Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.3
  1. Mit welchem Formalismus   sollte man dieses Problems bearbeiten?
  2. Fertige eine Skizze  der Situation an und wähle ein geeignetes Koordinatensystem.
  3. Gib die Zwangsbedingungen  (ignorablen Koordinaten) an.
  4. Welche Möglichkeiten  bestehen für die Wahl der einzigen nichtignorablen generalisierten Koordinate? Welche ist die günstigste?
  5. Bestimme die Transformation  zwischen den kartesischen Koordinaten und der generalisierten Koordinate

  6. Gib die Lagrangefunktion  an.
  7. Stelle die Bewegungsgleichung  auf und und löse sie.
  8. Bestimme die Zeitabhängigkeit  aller kartesischen Koordinaten für die angegebenen Anfangsbedingungen.
  9. Berechne die Zeit,  die die zweite Masse benötigt, um an die Position der Pseudorolle zu gelangen ( ).
  10. Betrachte die Variation  der effektiven Erdbeschleunigung für die angegebenen Massen und Winkel ( )

    a)                  
    b)                  
    c)                  
    d)                  

  11. Berechne und   für die (in der Aufgabenstellung) vorgegebenen Werte. Welche Folgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen?

  12. Wie läuft die Bewegung  der beiden Massen bei den vorgegebenen Werten ab?
  13. Wie hängt die Geschwindigkeit  der Massen mit der Drehgeschwindigkeit der realen Rolle zusammen?
  14. Gib die Lagrangefunktion  für das System Massen und Rolle an.




    Abbildung 3: Die Fallmaschine




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5.3 Antwort zu H1



Dieses Problem mit Zwangsbedingungen kann mit Lagrange II bearbeitet werden.

   Fertige eine Skizze  der Situation an und wähle ein geeignetes Koordinatensystem.


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5.3 Antwort zu H2



Es bietet sich an, den Koordinatenursprung eines kartesischen Bezugssystems mit der Horizontalen und der Vertikalen an die Stelle der (punktförmigen) Pseudorolle zu legen (Abb. 4).


Abbildung 4: Wahl des Koordinatensystems

   Gib die Zwangsbedingungen  (ignorablen Koordinaten) an.


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5.3 Antwort zu H3



Beschränkt man die Betrachtung auf die - Ebene, so liegt ein Problem mit 4 Freiheitsgraden vor, das durch 3 Zwangsbedingungen eingeschränkt ist. Die Zwangsbedingungen sind ...

   (Denkpause)





















































1.
  bewegt sich auf einer Geraden durch den Ursprung mit dem Steigungswinkel


2.
  bewegt sich auf einer Geraden durch den Ursprung mit dem Steigungswinkel


3.
 Die Massen sind durch ein Seil von konstanter Länge verbunden



   Welche Möglichkeiten  bestehen für die Wahl der einzigen nichtignorablen generalisierten Koordinate? Welche ist die günstigste?


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5.3 Antwort zu H4



Als generalisierte Koordinaten bieten sich an:
(a)
Eine der Koordinaten der Masse oder der Masse .
(b)
Den Abstand der Masse oder der Masse von dem Ursprung (der Position der Pseudorolle).
Die Option (b) ist günstiger, da man damit die Zwangsbedingungen besser in den Griff bekommt. Also wähle z.B.


(Versuche es auch mit der Option (a)).

   Bestimme die Transformation  zwischen den kartesischen Koordinaten und der generalisierten Koordinate



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5.3 Antwort zu H5



Zur Aufstellung der Lagrangegleichungen benötigt man die Relationen der vier kartesischen Koordinaten mit der generalisierten Koordinate. Ein Blick auf Abb. 5 zeigt, dass


ist. Da die -Koordinate von in dem gewählten Koordinatensystem negativ ist, muss man benutzen, um die positive Größe darzustellen.


