6.2.3 Der integrierende Faktor
Zur Einführung der Thematik ist ein einfaches Beispiel angebracht. Die
Differentialgleichung
ist nicht exakt, denn es ist
und
, als
.
Die Lösung ist trotzdem einfach. Man schreibt
und erhält
oder (nach Umbenennung der
Integrationskonstanten)
. Betrachtet man das totale Differential
der Lösung in impliziter Form
so kann man feststellen, dass man die Differentialgleichung auch hätte lösen können,
indem man sie zunächst mit
multipliziert. Die resultierende
Differentialgleichung
ist exakt (
und könnte durch Kurvenintegration
gelöst werden. Die Funktion
bezeichnet man als einen
integrierenden Faktor der vorgelegten Differentialgleichung. Es existiert jedoch nicht nur
ein integrierender Faktor, sondern beliebig viele. Schreibt man die Lösung
in der Form
, so findet man wegen
dass
ein integrierender Faktor ist. Eine dritte Möglichkeit
gewinnt man z.B. mit der modifizierten, impliziten Lösung
Die Funktion
ist gleichfalls ein integrierender
Faktor. Beliebig viele weitere Varianten sind möglich.
Im allgemeinen Fall argumentiert man in der folgenden Weise. Man
betrachtet die Differentialgleichung
und versucht den integrierenden Faktor so zu wählen, dass
ist. Diese Forderung entspricht einer partiellen Differentialgleichung für die Funktion
An dieser Stelle wird die Aussage `im Prinzip` deutlich: Man kann
zeigen, dass (bei geeigneten Vorausetzungen an die Funktionen
und
)
eine Lösung der partiellen Differentialgleichung existiert. Man kann die partielle Differentialgleichung auch für
eine Reihe von Grundtypen lösen, doch führt die Verlagerung des Problems
nicht unbedingt zum Ziel.
Es ist noch ein Spezialfall von Differentialgleichungen erster Ordnung und ersten Grades zu
diskutieren, die lineare Differentialgleichung.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008