Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.13
  1. Fertige eine Skizze   an.
  2. Welche Kraft  wirkt auf die Waagschale?
  3. Formuliere einen Ansatz  für die erste Kraft.
  4. Formuliere einen Ansatz für die zweite  Kraft.
  5. Man benötigt eine Aussage  über die Geschwindigkeit . Wie gewinnt man sie?
  6. Gib die Relation  zwischen dem Massenelement und und seiner Länge an. Bestimme .
  7. Wie lautet somit und die Gesamtkraft?  Welchen Zahlenwert hat die Gesamtkraft?



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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































3.13 Antwort zu H1



Abbildung 1: Die fallende Kette

   Welche Kraft  wirkt auf die Waagschale?


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3.13 Antwort zu H2



Die Kraft auf die Waage setzt sich aus zwei Beiträgen zusammen. Der statische Beitrag ist das Gewicht des Teils der Kette, der auf der Waage liegt. Ein dynamischer Beitrag ergibt sich dadurch, dass das Kettenglied, das zu einem gegebenen Zeitpunkt die Waage trifft, einen Kraftstoß auf die Waage überträgt.

   Formuliere einen Ansatz  für die erste Kraft.


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3.13 Antwort zu H3



Das Gewicht des Teils der Kette, der auf der Waage liegt, beträgt



   Formuliere einen Ansatz für die zweite  Kraft.


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3.13 Antwort zu H4



Die entsprechende Kraft auf die Waage bestimmt man mit der folgenden Überlegung: Ein infinitesimaler Teil der Kette mit der Masse trifft mit einer Geschwindigkeit auf die Waagschale und kommt auf ihr in sehr kurzer Zeit zur Ruhe. Aus diesem Grund kann man für den Impulsübertrag und den damit verbundenen Kraftstoß den Ansatz machen


wobei die Richtung des Kraftvektors mit der Richtung des Geschwindigkeitsvektors (nach `unten` ) übereinstimmt. Die dynamische Kraft ist somit durch Auflösung dieser Relation als


gegeben.

   Man benötigt eine Aussage  über die Geschwindigkeit . Wie gewinnt man sie?


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3.13 Antwort zu H5



Die gewünschte Aussage gewinnt man aus dem Energiesatz. Das Glied der Kette befindet sich zur Zeit in der Höhe und hat die Anfangsgeschwindigkeit . Nach der Fallstrecke trifft es mit der Geschwindigkeit auf die Waagschale. Gemäß dem Energiesatz erhält man für





   Gib die Relation  zwischen dem Massenelement und und seiner Länge an. Bestimme .


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3.13 Antwort zu H6



Das Massenelement ist


seine zeitliche Änderung auf der Waagschale also


Die Ableitung von gibt die Geschwindigkeit an, mit der das Kettenglied auf die Waage auftrifft.

   Wie lautet somit und die Gesamtkraft?  Welchen Zahlenwert hat die Gesamtkraft?


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3.13 Antwort zu H7



Die dynamische Kraft ergibt sich zu


so dass die Gesamtkraft, die auf der Waage registriert wird


dem 3-fachen Gewicht des auf der Waage befindlichen Teils der Kette entspricht. Mit den angegebenen Zahlenwerten erhält man



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