5.3 Noch eine Fallmaschine

Die Grundform der Atwood'schen Fallmaschine wird in dieser Aufgabe leicht variiert. Auch dieses Problem mit Zwangsbedingungen kann mit den Standardmethoden bearbeitet werden.

Aufgabenstellung

Eine Variante der Atwood'schen Fallmaschine ist in der Abb. 1 dargestellt.


Abbildung 1: Die Fallmaschine


Zwei Massen und bewegen sich auf zwei schiefen Ebenen mit dem Steigungswinkel bzw. . Die Massen sind durch ein nichtdehnbares (gewichtsloses) Seil der Länge verbunden, das über eine `Pseudorolle` verläuft. (`Pseudorolle` bedeutet: Die Rolle dient nur zur Führung des Seiles. Ansonsten kann sie vernachlässigt werden.) Auf jede der Massen wirkt die einfache Gravitation ).
(1)
Berechne den Bewegungsablauf der einzelnen Massen für die Anfangsbedingungen: Die Bewegung findet in der angedeuteten Ebene (z.B. der - Ebene) statt. Die Masse befindet sich zur Zeit an der Stelle der (punktförmigen) Pseudorolle und hat eine Geschwindigkeit mit dem Betrag (Richtung `nach unten` ) entlang der Ebene mit dem Steigungswinkel . Bestimme die Zeitabhängigkeit der kartesischen Koordinaten der beiden Massen
(2)
Welche Zeit benötigt die zweite Masse, um bei den angegebenen Anfangsbedingung an die Position der Rolle zu gelangen?
(3)
Betrachte den Bewegungsablauf der beiden Massen mit den obigen Anfangsbedingungen für und

a)                  
b)                  
c)                  
d)                  


und kommentiere.
(4)
Bestimme den expliziten Bewegungsablauf der beiden Massen


für


(5)
Wie ändert sich die Situation, wenn man eine reale Rolle in die Betrachtung einbezieht?


Abbildung 2: Die Fallmaschine mit realer Rolle


Als eine reale Rolle kann ein Zylinder mit dem Trägheitsmoment


bezüglich der Drehachse dienen, wobei die Masse und der Radius des Zylinders ist. Die kinetische Energie der Drehbewegung der Rolle ist


(mit der Drehgeschwindigkeit ).


Deine Antworten:

zu (1)
Die Bewegungsgleichung in der generalisierten Koordinate hat die Form

zu (4)
Die Masse erreicht die Position der Rolle zum Zeitpunkt
s s s nie

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008