Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.11
  1. Mit welchen Mitteln   kann man die Stabilität der Drehung untersuchen?
  2. Wie lauten die Eulergleichungen  bei infinitesimaler Auslenkung aus dieser Drehachse?
  3. Vernachlässige alle Terme höherer (als erster) Ordnung  in . Notiere die resultierenden Differentialgleichungen.
  4. Wie löst  man dieses System von Differentialgleichungen in ?
  5. Führe die Separation durch, gewinne eine Differentialgleichung  für .
  6. Löse die Differentialgleichung  für , berechne anschließend auch .
  7. Untersuche die drei Fälle 






    Beginne mit dem ersten.
  8. Welche Aussage  kann man somit für die Zeitentwicklung von und bzw. über die Stabilität der Drehung um die -Achse machen?
  9. Betrachte den zweiten Fall 


    und kommentiere das Ergebnis.
  10. Betrachte den letzten Fall 





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6.11 Antwort zu H1



Zur Untersuchung der Stabilität betrachtet man eine infinitesimale Veränderung der Drehachse: . Zur Lösung der Aufgabe verwendet man die Eulergleichungen (B6.151), mit den infinitesimal geänderten Drehgeschwindigkeiten. Da die Nummerierung der Hauptachsen willkürlich ist, kann man voraussetzen, dass der Kreisel sich anfänglich um die -Achse dreht.

   Wie lauten die Eulergleichungen  bei infinitesimaler Auslenkung aus dieser Drehachse?


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6.11 Antwort zu H2



Die Komponenten der Drehgeschwindigkeit sind


die entsprechenden Eulergleichungen (B6.151) lauten





   Vernachlässige alle Terme höherer (als erster) Ordnung  in . Notiere die resultierenden Differentialgleichungen.


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6.11 Antwort zu H3



Unter konsistenter Berücksichtigung von Termen erster Ordnung folgt aus der ersten Gleichung


Die zweite und die dritte Differentialgleichung lauten





   Wie löst  man dieses System von Differentialgleichungen in ?


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6.11 Antwort zu H4



Die Lösung der ersten Differentialgleichung ist


wobei die Konstante (bei entsprechender Wahl der Anfangsbedingungen) gleich Null gesetzt werden kann. Die restlichen Differentialgleichungen können nach dem Standardmuster (welches?) separiert werden.

   Führe die Separation durch, gewinne eine Differentialgleichung  für .


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6.11 Antwort zu H5



Differentiation der zweiten Gleichung und Einsetzen des Resultates in die letzte liefert eine Differentialgleichung für



   Löse die Differentialgleichung  für , berechne anschließend auch .


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6.11 Antwort zu H6



Es liegt eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten vor, die mit dem Ansatz


gelöst werden kann. Die charakteristische Gleichung ist


Da die zwei Wurzeln und verschieden sind, hat die Lösung die Form


Aus der zweiten Gleichung


gewinnt man dann die Lösung für



   Untersuche die drei Fälle 






Beginne mit dem ersten.


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6.11 Antwort zu H7



Ist


ist also die -Achse die Achse mit dem größten Hauptträgheitsmoment, so ist


Die Lösungen für und lauten demnach


und



   Welche Aussage  kann man somit für die Zeitentwicklung von und bzw. über die Stabilität der Drehung um die -Achse machen?


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6.11 Antwort zu H8



Die Lösung für und zeigen ein oszillatorisches Verhalten um die Ausgangslage. Die Drehung um die -Achse ist stabil.

   Betrachte den zweiten Fall 


und kommentiere das Ergebnis.


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6.11 Antwort zu H9



Für


ist die -Achse die Achse mit dem kleinsten Hauptträgheitsmoment. Es gilt ebenfalls


Auch in diesem Fall ist die Drehung um die -Achse stabil.

   Betrachte den letzten Fall 




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6.11 Antwort zu H10



In dem Fall


ist die -Achse die Achse mit dem mittleren Hauptträgheitsmoment. Es gilt


Die allgemeine Lösung für (und entsprechend für ) hat die Form


Die Drehachse entfernt sich exponentiell aus der Ausgangslage. Die Drehung um die -Achse ist nicht stabil.





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