Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.8
-
Zeige, dass die von der
Parameterdarstellung beschriebene Fläche
geschlossen ist. Fertige eine Skizze der Funktionen
und
an.
-
Welche
Differentialgleichungen
(mit welchen Anfangsbedingungen)
erfüllen die Funktionen
und
?
-
Beschreibe und skizziere die
Lissajousfigur
(Extremalstellen, Nullstellen, Form,
Umlaufsinn, etc).
-
Wie kann die eingeschlossene
Fläche berechnet
werden?
-
Gib das
Integral
an und führe die Integration
durch.
(Beachte den Umlaufsinn!!)
-
Gilt der
Flächenerhaltungssatz?
Werkzeuge
|
Zurück zur Aufgabenstellung
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
2.8 Antwort zu H1
Als Funktionen von
(setze für die folgende Argumentation
) haben
und
die Periode
bzw.
. Die beiden Funktionen sind in
Abb. 1 für den Bereich
dargestellt. Sie haben für
den gleichen Wert Null. Die durch die Parameterdarstellung beschriebene,
ebene Kurve verläuft für diese
-Werte durch den Koordinatenursprung.
Da sich das Bild in den Intervallen
wiederholt
und da die Parameterfunktionen stetig sind, liegt eine geschlossene Kurve
vor.
Abbildung 1:
Die Funktionen
und
 |
Welche
Differentialgleichungen
(mit welchen Anfangsbedingungen)
erfüllen die Funktionen
und
?
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
2.8 Antwort zu H2
Die Funktionen sind Lösungen der Differentialgleichungen
mit den Anfangsbedingungen
und
. Eine Überlagerung von Oszillatorlösungen in
zwei orthogonalen Koordinatenrichtungen entspricht einer Lissajousfigur.
Beschreibe und skizziere die
Lissajousfigur
(Extremalstellen, Nullstellen, Form,
Umlaufsinn, etc).
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
2.8 Antwort zu H3
Um die Kurve zu skizzieren, ist die Anfertigung einer groben Wertetabelle
nützlich.
Da sich dieses Zahlenmuster (auf- und absteigend) bis auf Vorzeichen
wiederholt, ist es ausreichend die Vorzeichen zu notieren.
Die in Abb. 2 skizzierte Lissajous-Acht wird, beginnend im
Koordinatenursprung, im ersten Quadranten gegen den Uhrzeigersinn
durchlaufen. Für den Parameterwert
ist der höchste
Punkt erreicht, die obere Schleife wird im zweiten Quadranten vollendet.
Die untere Schleife beginnt ebenfalls im Koordinatenursprung (Parameterwert
), durchläuft den vierten und danach den dritten Quadranten,
um für
zum Ursprung zurückzukehren.
Abbildung 2:
Die Funktion
für die Lissajous-Acht
 |
Die Extremalstellen der Funktionen
bzw.
können über
die Kettenregel diskutiert werden, so findet man z.B. für
die Extremalstellen
. Die entsprechenden
-Werte sind (beachte die Zweideutigkeit der Funktion)
.
Wie kann die eingeschlossene
Fläche berechnet
werden?
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
2.8 Antwort zu H4
Die Fläche der Kurve kann über die Flächengeschwindigkeit
mittels Integration bestimmt werden.
Gib das
Integral
an und führe die Integration
durch.
(Beachte den Umlaufsinn!!)
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
2.8 Antwort zu H5
Die Fläche der Kurve kann mit Hilfe der Flächengeschwindigkeit
berechnet werden (siehe auch Math.Kap. 5.3.1). Mit
erhält man für
Das Kreuzprodukt ist
 |
(1) |
Nur die
-Komponente ist von Null verschieden
Mit
und
vereinfacht sich die
-Komponente des Kreuzproduktes zu
Der Betrag des Flächengeschwindigkeitsvektors ist also
Bei der nun anstehenden Integration ist zu beachten, dass die obere Hälfte der
Lissajous-Acht im positiven Sinn (Rechte Handregel), die untere im negativen Sinn
durchlaufen wird. Der gesamte Flächeninhalt der Lissajousfigur ist somit
wobei die Zeit für den vollen Umlauf
ist. Aus Symmetriegründen
erwartet man, dass
ist. Dies kann durch die einfache Substitution
in dem rechten Integral gezeigt
werden.
Den Werkzeugen (oder einer Integraltafel) entnimmt man
Die Substitution
mit
ergibt
Gilt der
Flächenerhaltungssatz?
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
2.8 Antwort zu H6
Der Flächenerhaltungssatz gilt, wenn der Betrag der Flächengeschwindigkeit
konstant ist.
Die Funktion
ist jedoch in dem Beispiel eine Funktion der Zeit
.
Der Flächenerhaltungssatz gilt also in diesem Fall nicht. Für die Berechnung des Flächeninhaltes
ist die Gültigkeit des Flächenerhaltungssatzes nicht erforderlich.
Aufruf
eines Applets zum Spielen...
Zurück zu den Hinweisen
Zurück zur Aufgabenstellung
Zurück zum Inhaltsverzeichnis
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
.