Bestimme mit möglichst
geringem Aufwand
die anderen
Diagonalelemente , .
Welche
Integrale
sind zur Berechnung der Deviationsmomentes
auszuwerten?
Gib die
Elemente
der Trägheitsmatrix für einen Würfel an.
Das Ellipsoid wird durch die implizite Gleichung
beschrieben.
Finde eine
Variablensubstitution,
die eine einfache Berechnung der anfallenden
Integrale ermöglicht. Welche Koordinaten benutzt man am zweckmäßigsten
zur Auswertung der dann anstehenden Integrale?
Welche
Strategie
sollte man bei der Berechnung der Elemente der
Trägheitsmatrix des Ellipsoides verfolgen?
Bei der Berechnung der Deviationsmomente treten Integrale des Typs
mit Teilintegralen der Form
auf. Folglich verschwinden (wie infolge der Wahl der Symmetrieachsen als
Koordinatenachsen zu erwarten) alle Deviationsmomente.
Gib die
Elemente
der Trägheitsmatrix für einen Würfel an.
beschrieben.
Finde eine
Variablensubstitution,
die eine einfache Berechnung der anfallenden
Integrale ermöglicht. Welche Koordinaten benutzt man am zweckmäßigsten
zur Auswertung der dann anstehenden Integrale?
Die diagonalen Elemente der Trägheitsmatrix können in der Form
angegeben werden.
Wie würden diese Rechnungen in
Zylinderkoordinaten
aussehen?
Gib die Transformation der kartesischen in Zylinderkoordinaten an
und berechne
und (natürlich!) den gleichen Wert wie zuvor berechnet.
Die Auswertung in Kugelkoordinaten ist in diesem Beispiel etwas einfacher zu handhaben.
Gib die
Trägheitsmatrix
einer Kugel an.
Die oben aufgeführten Einzelintegrale kann man auch zur Berechnung der
Trägheitsmatrix einer Kugel benutzen. Mit erhält man
Die Detailrechnung würde wie folgt verlaufen
Während für die Kugel infolge der höheren Symmetrie eine abgekürzte
Bestimmung der Trägheitsmatrix möglich ist (siehe Kap. 6.3.3.1), ist
für das Ellipsoid eine explizitere Auswertung erforderlich.