3.2.2 Matrizen

Die einfache Grunddefinition lautet:




So z.B.


Die Indizes in dem rechten Schema geben die Spalten bzw. die Zeilenpositionen an. So steht das Element in der -ten Zeile und der -ten Spalte. Dabei ist jedoch zu beachten, dass diese Zuordnung nicht genormt ist. Man muss sich bei jedem Text vergewissern, welcher Index Zeilen- bzw. Spaltenindex ist. Eine allgemeine Matrix sieht demnach folgendermaßen aus:




Die übliche Notation für Matrizen ist (Varianten unbenommen)
   = um anzudeuten, daß es sich um eine Matrix handelt.
   =     um die Matrix durch ihre Elemente und die Dimension des Schemas zu charakterisieren.
   = um die Matrix und ihre Dimension abgekürzt anzudeuten.


Als Beispiele für Matrizen kann man insbesondere betrachten

1)
Die Matrix der Koeffizienten der Transformationsgleichungen für Drehungen in einer zweidimensionalen Welt


Dies ist ein Beispiel für eine Matrix. Im Allgemeinen nennt man eine Matrix mit quadratisch.

2)
Die Komponentendarstellung von Vektoren im und (wobei das Gleichheitszeichen endgültig übernommen wird)


Dies sind Beispiele für einzeilige oder einspaltige Matrizen. Die Spalten- oder Zeilenform zur Darstellung von Vektoren wird wahlweise benutzt.

Aus diesem Beispiel ergibt sich die Sprechweise: Für eine allgemeine Matrix bezeichnet man




Bezüglich der Rechenoperationen mit Matrizen lautet die Behauptung: Mit Matrizen kann man (fast) wie mit Zahlen rechnen. Vor der Erläuterung der möglichen Operationen ist jedoch noch die Vervollständigung der Liste von nützlichen Begriffen notwendig.

(i)
Die Kette von Elementen einer Matrix bezeichnet man als die Hauptdiagonale.



(ii)
Spiegelt man eine Matrix an der Hauptdiagonalen, so erhält man die transponierte Matrix (Varianten in der Notation sind angedeutet)




Ein konkretes Beispiel ist


Aufgrund der Definition folgt auch


Die Transponierte der transponierten Matrix ist die ursprüngliche Matrix.

(iii)
Zwei Matrizen und heißen gleichartig, wenn sie die gleiche Anzahl von Zeilen und die gleiche Anzahl von Spalten besitzen

        
(Zeilen)         (Spalten)


(iv)
Zwei Matrizen und heißen gleich, wenn sie gleichartig sind und wenn an gleicher Stelle stehende Elemente übereinstimmen


Man schreibt dann .

Rechenoperationen mit Matrizen sind Addition, Multiplikation mit einer Zahl, Subtraktion, Matrixmultiplikation und Matrixinversion.

Einige Beispiele sollen diese Operation illustrieren. Das erste Beispiel ist ein direktes Beipsiel für die formale Durchführung der Matrixmultiplikation.


Das Produkt einer Matrix mit einer Matrix ergibt eine Matrix. Die äußeren Indizes in jedem der Summanden entsprechen der Zeilen- und Spaltenposition der Produktmatrix.

Das zweite Beispiel ist ein numerisches Beispiel zum Nachrechnen


In dem dritten Beispiel wird das Transformationsgesetz für Vektorkomponenten zweier gegeneinander gedrehten Koordinatensysteme im formuliert. Man schreibt


        
für die Komponenten des Vektors bezüglich
des ungestrichenen Systems
        
entsprechend bezüglich des gestrichenen
Systems
        
für die Drehmatrix, die den Übergang zwischen den
beiden Systemen vermittelt.

Es ist dann



Die Darstellung der Vektoren als Spalten ist nicht zwingend, doch ist diese Form (schon aus typographischen Gründen) die übliche.

Das vierte Beispiel illustriert das Hintereinanderausführen von Transformationen







Diese Gleichung ist folgendermaßen zu lesen: Eine Drehung um im gefolgt von einer Drehung um entspricht einer Drehung um .

Das fünfte Beispiel lautet: Ein lineares Gleichungssystem von Gleichungen in Unbekannten lässt sich ebenfalls in Matrixform schreiben


Setzt man


so lautet die entsprechende Matrixgleichung


Die Beispiele und deuten an, dass zwischen der Diskussion von Gleichungssystemen und der Transformation von Vektoren (in höherdimensionalen Räumen) ein enger Zusammenhang besteht.

Man kann auch das Skalarprodukt von Vektoren in Matrixform fassen. Mit der Verabredung über die Matrixdarstellung von Vektoren in der Form von Spalten und den Aussagen über die Transposition von Matrizen gilt z.B. im



Das Ergebnis der Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor ist eine Matrix, ein Skalar.

