Notiere die
Lagrangefunktion
des Pendels in kartesischen Koordinaten und
bestimme die Transformation zwischen den kartesischen und der
generalisierten Koordinate.
Entwickle die
trigonometrischen Funktionen
in niedrigster Ordnung
und diskutiere die so gewonnene Differentialgleichung für kleine
Schwingungen.
Benutze die
Vorgabe
einer horizontalen Bewegung und bestimme die
Bewegungsgleichung für beliebige und für kleine Ausschläge.
Gib die
Bewegungsgleichung
bei vertikaler Bewegung des Aufhängepunktes an
(für beliebige und für kleine Winkel).
Stelle die
Bewegungsgleichung
des kräftefreien Pendels bei Bewegung des
Aufhängepunktes auf einem Kreis auf. Forme die Gleichung so um, dass
sie der Differentialgleichung des mathematischen Pendels entspricht.
Bestimme die effektive Erdbeschleunigung.
Es genügt der Winkel , die Auslenkung aus der Vertikalen (Abb. 1).
Notiere die
Lagrangefunktion
des Pendels in kartesischen Koordinaten und
bestimme die Transformation zwischen den kartesischen und der
generalisierten Koordinate.
Dies ist die Differentialgleichung eines periodisch
angetriebenen harmonischen Oszillators
mit (effektiver) zeitabhängiger Frequenz
Die Differentialgleichung, die man in diesem Grenzfall erhält, kann
als eine inhomogene, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit
explizit zeitabhängigen Koeffizientenfunktionen klassifiziert werden.
Eine analytische Lösung ist nicht einfach, eine numerische Lösung ist
möglich. Der Ausdruck für die Frequenz geht in das Resultat des
mathematischen Pendels bei kleinen Ausschlägen über, falls
gleich Null ist, der Aufhängepunkt des Pendel sich also an der Stelle
befindet. Es ist noch von Interesse zu bemerken, dass die Frequenz
nur durch die Halbachse , der Antrieb dagegen nur durch die Halbachse
bestimmt ist.
Benutze die
Vorgabe
einer horizontalen Bewegung und bestimme die
Bewegungsgleichung für beliebige und für kleine Ausschläge.
Eine (periodische) horizontale Bewegung des Aufhängepunktes wird durch
charakterisiert. Damit erhält man
bzw. für kleine Auslenkungen (Ordnung O())
Diese Differentialgleichung entspricht einem angetriebenen harmonischen Pendel (Oszillator).
Gib die
Bewegungsgleichung
bei vertikaler Bewegung des Aufhängepunktes an
(für beliebige und für kleine Winkel).
Vertikale harmonische Bewegung des Aufhängepunktes mit
ergibt
Hier hat man die Differentialgleichung eines mathematisches Pendel mit der
zeitabhängigen Frequenz , bei kleinen Ausschlägen die
Differentialgleichung eines entsprechenden harmonischen Oszillators.
Stelle die
Bewegungsgleichung
des kräftefreien Pendels bei Bewegung des
Aufhängepunktes auf einem Kreis auf. Forme die Gleichung so um, dass
sie der Differentialgleichung des mathematischen Pendels entspricht.
Bestimme die effektive Erdbeschleunigung.
Bei Bewegung des Aufhängepunktes auf einem Kreis mit dem Radius
() erhält man
Betrachtet man eine Situation, in der die Gravitation nicht wirkt
(), und benutzt die Substitution
,
so erhält man
Diese Gleichung besagt, dass man die Wirkung der einfachen Gravitation
durch eine uniforme Kreisbewegung des Aufhängepunktes simulieren kann,
wenn man die Bewegung in dem Winkel verfolgt.
Die effektive Erdbeschleuigung ist durch