Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.6
  1. Das Problem wird am besten in ebenen Polarkoordinaten   diskutiert. Notiere die zuständigen Bewegungsgleichungen für das Einziehen der Masse in Polarkoordinaten.
  2. Welcher Erhaltungssatz   folgt aus der Azimutalgleichung?
  3. Bestimme die Integrationskonstante   des Erhaltungssatzes aus den Anfangsbedingungen und gib eine Relation zwischen und auf der Basis des Erhaltungssatzes an.
  4. Benutze die Relation   und den Drehimpulssatz, um eine Differentialgleichung für die Bahngleichung aufzustellen.
  5. Löse die Differentialgleichung   für die Radialkoordinate.
  6. Bestimme die Fadenkraft   aus der Radialgleichung.
  7. Berechne die Arbeitsleistung   während des Einzuges.
  8. Wie vergleichen sich die Aussagen aus der Energiebilanz   mit den Aussagen des Drehimpulserhaltungssatzes?



Zurück zur Aufgabenstellung
<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































3.6 Antwort zu H1



Die Bewegungsgleichungen während des Einziehens sind die Radialgleichung und die Azimutalgleichung:



Es wird (mit zunächst unbekannter) Kraft nach innen gezogen, somit wird ein negativer Wert von erwartet.

   Welcher Erhaltungssatz   folgt aus der Azimutalgleichung?


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































3.6 Antwort zu H2



Diese Gleichung beinhaltet Drehimpulserhaltung während des Einzuges





   Bestimme die Integrationskonstante   des Erhaltungssatzes aus den Anfangsbedingungen und gebe eine Relation zwischen und auf der Basis des Erhaltungssatzes an.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































3.6 Antwort zu H3



Zur Bestimmung der Konstanten benutzt man die Anfangsbedingungen


Der Drehimpulserhaltungssatz liefert somit die Relation





   Benutze die Relation   und den Drehimpulssatz, um eine Differentialgleichung für die Bahngleichung aufzustellen.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































3.6 Antwort zu H4



Für die radiale Geschwindigkeit der Masse während des Einziehens gilt


(Zug nach innen). Damit kann man schreiben


(benutze die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion). Die Differentialgleichung für lautet somit



   Löse die Differentialgleichung   für die Radialkoordinate.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































3.6 Antwort zu H5



Die Differentialgleichung


kann durch Variablentrennung gelöst werden




Die Konstante wird bei der Aufgabenstellung nicht festgelegt. Auflösung nach ergibt


Dies ist die Bahngleichung einer Spirale (Abb. 2).


Abbildung 2: Bahnkurve


Der Abb. 3 entnimmt man z. B. die folgenden Aussagen: eine Erhöhung der Anfangsgeschwindigkeit bedingt eine engere Spirale. Der Bahnradius nimmt bei einer Erhöhung der Einzugsgeschwindigkeit (wie zu erwarten) schneller ab.


Abbildung 3: Illustration der Gleichung der Bahnkurve mit , und den Parametern , (rot), , (blau), , (grün)


   Bestimme die Fadenkraft   aus der Radialgleichung.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































3.6 Antwort zu H6



Die Fadenkraft , die während des Einzuges wirkt, kann, wegen


direkt aus der Radialgleichung


zu


gewonnen werden. Man muss eine Kraft anwenden, die (bei vorgegebener 'Stärke') mit dem Radius wie variiert, um eine konstante Einzugsgeschwindigkeit zu gewährleisten.


Abbildung 4: Kraftwirkung für uniformen Einzug mit , und den Parametern (rot), (blau)


Die Fadenkraft ist unabhängig von der Einzugsgeschwindigkeit , eine Vergrößerung der Anfangsgeschwindigkeit erfordert eine Vergrößerung der Fadenkraft (Abb. 4).

   Berechne die Arbeitsleistung   während des Einzuges.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































3.6 Antwort zu H7



Die Arbeitsleistung während des Einziehens berechnet man über




Für den Einzug von nach also


Durch die Arbeitsleistung während des Einzuges von nach wird die kinetische Energie der Masse um einen Faktor 8 erhöht.

   Wie vergleichen sich die Aussagen aus der Energiebilanz   mit den Aussagen des Drehimpulserhaltungssatzes?


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































3.6 Antwort zu H8



Die Aussage bezüglich der kinetischen Energie geht konform mit der Drehimpulserhaltung. Aus der Relation


erhält man für


Die Differenz der kinetischen Energie vor und nach dem Einziehen ist also


gleich der an der Masse geleisteten Arbeit.



Zurück zu den Hinweisen            Zurück zur Aufgabenstellung            Zurück zum Inhaltsverzeichnis


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008





































.