Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist durch
(B4.31)
gegeben. Man benötigt die Funktion
.
Zu diesem Zweck ist die Relation
nach bzw.
nach selbst aufzulösen. Es ist jedoch günstiger die
Auflösung mit der Relation
durchzuführen.
Wie kann man die
gewünschte Inversion
durchführen?
Man bringt eine der Quadratwurzeln auf die linke Seite der
Gleichung, quadriert und isoliert die verbleibende Quadratwurzel.
Man quadriert ein zweites Mal und erhält, nachdem man die Terme sortiert
hat, eine quadratische Gleichung für .
Führe diese
Schritte durch und löse
die quadratische Gleichung.
Für die Berechnung des effektiven Wirkungsquerschnittes benötigt man
Der differentielle Wirkungsquerschnitt selbst ist
(B4.31)
Gemäß Aufg. 4.8 ist der maximal mögliche Streuwinkel für
eine gegebene Stärke des Potentials
. Genau an dieser Stelle verschwindet auch
der differentielle Wirkungsquerschnitt. Die Abb. 2 zeigt die Variation
des differentiellen Wirkungsquerschnitts mit
in den Grenzen
für drei verschiedene
Werte von . Während sich der mögliche Winkelbereich ausdehnt
(von bis ca.
für die
angegebenen -Werte) ändert sich die Struktur des differentiellen
Wirkungsquerschnittes deutlich.
Abbildung 2:
Variation des differentiellen Wirkungsquerschnitts
(in Einheiten von ) mit
dem Parameter als Funktion von
( rot, blau,
grün)
Zur Interpretation dieser Kurven muss man
sich noch einmal vergegenwärtigen, dass das Konzept des differentiellen
Wirkungsquerschnitts auf der Vorstellung beruht, dass ein Teilchenstrahl
auf den Potentialbereich auftrifft. Beim Durchgang durch eine kleine
Potentialstufe ( oder klein) werden die Teilchen nur
wenig abgelenkt. Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist maximal
für . Es sind also die Teilchen mit kleinem Stoßparameter
die den Hauptbeitrag zu dem differentiellen Wirkungsquerschnitt liefern.
Ist die Potentialstufe tiefer (im Vergleich zur Einschussenergie), so
tragen die Teilchen mit einem größeren Stossparameter in vergleichbarer
Stärke bei. Bei einer extremen Potentialstufe ist dann der Beitrag dieser
Teilchen dominierend. Zu bemerken ist noch: Die Struktur des differentiellen
Wirkungsquerschnitts wird alleine durch den Potentialparameter bestimmt.
Der Radius der Potentialkugel tritt nur in dem Vorfaktor auf.
Berechne den
totalen Wirkungsquerschnitt
(gesamten Wirkungsquerschnitt).
Den totalen Wirkungsquerschnitt gewinnt
man aus dem differentiellen durch Integration über den gesamten
Raumwinkel
mit
also
Es bietet sich die Substitution
an, so dass der gesamte Wirkungsquerschnitt durch Auswertung des
Integrals
zu berechnen ist. Mit den angegebenen Integralen
Werkzeuge
erhält man für das Resultat
Der Wirkungsquerschnitt entspricht der Fläche der `Scheibe` ,
die der Potentialbereich einem Strahl von Teilchen (Einkörperproblem)
oder fiktiven Teilchen (reduziertes Zweikörperproblem)
entgegenstellt.