Lösung der Aufgabe 2.6
Die vorgegebenen Differentialgleichungen separieren in Polarkoordinaten.
Für die Radialkoordinate erhält man
mit der speziellen Lösung
im Fall der allgemeinen Anfangsbedingungen, bzw.
für die Anfangsbedingungen
.
Geht man damit in die Differentialgleichung für
ein, so findet man die korrespondierenden Lösungen (
)
Die Integrationskonstante
kann für
aus der Vorgabe nicht bestimmt werden.
Für die einfachen Anfangsbedingungen gelten die Aussagen:
Die Bahnkurve ist eine Spirale,
die uniform von innen nach außen durchlaufen wird. Pro Umlauf
(Umlaufzeit
) vergrößert sich der Radius um
. Die Radial- und die Azimutalgeschwindigkeiten
und die entsprechenden Beschleunigungen auf der Spirale sind
und
Betrachtet man die Bewegung aus der Sicht eines kartesischen Koordinatensystems,
so findet man (mit der Definition
)
eine Abhängigkeit von trigonometrischen Funktionen bzw.
mal eine
trigonometrische Funktion
Die Beträge von Geschwindigkeit und Beschleunigung sind, unabhängig
von der Wahl der Koordinaten,
Die zweite vorgegebene Differentialgleichung entspricht der
Hälfte des Betrages der Flächengeschwindigkeit
Die Krümmung der Spirale berechnet sich zu
Sie beginnt mit dem Wert
und geht
für große Zeiten (bzw. große Werte von
) wie
gegen Null.
Bei den allgemeineren Anfangsbedingungen
ist der Umlauf nicht so einfach, die Winkelkoordinate geht aber
für große Zeiten in
über. Die Radialkoordinate wächst zunächst parabelförmig
mit der Zeit, für große Zeiten jedoch wieder linear.
Abbildung 4:
Die Funktionen
und
: Vergleich der Anfangsbedingungen
(a)
(grün),
(b)
, (blau)
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008