Für Matrixprodukte gibt es eine Reihe von Rechenregeln. Der Nachweis einiger dieser Rechenregeln in voller Allgemeinheit ist nicht trivial. Trotzdem wird auf die Beweisführung verzichtet, da diese sich (wenn auch etwas langatmig) aus der Definiton und den entsprechenden Rechenregeln für Zahlen ergeben. Die Regeln werden jedoch mit einem entsprechenden Kommentar aufgeführt.

Regel 1: Es gilt das Assoziativgesetz


Als Einschränkung ist zu betonen: Die Gestalt der drei Matrizen muss aufeinander abgestimmt sein.


Regel 2: Distributivgesetze sind


Regel 3: Für die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl gilt


Regel 4: Schon erwähnt wurde, wenn auch indirekt: Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Man darf die Reihenfolge der Faktoren im Allgemeinen nicht vertauschen


Dies ist offensichtlich für den Fall von Produkten mit nichtquadratischen Matrizen, so z.B.


In dem ersten Fall erhält man eine in dem zweiten eine Matrix. Jedoch auch bei Produkten mit quadratischen Matrizen ist die Vertauschbarkeit nicht unbedingt gegeben, wie das folgende Beispiel zeigt



Auf der anderen Seite gibt es im Fall von quadratischen Matrizen auch Situationen, in denen Vertauschbarkeit vorliegt. Man kann explizit nachrechnen, dass für zwei Drehungen in der Ebene gilt


Aus anschaulicher Sicht bedeutet diese Aussage: Es spielt keine Rolle in welcher Reihenfolge man Drehungen in einer Ebene durchführt. Die Situation ist in Bezug auf Drehungen in der dreidimensionalen Welt nicht so einfach (siehe z.B. Buch.Kap. 6.2).

Regel 5: Eine nützliche Regel ist die Aussage über die Transposition von Produkten


Die Transponierte eines Produktes ist gleich dem Produkt der Transponierten mit vertauschter Reihenfolge. Der Beweis dieser Aussage beinhaltet die Bemerkungen
(a) Nur mit der angegebenen Reihenfolge ist die Anpassungsregel erfüllt




(b) Danach genügt das Ausschreiben des mit indizierten Elementes auf beiden Seiten.

Regel 6: Im Rahmen der Diskussion der Multiplikation ist die Frage nach einem Einheitselement von Bedeutung. Die Einheitsmatrix ist definiert als


Das Einheitselement ist eine quadratische Matrix mit der Zahl in den Elementen der Hauptdiagonalen und in den außerdiagonalen Elementen. Diese Matrix hat die Eigenschaft


oder kurz


Als letzte Rechenoperation mit Matrizen ist die `Matrixdivision` oder korrekter die Frage nach der Matrixinversen zu betrachten. Eine Matrix , für die gilt


nennt man die Inverse der Matrix und schreibt


Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, muss man im Allgemeinen zwischen einer Linksinversen und einer Rechtsinversen unterscheiden


Rechtsinverse         
Linksinverse          .


Für Matrizen mit beliebiger Gestalt ist die Situation bezüglich der Inversen kompliziert,wie das folgende direkte Beispiel zeigt. Für die Matrix


existiert eine Linksinverse, denn es gilt


Für die Rechtsinverse müsste gelten


Die erste Spalte der Produktmatrix auf der linken Seite der Gleichung erfordert




Die Gleichungen widersprechen sich. Eine Rechtsinverse existiert nicht.

Für quadratische Matrizen gelten jedoch die folgenden Aussagen

Quadratische Matrizen, die eine Inverse besitzen, bezeichnet man als umkehrbar oder regulär, quadratische Matrizen, die keine Inverse besitzen als singulär. Ein direktes Kriterium, mit dessen Hilfe man die Frage nach der Existenz der Inverse von quadratischen Matrizen beantworten kann, wird sich bei der Diskussion von Determinanten ergeben (Math.Kap. 3.2.4).

Für reguläre Matrizen existieren eine Reihe von nützlichen Rechenregeln:


1.          (die Inverse eines Produktes)
2.          (die Inverse der Inversen)
3.          
4.          (Vertauschung der Operationen )


Die zugehörigen Beweise (ohne Kommentar) sind untenstehend zusammengestellt:


1. .

Beweis:



2. .

Beweis:


Mit 1. :


3. .

Beweis:





4. .

Beweis:









Mit dem Matrixkalkül als Formulierungshilfe kann nun die Diskussion der linearen Koordinatentransformationen fortgesetzt werden.


< Mechanik     Mathematische Ergänzungen >       R. Dreizler   C. Lüdde     2008