Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.7
  1. Wie berechnet man den Flächeninhalt und den Umfang?
  2. Wie kann man die Zeitableitungen in den Formeln für die Fläche und die Bogenlänge handhaben ?
  3. Polarkoordinaten: Berechne den Vektor der Flächengeschwindigkeit.
  4. Polarkoordinaten: Berechne die Fläche der Kardioide.
  5. Polarkoordinaten: Wie wird die Bogenlänge eines Kurvenstücks berechnet?
  6. Polarkoordinaten: Setze den Vorschlag um und berechne die Bogenlänge der Kardioide .
  7. Kartesische Koordinaten: Wie lautet die Darstellung der Kurve in diesem Fall?
  8. Kartesische Koordinaten: Stelle die Einzelheiten für die Berechnung der Fläche zusammen. Kommentiere.
  9. Kartesische Koordinaten: Gib die Formel für die Bogenlänge an. Bereite die Auswertung vor.
  10. Verifiziere, dass die Parameterdarstellung der Kardioide die Gleichung


    erfüllt.
  11. Leite die Bahngleichung der Kardioide in kartesischen Koordinaten durch Elimination des Parameters her. (Mutige sollten versuchen, die Gleichung


    ohne Führung zu gewinnen. Bevor Frustration einsetzt, kann die (längliche) Antwort eingesehen werden).



Werkzeuge


Abbildung 1: Kardioide


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































2.7 Antwort zu H1



Der Flächensatz


erlaubt die Berechnung der Fläche durch `Abfahren` der Umrandung. Der Umfang kann mit Hilfe der Bogenlänge (infinitesimal)


durch Integration über den Parameter berechnet werden.



   Wie kann man die Zeitableitungen in den Formeln für die Fläche und die Bogenlänge handhaben ?


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2.7 Antwort zu H2



Die Zeitableitungen in den Formeln für die Flächengeschwindigkeit und das infinitesimale Bogenelement sind durch


zu ersetzen. Man kann jedoch auch eine beliebige Winkelbewegung vorgeben, am einfachsten eine uniforme Winkelbewegung, da für die Flächenberechnung die Art des Abfahrens der Randkurve keine Rolle spielt. Dies ergibt z.B. die Parameterdarstellung


die hier benutzt wird. Für einen vollen Umlauf benötigt man die Zeit .

   Polarkoordinaten: Berechne den Vektor der Flächengeschwindigkeit.


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2.7 Antwort zu H3



Mit den Zutaten




erhält man



Nebenrechnung

   Polarkoordinaten: Berechne die Fläche der Kardioide.


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2.7 Antwort zu H4



Die Fläche ist durch das Integral


gegeben. Die Integrale können entweder einzeln oder mittels der Zusammenfassung


ausgewertet werden.

Nebenrechnung
In jedem Fall erhält man


und somit den Flächeninhalt


der gesamten Kardioide.

Nebenrechnung

   Polarkoordinaten: Wie wird die Bogenlänge eines Kurvenstückes berechnet?


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2.7 Antwort zu H5



Die Grundformel (siehe auch Kap. 2.3) lautet in Polarkoordinaten





   Polarkoordinaten: Setze den Vorschlag um und berechne die Bogenlänge der Kardioide.


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2.7 Antwort zu H6



Die Parameterdarstellung


ergibt




Damit erhält man




Es ist das Integral (setze ) zu berechnen


Eine Vereinfachung ergibt sich, wenn man (siehe wieder Nebenrechnung 2)
Nebenrechnung
die Relation


benutzt. Dabei ist jedoch auf das korrekte Vorzeichen in den jeweiligen Intervallen des Definitionsbereiches zu achten. Die korrekte Auflösung der Wurzel in Nebenrechnung 2 ergibt


Für die linke Seite dieser Gleichung findet man in beiden Intervallen


Die Gleichnung kann somit für das zweite Intervall nur mit dem Minuszeichen auf der rechten Seite aufgehen, da der Kosinus negativ ist. Es ist dann




woraus sich der Umfang zu


ergibt.



   Kartesische Koordinaten: Wie lautet die Darstellung der Kurve in diesem Fall?


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2.7 Antwort zu H7



Die Parameterdarstellung in Polarkoordinaten impliziert die kartesische Form (Projektion)




Es soll bei diesem Durchgang direkt mit der Variablen gearbeitet werden, wobei (siehe Antwort zu H2)


benutzt wird.

   Kartesische Koordinaten: Stelle die Einzelheiten für die Berechnung der Fläche zusammen. Kommentiere.


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2.7 Antwort zu H8



Zur Berechnung des Flächengeschwindigkeitsvektors



Nebenrechnung
benötigt man die Ableitungen der Koordinaten nach der Zeit, bzw. nach dem Winkel . Es ist




Das Produkt ist dann




Das Integral ist (wegen ) das gleiche wie bei der Diskussion in Polarkoordinaten.

   Kartesische Koordinaten: Gib die Formel für die Bogenlänge an. Bereite die Auswertung vor.


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2.7 Antwort zu H9



Wieder kann man in der Grundformel


von der Zeit zu einem Winkel übergehen und erhält


Die Zutaten sind




sodass sich bei konsistenter Anwendung der Relation für das Integral


ergibt. Auch dieses Integral entspricht dem Integral bei der Diskussion mittels Polarkoordinaten.

   Verifiziere, dass die Parameterdarstellung der Kardioide die Gleichung


erfüllt.


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2.7 Antwort zu H10



Zur Verifikation genügt es, die Parameterdarstellung in die vorgegebene Gleichung


einzusetzen. Man benutzt dazu


und erhält für den Ausdruck auf der linken Seite





   Leite die Bahngleichung der Kardioide in kartesischen Koordinaten durch Elimination des Parameters her. (Mutige sollten versuchen, die Gleichung


ohne Führung zu gewinnen. Bevor Frustration einsetzt, kann die (längliche) Antwort eingesehen werden).


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2.7 Antwort zu H11



Die vollständige Elimination des Kurvenparameters ist etwas langwieriger. Auch hier ist die Gleichung


nützlich. Als ersten Schritt kann man die Parameterdarstellung der -Koordinate als quadratische Gleichung in auffassen. Die Lösung ist


Man berechnet dann in bekannter Weise


und hat alle Zutaten, um den Parameter aus der Parameterdarstellung der -Koordinate zu eliminieren. Der Ausgangspunkt ist also


wobei der Übersicht halber


gesetzt wurde. Ein erstes Quadrieren entfernt die äußere Wurzel, so dass man nach Sortierung das Zwischenergebnis




erhält. Ein zweites Quadrieren entfernt dann die innere Wurzel. Das direkte Ergebnis




ergibt nach Ausmultiplikation und Zusammenfassung der verbleibenden Terme


bzw.


Kürzung eines Faktors sowie Multiplikation mit liefert endlich das gewünschte Resultat.

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