Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.6
  1. Gib die Masse   des Quaders an.
  2. Wie wird das Diagonalelement  berechnet?
  3. Bestimme mit möglichst geringem Aufwand  die anderen Diagonalelemente , .
  4. Welche Integrale  sind zur Berechnung der Deviationsmomentes auszuwerten?
  5. Gib die Elemente  der Trägheitsmatrix für einen Würfel an.
  6. Das Ellipsoid wird durch die implizite Gleichung


    beschrieben. Finde eine Variablensubstitution,  die eine einfache Berechnung der anfallenden Integrale ermöglicht. Welche Koordinaten benutzt man am zweckmäßigsten zur Auswertung der dann anstehenden Integrale?
  7. Welche Strategie  sollte man bei der Berechnung der Elemente der Trägheitsmatrix des Ellipsoides verfolgen?
  8. Berechne die benötigten Teilintegrale. 
  9. Setze nun die Elemente  der Trägheitsmatrix zusammen.
  10. Berechne die Masse  des Ellipsoids und verwende das Ergebnis, um den Ausdruck für die Hauptträgheitselemente zu vereinfachen.
  11. Wie würden diese Rechnungen in Zylinderkoordinaten  aussehen? Gib die Transformation der kartesischen in Zylinderkoordinaten an und berechne
  12. Gib die Trägheitsmatrix  einer Kugel an.

Tabelle mit Winkelintegralen




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6.6 Antwort zu H1



Die Masse kann sofort angegeben werden



   Wie wird das Diagonalelement  berechnet?


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6.6 Antwort zu H2



Aus der allgemeinen Definition (B6.109)


folgt für das erste Diagonalelement (in kartesischen Koordinaten!)




Das Integral über kann direkt angegeben werden, die zwei folgenden werden schrittweise ausgewertet




Mit


erhält man das Ergebnis



   Bestimme mit möglichst geringem Aufwand  die anderen Diagonalelemente , .


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6.6 Antwort zu H3



Infolge der Symmetrie (Umbenennung der Achsen) ist





   Welche Integrale  sind zur Berechnung der Deviationsmomentes auszuwerten?


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6.6 Antwort zu H4



Bei der Berechnung der Deviationsmomente treten Integrale des Typs


mit Teilintegralen der Form


auf. Folglich verschwinden (wie infolge der Wahl der Symmetrieachsen als Koordinatenachsen zu erwarten) alle Deviationsmomente.

   Gib die Elemente  der Trägheitsmatrix für einen Würfel an.


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6.6 Antwort zu H5



Für den Würfel mit erhält man



   Das Ellipsoid wird durch die implizite Gleichung


beschrieben. Finde eine Variablensubstitution,  die eine einfache Berechnung der anfallenden Integrale ermöglicht. Welche Koordinaten benutzt man am zweckmäßigsten zur Auswertung der dann anstehenden Integrale?


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6.6 Antwort zu H6



Die Variablensubstitution


ergibt in den gestrichenen Koordinaten die Gleichung einer Kugel


Die Substitution ergibt




Für die weitere Auswertung kann man Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten benutzen.

   Wie sind die Kugelkoordinaten und das dazugehörige Volumenelement definiert?
























































(siehe Kap. 2.4.2).

   Welche Strategie  sollte man bei der Berechnung der Elemente der Trägheitsmatrix des Ellipsoides verfolgen?


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6.6 Antwort zu H7



Der allgemeine Ausdruck (in Kugelkoordinaten) lautet




mit


Die sechs Elemente der Trägheitsmatrix sind explizit







Man berechnet zunächst die anstehenden Teilintegrale. Zur Kontrolle steht eine

Tabelle mit Winkelintegralen
zur Verfügung.



   Berechne die benötigten Teilintegrale. 


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6.6 Antwort zu H8



Die folgenden Einzelintegrale treten bei der Berechnung der Diagonalelemente auf:










Für die Deviationsmomente benötigt man Integrale wie




Die Integration über liefert den Wert Null, so dass das gesamte Integral verschwindet


Auch die Deviationsmomente




und




haben wegen der Integrale über den Wert Null.

   Setze nun die Elemente  der Trägheitsmatrix zusammen.


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6.6 Antwort zu H9



Man erhält das Resultat





   Berechne die Masse  des Ellipsoids und verwende das Ergebnis, um den Ausdruck für die Hauptträgheitselemente zu vereinfachen.


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6.6 Antwort zu H10



Die Masse des Ellipsoids ist




Die diagonalen Elemente der Trägheitsmatrix können in der Form




angegeben werden.

   Wie würden diese Rechnungen in Zylinderkoordinaten  aussehen? Gib die Transformation der kartesischen in Zylinderkoordinaten an und berechne


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6.6 Antwort zu H11



Die Transformationsgleichungen lauten




Die Integralgrenzen sind nicht mehr konstant




Das erste Teilintegral hat dann die Form




und (natürlich!) den gleichen Wert wie zuvor berechnet. Die Auswertung in Kugelkoordinaten ist in diesem Beispiel etwas einfacher zu handhaben.

   Gib die Trägheitsmatrix  einer Kugel an.


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6.6 Antwort zu H12



Die oben aufgeführten Einzelintegrale kann man auch zur Berechnung der Trägheitsmatrix einer Kugel benutzen. Mit erhält man


Die Detailrechnung würde wie folgt verlaufen




Während für die Kugel infolge der höheren Symmetrie eine abgekürzte Bestimmung der Trägheitsmatrix möglich ist (siehe Kap. 6.3.3.1), ist für das Ellipsoid eine explizitere Auswertung erforderlich.




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