Beispiele für skalare Größen in der Physik sind Masse, Energie,
Temperatur etc. Ein Beispiel aus der analytischen Geometrie wäre
eine Strecke.
Die zweite Definition lautet
Ein Beispiel ist der Verschiebungsvektor. Mit der Aussage:
Geht man von einem Punkt
aus
km, liegt der Endpunkt keineswegs fest.
Der Endpunkt liegt irgendwo auf einem Kreis um
den Ausgangspunkt
. Man benötigt neben dem Zahlenwert
eine
zusätzliche Information, wie z.B. in nordöstlicher Richtung, um den
Endpunkt
eindeutig festzulegen.
Trotz der einfachen Definition kann man einige Feinheiten notieren. Man unterscheidet:
Für Vektoren kann man (zunächst in qualitativer Form)
Rechenoperationen definieren, deren Anwendungsbereich nicht auf die
theoretische Physik beschränkt ist.
Die Addition
von Vektoren entspricht dem Hintereinanderausführen
von Verschiebungen. Man verschiebt ein Objekt zunächst um den Vektor
und dann um den Vektor
. Den Vektor, der den Anfangs- und den
Endpunkt dieser Vektorkette verknüpft, definiert man als den
Summenvektor und schreibt
Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
entspricht der Vorschrift: Verschiebe ein Objekt nicht um einen Vektor
,
sondern um
mal diesen Vektor. Den resultierenden Vektor mit der
Länge
und, falls die Zahl
positiv ist, der gleichen Richtung wie
schreibt man als
Die Subtraktion von Vektoren
kann man mit Hilfe der Addition und der
Multiplikation mit
darstellen. Die Differenz zweier Vektoren ist
|
Es gibt zwei verschiedene Produkte eines Vektors mit einem anderen
Vektor. Das Skalarprodukt, auch inneres Produkt
genannt, zweier Vektoren entspricht, sozusagen, der Projektion eines Vektors auf den
anderen. Die Definition (und Notation) des Skalarproduktes ist
zugeordnet.
Rechenregeln für das Skalarprodukt sind
Der Definition entnimmt man weiterhin die folgenden Eigenschaften des Skalarproduktes
Die Tatsache, dass das Skalarprodukt ein nützliches Instrument
darstellt, soll an einem trigonometrischen Beispiel, dem Kosinussatz,
erläutert werden. Der Beweis der Relation
,
die für beliebige Dreiecke gilt, ist mit elementargeometrischen
Mitteln durchaus umständlich. Mit Hilfe der Vektorrechnung
argumentiert man wie folgt: Das Dreieck kann durch ein geschlossenes
Vektorpolygon beschrieben werden (Abb. 3.5)

Das Vektorprodukt, auch äußeres Produkt genannt, ordnet zwei
Vektoren einen dritten Vektor zu. Die folgende Aussage ist der Hintergrund für
die Definition des Vektorproduktes. Zwei Vektoren
im
dreidimensionalen Raum spannen ein Parallelogramm auf (Abb. 3.6a). Der
Flächeninhalt dieses Parallelogramms ist
Rechte Handregel :
Der Daumen (der rechten Hand) zeigt in Richtung
von
, der Zeigefinger in Richtung von
und der
Mittelfinger in Richtung von
.
Schraubenregel : Man drehe
auf dem kürzesten Weg in
Richtung von
. Die Richtung von
entspricht dem
Gang einer normalen (Rechts)-Schraube.
Für handwerklich weniger Begabte gibt es noch die Regel: Man stelle
sich die drei Vektoren als Andeutung einer sitzenden menschlichen Figur vor. Es
entspricht dann:
dem rechten Bein,
dem linken
Bein,
der Richtung zu dem Kopf.
Die Charakterisierung einer Fläche durch eine Länge bedarf vielleicht
noch einer Bemerkung. In der Geometrie spricht man (oft) etwas
präziser von einer Länge, die ein Maß für eine Fläche
darstellt. Eine Längenangabe
cm ist das Maß einer Fläche mit
. In der Physik gibt es bezüglich der Maßeinheiten keine
Schwierigkeiten. So lautet z.B. die Definition des Drehimpulses
(Buch.Kap. 3.2.2) mit der korrekten Maßeinheit
Noch zu bemerken ist: Das Vektorprodukt ergibt einen Nullvektor, falls einer
der Faktoren ein Nullvektor ist oder wenn die Vektoren
und
gleich- oder entgegengerichtet sind.
Auch für das Vektorprodukt sind einige Rechenregeln zu notieren:
Die qualitative Form der Vektorrechnung ist für die Gewinnung von quantitativen Resultaten nicht geeignet. So führt der Versuch, einen Summenvektor mit Hilfe eines Lineals und eines Winkelmessers zu bestimmen, zu nicht vertretbaren Fehlern. Aus diesem Grund ist die Erarbeitung einer quantitativen Fassung des Vektorkalküls unerlässlich.