Für die uniforme Bewegung der Ebene nach oben () gilt
so dass sich für die Bahnkurve die Parameterdarstellung
ergibt.
Dies entspricht dem freien Fall auf einer stationären schiefen Ebene,
dem eine uniforme Bewegung in -Richtung überlagert ist. Die Energiesituation
wird durch die folgenden Gleichungen beschrieben:
kinetische Energie
potentielle Energie
Daraus ergibt sich über
für die an der Masse in dem Zeitintervall [0,t] geleistete Arbeit
Die Zwangskraft
hängt nicht von der Zeit ab. Sie wird durch den `uniformen Druck`
der Masse auf die Unterlage erzeugt.
Diskutiere den
Bewegungsablauf
und die zeitliche Änderung der Energien
auf der Basis dieser Resultate.
Wegen der Überlagerung von zwei gegenläufigen Bewegungsformen
in der -Richtung steigt der Massenpunkt zunächst und erreicht
eine maximale Höhe zu dem Zeitpunkt
In dem Maximalpunkt
ist die Geschwindigkeit
Für Zeiten mit bewegt sich der Massenpunkt weiter
in Richtung der positiven -Achse, fällt jedoch infolge der
Erdbeschleunigung.
Zur Zeit passiert er wieder einen Punkt mit .
Die potentielle Energie erreicht (entsprechend der -Koordinate)
zum Zeitpunkt
Abbildung 2:
Fall (a): Kinetische (grün) und potentielle(blau) Energie
sowie Arbeit (rot) in der Nähe des Maximums der potentiellen Energie
Die anfängliche kinetische Energie ist
Während der Steigphase nimmt sie zunächst ab, da der Beitrag in
der -Richtung schneller abnimmt als der Beitrag in der -Richtung
wächst, und erreicht zu dem Zeitpunkt den Minimalwert (Abb. 3)
Abbildung 3:
Fall (a): Kinetische (grün) und potentielle (blau) Energie
sowie Arbeit (rot) in der Nähe des Minimums der kinetischen Energie
Es ist (wobei das Gleichheitszeichen nur für gilt).
Die kinetische Energie erreicht, mit Beiträgen in der - und der
-Richtung, ein Minimum bevor die potentielle Energie, die nur durch
einen Beitrag in der -Richtung bestimmt ist, ein Maximum erreicht. Zu
dem Zeitpunkt beträgt die kinetische Energie
Dies entspricht dem Beitrag der -Komponente im höchsten Punkt der
Bahnkurve. Für spätere Zeiten nimmt die kinetische Energie infolge der
nun einsetzenden Fallbewegung (dominant quadratisch mit der Zeit) zu.
Die in dem Zeitintervall
an der Masse geleistete Arbeit
wächst linear mit der Zeit an. Bis zu dem Erreichen des höchsten Punktes
ist diese Arbeit
Ist , so fällt der Massenpunkt vom Anfangszeitpunkt an mit der Ebene.
Die potentielle Energie weist dann kein Maximum und die kinetische Energie
kein Minimum auf. Die Arbeitsleistung ist negativ.
Berechne die
explizite Bahnkurve
und diskutiere deren Details.
Für gilt und .
Die Ebene ist waagrecht und bewegt sich uniform nach oben.
Die Gravitation wird durch die Zwangskraft
vollständig kompensiert. In diesem kräftefreien Fall wird
die Masse (für ) mit der Ebene angehoben. Es findet
keine Bewegung in der -Richtung statt.
Die Aussagen für die Extremalstellen etc. verlieren mit
ihren Sinn. Die kinetische Energie bleibt konstant, die potentielle
Energie, die gleich der an der Masse geleisteten Arbeit ist, wächst
linear mit der Zeit.
Betrachte die Bewegung für den
Spezialfall.
Die Ebene steht senkrecht. Die `Zwangsbedingung` lautet dann ,
eine Aussage, die durch die Lösung
bestätigt
wird. Für die -Koordinate gilt
.
Die Masse beginnt mit der Anfangsgeschwindigkeit (z.B. nach oben)
und führt eine uneingeschränkte Fallbewegung aus. Die Zwangskraft und
damit die an der Masse geleistete Arbeit verschwinden.
Diskutiere die Bewegung der Masse für eine
beschleunigte Ebene
(Fall (b)).
Die Bahnkurve ist ebenfalls eine Parabel (Abb. 6), wobei die Details davon
abhängen, ob oder und
oder
ist.
Die explizite Darstellung der Bahnkurve ist auch hier
mit
Abbildung 6:
Fall (b): Bahnkurve z(x) für die beschleunigte Ebene
(Parameter:
,
,
,
,
)
Beispiele für verschiedene Werte von
(und den gleichen Parametern wie in Abb. 6)
sind in
Abb. 7 gezeigt.
Abbildung 7:
Bahnkurve z(x) für die beschleunigte Ebene (Fall (b)) für verschiedene
Die Masse kann also, infolge der zusätzlichen Beschleunigung (nach oben
() oder nach unten ()), eine größere Vielfalt von Bahnkurven
verfolgen.
Diskutiere die
Zwangskraft
und die Energieverhältnisse für die beschleunigte
Bewegung der Ebene.
wird durch die zusätzliche Beschleunigung modifiziert. Wird die Ebene
z.B. mit nach unten beschleunigt, so verschwindet die Zwangskraft.
Für die beiden Energieterme findet man
Auch bei den Energietermen zeigt sich die größere Vielfalt an
Bahnformen. Während für die Situation (a) die potentielle Energie für
große Zeiten immer negativ wird, da die Masse letztlich fällt, ist hier
eine ständig wachsende potentielle Energie möglich: Die Beschleunigung
durch die Ebene (unterstützt durch die Neigung der Ebene) kann über die
Erdanziehung dominieren.
Abbildung 8:
Fall (b): Zeitabhängigkeit der Energien für verschiedene Werte von
(Parameter:
,
,
,
)
Die an der Masse geleistete Arbeit
verdeutlicht noch einmal das Zusammen- oder Gegeneinanderwirken der
beiden Beschleunigungen.
Abbildung 9:
Fall (b): Zeitabhängigkeit der Arbeit für verschiedene Werte von
In dem Grenzfall ist die Zwangskraft
.
Die Beschleunigung der Ebene übernimmt wegen
gleichsam die Rolle einer Erdbeschleunigung (vorausgesetzt es ist ).
Der Grenzfall
(der freie Fall findet parallel zu der
vertikal orientierten beschleunigten Ebene statt) unterscheidet sich
nicht wesentlich von den Resultaten im Fall (a).
Diskutiere die
Bahnform
für die oszillierende Ebene
.