Abbildung 5: Generalisierte Koordinaten



Entsprechend gilt


Die restlichen Gleichungen der gesuchten Umkehrtransformation erhält man über die ersten zwei Zwangsbedingungen und der korrekten Wahl des Vorzeichens einer der Koordinaten für jede der Massen








   Gib die Lagrangefunktion  an.


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5.3 Antwort zu H6



Man benötigt die kinetische Energie




die potentielle Energie




und bildet .

   Stelle die Bewegungsgleichung  auf und und löse sie.


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5.3 Antwort zu H7



Die Bewegungsgleichung


lautet


Sie kann in der Form


sortiert werden. Die allgemeine Lösung (mit allgemeinen Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt ) ist ...

  
























































   Bestimme die Zeitabhängigkeit  aller kartesischen Koordinaten für die angegebenen Anfangsbedingungen.


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5.3 Antwort zu H8



Die Anfangsbedingungen




ergeben


Damit gilt für die Zeitabhängigkeit der generalisierten Koordinate


und somit für die Zeitabhängigkeit der vier kartesischen Koordinaten





   Berechne die Zeit,  die die zweite Masse benötigt, um an die Position der Pseudorolle zu gelangen ( ).


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5.3 Antwort zu H9



Die zweite Masse ist zunächst um die Strecke von dem Koordinatenursprung entfernt. Aus der quadratischen Gleichung


erhält man (nur die positive Wurzel ist möglich)


für die Zeit, die verstrichen ist, bis an den Ursprung gelangt ist.

   Betrachte die Variation  der effektiven Erdbeschleunigung für die angegebenen Massen und Winkel ( )

a)                  
b)                  
c)                  
d)                  



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5.3 Antwort zu H10



Die effektive Erdbeschleunigung ist für das angegebene Massenverhältnis


und hat bei der Vorgabe der Winkel die Werte

                                       
                                 
                                 
                                 
                                 
                                  .


Der Abstand der Masse von dem Ausgangspunkt (Koordinate ) wächst monoton, wenn und positiv sind. Ist hingegen negativ, so wird die Masse nach oben beschleunigt. Dies kann z.B. bedeuten, dass auf eine anfängliche Fallbewegung eine Aufwärtsbewegung folgt.

   Berechne und   für die (in der Aufgabenstellung) vorgegebenen Werte. Welche Folgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen?



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5.3 Antwort zu H11



Mit


erhält man für


Das Ergebnis für ist somit eine komplexe Zahl. Das bedeutet, dass die zweite Masse die Position der Pseudorolle nicht erreichen kann.

   Wie läuft die Bewegung  der beiden Massen bei den vorgegebenen Werten ab?


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5.3 Antwort zu H12



Betrachtung der Bewegung der ersten Masse zeigt,

   (was?)























































dass die Bewegungsrichtung sich unter Umständen umkehren kann. In dem Umkehrpunkt ist


und


Für negative Werte der effektiven Erdbeschleunigung ist eine positive Größe. Die erste Masse wird abgebremst und kehrt in Richtung der Pseudorolle zurück.
Für die angegebenen Werte kehrt die Masse nach ca. ihre Bewegungsrichtung um. Sie hat sich in dieser Zeit von der Stelle


bis zu der Stelle


bewegt. Die Masse bewegt sich in dem gleichen Zeitraum von der Stelle


bis zu der Stelle


erreicht also in der Tat nie den Koordinatenursprung.

   Wie hängt die Geschwindigkeit  der Massen mit der Drehgeschwindigkeit der realen Rolle zusammen?


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5.3 Antwort zu H13



Für die Bewegung der Rolle gilt die (übliche) Relation , wobei die Geschwindigkeit des Seils (idealer Kontakt vorausgesetzt) und somit die der Massen ist.

   Gib die Lagrangefunktion  für das System Massen und Rolle an.


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5.3 Antwort zu H14



Es ist nur die kinetische Energie des Systems betroffen. Diese ist mit


und





Dies bedingt, dass die effektive Erdbeschleunigung reduziert wird




Animation der Kurven



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