Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.13
  1. Fertige eine Skizze   an. Wie hängt die abgerollte Strecke von dem Winkel ab?
  2. Stelle Gleichungen  für die Koordinaten des Punktes auf dem Kreis für das Abrollen auf der Geraden auf.
  3. Wie lautet die Parameterdarstellung  für das Abrollen unter der Geraden mit dem Anfangspunkt ?
  4. Gib die Parameterdarstellung für das Abrollen unter der Geraden  mit dem Anfangspunkt an.
  5. Fertige Skizzen  der drei Zykloiden an.
  6. Welche der drei Zykloiden  ist als Führungskurve für das Zykloidenpendel geeignet?
  7. Fertige eine Skizze der angreifenden Kräfte  an. Welche Kraft bedingt die Bewegung des Pendels?
  8. Wie hängt der Ausschlagwinkel  (siehe Abb. 12) von dem Rollwinkel ab?
  9. Was benötigt man zur Aufstellung  der Bewegungsgleichung?
  10. Wie erhält man den gesuchten Ausdruck für die Geschwindigkeit? 
  11. Wie erhält man den gesuchten Ausdruck für die rücktreibende Kraft? 
  12. Notiere die Bewegungsgleichung  und sortiere sie, so dass die Schwingungsdauer bestimmt werden kann.
  13. Betrachte den Energiesatz  , um das mathematischen Pendels mit dem Zykloidenpendel zu vergleichen.
  14. Welche Zykloide  benutzt man zweckmäßigerweise für die Konstruktion des Zykloidenpendels nach Huygens?
  15. Berechne die benötigten Ableitungen  für die Parameterdarstellung der Evolute. Gib die Parameterdarstellung der Evolute an.
  16. Wie kann man diese Zykloide  im Sinne des Vorschlages von Huygens nutzen?
  17. Überprüfe die Aussage  , dass sich der Faden ganz an die Führungszykloiden anschmiegen kann.



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4.13 Antwort zu H1



Abbildung 5: Geometrie der Zykloide




Für die von dem Zentrum des Kreises zurückgelegte Strecke gilt die Relation


(dies entspricht dem abgerollten Kreisbogen (Abb. 5)).

   Stelle Gleichungen  für die Koordinaten des Punktes auf dem Kreis für das Abrollen auf der Geraden auf.


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4.13 Antwort zu H2



Die Koordinaten eines Punktes, der anfänglich im Koordinatenursprung war, sind gemäß Abb. 6



Abbildung 6: Entstehung der Zykloide 1: Details






   Wie lautet die Parameterdarstellung  für das Abrollen unter der Geraden mit dem Anfangspunkt ?


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4.13 Antwort zu H3



Rollt der Kreis unterhalb der -Achse ab, so gilt gemäß der Anfangsbedingungen (Abb. 7)



Abbildung 7: Entstehung der Zykloide 2: Details





   Gib die Parameterdarstellung für das Abrollen unter der Geraden  mit dem Anfangspunkt an.


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4.13 Antwort zu H4



Für diese Anfangssituation (der Punkt ist anfänglich an der Stelle , wobei der Kreis unter der -Achse abrollt, hat man (Abb. 8)

Abbildung 8: Entstehung der Zykloide 3: Details





   Fertige Skizzen  der drei Zykloiden an.


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4.13 Antwort zu H5



Die Schaubilder der drei Zykloiden sind in Abb. 9 bis Abb. 11 skizziert.


Abbildung 9: Zykloide 1


Abbildung 10: Zykloide 2


Abbildung 11: Zykloide 3


Animation der Darstellung



   Welche der drei Zykloiden  ist als Führungskurve für das Zykloidenpendel geeignet?


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4.13 Antwort zu H6



Für die Diskussion des Zykloidenpendels ist der Fall 3 geeignet. Die Koordinaten der Pendelmasse lauten dann


mit    .

   Fertige eine Skizze der angreifenden Kräfte  an. Welche Kraft bedingt die Bewegung des Pendels?


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4.13 Antwort zu H7



Abbildung 12: Die Kräfte bei der Bewegung auf der Zykloide 2: Übersicht




Die Schwerkraft kann in eine rücktreibende Kraft und eine Kraft zerlegt werden (Abb. 12). Die rücktreibende Kraft ist tangential zu der Bahnkurve, die Kraft wird durch die Seilspannung kompensiert. Bezeichnet man den Winkel zwischen der Vertikalen und der Tangente an die Zykloide mit , so ist der Betrag der rücktreibenden Kraft



   Wie hängt der Ausschlagwinkel  (siehe Abb. 12) von dem Rollwinkel ab?


