1.3.1.1 Die wichtigsten Taylorreihen.
Beispiel 1:
Für die Taylorreihe der Exponentialfunktion
erhält man wegen
die Entwicklung
Die Reihe, die bei der Diskussion des freien Falls mit Reibung
benutzt wurde (Buch.Kap. 2), erhält man durch die Ersetzung
Beispiel 2:
Für
erhält man die Ableitungen
bzw.
Alle geraden Potenzen der Reihenentwicklung verschwinden. Dies ist ein
Ausdruck der Tatsache, dass
eine ungerade Funktion ist.
Es bleibt
Diese Andeutung der Reihe kann man in der Form
zusammenfassen.
Beispiel 3:
Es folgt ein Beispiel, das aufzeigt, dass die
Berechnung der geforderten Ableitungen sehr mühselig sein kann.
Für die Funktion
findet man die Ableitungen
Von dieser Stelle an wird die Rechnung immer unübersichtlicher (man versuche es!).
Die weiteren Terme in der Entwicklung des Tangens
werden auch aus den Entwicklungen von
und
gewonnen,
wobei jedoch eine Reihe von Regeln zu beachten ist.
In vielen Fällen dieser Art gewinnt man die gesuchte Taylorreihe nicht über
die direkte Auswertung der höheren Ableitungen, sondern man versucht,
eine Sammlung von Rechenregeln für Reihen zu entwickeln, um die Reihen für
komplizierte Funktionen aus den Reihen für einfachere Funktionen zu
konstruieren.
Beispiel 4:
Oft benutzt wird die sogenannte binomische Reihe.
Sie entspricht der Taylorreihe der Funktion
Die Berechnung der Koeffizienten ist elementar, erfordert aber etwas Schreibarbeit
Die
-te Ableitung ist
so dass sich für
der Wert
ergibt. Man erhält somit
Die Koeffizienten werden in dem binomischen Symbol
zusammengefasst
Mit Hilfe dieser Reihe kann man viele, nützliche Formeln
der Physik gewinnen, so zum Beispiel für den typischen,
relativistischen Ausdruck
Für kleine Werte von
kann man sich auf die Betrachtung der ersten
Terme der Reihe beschränken. Mit den Ersetzungen
,
erhält man
Derartige Näherungsformeln werden (in der Physik) an vielen Stellen eingesetzt.
Ein vielbenutzter Spezialfall der binomischen Reihe ist die
geometrische Reihe.
Sie entspricht
und
Falls
eine positive ganze Zahl ist (
), bricht
die binomische Reihe ab und man erhält die bekannte
binomische Formel
Für ganze Zahlen
kann man die Binomialkoeffizienten auch durch
Fakultäten ausdrücken
Anstatt nach Approximationen einer Funktion
in der Nähe der Stelle
kann man auch nach Approximationen in der Nähe einer beliebigen
Stelle
fragen. Die Taylorentwicklung einer Funktion um die Stelle
lautet
Differenziert man diesen Ansatz beliebig oft (unter der Voraussetzung, dass
dies möglich ist), so erhält man (bei gleicher Einschränkung wie in dem
Spezialfall
)
Die Beantwortung der Frage, ob die angegebenen Potenzreihen die jeweiligen Funktionen
wirklich darstellen, ist eine etwas langwierigere Angelegenheit. Sie wird
erst unter der Überschrift `Konvergenzkriterien` (wenigstens
andeutungsweise) beantwortet werden. Der nächste Schritt ist die Betrachtung von
numerischen Reihen, ein Typ von Reihen, der in der Physik und der Mathematik
auch in eigener Sache von Interesse ist.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008