Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.7
  1. Zur Lösung der gestellten Aufgabe sind die Masse, die Schwerpunktskoordinaten   und die Elemente des Trägheitstensors zu berechnen. Gib eine Substitution an, die die Rechnung im Fall von Kugelgeometrie etwas vereinfacht.
  2. Berechne die Masse  der Kugel (1).
  3. Wie geht man vor, um die Trägheitsmatrix  bezüglich des Schwerpunktes zu berechnen?
  4. Berechne die Position  des Schwerpunktes der Kugel (1).
  5. Erarbeite eine Vorstellung  von der Massenverteilung für die Kugel (1).
  6. Welche Integrale  sind zur Berechnung der Matrixelemente im Fall der Kugel (1) auszuwerten?
  7. Berechne die Integrale  , , sowie , und .
  8. Stelle die Diagonalelemente  der Trägheitsmatrix zusammen. Welche Aussage folgt aus diesen Ergebnissen und für den Fall ? Wie groß sind die Halbachsen des äquivalenten Trägheitsellipsoides?
  9. Berechne die Hauptträgheitsmomente  für das achsenparallele Koordinatensystem durch dem Schwerpunkt.
  10. Berechne die geforderten Größen  für den Fall der Kugel (2). Die Rechnung verläuft weitgehend analog zu dem Fall (1). Auch hier wird auf die angefügte Tabelle der Winkelintegrale verwiesen. Beginne mit der Berechnung der Masse der Kugel.
  11. Entwickle eine Vorstellung  von der Dichteverteilung (2).
  12. Welche Position  hat der Schwerpunkt? (Kann man diese andeutungsweise erraten?)
  13. Berechne die entsprechenden Teilintegrale  , , und die Deviationsmomente , und der Trägheitsmatrix. Kommentiere in Bezug auf die Ergebnisse für die Kugel (1).
  14. Wie lauten die Diagonalelemente  der Trägheitsmatrix?
  15. Gib die Trägheitsmatrix  bezogen auf das Schwerpunktsystem an.
  16. Welche Integrale  müssen in der Teilaufgabe (3) berechnet werden? Welche Veränderungen ergeben sich im Vergleich zu der Rechnung für die homogene Vollkugel?
  17. Berechne die Masse  und die Diagonalelemente.
  18. Berechne die Dichte  der Hohlkugel, die bei gleichem äußerem Radius die gleiche Masse ergibt wie die einer homogenen Vollkugel. Was ist der Unterschied in dem (den) Trägheitsmoment(en)?



    (1)


    (2)


    (3)


    Tabelle mit Winkelintegralen




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    6.7 Antwort zu H1



    Für die Berechnung der Trägheitsmatrix einer Kugel ist die einfache Skalierung


    hilfreich sowie die Verwendung von Kugelkoordinaten mit


    Der reduzierte Radius ist auf den Bereich


    beschränkt.

       Berechne die Masse  der Kugel (1).


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    6.7 Antwort zu H2



    Für die Berechnung der Masse steht das Integral


    zur Diskussion. Mit der Tabelle erhält man


    Die Masse der vorgegebenen Kugel ist (für ) größer als die Masse einer homogenen Kugel mit der Dichte .

       Wie geht man vor, um die Trägheitsmatrix  bezüglich des Schwerpunktes zu berechnen?


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    6.7 Antwort zu H3



    Durch die Aufgabenstellung ist ein Koordinatensystem , dessen Ursprung der Kugelmittelpunkt ist, vorgegeben. Aus der Sicht dieses Koordinatensystems berechnet man die Position des Schwerpunktes und die Trägheitsmatrix. Die Elemente der Trägheitsmatrix bezüglich des Schwerpunktes können dann mit dem Satz von Steiner (B6.125)


    gewonnen werden.

       Berechne die Position  des Schwerpunktes der Kugel (1).


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    6.7 Antwort zu H4



    Der Vektor , der die Position des Schwerpunktes markiert, wird durch das Integral


    bestimmt.
    Die Einzelintegrale für die Schwerpunktskoordinaten sind...
      






























































    Infolge der Symmetrie der Massenverteilung liegt der Schwerpunkt auf der -Achse. Der Vektor (von dem Schwerpunkt zu dem Bezugspunkt ) ist somit



       Erarbeite eine Vorstellung  von der Massenverteilung für die Kugel (1).


