Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.2
    Das Bewegungsproblem soll mit
  1. Lagrange I   gelöst werden. Stelle die entsprechenden Bewegungsgleichungen auf.
  2. Ersetze durch . Gewinne mit den Standardschritten  eine Gleichung für und eine Bewegungsgleichung für die Koordinate .
  3. Löse die Differentialgleichung  für , berechne und und bestimme die Integrationskonstanten.
  4. Wie lautet die Zwangskraft? 
  5. Berechne die zeitliche Änderung  der kinetischen und potentiellen Energie, sowie die in dem Zeitintervall an der Masse geleisteten Arbeit.
  6. Berechne die Größen  für die uniform bewegte Ebene ().
  7. Diskutiere den Bewegungsablauf  und die zeitliche Änderung der Energien auf der Basis dieser Resultate.
  8. Welche Situation  ergibt sich für ?
  9. Berechne die explizite Bahnkurve  und diskutiere deren Details.
  10. Betrachte die Bewegung für den Spezialfall  .
  11. Betrachte die Bewegung für den Spezialfall  .
  12. Diskutiere die Bewegung der Masse für eine beschleunigte Ebene  (Fall (b)).
  13. Diskutiere die Zwangskraft  und die Energieverhältnisse für die beschleunigte Bewegung der Ebene.
  14. Was geschieht in den Grenzfällen  und ?
  15. Diskutiere die Bahnform  für die oszillierende Ebene .



Zurück zur Aufgabenstellung
<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H1



Einen Ansatz für die Zwangskraft gewinnt man aus der Gleichung der schiefen Ebene


zu




Neben der Zwangskraft, wirkt die Schwerkraft, so dass die Bewegungsgleichungen




lauten.

   Ersetze durch . Gewinne mit den Standardschritten  eine Gleichung für und eine Bewegungsgleichung für die Koordinate .


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H2



Die Masse muss sich stets auf der Ebene befinden. Somit folgt aus der Zwangsbedingung


Einsetzen in die Bewegungsgleichung


ergibt dann


Setzt man diesen Ausdruck für in die Bewegungsgleichung für die -Koordinate ein, so erhält man nach Sortierung die Differentialgleichung



   Löse die Differentialgleichung  für , berechne und und bestimme die Integrationskonstanten.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H3



Die allgemeine Lösung ist


Damit findet man


so dass man die Differentialgleichung


mit der Lösung


erhält. Die Integrationskonstanten sind nicht frei wählbar, sondern es gilt


in Übereinstimmung mit der Ebenengleichung. Mit erhält man ( in den Fällen a, b und c)


Die spezielle Lösung ist somit





   Wie lautet die Zwangskraft? 


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H4






   Berechne die zeitliche Änderung  der kinetischen und potentiellen Energie, sowie die in dem Zeitintervall an der Masse geleisteten Arbeit.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H5



Die kinetische Energie ist




die potentielle Energie im Schwerefeld


Somit erhält man für die Gesamtenergie der Masse zum Zeitpunkt und zum Zeitpunkt




Daraus folgt für die an der Masse in dem Zeitintervall [0,t] geleistete Arbeit



   Berechne die Größen  für die uniform bewegte Ebene ().


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H6



Für die uniforme Bewegung der Ebene nach oben () gilt


so dass sich für die Bahnkurve die Parameterdarstellung




ergibt. Dies entspricht dem freien Fall auf einer stationären schiefen Ebene, dem eine uniforme Bewegung in -Richtung überlagert ist. Die Energiesituation wird durch die folgenden Gleichungen beschrieben:
kinetische Energie


potentielle Energie




Daraus ergibt sich über




für die an der Masse in dem Zeitintervall [0,t] geleistete Arbeit


Die Zwangskraft


hängt nicht von der Zeit ab. Sie wird durch den `uniformen Druck` der Masse auf die Unterlage erzeugt.

