6.2.4 Lineare Differentialgleichung
Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung
kann über das Superpositionsprinzip gewonnen werden
. Die allgemeine
Lösung der inhomogenen Differentialgleichung setzt sich aus einer
allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung und einer
speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zusammen
Die Lösung der homogenen Differentialgleichung erhält man durch Variablentrennung
oder nach Auflösung und Umbenennung der Integrationskonstanten
Die noch benötigte spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung kann man
in einfacheren Fällen mit geeigneten Ansätzen erraten. In der Tabelle
sind einige Beispiele aufgeführt, in denen ein einfacher Ansatz mit Koeffizienten,
die durch Einsetzen in die Differentialgleichung zu bestimmen sind, zum Ziel führt.
Ist das Erraten eines Ansatzes nicht einfach oder möglich, so hilft die
Methode der Variation der Konstanten weiter.
Die Methode der Variation der Konstanten nimmt Bezug auf die Lösung der
homogenen Differentialgleichung, die man in der Form
mit
schreibt. Für die gesuchte spezielle Lösung wird der Ansatz
gemacht, der die Bezeichnung `Variation der
Konstanten` begründet. Geht man mit diesem Ansatz in die
inhomogene Differentialgleichung ein, so findet man
In der eckigen Klammer findet man die homogene Differentialgleichung,
der Term entfällt und es verbleibt die Differentialgleichung
für die Funktion
mit der speziellen Lösung
Die Anwendung der Variation der Konstanten ergibt für die drei einfachen
Beispiele das gleiche Resultat für
wie zuvor.
Die bis zu diesem Punkt aufgeführten Differentialgleichungen erster Ordnung
und ersten Grades gehören zum Rüstzeug der theoretischen Physik.
Die Liste der Differentialgleichungen dieses Typs, die analytisch zugänglich sind, kann
noch etwas erweitert werden
, zur Diskussion
gestellt werden aber in dem nächsten Abschnitt nur einige Aspekte der Differentialgleichungen
erster Ordnung und höheren Grades.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008