Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.5
  1. Wie lautet der Satz von Differentialgleichungen, der dieses Bewegungsproblem charakterisiert?
  2. Wie löst man die Differentialgleichung für die - (und die -) Koordinate?
  3. Bestimme die Integrationskonstanten und für den Satz von Anfangsbedingungen ().
  4. Führe die entsprechende Rechnung für die -Koordinate durch (Fall ).
  5. Löse die Differentialgleichung für und bestimme die spezielle Lösung (Fall ).
  6. Notiere den Ortsvektor für den ersten Satz von Anfangsbedingungen.
  7. Gib die Ortsvektoren für die Sätze von Anfangsbedingungen () und () an.
  8. Zur Diskussion der Bahnkurven betrachtet man Betrag und Richtung der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren. Welche Aussagen kann man über diese Größen machen? (Extremwerte?) Betrachte den Fall .
  9. Welche Aussagen kann man über den Betrag und die Richtung der Geschwindigkeits- und der Beschleunigungsvektoren für die Anfangsbedingungen () und () machen?
  10. Charakterisiere die Projektion der drei Bahnkurven in die - Ebene ()? Wie lautet die Normalform dieser Kurven? Wie würde man die Raumkurven beschreiben?


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2.5 Antwort zu H1



Die Vorgabe entspricht drei (ungekoppelten) Differentialgleichungen für die kartesischen Komponenten des Massenpunktes







   Wie löst man die Differentialgleichung für die - (und die -) Koordinate?


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2.5 Antwort zu H2



Der übliche Ansatz für die Lösung dieser linearen Differentialgleichung ist . Die charakteristische Gleichung


hat die Wurzeln


Damit erhält man die Lösung in komplexer


oder in reeller Form


Zur Umrechnung benutzt man



   Bestimme die Integrationskonstanten und für den Satz von Anfangsbedingungen ().


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2.5 Antwort zu H3



Die vorgegebenen Anfangsbedingungen sind und . Die Lösung des entsprechenden (einfachen) linearen Gleichungssystems


ist und .

   Führe die entsprechende Rechnung für die -Koordinate durch (Fall ).


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2.5 Antwort zu H4



Für die -Komponente mit der Differentialgleichung


bestimmt man aus der allgemeinen Lösung




für die Anfangsbedingungen


die Integrationskonstanten und

   Löse die Differentialgleichung für und bestimme die spezielle Lösung (Fall ).


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2.5 Antwort zu H5



Die Differentialgleichung für die -Komponente kann direkt integriert werden


Mit den Anfangsbedingungen und lautet die spezielle Lösung



   Notiere den Ortsvektor für den ersten Satz von Anfangsbedingungen.


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2.5 Antwort zu H6



Der Ortsvektor hat die Form



   Gib die Ortsvektoren für die Sätze von Anfangsbedingungen () und () an.


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2.5 Antwort zu H7



Der Ortsvektor hat für die Anfangsbedingungen ()


die Form


Für die Anfangsbedingungen ()


berechnet man



   Zur Diskussion der Bahnkurven betrachtet man Betrag und Richtung der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren. Welche Aussagen kann man über diese Größen machen? (Extremwerte?) Betrachte den Fall .


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2.5 Antwort zu H8



Die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren erhält man durch Differentiation von nach der Zeit


(wie schon angegeben) und


Die entsprechenden Beträge sind





Hätte man den Betrag der Geschwindigkeit durch Ableitung der Größe , dem Abstand vom Ursprung, gewinnen können?

Hier geht es weiter ...






















































Antwort auf die Zwischenfrage in H8



Nein! Für die Ableitung von




gilt




Dies stimmt nicht mit überein.



Die (Beträge der) Geschwindigkeit und Beschleunigung ändern sich mit der Zeit. Die maximale Geschwindigkeit und die minimale Beschleunigung wird für erreicht.

Nebenrechnung
Die Geschwindigkeit nimmt den kleinsten Wert für die Zeitpunkte


an. Die Beschleunigung ist zu diesen Zeiten am größten.

Abbildung 1: Variation von und für den Fall ()


Die Richtung des Geschwindigkeits- und des Beschleunigungsvektors zu diesen Zeiten ergibt sich zu
                     
         (Max)          (Min)
         (Min)          (Max)
         (Max)          (Min)
         (Min)          (Max)

   Welche Aussagen kann man über den Betrag und die Richtung der Geschwindigkeits- und der Beschleunigungsvektoren für die Anfangsbedingungen () und () machen?


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2.5 Antwort zu H9



Im Fall der Anfangsbedingungen () erhält man mit den gleichen Rechenschritten die Aussagen: Für ist die Geschwindigkeit minimal, die Beschleunigung maximal. Die größte Geschwindigkeit wird für die Zeiten erreicht, für die die Beschleunigung minimal ist. Der Geschwindigkeitsvektor ist tangential an die Bahnkurve, seine Richtung entnimmt man, ebenso wie die Richtung des Beschleunigungsvektors, der Tabelle.
                     
         (Min)          (Max)
         (Max)          (Min)
         (Min)          (Max)
         (Max)          (Min)
Für den Satz von Anfangsbedingungen () findet man einen konstanten Geschwindigkeitsbetrag


und einen konstanten Betrag für die Beschleunigung


Für die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren findet man
                 
                 
                 
                 
                 
Der Geschwindigkeits- und der Beschleunigungsvektor ändern ihre Richtung mit der Zeit, nicht aber ihren Betrag.

   Charakterisiere die Projektion der drei Bahnkurven in die - Ebene ()? Wie lautet die Normalform dieser Kurven? Wie würde man die Raumkurven beschreiben?


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2.5 Antwort zu H10



Im Fall deutet die Form von an, dass die Projektion eine Ellipse ist. Der Nachweis lässt sich schnell erbringen. Mit


ergibt die trigonometrische Formel


Dies entspricht der Normalform der Ellipsengleichung mit


wobei und die Längen der beiden Halbachsen angeben. Diese Projektion beschreibt zusammen mit der -Komponente eine ellipsenförmige Schraubenlinie, auf der der Massenpunkt (beginnend in der - Ebene) steigt. Die Ganghöhe (Änderung der -Komponente pro Umlauf), entsprechend der Umlaufzeit , ist
durch welche Gleichung gegeben?























































Für die Anfangsbedingung () ergibt Einsetzen der Lösung


in die trigonometrische Relation


Die Projektion ist eine Kreisbahn. Die Ganghöhe auf der kreisförmigen Schraubenlinie beträgt


Sie ist doppelt so groß wie im Fall ().

Für () findet man eine ellipsenförmige Schraubenlinie mit und und der gleichen Ganghöhe wie im Fall . Die folgenden Animationen sollen die Veranschaulichung unterstützen.

Animation der Kurven



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