   Diskutiere den Bewegungsablauf  und die zeitliche Änderung der Energien auf der Basis dieser Resultate.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H7



Wegen der Überlagerung von zwei gegenläufigen Bewegungsformen in der -Richtung steigt der Massenpunkt zunächst und erreicht eine maximale Höhe zu dem Zeitpunkt

  























































In dem Maximalpunkt

  























































ist die Geschwindigkeit


Für Zeiten mit bewegt sich der Massenpunkt weiter in Richtung der positiven -Achse, fällt jedoch infolge der Erdbeschleunigung. Zur Zeit passiert er wieder einen Punkt mit . Die potentielle Energie erreicht (entsprechend der -Koordinate) zum Zeitpunkt

   (welchen Wert?)





















































einen Maximalwert (Abb. 2)


und fällt in der Folge mit der -Koordinate ab.


Abbildung 2: Fall (a): Kinetische (grün) und potentielle(blau) Energie sowie Arbeit (rot) in der Nähe des Maximums der potentiellen Energie



Die anfängliche kinetische Energie ist


Während der Steigphase nimmt sie zunächst ab, da der Beitrag in der -Richtung schneller abnimmt als der Beitrag in der -Richtung wächst, und erreicht zu dem Zeitpunkt den Minimalwert (Abb. 3)





Abbildung 3: Fall (a): Kinetische (grün) und potentielle (blau) Energie sowie Arbeit (rot) in der Nähe des Minimums der kinetischen Energie


Es ist (wobei das Gleichheitszeichen nur für gilt). Die kinetische Energie erreicht, mit Beiträgen in der - und der -Richtung, ein Minimum bevor die potentielle Energie, die nur durch einen Beitrag in der -Richtung bestimmt ist, ein Maximum erreicht. Zu dem Zeitpunkt beträgt die kinetische Energie


Dies entspricht dem Beitrag der -Komponente im höchsten Punkt der Bahnkurve. Für spätere Zeiten nimmt die kinetische Energie infolge der nun einsetzenden Fallbewegung (dominant quadratisch mit der Zeit) zu. Die in dem Zeitintervall an der Masse geleistete Arbeit

  























































wächst linear mit der Zeit an. Bis zu dem Erreichen des höchsten Punktes ist diese Arbeit



   Welche Situation  ergibt sich für ?


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H8



Ist , so fällt der Massenpunkt vom Anfangszeitpunkt an mit der Ebene. Die potentielle Energie weist dann kein Maximum und die kinetische Energie kein Minimum auf. Die Arbeitsleistung ist negativ.

   Berechne die explizite Bahnkurve  und diskutiere deren Details.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H9



Durch Elimination der Zeit in der Parameterdarstellung über


erhält man als Gleichung der Bahnkurve in der x-z Ebene


Dies ist ein Ausschnitt aus einer schief in der Ebene liegenden Parabel (Abb. 4).


Abbildung 4: Fall (a): Bahnkurve für die Parameter: , , . (grün für positive Zeiten, rot für negative)


Der rote Teil der Bahnkurve ergibt sich, wenn man die Auflösung mit der Wurzel


in Betracht zieht, die eine mögliche Bewegung der Masse vor der vorgegebenen Anfangszeit beschreibt. Die Bahnkurve (Abb. 5) hat ein Maximum für

   (Denkpause)























































bzw. für die Stelle mit


woraus wieder


folgt. Hiermit ist der Anschluss an die vorherige Diskussion hergestellt.


Abbildung 5: Fall (a): Bahnkurve und die bewegte Ebene

   Betrachte die Bewegung für den Spezialfall  .


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H10



Für gilt und . Die Ebene ist waagrecht und bewegt sich uniform nach oben. Die Gravitation wird durch die Zwangskraft


vollständig kompensiert. In diesem kräftefreien Fall wird die Masse (für ) mit der Ebene angehoben. Es findet keine Bewegung in der -Richtung statt. Die Aussagen für die Extremalstellen etc. verlieren mit


ihren Sinn. Die kinetische Energie bleibt konstant, die potentielle Energie, die gleich der an der Masse geleisteten Arbeit ist, wächst linear mit der Zeit.

