6.5 Der rotierende Springbrunnen
Ein Springbrunnen (in Kreisform) hat vier (oder mehr) Wasserstrahlen, die sich in
der Mitte des Kreises kreuzen. In der vorliegenden Aufgabe soll die Frage beantwortet
werden, wie sich die Strahlen verhalten, wenn der Brunnen in uniforme Rotation
versetzt wird. Zur Lösung dieser Aufgabe ist es notwendig, den Wasserstrahl in
einfacher Weise zu modellieren. Da die Drehgeschwindigkeit der Erde einen sehr
kleinen Wert hat, kann die Rotation der Erde bei der Beantwortung dieser Frage
vernachlässigt werden (obschon die Diskussion bei Einbeziehung dieses Effektes
möglich, aber natürlich aufwendiger wäre). Um die Auswirkungen der Scheinkräfte
zu verdeutlichen, werden zwei verschiedene Situationen gegenübergestellt, die sich
durch Einschluss bzw. Ausschluss der Zentrifugalwirkung unterscheiden.
Aufgabenstellung
Auf einer kreisförmigen Platte befinden sich vier, symmetrisch angeordnete
Düsen (im Abstand
vom Zentrum der Platte), aus denen Wasser in Radialrichtung
austritt. Die Wasserstrahlen können durch eine Folge von Massenpunkten
modellmäßig dargestellt werden. Auf diese wirkt die einfache Schwerkraft
(
).
- A.
- Bestimme die Bahnkurve eines dieser Massenpunkte unter dem
Einfluss der Zentrifugal- und der Corioliskraft,
wenn sich die Platte mit einer uniformen Winkelgeschwindigkeit
um eine Achse,
die senkrecht durch das Zentrum der Platte verläuft, dreht.
Diskutiere den Bewegungsablauf
aus der Sicht des mitrotierenden Koordinatensystems und eines Inertialsystems.
- B.
- Bestimme die Bahnkurve eines Massenpunktes, wenn sich die Platte mit einer
uniformen Winkelgeschwindigkeit
um eine Achse, die senkrecht durch das
Zentrum der Platte verläuft, dreht, jedoch nur die Corioliskraft wirkt. Diskutiere
den Bewegungsablauf aus der Sicht des mitrotierenden Koordinatensystems und eines
Inertialsystems.
Beachte, dass die Lösungen dieser Bewegungsgleichungen
keiner realen Bewegung entsprechen.
Mit Hilfe dieser Teilaufgabe sollen nur die Auswirkungen, die bei
Vernachlässigung der Zentrifugalkraft auftreten, untersucht werden.
- C.
- Diskutiere die Resultate der beiden Teilaufgaben (Abhängigkeit von
,
Drehsinn, Anfangsgeschwindigkeit) und vergleiche sie.
Aus der Sicht der rotierenden Systeme liegen in beiden Fällen die folgenden
Anfangsbedingungen vor: Der Massenpunkt befindet sich
zur Zeit
in der Entfernung
von
dem Zentrum auf der Höhe der Platte und hat eine Anfangsgeschwindigkeit
mit den Komponenten:
in Radialrichtung, wobei
negative Werte von
eine Bewegung in Richtung des Zentrums beschreiben sollen
und
in Richtung senkrecht zu der Platte (ein positiver Wert von
entspricht der Bewegung nach oben).
Fragen
zur schrittweisen Gewinnung der Lösung
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008