Aufgabe 5.10 5.10 Mathematisches Pendel: Rotierende Aufhängung

Das mathematische Pendel kann vielfältig variiert werden. In diesem Beispiel rotiert der Aufhängepunkt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Wie man einfachen Versuchen entnehmen kann, treten bei solchen Drehungen stabile Gleichgewichtslagen des Winkels zwischen Drehachse und Pendelstange auf. Diese speziellen Auslenkwinkel sind zu bestimmen und zu diskutieren. Für kleine Auslenkungen aus den stabilen Konfigurationen erwartet man harmonische Bewegungen, deren Frequenzen ebenfalls gesucht werden. Eine gewisse Ähnlichkeit des vorliegenden Problems mit dem Problem des Kugelpendels erleichtert den Einstieg.

Aufgabenstellung

Der Aufhängepunkt eines mathematischen Pendel (Masse , Länge ) rotiert mit der konstanten Drehgeschwindigkeit um eine vertikale Achse (siehe Abb. 1). Es wirkt die einfache Schwerkraft.


Abbildung 1: Geometrie des rotierenden Pendels


(1)
Bestimme die Lagrangefunktion und die Bewegungsgleichung für den Auslenkwinkel .
(2)
Berechne und diskutiere die Werte , für die sich aufgrund der Drehbewegung eine stabile Gleichgewichtssituation einstellt.
(3)
Berechne die Frequenz für kleine harmonische Schwingungen um die stabilen Gleichgewichtssituationen.
Werkzeuge:





Deine Antworten:

Die Lagrangefunktion ist gleich

Die Frequenz bei kleinen Oszillationen um die erste Gleichgewichtslage ist

und bei kleinen Oszillationen um die zweite Gleichgewichtslage

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008