne die Radien  der stationären Satellitenbahnen.


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4.3 Antwort zu H5



Setzt man die angegebenen Daten ein, so erhält man mit


Der Bahnradius des Jupitersatelliten berechnet sich mit zu





   Berechne die Geschwindigkeit  des Satelliten auf seiner jeweiligen Bahn.


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4.3 Antwort zu H6



Die entsprechenden Geschwindigkeiten sind








   Wie lautet der Energiesatz  im Fall einer Parabelbahn und wie bestimmt man die Geschwindigkeit, die man dem Satelliten geben muss, um den Übergang von der Kreis- in die Parabelbahn zu erreichen?


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4.3 Antwort zu H7



Die Parabelbahn ist durch charakterisiert. Es gilt also


Benutzt man als Anfangsbedingung den Radius der jeweiligen Kreisbahn, so kann man die Geschwindigkeit des Satelliten auf der geforderten Parabelbahn sofort berechnen


(Woher ist diese Formel bekannt?) Die Zahlenwerte sind





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