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    6.7 Antwort zu H5



    Einige alternative Darstellungen der Dichteverteilung sind in den folgenden Abbildungen zu sehen. Die Abb. 1a entspricht der Standarddarstellung der Funktion (in dem Intervall für bestimmte Werte der Parameter ). Die (oft benutzte) Polardarstellung in Abb. 1b vermittelt eine direktere Vorstellung der Situation. Aufgetragen ist in der - Ebene für jeden Wert von die Größe als Länge eines von dem Koordinatenursprung ausgehenden Strahls. In Abb. 2 wird versucht, die Situation in einem dreidimensionalen Bild zu veranschaulichen. Man sieht die konstante Dichte für drei Werte des Winkels . Die Kugelflächen (der Übersicht halber nur für eine Halbkugel dargestellt) deuten an, dass die Dichte für alle Punkte mit dem gleichen Wert von innerhalb der Kugel den gleichen Wert hat.


    Abbildung 1: Die Dichteverteilung , (1) (Parameter: , , )





    Abbildung 2: Variation der Dichte (1) mit dem Winkel (und dem Abstand )


       Welche Integrale  sind zur Berechnung der Matrixelemente im Fall der Kugel (1) auszuwerten?


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    6.7 Antwort zu H6



    Ausgehend von




    erhält man in diesem Fall für die Diagonalelemente




    und für die Deviationsmomente





       Berechne die Integrale  , , sowie , und .


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    6.7 Antwort zu H7



    Für die Teilintegrale der diagonalen Elemente der Trägheitsmatrix in dem vorgegebenen Koordinatensystem findet man










    Die Deviationsmomente




    verschwinden alle.

       Stelle die Diagonalelemente  der Trägheitsmatrix zusammen. Welche Aussage folgt aus diesen Ergebnissen und für den Fall ? Wie groß sind die Halbachsen des äquivalenten Trägheitsellipsoides?


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    6.7 Antwort zu H8



    Die Diagonalelemente der Trägheitsmatrix sind










    Die Koordinatenachsen sind Hauptachsen, da alle Deviationsmomente verschwinden. Für gehen diese Resultate in die Resultate für die homogene Kugel über. Der Term mit dem Parameter trägt zu der Trägheitsmatrix in dem System nicht bei. Für die Halbachsen des äquivalenten Trägheitsellipsoids gewinnt man über die Gleichungen


    die folgenden Aussagen











       Berechne die Hauptträgheitsmomente  für das achsenparallele Koordinatensystem durch dem Schwerpunkt.


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    6.7 Antwort zu H9



    Mit der Steinerformel


    findet man für die Hauptträgheitsmomente in dem achsenparallelen Schwerpunktsystem

    mit

    Alle Deviationsmomente verschwinden auch in dem Schwerpunktsystem. Die parallelverschobenen Achsen sind immer noch Hauptachsen. Die Massenverteilung bezüglich der -Achse ändert sich durch die Verschiebung des Bezugspunktes nicht. Aus diesem Grund ist das Hauptträgheitsmoment bezüglich dieser Achse unverändert. Die Verschiebung verändert die Hauptträgheitsmomente der anderen Achsen und zwar (infolge der Symmetrie) in gleicher Weise. Die Änderung hängt von dem zusätzlichen `Arm`, der durch den Parameter bestimmt ist, ab.

       Berechne die geforderten Größen  für den Fall der Kugel (2). Die Rechnung verläuft weitgehend analog zu dem Fall (1). Auch hier wird auf die angefügte Tabelle der Winkelintegrale verwiesen. Beginne mit der Berechnung der Masse der Kugel.


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    6.7 Antwort zu H10



    Die Masse ist




    Die `Korrektur` der Masse einer homogenen Kugel ist gegenüber dem Fall (1) verändert, da die Gewichtung (trotz der gleichen Form) durch die verschiedenen Integrationsbereiche der beiden Winkel eine andere ist.

