Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.7
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Wie berechnet man den
Flächeninhalt
und den Umfang?
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Wie kann man die
Zeitableitungen
in den Formeln für die Fläche und die
Bogenlänge handhaben ?
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Polarkoordinaten: Berechne den
Vektor der Flächengeschwindigkeit.
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Polarkoordinaten: Berechne die
Fläche der Kardioide.
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Polarkoordinaten: Wie wird die
Bogenlänge
eines Kurvenstücks berechnet?
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Polarkoordinaten: Setze
den Vorschlag
um und berechne die Bogenlänge der Kardioide .
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Kartesische Koordinaten: Wie lautet die
Darstellung der Kurve
in diesem Fall?
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Kartesische Koordinaten: Stelle die
Einzelheiten
für die Berechnung der Fläche zusammen. Kommentiere.
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Kartesische Koordinaten: Gib die
Formel für die Bogenlänge
an.
Bereite die Auswertung vor.
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Verifiziere,
dass die Parameterdarstellung der Kardioide die Gleichung
erfüllt.
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Leite die
Bahngleichung der Kardioide
in kartesischen Koordinaten durch Elimination des Parameters
her.
(Mutige sollten versuchen, die Gleichung
ohne Führung zu gewinnen. Bevor Frustration einsetzt, kann die
(längliche) Antwort eingesehen werden).
Werkzeuge
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Abbildung 1:
Kardioide
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
2.7 Antwort zu H1
Der Flächensatz
erlaubt die Berechnung der Fläche durch `Abfahren` der Umrandung.
Der Umfang kann mit Hilfe der Bogenlänge (infinitesimal)
durch Integration über den Parameter
berechnet werden.
Wie kann man die
Zeitableitungen
in den Formeln für die Fläche und die
Bogenlänge handhaben ?
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2.7 Antwort zu H2
Die Zeitableitungen in den Formeln für
die Flächengeschwindigkeit
und das infinitesimale Bogenelement
sind durch
zu ersetzen. Man kann jedoch auch eine beliebige Winkelbewegung vorgeben,
am einfachsten eine uniforme Winkelbewegung, da für die Flächenberechnung
die Art des Abfahrens der Randkurve keine Rolle spielt.
Dies ergibt z.B. die Parameterdarstellung
die hier benutzt wird. Für einen vollen Umlauf benötigt man die Zeit
.
Polarkoordinaten: Berechne den
Vektor der Flächengeschwindigkeit.
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2.7 Antwort zu H3
Mit den Zutaten
erhält man
Polarkoordinaten: Berechne die
Fläche
der Kardioide.
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2.7 Antwort zu H4
Die Fläche ist durch das Integral
gegeben.
Die Integrale können entweder einzeln oder mittels der Zusammenfassung
ausgewertet werden.
In jedem Fall erhält man
und somit den Flächeninhalt
der gesamten Kardioide.
Polarkoordinaten: Wie wird die
Bogenlänge
eines Kurvenstückes berechnet?
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2.7 Antwort zu H5
Die Grundformel (siehe auch Kap. 2.3) lautet in Polarkoordinaten
Polarkoordinaten: Setze
den Vorschlag
um und berechne die Bogenlänge der Kardioide.
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2.7 Antwort zu H6
Die Parameterdarstellung
ergibt
Damit erhält man
Es ist das Integral (setze
) zu berechnen
Eine Vereinfachung ergibt sich, wenn man
(siehe wieder Nebenrechnung 2)
die Relation
benutzt. Dabei ist jedoch auf das korrekte Vorzeichen in den jeweiligen Intervallen des
Definitionsbereiches zu achten. Die korrekte Auflösung der Wurzel in Nebenrechnung 2
ergibt
Für die linke Seite dieser Gleichung findet man in beiden Intervallen
Die Gleichnung kann somit für das zweite Intervall nur mit dem Minuszeichen auf der
rechten Seite aufgehen, da der Kosinus negativ ist.
Es ist dann
woraus sich der Umfang zu
ergibt.
Kartesische Koordinaten: Wie lautet die
Darstellung der Kurve
in diesem Fall?
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2.7 Antwort zu H7
Die Parameterdarstellung in Polarkoordinaten impliziert die kartesische
Form (Projektion)
Es soll bei diesem Durchgang direkt mit der Variablen
gearbeitet
werden, wobei
(siehe Antwort zu H2)
benutzt wird.
Kartesische Koordinaten: Stelle die
Einzelheiten
für die Berechnung der Fläche zusammen. Kommentiere.
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2.7 Antwort zu H8
Zur Berechnung des Flächengeschwindigkeitsvektors
benötigt man die Ableitungen der Koordinaten nach der Zeit, bzw. nach dem Winkel
. Es ist
Das Produkt
ist dann
Das Integral ist (wegen
) das gleiche wie bei
der Diskussion in Polarkoordinaten.
Kartesische Koordinaten: Gib die
Formel für die Bogenlänge
an. Bereite die Auswertung vor.
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2.7 Antwort zu H9
Wieder kann man in der Grundformel
von der Zeit zu einem Winkel übergehen und erhält
Die Zutaten sind
sodass sich bei konsistenter Anwendung der Relation
für
das Integral
ergibt.
Auch dieses Integral entspricht dem Integral bei der Diskussion mittels Polarkoordinaten.
Verifiziere,
dass die Parameterdarstellung der Kardioide die Gleichung
erfüllt.
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2.7 Antwort zu H10
Zur Verifikation genügt es, die Parameterdarstellung in die vorgegebene
Gleichung
einzusetzen. Man benutzt dazu
und erhält für den Ausdruck auf der linken Seite
Leite die
Bahngleichung der Kardioide
in kartesischen Koordinaten durch Elimination des Parameters
her.
(Mutige sollten versuchen, die Gleichung
ohne Führung zu gewinnen. Bevor Frustration einsetzt, kann die
(längliche) Antwort eingesehen werden).
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2.7 Antwort zu H11
Die vollständige Elimination des Kurvenparameters ist etwas
langwieriger. Auch hier ist die Gleichung
nützlich. Als ersten Schritt kann man die Parameterdarstellung
der
-Koordinate als quadratische Gleichung in
auffassen. Die Lösung ist
Man berechnet dann
in bekannter Weise
und hat alle Zutaten, um den Parameter
aus der Parameterdarstellung der
-Koordinate zu eliminieren. Der Ausgangspunkt ist also
wobei der Übersicht halber
gesetzt wurde.
Ein erstes Quadrieren entfernt die äußere Wurzel, so dass man
nach Sortierung das Zwischenergebnis
erhält. Ein zweites Quadrieren entfernt dann die innere Wurzel.
Das direkte Ergebnis
ergibt nach Ausmultiplikation und Zusammenfassung der verbleibenden Terme
bzw.
Kürzung eines Faktors
sowie Multiplikation mit
liefert endlich das gewünschte Resultat.
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