6.3 Das gefederte und das ungefederte Doppelpendel
Das Doppelpendel ist ein weiteres Beispiel, in dem durch die nichtlineare
Kopplung der Bewegung von zwei Massen, chaotische Bereiche
erschlossen werden können. Die Aufgabe beschränkt sich jedoch auf
die Aufstellung und die Diskussion der Bewegungsgleichungen der beiden
Massen für das klassische Doppelpendel (mit der Sequenz
Aufhängung-Starre Stange-Masse-Starre Stange-Masse)
sowie Varianten, in denen eine oder beide Stangen durch Federn ersetzt
werden. Die einschlägigen Rechnungen (die nicht alle auszuführen sind)
verlangen, obwohl sie im Prinzip elementar sind, ein gewisses mathematisches
Stehvermögen. Auch dieses will geübt sein.
Die intrikaten Bewegungsformen des gefederten oder ungefederten
Pendels können mit einem Applet nachempfunden werden.
Aufgabenstellung
Zwei Massen(punkte)
und
sind durch eine Feder (Federkonstante
) verbunden. Die Masse
ist mittels einer weiteren Feder (
)
an einer horizontalen Vorrichtung befestigt (Abb. 1). Die Massen
dieses gefederten Doppelpendels können sich unter dem Einfluss der
(Hookeschen) Rückstellkräfte und der einfachen Gravitation in einer
Ebene bewegen.
Abbildung 1:
Das Doppelpendel

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- Bestimme die Lagrangefunktion und die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen
des gefederten Doppelpendels in geeigneten generalisierten Koordinaten.
- Sortiere diese Gleichungen in der Form
für die vier relevanten Freiheitsgrade.
- Betrachte den Grenzfall des klassischen Doppelpendels
(Aufhängung-Starre Stange-Masse-Starre Stange-Masse). Was stimmt
nicht? Wie muss man diesen Fall richtig behandeln. Wie erhält man die
korrekten Bewegungsgleichungen (sortiert oder unsortiert) für ein
Doppelpendel mit einer Feder und einer starren Stange?
- Diskutiere die harmonische Näherung (kleine Ausschläge) für
das klassische Doppelpendel.
Fragen
zur schrittweisen Gewinnung der Lösung
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008