Lösung der Aufgabe 6.7
- (1)
- Die Masse der gewichteten Kugel ist
Für die Elemente der Trägheitsmatrix in dem
Kugelmittelpunktsystem findet man: Die Deviationsmomente verschwinden,
die Hauptträgheitsmomente sind
Anhand der Position des Schwerpunktes
erhält man mit dem Satz von Steiner für die Trägheitsmatrix
im Schwerpunktsystem
mit
Die Halbachsen des äquivalenten Trägheitsellipsoides sind
- (2)
- Die entsprechenden Ergebnisse für die zweite Kugel sind:
- Masse:
- Trägheitsmatrix im Kugelmittelpunktsystem:
Die Hauptträgheitsmomente unterscheiden sich von denen der ersten Kugel
gemäß der veränderten Symmetrie, haben aber eine ähnliche Struktur.
- Position des Schwerpunktes:
- Trägheitsmatrix im Schwerpunktsystem:
mit
- (3)
- Die Ergebnisse für die Hohlkugel sind
- Masse:
- Hauptträgheitsmomente:
Der Vergleich mit einer Vollkugel bei gleicher Masse und gleichem
äußeren Radius ergibt somit die Aussagen
Es ist also
.
Das Verhältnis der Dichten ist dabei
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008