Lösung der Aufgabe 6.5
Die Fragestellung wird als Wurfproblem für einen Massenpunkt analysiert. Zur
Modellierung des Wasserstrahls ist bei der Betrachtung aus der Sicht
eines Inertialsystems die Drehung des Startpunktes für
aufeinanderfolgende Wassertropfen zu berücksichtigen.
Im Fall A findet man als Lösung der Bewegungsgleichungen aus der Sicht
des rotierenden Systems
für die vorgegebenen Anfangsbedingungen
Während der Massenpunkt steigt und fällt, bewegt er sich in der
Projektion auf die
-
Ebene auf einer Spirale.
Die Spirale ist die Bahn, die ensteht, wenn man die Bewegung auf einem
Stück der Geraden
bzw.
in dem Inertialsystem aus der Sicht des rotierenden Systems betrachtet.
Die Bewegung auf der Geraden entspricht der Lösung der kräftefreien
Bewegungsgleichungen
für die gegebenen Anfangsbedingungen.
Im Fall B gelten per Vorgabe im rotierenden System die Bewegungsgleichungen
Die Lösungen dieses Differentialgleichungssystems (bei den gegebenen
Anfangsbedingungen) sind
neben der gleichen Lösung für
wie zuvor. Die Projektion der
Bahn in die
-
Ebene ist ein Kreis
Aus der Sicht des Inertialsystems findet man durch Transformation
Die Bahngleichung ist hier eine Ellipse, die um den Winkel
gegen die
-Achse geneigt ist. Die Parameterdarstellung der Bahn entspricht
den Lösungen der Differentialgleichungen
die die (unphysikalischen) Zentripetalwirkungen wiedergeben, die im Inertialsystem
anzusetzen sind, um die Konsistenz der Transformation zwischen den beiden Systemen zu
gewährleisten.
(Die Animationen sind hier auch getrennt für den
Fall A
und den
Fall B
aufzurufen.)
Aufruf
eines Applets zum Spielen...
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008