Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.8
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Welche
Größen
sind bei der Bearbeitung jeder der Teilaufgaben zu
bestimmen?
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Wo liegt der
Schwerpunkt
des Zylinders?
Berechne die Masse des Zylinders.
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Berechne die
Trägheitsmomente
in geeigneten Koordinaten.
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Warum muss man die
Deviationsmomente
nicht explizit berechnen?
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Die
Annahme,
dass die Scheibe sehr dünn ist,
kann mit
übersetzt werden. Nur wenn die Variable
in dem Integranden nicht auftritt,
erhält man einen Beitrag. Wie berechnet man mit dieser Annahme die Masse der Scheibe?
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Berechne unter der
entsprechenden Annahme
die Hauptträgheitsmomente der Kreisscheibe.
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Wie hätte man dieses
Ergebnis
auch erhalten können?
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Welche
Koordinatenwahl
bietet sich zur Vereinfachung der
Rechnung für den Kreiskegel an?
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Für den ersten
Teil der Rechnung
benötigt man das Kegelvolumen
und die Trägheitsmomente bezüglich des Spitzenpunktes. Bestimme diese Größen.
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Berechne die
Koordinaten
des Schwerpunktes des Kreiskegels.
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Berechne mit diesen
Resultaten
die Trägheitsmomente im Schwerpunktsystem.
Werkzeuge
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
6.8 Antwort zu H1
In den Teilaufgaben (1) und (3) berechnet man die Masse
und den Schwerpunkt.
Anschließend werden die Standardformeln für die Trägheitsmomente
ausgewertet.
Die Teilaufgabe (2) kann entweder explizit oder als Grenzfall von (1)
betrachtet werden.
Wo liegt der
Schwerpunkt
des Zylinders?
Berechne die Masse des Zylinders.
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6.8 Antwort zu H2
Der Schwerpunkt liegt auf der Zylinderachse in der Höhe
über dem Zentrum der Grundfläche
(Abb. 1).
(Die Koordinaten des Schwerpunktes
können natürlich auch explizit berechnet werden).
Abbildung 1:
Der Kreiszylinder

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Die Masse berechnet man gemäß
Das Volumen gewinnt man entweder aus der Formel Grundfläche mal Höhe
oder durch direkte Rechnung (in Zylinderkoordinaten
,
,
mit dem Ursprung im Schwerpunkt)
Berechne die
Trägheitsmomente
in geeigneten Koordinaten.
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6.8 Antwort zu H3
Für die (Haupt-)Trägheitsmomente findet man in Zylinderkoordinaten
Warum muss man die
Deviationsmomente
nicht explizit berechnen?
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6.8 Antwort zu H4
Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die Koordinatenachsen
Symmetrieachsen sind. Bei der möglichen Rechnung treten Winkelintegrale der Form
auf, die den Wert Null ergeben.
Die
Annahme,
dass die Scheibe sehr dünn ist,
kann mit
übersetzt werden. Nur wenn die Variable
in dem Integranden nicht auftritt,
erhält man einen Beitrag. Wie berechnet man mit dieser Annahme die Masse der Scheibe?
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6.8 Antwort zu H5
Man schreibt
definiert die `Flächendichte`
und erhält
Man hätte natürlich gleich mit der Flächendichte arbeiten können
Berechne unter der
entsprechenden Annahme
die Hauptträgheitsmomente der Kreisscheibe.
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6.8 Antwort zu H6
Wie hätte man dieses
Ergebnis
auch erhalten können?
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6.8 Antwort zu H7
Für einen Zylinder mit vernachlässigbarer Höhe
(
) kann man mit
aus dem Ergebnis aus (1)
gewinnen.
Welche
Koordinatenwahl
bietet sich zur Vereinfachung der
Rechnung für den Kreiskegel an?
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6.8 Antwort zu H8
Bei der Berechnung der (Hauptträgheits)momente des Kegels bezüglich des
Schwerpunktes stellt es sich heraus, dass die Rechnung am einfachsten ist,
wenn man diese Größen zunächst in einem Koordinatensystem berechnet,
dessen Ursprung die Kegelspitze ist (da es die Symmetrie des Kegels berücksichtigt,
(Abb. 2).
Abbildung 2:
Geometrie des Kreiskegels: Integrationsgrenzen

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In diesem Fall sind die Integrationsgrenzen einfacher zu handhaben. Der
Bezug der Trägheitsmomente auf den Schwerpunkt kann dann mit...
Steiner's Theorem (B6.125) hergestellt werden.
Für den ersten
Teil der Rechnung
benötigt man das Kegelvolumen
und die Trägheitsmomente bezüglich des Spitzenpunktes. Bestimme diese Größen.
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6.8 Antwort zu H9
Die Masse erhält man aus dem Volumenintegral multipliziert mit der
konstanten Dichte
.
Bei der Auswertung des Dreifachintegrals (in Zylinderkoordinaten) sind
die Grenzen der
-Integration wegen
(siehe Abb. 2)
variabel. Es ist somit
Für die Trägheitsmomente in den drei Koordinatenrichtungen bezüglich
der Spitze erhält man
Berechne die
Koordinaten
des Schwerpunktes des Kreiskegels.
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6.8 Antwort zu H10
Den Vektor der Schwerpunktskoordinaten
berechnet man mit
Die
und
Koordinaten sind (aus Symmetriegründen) gleich Null.
(Überprüfe dies!)
Für die dritte Schwerpunktskoordinate erhält man
Berechne mit diesen
Resultaten
die Trägheitsmomente im Schwerpunktsystem.
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6.8 Antwort zu H11
Der Satz von Steiner ergibt in dem vorliegenden Beispiel
(Sind die Ergebnisse
und
ohne Rechnung verständlich?)
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