Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.3
  1. Wähle geeignete generalisierte Koordinaten   zur Charakterisierung der Bewegung des gefederten Doppelpendels in der Ebene.
  2. Bestimme die Transformationsgleichung  zwischen den kartesischen Koordinaten der beiden Massen und den generalisierten Koordinaten. Berechne den Zusammenhang zwischen den kartesischen Geschwindigkeiten und den generalisierten Geschwindigkeiten.
  3. Stelle die kinetische Energie  durch die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten dar.
  4. Betrachte die potentielle Energie.  Stelle sie durch die generalisierten Koordinaten dar.
  5. Berechne die Ableitungen  der Lagrangefunktion, die zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen notwendig sind.
  6. Leite die vier Bewegungsgleichungen  nach dem Standardmuster


    her. Kommentiere.
  7. Sortiere die Lagrange Bewegungsgleichungen  durch Lösung eines Systems von linearen Gleichungen, in denen die zweiten Ableitungen der vier Variablen die Rolle der Unbekannten spielen. Die Terme, in denen keine zweiten Ableitungen auftreten, stellen die inhomogenen Terme dar.
  8. Betrachte die Bewegungsgleichungen z.B. in dem Grenzfall 


    ersetze also die Federn durch starre Stangen. Kommentiere das Ergebnis.
  9. Berechne die Bewegungsgleichungen für das klassische Doppelpendel  mit starren Stangen im Fall kleiner Auslenkungen (harmonische Näherung).
  10. Bestimme die Eigenfrequenzen  des linearen klassischen Doppelpendels mittels der ersten Schritte zur Lösung der linearisierten Differentialgleichung.
  11. Betrachte die Eigenfrequenzen und Normalkoordinaten  des linearisierten Problems für das Beispiel gleicher Massen und gleicher Pendellänge .



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6.3 Antwort zu H1



Wie bei vielen Pendelproblemen benutzt man am besten den Auslenkwinkel und die Pendellänge (hier variabel) als generalisierte Koordinaten.

   Bestimme die Transformationsgleichung  zwischen den kartesischen Koordinaten der beiden Massen und den generalisierten Koordinaten. Berechne den Zusammenhang zwischen den kartesischen Geschwindigkeiten und den generalisierten Geschwindigkeiten.


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6.3 Antwort zu H2



Wählt man das kartesische Koordinatensystem wie in Abb. 2 angedeutet, so kann man die Positionen der beiden Massen wie folgt ablesen.


Abbildung 2: Die Geometrie des Doppelpendels



Für die erste Masse gilt


für die zweite Masse




Hier deutet sich schon die Verkopplung der Bewegungen an. Für die Ableitungen erhält man




wobei eine kleine Abkürzung eingeführt wurde.

   Stelle die kinetische Energie  durch die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten dar.


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6.3 Antwort zu H3



Die kinetische Energie


entspricht mit den obigen Abkürzungen


Auswertung der einzelnen Beiträge ergibt




sowie




Die Zusammenfassung lässt sich mit dem Differenzwinkel vereinfachen. Das Resultat ist





   Betrachte die potentielle Energie.  Stelle sie durch die generalisierten Koordinaten dar.


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6.3 Antwort zu H4



Bezeichne die Längen der nicht ausgelenkten Federn mit und . Die potentielle Energie setzt sich aus zwei Beiträgen zusammen. Die potentielle Energie aufgrund der Rückstellkraft (nach dem Hookeschen Gesetz) ist


die potentielle Energie der Gravitation (mit dem Aufhängepunkt der oberen Feder, hier die Position der -Achse, als Referenzpunkt und der angegebenen Richtung der x-Achse)





   Berechne die Ableitungen  der Lagrangefunktion, die zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen notwendig sind.


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6.3 Antwort zu H5



Man benötigt die Ableitungen der Lagrangefunktion nach den generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten. Diese sind





   Leite die vier Bewegungsgleichungen  nach dem Standardmuster


her. Kommentiere.


