1.1 Der Funktionsbegriff
Die Definition einer Funktion einer Veränderlichen umfasst die Aussagen:
1. Gegeben ist ein Definitionsbereich (Abb. 1.1). Dies ist normalerweise
ein Intervall der unabhängigen Variablen, die (in Anlehnung an die
Betrachtungen in der theoretischen Mechanik) mit
bezeichnet werden soll.
Der Definitionsbereich kann jedoch auch aus einer Menge von isolierten
Punkten bestehen.
Abbildung 1.1:
Definitions- und Wertebereich
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2. Als eine Funktion einer reellen Variablen bezeichnet man
eine Vorschrift, die jeder Zahl aus dem Definitionsbereich in
eindeutiger Weise eine reelle Zahl
zuordnet:
3. Die Menge der
-Werte, die man mit Hilfe der Vorschrift erhält,
bezeichnet man als den Wertebereich der Funktion (Abb. 1.1). Die Struktur der
Zuordnungsvorschrift ist dabei in keiner Weise festgelegt. Einige ausgewählte
Beispiele sollen die Vielfalt der Möglichkeiten andeuten:
- (i)
- Der Definitionsbereich ist das Intervall
, die Vorschrift
lautet
. In diesem Beispiel ist die Funktion durch eine
explizite Formel vorgegeben. Die Funktion kann in einem Schaubild durch eine
`glatte Kurve` dargestellt werden. Der Wertebereich ist
.
(Abb. 1.2a).
- (ii)
- In dem Definitionsbereich
wird die Funktion
betrachtet. Auch in diesem Fall besteht eine Zuordnung
durch eine Formel. Der Wertebereich ist
. Diese Funktion kann jedoch
nicht durch eine `glatte Kurve` dargestellt werden. Je näher man an
den (ausgeschlossenen) Punkt
kommt, desto stärker oszilliert der
Funktionswert (Abb. 1.2b).
Abbildung 1.2:
Schaubilder der Beispiele für Funktionen
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- (iii)
- In dem Definitionsbereich
lautet die Vorschrift
Diese Sprungfunktion wird durch die Kurzfassung einer verbalen Erklärung
definiert. Eine graphische Darstellung ist möglich. Man benötigt jedoch
eine Verabredung, um die Aussagen definiert für kleiner und größer
gleich zu verdeutlichen (Abb. 1.3). Ein ausgemalter `Punkt` gehört zu dem jeweiligen Bereich, ein offener `Punkt` nicht.
Abbildung 1.3:
Schaubild der Sprungfunktion
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- (iv)
- In dem Definitionsbereich
ist eine Funktion durch die
eindeutige, semiverbale Zuordnungsvorschrift
gegeben.
Eine graphische Darstellung in einem
Diagramm ist nicht möglich.
Der Funktionsbegriff, der in der Mathematik eingeführt wird, deckt eine
Vielfalt von Möglichkeiten ab, ist aber für den Bedarf der Physik etwas
zu allgemein angelegt. In der Physik interessiert (bis auf Ausnahmefälle)
eine deutlich eingeschränktere Klasse von Funktionen. Die Einschränkung
orientiert sich an den Begriffen Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008