5.1 Zwangsbedingungen: Das aufrechte Rad
Ein rollendes Rad ist ein Paradebeispiel für ein System, das nicht
durch holonome Zwangsbedingungen charakterisiert werden kann. In diesem
Beispiel wird ein streng aufrecht rollendes Rad betrachtet. Etwas realer
(aber ein wenig aufwendiger in der Diskussion, da ein zusätzlicher
Freiheitsgrad hinzukommt) ist ein Rad, das noch kippen kann. Für
das aufrechte Rad soll
explizit nachgewiesen werden, dass holonome Zwangsbedingungen nicht
möglich sind. Bei dieser Diskussion findet man zwangsläufig die
relevanten nichtholonomen Bedingungen.
Aufgabenstellung
Ein scharfkantiges Rad (Masse
, Radius
) rollt aufrecht auf einer
horizontalen Ebene. Diese Bewegung wird durch 4 Freiheitsgrade
charakterisiert: Die Projektion der Koordinaten des Radmittelpunktes auf
diese Ebene, einen Drehwinkel
und einen Winkel
, der
die momentane Orientierung des Rades in Bezug auf eine Richtung der
Ebene charakterisiert (s. Abb. 1).
Abbildung 1:
Freiheitsgrade des aufrechten Rades

|
Diese generalisierten Koordinaten sind durch Rollbedingungen verknüpft,
die besagen, dass ein Punkt auf dem Rand des Rades sich wie ein
Kreispunkt bewegt.
- (1)
- Zeige: Die Zwangsbedingungen können nicht in einer holonomen Form
dargestellt werden.
- (2)
- Notiere die nichtholonomen Zwangsbedingungen.
Fragen
zur schrittweisen Gewinnung der Lösung
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008