Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.10

  1. Hinweise zur Lösung des Problems mit der Variante A
    Notiere die Gleichungen bzw. Aussagen, die aus den Vorgaben (A2) bis (A5) folgen.
  2. Notiere einen Ansatz für die lineare Transformation zwischen den zwei Sätzen von Basisvektoren.
  3. Zur Bestimmung der Koeffizienten sind die Vorgaben zu benutzen. Benutze die Vorgabe für den Radiusvektor (A2) sowie die Information (A1) zur Bestimmung von , , .
  4. Bestimme den Basisvektor mit , , aus den Vorgaben (A3) und (A4).
  5. Entsprechende Schritte unter Benutzung von (A4) und (A5) sind für die Bestimmung des Basisvektors durchzuführen.
  6. Diskutiere die Voraussetzungen zur Festlegung eines rechtshändigen Koordinatensystems für die Kugelkoordinaten.

  7. Hinweise zur Lösung des Problems mit der Variante B
    Notiere die drei Flächengleichungen in kartesischen Koordinaten.
  8. Wie berechnet man einen Vektor, der senkrecht auf einer Fläche steht?
  9. Berechne für die drei Flächen und gewinne daraus Ansätze für die drei gesuchten Basisvektoren .
  10. Wie bestimmt man die noch unbekannten Faktoren in den Ansätzen?
  11. Wie legt man ein rechtshändiges Koordinatendreibein für die Kugelkoordinaten fest?



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2.10 Antwort zu H1



(A2)

(A3) zeigt nach Osten.

(A4) Orthogonalität und Normierung:




(A5) Rechtssystem:




   Notiere einen Ansatz für die lineare Transformation zwischen den zwei Sätzen von Basisvektoren.


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2.10 Antwort zu H2







   Zur Bestimmung der Koeffizienten sind die Vorgaben zu benutzen. Benutze die Vorgabe für den Radiusvektor (A2) sowie die Information (A1) zur Bestimmung von , , .


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2.10 Antwort zu H3



Die Vorgaben (A1) und (A2) können mit dem Ansatz für in der folgenden Weise ausgewertet werden. Man schreibt




und projiziert auf die Achsen des kartesischen Systems, z.B.


und entsprechend


Die Vorgabe (A1) liefert dann



   Bestimme den Basisvektor mit , , aus den Vorgaben (A3) und (A4).


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2.10 Antwort zu H4



Die Bedingung (A3) erfordert


Das Skalarprodukt mit dem Vektor


ergibt


Die Normierungsbedingung


liefert


und somit


Um das Vorzeichen festzulegen, benutzt man die Aussage 'nach Osten' aus (A3), die besagt, dass (siehe Abb. 1)


ist und folglich


ergibt.
Abbildung 1: Das lokale Koordinatensystem: Sicht von Nord nach Süd, Entscheidung Ost-West



   Entsprechende Schritte unter Benutzung von (A4) und (A5) sind für die Bestimmung des Basisvektors durchzuführen.


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2.10 Antwort zu H5



Zur Berechnung der Koeffizienten des Vektors bildet man die Skalarprodukte




Aus der zweiten Gleichung folgt


Multipliziert man die erste Gleichung mit und subtrahiert die zweite multipliziert mit , so erhält man


bzw.


Die Normierungsbedingung ergibt dann


mit der Auflösung


woraus für die anderen Koeffizienten


folgt. Das Vorzeichen von wird durch eines der Vektorprodukte, die die Rechtshändigkeit der lokalen Dreibeine ausdrücken, festgelegt, z.B. durch


Das obere Vorzeichen in den Lösungen ist zutreffend



   Diskutiere die Voraussetzungen zur Festlegung eines rechtshändigen Koordinatensystems für die Kugelkoordinaten.


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2.10 Antwort zu H6



Um ein rechtshändiges Koordinatensystem festzulegen, ist die Vorgabe der Richtung von zwei der drei Basisvektoren notwendig. So sind z.B. bei fester Richtung von beide in der Abb. 2 gezeigten Basisdreibeine rechtshändig.


Abbildung 2: Das lokale Koordinatensystem: Mögliche rechtshändige Systeme




Hinweise zur Lösung des Problems mit der Variante B
   Notiere die drei Flächengleichungen in kartesischen Koordinaten.


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2.10 Antwort zu H7



      
Kugel         
Ebene         
Kegel         




   Wie berechnet man einen Vektor, der senkrecht auf einer Fläche steht?


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2.10 Antwort zu H8



Man bildet den Gradientenvektor .



   Berechne für die drei Flächen und gewinne daraus Ansätze für die drei gesuchten Basisvektoren .


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2.10 Antwort zu H9



Es ist




Die Ansätze könnten somit lauten



   Wie bestimmt man die noch unbekannten Faktoren in den Ansätzen?


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2.10 Antwort zu H10



Über die Normierungsbedingung für , und erhält man





   Wie legt man ein rechtshändiges Koordinatendreibein für die Kugelkoordinaten fest?


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2.10 Antwort zu H11



Die normierten Vektoren und stehen nur senkrecht auf den `Außenflächen` von Kugel und Kegel, wenn man und positiv wählt. Sie bilden zusammen mit ein rechtshändiges Koordinatendreibein, wenn man das Vorzeichen von gemäß dem Kreuzprodukt positiv wählt (Abb. 3).


Abbildung 3: Das Koordinatendreibein





Animation der Darstellung


Es folgt also wieder



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