Lösung der Aufgabe 6.3
Abbildung 3:
Die Geometrie des Doppelpendels

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Für das gefederte Doppelpendel mit den vier Freiheitsgraden (
) lautet die Lagrangefunktion
Man gewinnt daraus die Bewegungsgleichungen
Sortierung nach den vier Ableitungen zweiter Ordnung liefert dann die
(einfacher programmierbaren) Bewegungsgleichungen für das Doppelpendel
mit zwei Federn
Möchte man eine der Federn (bzw. beide Federn) durch eine (bzw. zwei)
starre Stangen ersetzen, so muss man den Grenzfall
in dem
ersten Satz von Gleichungen durchführen und nur die Bewegungsgleichungen
für die relevanten generalisierten Koordinaten für die weitere Diskussion
beibehalten. Man erhält so z.B. für das klassische Doppelpendel mit
zwei starren Stangen
In der harmonischen Näherung (kleine Ausschläge) wird es durch die
Differentialgleichungen
beschrieben. Lösung dieser linearen Differentialgleichungen
ergibt Eigenmoden mit den Frequenzen
die in dem Fall gleicher Massen und gleicher Pendellängen antisymmetrischen
und symmetrischen (-) Normalschwingungen entsprechen.
Aufruf
eines Applets
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008