1.4.1.1 Unendliche Integrationsintervalle.
Beispiel 1: Bei dem Integral
ist der Integrationsbereich ein unendliches Intervall. Durch Betrachtung einer
graphischen Darstellung (Abb. 1.15) ist es nicht einfach, abzuschätzen,
ob die Fläche
unter der abklingenden Exponentialfunktion einen endlichen Wert hat oder nicht.
Abbildung 1.15:
Andeutung des Integrals
 |
Eine vorsichtige Definition dieses Typs von Integranden lautet
Berechnet man dieses Integral für
, so findet man
Für
gilt
und man gewinnt den Grenzwert
.
Beispiel 2: Der Integrand des Integrals
Abbildung 1.16:
Ein uneigentliches Integral mit
 |
liefert abwechselnd positive und negative Beiträge (Abb. 1.16). Man
könnte also auch in diesem Fall erwarten, dass das Integral einen
endlichen (Grenz)-Wert hat. Geht man gemäß der obigen Definition des
uneigentlichen Integrals vor, so findet man
und stellt fest: Der geforderte Grenzwert ist nicht definiert. Dieses
uneigentliche Integral existiert nicht.
Das Fazit dieser Betrachtung lautet: Uneigentliche Integrale mit einem
unendlichen Integrationsintervall (Typ 1) lassen sich mit Hilfe von
Grenzwertbetrachtungen mathematisch sauber definieren. Aufgrund der
Grenzwertbetrachtungen
benutzt man die folgende Bezeichnung
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008