Detail 6.7
Starre Körper: Übergang von den Lagrangegleichungen
zu den Eulergleichungen der Drehbewegung
Gesucht werden geeignete Linearkombinationen der Gleichungen
(B6.146),
(B6.147) und (B6.148), die
Gleichungen der Form
ergeben. Es ist sinnvoll,
zunächst die Ableitungen der Drehgeschwindigkeitskomponenten
(B6.140)
zu berechnen, um einen Ansatz für eine geeignete Linearkombination
zu gewinnen
Die gesuchte Gleichung mit
muss
(wegen Gleichung 1 aus (6.7.1))
einen Term
bzw. die Gleichung mit
einen Term
enthalten.
Daraus ergibt sich der Ansatz für die Linearkombination
der drei Bewegungsgleichungen (BWGL)
(B6.146) - (B6.148)
Man sucht eine Linearkombination der Terme in
, so
dass sich die angegebenen Faktoren der
-Terme von
bzw.
ergeben.
Gleichung (6.7.2) liefert
woraus, wegen der Unabhängigkeit der Hauptachsenträgheitsmomente, das
Gleichungssystem
gewonnen werden kann. Die Lösung dieses linearen, inhomogenen
Gleichungssystems ist
Für die Eulergleichung in
findet man entsprechend das
Gleichungssystem
mit der Lösung
Es ist dann (in mühseliger Kleinarbeit) noch zu überprüfen, dass die
Kombination der drei Bewegungsgleichungen in den Eulerwinkeln mit den so
bestimmten Koeffizienten Term für Term den Aussagen
entsprechen. Man benutzt dazu die Produkte
Die Drehmomente
und
in (B6.149) und
(B6.150) geben die berechneten Linearkombinationen direkt wieder.
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<Mechanik Details > R. Dreizler C. Lüdde
2008