   Betrachte die Bewegung für den Spezialfall  .


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H11



Die Ebene steht senkrecht. Die `Zwangsbedingung` lautet dann , eine Aussage, die durch die Lösung bestätigt wird. Für die -Koordinate gilt . Die Masse beginnt mit der Anfangsgeschwindigkeit (z.B. nach oben) und führt eine uneingeschränkte Fallbewegung aus. Die Zwangskraft und damit die an der Masse geleistete Arbeit verschwinden.

   Diskutiere die Bewegung der Masse für eine beschleunigte Ebene  (Fall (b)).


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H12



Bei der beschleunigten Bewegung der Ebene mit




lautet die Parameterdarstellung der Bahnkurve

  

























































Die Bahnkurve ist ebenfalls eine Parabel (Abb. 6), wobei die Details davon abhängen, ob oder und oder ist. Die explizite Darstellung der Bahnkurve ist auch hier


mit





Abbildung 6: Fall (b): Bahnkurve z(x) für die beschleunigte Ebene (Parameter: , , , , )


Beispiele für verschiedene Werte von (und den gleichen Parametern wie in Abb. 6) sind in Abb. 7 gezeigt.


Abbildung 7: Bahnkurve z(x) für die beschleunigte Ebene (Fall (b)) für verschiedene



Die Masse kann also, infolge der zusätzlichen Beschleunigung (nach oben () oder nach unten ()), eine größere Vielfalt von Bahnkurven verfolgen.

   Diskutiere die Zwangskraft  und die Energieverhältnisse für die beschleunigte Bewegung der Ebene.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H13



Die Zwangskraft


wird durch die zusätzliche Beschleunigung modifiziert. Wird die Ebene z.B. mit nach unten beschleunigt, so verschwindet die Zwangskraft. Für die beiden Energieterme findet man




Auch bei den Energietermen zeigt sich die größere Vielfalt an Bahnformen. Während für die Situation (a) die potentielle Energie für große Zeiten immer negativ wird, da die Masse letztlich fällt, ist hier eine ständig wachsende potentielle Energie möglich: Die Beschleunigung durch die Ebene (unterstützt durch die Neigung der Ebene) kann über die Erdanziehung dominieren.


Abbildung 8: Fall (b): Zeitabhängigkeit der Energien für verschiedene Werte von (Parameter: , , , )



Die an der Masse geleistete Arbeit




verdeutlicht noch einmal das Zusammen- oder Gegeneinanderwirken der beiden Beschleunigungen.


Abbildung 9: Fall (b): Zeitabhängigkeit der Arbeit für verschiedene Werte von

   Was geschieht in den Grenzfällen  und ?


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H14



In dem Grenzfall ist die Zwangskraft . Die Beschleunigung der Ebene übernimmt wegen gleichsam die Rolle einer Erdbeschleunigung (vorausgesetzt es ist ). Der Grenzfall (der freie Fall findet parallel zu der vertikal orientierten beschleunigten Ebene statt) unterscheidet sich nicht wesentlich von den Resultaten im Fall (a).

   Diskutiere die Bahnform  für die oszillierende Ebene .


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.2 Antwort zu H15



Für die oszillierende Ebene mit




hat man die Parameterdarstellung

  

























































Die Energie und Arbeitsbeiträge sind







und






Animation der oszillierenden Ebene


Die Zeitabhängigkeit diese Größen ist in den Abb. 10 bis Abb. 12 für den Parametersatz


Abbildung 10: Fall (c): Details der Bahnkurve , oszillierende Ebene



Abbildung 11: Fall (c): Zeitabhängigkeit der Energien, oszillierende Ebene




Abbildung 12: Fall (c): Zeitabhängigkeit der Arbeit, oszillierende Ebene




Zurück zu den Hinweisen            Zurück zur Aufgabenstellung            Zurück zum Inhaltsverzeichnis


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008