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6.3 Antwort zu H6



Die Ergebnisse dieser mit einiger Schreibarbeit verbundenen Rechnung sind:




Die Bewegungsgleichungen zeichnen sich durch eine merkliche Symmetrie aus. Ein Unterschied ergibt sich durch eine verschiedene Gewichtung mit den Massen und in einigen Vorzeichen. Auch hier zeigt sich die starke Kopplung der Bewegung der beiden Massenpunkte. Zwecks (numerischer) Lösung ist jedoch eine weitere Aufbereitung notwendig. Isoliere die einzelnen Ableitungen zweiter Ordnung, so dass die Bewegungsgleichungen die Form


haben.

   Sortiere die Lagrange Bewegungsgleichungen  durch Lösung eines Systems von linearen Gleichungen, in denen die zweiten Ableitungen der vier Variablen die Rolle der Unbekannten spielen. Die Terme, in denen keine zweiten Ableitungen auftreten, stellen die inhomogenen Terme dar.


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6.3 Antwort zu H7



Auch zur Bewältigung dieses Schrittes ist ein gewisser Schreibaufwand und geschickte Organisation erforderlich. Als Methoden bieten sich die Anwendung von Cramer's Regel (da Determinanten auszuwerten sind, vielleicht nicht der geschickteste Zugang) und die Umformung des Gleichungssystems auf eine Dreiecksform (durch Kombination von Zeilen) an. Das Ergebnis der länglichen Sortierung ist:




Überprüfe diese Ergebnisse durch Einsetzen in die Ausgangsgleichungen.

   Betrachte die Bewegungsgleichungen z.B. in dem Grenzfall 


ersetze also die Federn durch starre Stangen. Kommentiere das Ergebnis.


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6.3 Antwort zu H8



In dem Grenzfall erhält man die Gleichungen


Diese Gleichungen sind (offensichtlich) nicht korrekt. Die Aussage ist somit: Man darf, im Einklang mit den Zwangsbedingungen, nur die Bewegungsgleichungen betrachten, die wirklichen, generalisierten Koordinaten entsprechen. Ist z.B. , so müssten die partiellen Ableitungen


in dem Grenzfall verschwinden, tun es aber nicht. Die inkorrekte Bewegungsgleichung für wird aber bei der Sortierung benutzt und bedingt somit einen falschen Satz von Bewegungsgleichungen, wenn man den Grenzfall nach der Sortierung durchführt. Eine korrekte Behandlung des genannten Grenzfalls verlangt somit:

   Berechne die Bewegungsgleichungen für das klassische Doppelpendel  mit starren Stangen im Fall kleiner Auslenkungen (harmonische Näherung).


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6.3 Antwort zu H9



Entwicklung der trigonometrischen Funktionen in linearer Näherung ergibt




Zusätzlich muss man in konsistenter linearer Näherung die Terme in und vernachlässigen, so dass letztendlich für kleine Auslenkungen beider Pendel die Differentialgleichungen




zur Diskussion stehen.

   Bestimme die Eigenfrequenzen  des linearen klassischen Doppelpendels mittels der ersten Schritte zur Lösung der linearisierten Differentialgleichung.


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6.3 Antwort zu H10



Die Linearität der Differentialgleichung erlaubt den Ansatz


Die gleiche Argumentation wie bei der linearen Oszillatorkette führt für jedes auf das lineare Gleichungssystem (unterdrücke den Index )




mit der charakteristischen Gleichung


Die Lösung dieser quadratischen Gleichung in kann man in der Form angeben



   Betrachte die Eigenfrequenzen und Normalkoordinaten  des linearisierten Problems für das Beispiel gleicher Massen und gleicher Pendellänge .


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6.3 Antwort zu H11



Für dieses spezielle Doppelpendel sind die Eigenfrequenzen bei kleinen Ausschlägen




Es kommen nur die positiven Wurzeln von in Frage. Die Normalschwingungen werden durch




charakterisiert. Es liegt (in gewisser Analogie zu der Federkette mit zwei gleichen Massen und drei gleichen Federn) eine antisymmetrische und eine symmetrische (-) Normalschwingung vor.


JAVA
Aufruf eines Applets



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