5.9 Mathematisches Pendel: Ebene Bewegung des Aufhängepunktes
Die Beschreibung der Bewegung eines mathematischen Pendels mit einem
Aufhängepunkt, der sich auf einer Ellipse bewegt, ist ein Problem mit
holonom, rheonomen Nebenbedingungen. Probleme dieser Art kann man mit
den Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art fassen, die resultierenden
Bewegungsgleichungen sind jedoch (in den meisten Fällen) nicht
analytisch lösbar. In dieser Aufgabe wird die Aufstellung der
Bewegungsgleichung durchgeführt und die Struktur dieser
Differentialgleichung für eine Reihe von Spezialfällen betrachtet. Es
soll auch gezeigt werden, dass man die Wirkung der Gravitation durch eine
kreisförmige Bewegung des Aufhängepunktes simulieren kann.
Aufgabenstellung
Der Aufhängepunkt eines ebenen mathematischen Pendels (Masse
,
Länge
) bewegt sich gemäß
auf einer Ellipse. Die Ellipsenebene und die Schwingungsebene des Pendels
stimmen überein. Es wirkt die einfache Schwerkraft.
- (1)
- Stelle die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen für die Auslenkung aus der Vertikalen auf (Winkel
).
- (2)
- Bestimme die Differentialgleichungen in den folgenden Spezialfällen und
diskutiere deren Struktur und physikalischen Gehalt:
- (a)
- Kleine Schwingungen.
- (b)
- Horizontale Bewegung des Aufhängepunktes bei beliebigen und bei kleinen Schwingungen.
- (c)
- Vertikale Bewegung des Aufhängepunktes bei beliebigen und bei kleinen Schwingungen.
- (d)
- Der Aufhängepunkt bewegt sich auf einem Kreis mit Radius
. Zeige: Die
Wirkung der Gravitation für ein mathematisches Pendel mit festem
Aufhängepunkt kann durch ein kräftefreies Pendel, dessen Aufhängepunkt
eine uniforme Rotation ausführt, simuliert werden.
Zeige, dass bei geeigneter Wahl des Auslenkwinkels eine Pendelgleichung mit der
effektiven Erdbeschleunigung
vorliegt.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008