Detail 6.5

Trägheitsmatrix: Bestimmung von Hauptträgheitsmomenten

Für eine vorgegebene Trägheitsmatrix

sollen die Hauptträgheitsmomente und die Transformation auf das entsprechende körperfeste Koordinatensystem bestimmt werden. Zunächst ist die Determinante
auszuwerten. Dazu benutzt man entweder die Regel von Sarrus oder Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte.
(6.5.1)
Zur Lösung der anstehenden kubischen Gleichung kann man entweder die Gleichung mit Standardmethoden, wie der Cardanformel, explizit lösen oder man kann versuchen, eine Faktorisierung gemäß
zu finden.
Die Wurzeln der kubischen Gleichung sind die Hauptträgheitsmomente


Im nächsten Schritt zwecks Berechnung der Drehmatrix sind drei homogene lineare Gleichungssysteme

mit der Normierungsbedingung (reelle Koeffizienten vorausgesetzt)
zu lösen. Für jedes der Systeme ergeben z.B. zwei der drei Gleichungen eine Aussage der Form und somit und (per Einsetzen in eine geeignete Gleichung des Systems) . Die Normierungsbedingung liefert dann
Das Vorzeichen von kann frei gewählt werden. Die Vorzeichen von und sind dann festgelegt. Im Detail findet man für

    :                  
    :                  
    :                     .




Man beachte, dass die Orthogonalitätsrelation
automatisch erfüllt ist (wenn nicht, liegt ein Rechenfehler vor).


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<Mechanik   Details >  R. Dreizler C. Lüdde     2008