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4.13 Antwort zu H8



Der Winkel ist nicht identisch mit dem Winkel . Es gilt vielmehr wegen


die Relation




Abbildung 13: Die Kräfte bei der Bewegung auf der Zykloide 2: Übersicht



Der Winkelbereich entspricht dem Bereich .

   Was benötigt man zur Aufstellung  der Bewegungsgleichung?


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4.13 Antwort zu H9



Um die Bewegungsgleichung aufzustellen, benötigt man die Geschwindigkeit des Massenpunktes und die Komponente der Schwerkraft tangential an die Zykloide als Funktion des Winkels .

   Wie erhält man den gesuchten Ausdruck für die Geschwindigkeit? 


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4.13 Antwort zu H10



Um die Geschwindigkeit als Funktion des Winkels auszudrücken, stellt man zunächst die Bogenlänge als Funktion des Winkels dar und bildet den Differentialquotienten . Beginnend mit der Definition der infinitesimalen Bogenlänge


setzt man die Differentiale


und


ein und erhält





   Wie erhält man den gesuchten Ausdruck für die rücktreibende Kraft? 


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4.13 Antwort zu H11



Um die gesuchte Kraft angeben zu können, benötigt man eine Relation zwischen den Winkeln und .


Abbildung 14: Die Kräfte bei der Bewegung auf der Zykloide 2: Details



Die momentane Geschwindigkeit zeigt in Richtung der Tangentialkomponente. Man kann somit der Abb. 14 die folgenden Beziehungen entnehmen




Der Steigungswinkel ist , der Projektionswinkel (Abb 14) somit



   Notiere die Bewegungsgleichung  und sortiere sie, so dass die Schwingungsdauer bestimmt werden kann.


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4.13 Antwort zu H12



Man findet für die relevante Kraftkomponente


die Bewegungsgleichung lautet




Nach der Substitution steht hier die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators. Die Lösung ist somit


Die Integrationskonstanten sind und . Dies bedeutet aber, dass das Pendel unabhängig von dem maximalen Ausschlag ( entsprechend einem Wert von mit ) isochron mit der Schwingungsdauer


schwingt.

   Betrachte den Energiesatz  , um das mathematischen Pendels mit dem Zykloidenpendel zu vergleichen.


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4.13 Antwort zu H13



Für das Zykloidenpendel folgt aus


mit der Höhe über dem Gleichgewichtspunkt


die Aussage


Der Energiesatz des mathematischen Pendels mit der Pendellänge lautet (siehe (B4.36))


In beiden Fällen ist die potentielle Energie auf den tiefsten Punkt ( bzw. ) bezogen. Startet man jedes der Pendel mit der Winkelgeschwindigkeit aus der Ruhelage , so werden die maximalen Ausschläge




erreicht. Ein Zykloidenpendel mit dem Parameter und ein mathematisches Pendel mit der Pendellänge erreichen bei gleichen Anfangsbedingungen einen Maximalausschlag mit . Es ist jedoch die oben erwähnte Umrechnung zwischen den Winkeln und zu beachten. Für die Schwingungsdauern gelten die Aussagen: Die Schwingungsdauer eines Zykloidenpendels mit dem Parameter ist genau so groß wie die eines idealen, harmonischen Pendels mit der Länge .

   Welche Zykloide  benutzt man zweckmäßigerweise für die Konstruktion des Zykloidenpendels nach Huygens?


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4.13 Antwort zu H14



Man sollte in diesem Fall die Zykloide 2 (Abb. 15) benutzen




Abbildung 15: Zykloidenpendel: Führung des Fadens

   Berechne die benötigten Ableitungen  für die Parameterdarstellung der Evolute. Gib die Parameterdarstellung der Evolute an.


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4.13 Antwort zu H15



Die Ableitungen der Funktionen




sind




und damit die Parameterdarstellung der Evolute




Dies ist ebenfalls eine Zykloide.

   Wie kann man diese Zykloide  im Sinne des Vorschlages von Huygens nutzen?


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4.13 Antwort zu H16



Man verschiebt diese Zykloide um die Strecke in Richtung der negativen -Achse und erhält (Abb. 16) die Parameterdarstellung




Abbildung 16: Zykloidenpendel: Realisierung



Diese Zykloide verläuft für durch die Punkte


        
        
        


Auf dieser Zykloide würde sich eine Masse bewegen, die, wie in der Abbildung (Abb. 16) angedeutet, an einen Faden der Länge aufgehängt ist und sich an die Führungszykloiden anschmiegt.

   Überprüfe die Aussage  , dass sich der Faden ganz an die Führungszykloiden anschmiegen kann.


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4.13 Antwort zu H17



Zur Überprüfung berechnet man das Bogenstück der Führungszykloide von dem Wert bis zu dem Wert




Der Faden schmiegt sich voll an die Zykloide an.

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