Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.2
  1. Skizziere die beiden Funktionen und .
  2. Berechne die Umkehrpunkte der beiden Funktionen und .
  3. Berechne die zweite Ableitung der Funktionen und und führe die gewonnenen Ausdrücke auf Terme in und/oder zurück.


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2.2 Antwort zu H1



Abbildung 1: Die Funktionen und

   Berechne die Umkehrpunkte der beiden Funktionen und .


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2.2 Antwort zu H2



Die Umkehrpunkte sind durch die Bedingung



bestimmt. Die Ableitung der ersten Funktion ist




Daraus gewinnt man die Extremalstellen (abwechselnd Maximum und Minimum)



Abbildung 2: Die Funktionen und

Für die zweite Funktion folgt entsprechend




Abbildung 3: Die Funktionen und

Der Zeitunterschied zwischen benachbarten Umkehrpunkten der beiden Funktionen beträgt



   Berechne die zweite Ableitung der Funktionen und und führe die gewonnenen Ausdrücke auf Terme in und/oder zurück.


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2.2 Antwort zu H3






Der erste Term der rechten Seite kann direkt durch ersetzt werden. Der zweite Term erfordert eine kurze Umschreibung: Löse die oben aufgestellte Gleichung für die Geschwindigkeit


nach auf




Damit kann wie folgt geschrieben werden




Abbildung 4: Die Funktionen und


Für die zweite Funktion ist die Angelegenheit einfacher:


Abbildung 5: Die Funktionen und


setzt sich aus einer Reibungskomponente proportional und entgegengerichtet zu der Geschwindigkeit (entspricht einer Reibungskraft) und einer 'harmonischen' Komponente (proportional zu einer Hookeschen Kraft) zusammen.

Die Beschleunigung entspricht einer harmonischen Kraft.

Animierte Darstellung des Bewegungsablaufs


Abbildung 6: Die Bahnkurve, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Funktion der Zeit



Abbildung 7: Die Funktion mit den Geschwindigkeitsvektoren
Abbildung 8: Die Funktion mit den Beschleunigungsvektoren




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