5.9 Mathematisches Pendel: Ebene Bewegung des Aufhängepunktes

Die Beschreibung der Bewegung eines mathematischen Pendels mit einem Aufhängepunkt, der sich auf einer Ellipse bewegt, ist ein Problem mit holonom, rheonomen Nebenbedingungen. Probleme dieser Art kann man mit den Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art fassen, die resultierenden Bewegungsgleichungen sind jedoch (in den meisten Fällen) nicht analytisch lösbar. In dieser Aufgabe wird die Aufstellung der Bewegungsgleichung durchgeführt und die Struktur dieser Differentialgleichung für eine Reihe von Spezialfällen betrachtet. Es soll auch gezeigt werden, dass man die Wirkung der Gravitation durch eine kreisförmige Bewegung des Aufhängepunktes simulieren kann.

Aufgabenstellung

Der Aufhängepunkt eines ebenen mathematischen Pendels (Masse , Länge ) bewegt sich gemäß


auf einer Ellipse. Die Ellipsenebene und die Schwingungsebene des Pendels stimmen überein. Es wirkt die einfache Schwerkraft.
(1)
Stelle die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen für die Auslenkung aus der Vertikalen auf (Winkel ).
(2)
Bestimme die Differentialgleichungen in den folgenden Spezialfällen und diskutiere deren Struktur und physikalischen Gehalt:
(a)
Kleine Schwingungen.
(b)
Horizontale Bewegung des Aufhängepunktes bei beliebigen und bei kleinen Schwingungen.
(c)
Vertikale Bewegung des Aufhängepunktes bei beliebigen und bei kleinen Schwingungen.
(d)
Der Aufhängepunkt bewegt sich auf einem Kreis mit Radius . Zeige: Die Wirkung der Gravitation für ein mathematisches Pendel mit festem Aufhängepunkt kann durch ein kräftefreies Pendel, dessen Aufhängepunkt eine uniforme Rotation ausführt, simuliert werden. Zeige, dass bei geeigneter Wahl des Auslenkwinkels eine Pendelgleichung mit der effektiven Erdbeschleunigung vorliegt.


Werkzeuge:




Deine Antworten:
Die Bewegungsgleichung für Auslenkungen aus der Vertikalen (1) ist

Die Differentialgleichung für kleine Schwingungen (2a) lautet

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008