6.7 Trägheitsmatrix: Diverse Kugeln

In der Praxis sind nicht nur die Elemente der Trägheitsmatrix für einige homogene Grundkörper zu berechnen, sondern auch für Objekte mit einer komplizierteren Dichteverteilung. Zu diesem Thema gibt es hier drei (im Detail durchaus aufwendige) Aufgaben: Jeweils ein Körper in Kugelgestalt, wobei in zwei Fällen die Dichteverteilung winkelabhängig ist und in der letzten Teilaufgabe eine Hohlkugel betrachtet wird.

Aufgabenstellung

Gesucht ist die Trägheitsmatrix der folgenden starren Körper.
(1)
Eine gewichtete Kugel mit dem Radius hat die folgende Dichteverteilung


in Bezug auf ein Koordinatensystem durch den Kugelmittelpunkt. Berechne die Trägheitsmatrix in Bezug auf Achsen durch den Schwerpunkt, die parallel zu den Koordinatenachsen durch den Kugelmittelpunkt verlaufen. Berechne die Halbachsen des äquivalenten Trägheitsellipsoides.
(2)
Für die gewichtete Kugel mit der Dichteverteilung


ist, analog zu dem Fall (1), die Trägheitsmatrix in Bezug auf Achsen durch den Schwerpunkt zu berechnen.
(3)
Berechne die Trägheitsmatrix einer Hohlkugel mit der Dichteverteilung


Bestimme die konstante Dichte so, dass die Hohlkugel die gleiche Masse hat wie eine Vollkugel mit gleichem Radius und der Dichte . Vergleiche die Elemente der Trägheitsmatrix. Begründe.
(4)
Für Liebhaber der Integration noch eine nicht kommentierte Zugabe: Berechne die Hauptträgheitsmomente der kugelsymmetrischen Dichteverteilungen




Die Dichte hat den Wert Null außerhalb der Kugeln.
Es sollten wenigstens für zwei der Beispiele die Masse und alle 6 Elemente des Trägheitstensors berechnet werden (nutze die Symmetrie). Es treten Winkelintegrale auf, die im Anhang in einer Tabelle zusammengestellt sind. Diese bestimmten bzw. unbestimmten Integrale können Integraltafeln entnommen werden oder (per partieller Integration) relativ leicht berechnet werden.


Werkzeuge:

Tabelle mit Winkelintegralen




Deine Antworten:

zu (1)
Die Masse für die gewichtete Kugel beträgt

Die äquivalenten Halbachsen des Trägheitsellipsoides für die Kugel (1) sind
       
       
       
       

zu (2)
Das Trägheitsmoment in Bezug auf den Schwerpunkt für die gewichtete Kugel (2) ist

zu (3)
Das Verhältnis der Dichte von Hohl- und Vollkugel im Fall (3) ist

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008