3.1.4 Ergänzungen II: Schiefwinklige Koordinatensysteme und Verallgemeinerung
Ein dreidimensionaler Raum kann auch von drei beliebigen Basisvektoren, die nicht in einer Ebene
liegen oder zusammenfallen, aufgespannt werden (Abb. 3.15).
Das Grunddreibein ist nicht orthogonal, auch müssen die Basisvektoren nicht
auf
normiert sein.
Abbildung 3.15:
Schiefwinkliges Koordinatendreibein
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Zur Charakterisierung des Raumes benutzt man
auch hier die Skalarprodukte
Da die Skalarprodukte kommutativ sind, gilt
somit gibt es 6 unabhängige Größen. Die Größen
charakterisieren die
Länge der Basisvektoren. Die Größen
mit
charakterisieren die relative Lage
. Man
bezeichnet diesen Satz von Größen aus diesem Grund als den
metrischen Tensor.
Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein Spezialfall mit
In einem schiefwinkligen Koordinatensystem kann man für einen beliebigen Vektor
zwei verschiedene Komponentenzerlegungen angeben. Die Abbildungen geben die Situation
der Übersicht wegen in der zweidimensionalen Welt wieder, die Formeln entsprechen
jedoch der dreidimensionalen Welt.
- Man kann einen Vektor
senkrecht auf die
Koordinatenrichtungen projizieren und zwar mit
In diesem Fall gilt
- Man kann den Vektor in Vektoren parallel zu den Koordinatenachsen zerlegen
Die zwei möglichen Zerlegungen eines Vektors
bezeichnet man als die Zerlegung in kovariante (untere Indizes, Abb. 3.16a) und
kontravariante (obere Indizes, Abb. 3.6b) Komponenten.
Abbildung 3.16:
Zur Zerlegung eines Vektors in Bezug auf ein schiefwinkliges
Koordinatensystem
 |
Die Frage nach dem Zusammenhang zwischen den Komponentenzerlegungen kann man
folgendermaßen beantworten:
Aus der kontravarianten Zerlegung folgt
das heißt
Die beiden Zerlegungen sind durch den metrischen Tensor miteinander
verknüpft.
Zur expliziteren Charakterisierung des Zusammenhangs führt man ein reziprokes
Koordinatensystem
ein (Abb. 3.17), das durch
definiert ist.
Abbildung 3.17:
Reziprokes Koordinatensystem:
ergibt
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Der Ausdruck im Nenner
ist ein Spatprodukt.
Die Vektoren
(obere Indizes) stehen jeweils senkrecht auf
den Ebenen, die durch die zyklischen Ergänzungen des ursprünglichen Koordinatensystems
aufgespannt werden.
Es gilt deswegen
Für den Fall
ist die Antwort offensichtlich, für den Fall
genügt die Betrachtung eines Beispiels, um das Muster
anzudeuten. Es ist
da das Vektorprodukt eines Vektors mit sich selbst verschwindet.
Alternativ kann man die Basisvektoren des reziproken Systems nach den
Basisvektoren des ursprünglichen Systems entwickeln
Zur Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten
bildet man
Daraus folgt
sowie
oder
Die Entwicklungskoeffizienten
bilden den metrischen Tensor
des reziproken Systems. Das Argument zeigt auch, dass dieser nicht
unabhängig von dem metrischen Tensor des ursprünglichen Systems ist,
sondern durch diesen eindeutig bestimmt ist (6 unabhängige Gleichungen
für 6 Größen).
Die Bezeichnung reziprokes System impliziert, dass die Umkehrung
gilt, doch soll diese Aussage nicht demonstriert werden.
Die kontravarianten Komponenten sind die Komponenten eines Vektors in Bezug auf
die ursprüngliche Basis, die kovarianten Komponenten sind die
Komponenten eines Vektors in Bezug auf die reziproke Basis
denn es gilt
Für ein Skalarprodukt von zwei Vektoren
,
existieren somit drei mögliche Formen
Dies beinhaltet (wie man auch direkt zeigen kann), dass
ist. Mit Hilfe des metrischen Tensors (oder seines reziproken) kann man die
Zerlegungen ineinander umrechnen.
Zur Darstellung der Aussagen der klassischen Mechanik genügen kartesische
Koordinatensysteme. Es gibt jedoch zwei Bereiche der Physik, in denen die Benutzung
von schiefwinkligen Koordinatensystemen gefragt ist:
- (i)
- Die Kristallphysik, in der die Koordinatensysteme an die Kristallstruktur
angepasst werden.
- (ii)
- Die (spezielle) Relativitätstheorie, in der Raum und Zeit zu
einer Einheit zusammengefasst werden müssen. In dem entsprechenden
vierdimensionalen Raum
sind die Basisvektoren zwar
immer noch orthogonal, die Metrik weicht jedoch von der Euklidischen Form
ab.
In beiden Fällen ist die Unterscheidung zwischen ko- und kontravarianten
Komponentenzerlegungen notwendig.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008