Lösung der Aufgabe 4.13



(A)
Die Parameterdarstellungen der drei Zykloiden sind
(1) Oberhalb :          
(2) Unterhalb :          
(3) Unterhalb :          



Abbildung 17: Zykloide 1


Abbildung 18: Zykloide 2


Abbildung 19: Zykloide 3




Animation der Darstellung


(B)
Die Bewegungsgleichung auf der Kurve (3) (Abb. 19)unter dem Einfluss der Gravitation gewinnt man durch Verküpfung des Parameters und des Tangentenwinkels an die Zykloide zu


Die Lösung dieser Oszillatorgleichung in ist


Der Massenpunkt, der sich auf der Zykloide bewegt, hat eine Schwingungsdauer von


die unabhängig von dem Ausschlag ist. Diese Schwingungsdauer enspricht der Schwingungsdauer eines idealen, harmonischen Pendels mit der Fadenlänge . Zu beachten ist die Aussage, dass der Rollwinkel nicht mit dem Winkel des Pendelausschlages identisch ist. Es gilt die Relation


(C)
Um die Bewegung auf einer Zykloide zu realisieren, kann man die Tatsache nutzen, dass die Evolute einer Zykloide eine Zykloide ist, so z.B. für die Zykloide 2 (Abb. 18)


Verschiebt man diese Zykloide um , so erhält man die Kurve


die die Bewegung eines Massenpunktes beschreibt, der an einem Faden der Länge in der Spitze der Zykloide 2 aufgehängt ist. Man zeigt, dass der Faden sich ganz an die Führungszykloide anschmiegen kann.



Abbildung 20: Realisierung eines Zykloidenpendels





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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008