Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.3
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Wie hängt der
Radius einer Kreisbahn
von der Energie und dem Drehimpuls ab?
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Wie kann man die
Umlaufzeit
des Satelliten
(bzw. seine Kreisfrequenz
) ins Spiel bringen?
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Was ist also der
Zusammenhang
zwischen dem Radius der Bahn und der
Rotationsfrequenz?
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Wie kann man diese
Formel
mit anderen Argumenten gewinnen?
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Berechne die
Radien
der stationären Satellitenbahnen.
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Berechne die
Geschwindigkeit
des Satelliten auf seiner jeweiligen Bahn.
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Wie lautet der
Energiesatz
im Fall einer Parabelbahn und wie bestimmt
man die Geschwindigkeit, die man dem Satelliten geben muss, um den Übergang
von der Kreis- in die Parabelbahn zu erreichen?
Werkzeuge
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
4.3 Antwort zu H1
Für eine Kreisbahn mit
lautet der Energiesatz
(
Satellitenmasse,
Zentralmasse).
Die Kreisbahn ist die Bahn mit der niedrigsten Energie. Deswegen gilt
Der Radius der Kreisbahn wird durch den Drehimpuls bestimmt.
Alternativ kann man (setze das Ergebnis für den Radius in den
Energieausdruck ein) Energie und Drehimpuls verknüpfen
Wie kann man die
Umlaufzeit
des Satelliten
(bzw. seine Kreisfrequenz
) ins Spiel bringen?
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4.3 Antwort zu H2
Die Umlauffrequenz des Satelliten ist gleich der Rotationsfrequenz des
Zentralkörpers
. Für den Drehimpuls gilt bei einer
uniformen Kreisbewegung
.
Was ist also der
Zusammenhang
zwischen dem Radius der Bahn und der
Rotationsfrequenz?
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4.3 Antwort zu H3
Setze den Ausdruck für
in das Resultat für den Radius
ein und erhalte
Wie kann man diese
Formel
mit anderen Argumenten gewinnen?
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4.3 Antwort zu H4
Man benutzt die Bedingung, dass die angreifende Kraft (Gravitation) gleich
der Zentripetalkraft sein muss, und kann die gleiche Relation (schneller)
herleiten. Aus Masse mal Zentripetalbeschleunigung ist gleich Gravitation
folgt ebenfalls die oben angegebene Relation.
Berechne die
Radien
der stationären Satellitenbahnen.
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4.3 Antwort zu H5
Setzt man die angegebenen Daten ein, so erhält man mit
Der Bahnradius des Jupitersatelliten berechnet sich
mit
zu
Berechne die
Geschwindigkeit
des Satelliten auf seiner jeweiligen Bahn.
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4.3 Antwort zu H6
Die entsprechenden Geschwindigkeiten sind
Wie lautet der
Energiesatz
im Fall einer Parabelbahn und wie bestimmt
man die Geschwindigkeit, die man dem Satelliten geben muss, um den Übergang
von der Kreis- in die Parabelbahn zu erreichen?
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4.3 Antwort zu H7
Die Parabelbahn ist durch
charakterisiert. Es gilt also
Benutzt man als Anfangsbedingung den Radius der jeweiligen Kreisbahn, so kann
man die Geschwindigkeit des Satelliten auf der geforderten Parabelbahn
sofort berechnen
(Woher ist diese Formel bekannt?)
Die Zahlenwerte sind
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