5.11 Betrachtung des Fliehkraftreglers

Ein Fliehkraftregler ist ein mechanisches Instrument, das in vielen technischen Anwendungen eingesetzt wurde (wird). Die Arbeitsweise beruht darauf, dass sich bei der Rotation von zwei Massen an gelenkig befestigten Stangen eine von der Rotationsgeschwindigkeit abhängige Gleichgewichtsposition einstellt. Mittels geeigneter Vorrichtungen, die auf diese Positionen ansprechen, kann man in Abhängigkeit von der Rotationsgeschwindigkeit die Arbeitsweise von Maschinen regulieren. In dieser Aufgabe wird die Arbeitsweise des Fliehkraftreglers in einem vereinfachten Modell auf der Basis von Lagrange II im Detail analysiert. Die Aufgabe ist eine etwas anspruchsvollere Variante der Aufgabenstellung, die in Aufg. 5.10 für ein rotierendes mathematisches Pendel diskutiert wurde.

Aufgabenstellung

Betrachte das folgende Modell eines Fliehkraftreglers (siehe Abb. 1):


Abbildung 1: Modell eines Fliehkraftreglers



Zwei (gewichtslose, starre) Stangen der Länge sind an einem vertikalen, uniform rotierenden Stab gelenkig befestigt. Sie liegen in einer Ebene. Am Ende jeder Stange sitzt eine Masse (). Gelenkig verbunden sind zwei weitere Stangen der Länge , die an einer hohlzylindrischen Masse befestigt sind. Die Masse kann sich reibungsfrei entlang der Vertikalen bewegen. Alle drei Massen werden als punktförmig behandelt. Das ganze System dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit um die Vertikale, die Massen sind der einfachen Gravitation ausgesetzt.
(1)
Zeige, dass das System effektiv nur einen Freiheitsgrad besitzt. Diskutiere die Optionen für die Wahl von generalisierten Koordinaten.
(2)
Stelle die Lagrangefunktion des Systems auf.
(3)
Bestimme die Gleichgewichtssituationen, die bei der uniformen Drehung auftreten können. Diskutiere das Ergebnis.
(4)
Stelle die Bewegungsgleichung in jeder der möglichen generalisierten Koordinaten auf.
(5)
Bestimme die Frequenz der harmonischen Oszillationen um den in (3) bestimmten Gleichgewichtspunkt.


Deine Antworten:

Die Gleichgewichtslage der Masse ist mit

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008