       Entwickle eine Vorstellung  von der Dichteverteilung (2).


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    6.7 Antwort zu H11



    Das Polardiagramm (Abb. 3) in der - Ebene, in dem in der -Richtung aufgetragen ist, vermittelt einen Eindruck von der vorliegenden Situation.


    Abbildung 3: Dichteverteilung (2) in Abhängigkeit von dem Winkel (Parameter: , , )



       Welche Position  hat der Schwerpunkt? (Kann man diese andeutungsweise erraten?)


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    6.7 Antwort zu H12



    Die Schwerpunktskoordinaten sind











    Infolge der Symmetrie der Massenverteilung liegt der Schwerpunkt auf der -Achse und zwar an der Stelle



       Berechne die entsprechenden Teilintegrale  , , und die Deviationsmomente , und der Trägheitsmatrix. Kommentiere in Bezug auf die Ergebnisse für die Kugel (1).


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    6.7 Antwort zu H13



    Für die Teilintegrale der diagonalen Elemente der Trägheitsmatrix berechnet man in dem vorgegebenen Koordinatensystem in der gleichen Weise wie zuvor










    Die Deviationsmomente




    verschwinden auch für diese Massenverteilung.

       Wie lauten die Diagonalelemente  der Trägheitsmatrix?


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    6.7 Antwort zu H14



    Die Addition der Einzelintegrale und die Verwendung des Ausdrucks für die Masse liefert die folgenden Ergebnisse




    Die Ergebnisse für diese Massenverteilung unterscheiden sich von denen der Teilaufgabe (1) in den folgenden Punkten: Bei der Teilaufgabe (1) besteht keine Symmetrie bezüglich der Vertauschung der - und -Achsen, das Hauptträgheitsmoment bezüglich der -Achse ist gegenüber dem der homogenen Kugel nicht verändert. In der Teilaufgabe (2) ist die Symmetrie zwischen den - und -Achsen gegeben und alle Hauptträgheitsmomente werden gegenüber der homogenen Kugel modifiziert. Die Struktur der Modifikationen ist (abgesehen von Zahlenwerten) in beiden Teilaufgaben sehr ähnlich.

       Gib die Trägheitsmatrix  bezogen auf das Schwerpunktsystem an.


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    6.7 Antwort zu H15



    Wie im Fall (1) erhält man mit der Steinerformel keine Veränderung der Deviationsmomente, da die Verschiebung wiederum nur in einer Koordinatenrichtung stattfindet. Für die Hauptträgheitsmomente gilt in diesem Fall

    mit


       Welche Integrale  müssen in der Teilaufgabe (3) berechnet werden? Welche Veränderungen ergeben sich im Vergleich zu der Rechnung für die homogene Vollkugel?


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    6.7 Antwort zu H16



    Die Winkelintegrale unterscheiden sich (Benutzung von Kugelkoordinaten vorausgesetzt) nicht von dem Fall der Vollkugel. Es treten auch die gleichen Radialintegrale jedoch mit der unteren Grenze anstatt Null auf. Für diese Radialintegrale gilt





       Berechne die Masse  und die Diagonalelemente.


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    6.7 Antwort zu H17



    Die Masse ist


    Wie zuvor gilt infolge der Kugelsymmetrie


    so dass man die Diagonalelemente über das Integral


    berechnen kann. Man erhält


    Für die Deviationsmomente gilt wie zuvor



       Berechne die Dichte  der Hohlkugel, die bei gleichem äußerem Radius die gleiche Masse ergibt wie die einer homogenen Vollkugel. Was ist der Unterschied in dem (den) Trägheitsmoment(en)?


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    6.7 Antwort zu H18







    Die Trägheitsmomente der gleich schweren Hohlkugel erhält man, wenn man in dem Resultat


    die Masse der Vollkugel einsetzt


    im Vergleich zur Vollkugel mit


    gilt also


    Die Trägheitsmomente der Hohlkugel sind größer als die einer Vollkugel mit gleichem Radius und gleicher Masse, da die Beiträge zu dem Radialintegral, die weiter von den Koordinatenachsen entfernt sind, stärker gewichtet werden.

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