Detail 6.1
Schwingungsprobleme: Kette mit drei gleichen Massen zwischen vier gleichen Federn
(Beispiel 6.2)
Es sind drei lineare Gleichungssysteme der Form
(mit
)
zu lösen.
Mit dem ersten Eigenwert aus (B6.33)
erhält man für die erste und die dritte Gleichung von (
6.1.1)
Setzt man die Auflösung
in die Normierungsbedingung
ein, so findet man
(das Vorzeichen ist frei wählbar)
und somit für den ersten Eigenvektor
Mit
ergibt die erste wie die dritte Gleichung
.
Die verbleibende Gleichung
liefert über die Normierungsbedingung
die Entwicklungskoeffizienten
Die Gleichungen mit
unterscheiden sich von den
Gleichungen mit
nur durch ein Vorzeichen in den diagonalen
Termen. Es ist somit
und
Die Ableitungen der drei Auslenkungen aus den Gleichgewichtslagen
((B6.17) und (B6.18))
sind
Die vorgegebenen Anfangsbedingungen führen somit auf das Gleichungssystem
Die Lösung der ersten drei Gleichungen (setze
)
erfordert die Schritte: Gewinne aus der zweiten Gleichung
, die letzte Gleichung
liefert dann
, so dass man aus der ersten Gleichung
und somit
erhält.
Die Lösung der letzten drei Gleichungen (nach dem gleichen Muster) ergibt
Falls eine der drei Amplituden
gleich Null wird, ergibt sich ein Widerspruch
zu dem Gleichungssystem. So folgt z.B. für
aus Gleichung
(6.1.2) und (6.1.5)
und entsprechend aus den restlichen Gleichungen
außer (6.1.1)
. Dies ist ein Widerspruch zu (6.1.1).
Analoge Argumente greifen für den Ansatz
oder
.
Da keine der drei Größen
gleich Null sein kann, muss
für die drei Phasen
gelten. Es bleibt
Die entsprechenden speziellen Lösungen für die Auslenkungen der drei
gleichen Massen ist in (B6.34) angegeben.
Aufruf
eines Applets zum Spielen...
Zurück zum Inhaltsverzeichnis
<Mechanik Details > R. Dreizler C. Lüdde
2008