Zur Diskussion der
Bahnkurven
betrachtet man
Betrag und Richtung der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren.
Welche Aussagen kann man über diese Größen machen? (Extremwerte?)
Betrachte den Fall .
Charakterisiere die Projektion der drei Bahnkurven in die
- Ebene ()? Wie lautet die Normalform dieser Kurven?
Wie würde man die
Raumkurven
beschreiben?
Zur Diskussion der
Bahnkurven
betrachtet man
Betrag und Richtung der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren.
Welche Aussagen kann man über diese Größen machen? (Extremwerte?)
Betrachte den Fall .
Die (Beträge der) Geschwindigkeit und Beschleunigung ändern sich mit der Zeit.
Die maximale Geschwindigkeit und die minimale Beschleunigung wird für
erreicht.
Die Geschwindigkeit nimmt den kleinsten Wert für die Zeitpunkte
an. Die Beschleunigung ist zu diesen Zeiten am größten.
Abbildung 1:
Variation von und für den Fall ()
Die Richtung des Geschwindigkeits- und des Beschleunigungsvektors zu
diesen Zeiten ergibt sich zu
Im Fall der Anfangsbedingungen () erhält man mit den gleichen Rechenschritten
die Aussagen:
Für
ist die Geschwindigkeit minimal,
die Beschleunigung maximal.
Die größte Geschwindigkeit wird für die Zeiten
erreicht, für die die Beschleunigung minimal ist.
Der Geschwindigkeitsvektor ist tangential an die Bahnkurve, seine
Richtung entnimmt man, ebenso wie die Richtung des Beschleunigungsvektors,
der Tabelle.
(Min)
(Max)
(Max)
(Min)
(Min)
(Max)
(Max)
(Min)
Für den Satz von Anfangsbedingungen () findet man einen konstanten
Geschwindigkeitsbetrag
und einen konstanten Betrag für die Beschleunigung
Für die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren
findet man
Der Geschwindigkeits- und der Beschleunigungsvektor ändern ihre Richtung
mit der Zeit, nicht aber ihren Betrag.
Charakterisiere die Projektion der drei Bahnkurven in die
- Ebene ()? Wie lautet die Normalform dieser Kurven?
Wie würde man die
Raumkurven
beschreiben?
Im Fall deutet die Form von an, dass die Projektion
eine Ellipse ist. Der Nachweis lässt sich schnell erbringen. Mit
ergibt die trigonometrische Formel
Dies entspricht der Normalform der Ellipsengleichung mit
wobei und die Längen der beiden Halbachsen angeben.
Diese Projektion beschreibt zusammen mit der -Komponente eine
ellipsenförmige Schraubenlinie, auf der der Massenpunkt (beginnend in der
- Ebene) steigt. Die Ganghöhe
(Änderung der -Komponente pro Umlauf), entsprechend der Umlaufzeit
, ist
Für die Anfangsbedingung () ergibt Einsetzen der Lösung
in die trigonometrische Relation
Die Projektion ist eine Kreisbahn. Die Ganghöhe auf der kreisförmigen
Schraubenlinie beträgt
Sie ist doppelt so groß wie im Fall ().
Für () findet man eine ellipsenförmige Schraubenlinie mit
und und der gleichen Ganghöhe wie im Fall .
Die folgenden Animationen sollen die Veranschaulichung
unterstützen.