Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.9
  1. Übernehme die Ergebnisse für den Streuwinkel   aus Aufg. 4.8 und notiere die für die Diskussion notwendigen Größen.
  2. Welche Zutaten  benötigt man zur Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnittes und wie gewinnt man sie?
  3. Wie kann man die gewünschte Inversion  durchführen?
  4. Führe diese Schritte durch und löse  die quadratische Gleichung.
  5. Wie berechnet man die nun benötigte Ableitung  von nach ?
  6. Berechne  die benötigte Ableitung.
  7. Berechne den totalen Wirkungsquerschnitt  (gesamten Wirkungsquerschnitt).



Werkzeuge




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4.9 Antwort zu H1



Abbildung 1: Stoßgeometrie
Die folgenden Größen werden benötigt:


        Reduzierter Stoßparameter:  
Gesamtenergie der Relativbewegung:  
Potentialparameter:  
Drehimpuls der Relativbewegung:  



Der Streuwinkel (Abb. 1) ist




so dass man für den Sinus des halben Streuwinkels (siehe Rutherfordformel)


erhält.

   Welche Zutaten  benötigt man zur Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnittes und wie gewinnt man sie?


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4.9 Antwort zu H2



Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist durch (B4.31)




gegeben. Man benötigt die Funktion . Zu diesem Zweck ist die Relation nach bzw. nach selbst aufzulösen. Es ist jedoch günstiger die Auflösung mit der Relation durchzuführen.

   Wie kann man die gewünschte Inversion  durchführen?


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4.9 Antwort zu H3



Man bringt eine der Quadratwurzeln auf die linke Seite der Gleichung, quadriert und isoliert die verbleibende Quadratwurzel. Man quadriert ein zweites Mal und erhält, nachdem man die Terme sortiert hat, eine quadratische Gleichung für .

   Führe diese Schritte durch und löse  die quadratische Gleichung.


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4.9 Antwort zu H4



Nach dem ersten Schritt lautet das Zwischenergebnis




Weiteres Quadrieren ergibt die quadratische Gleichung für




Wendet man die Standardlösungsformel


für die Gleichung


an, so ist die Wurzel auszuwerten und der Nenner umzuformen. Auswertung der Wurzel ergibt




und somit


Den Nenner kann man in der Form schreiben




Das Ergebnis lautet


Von den beiden möglichen Resultaten erfüllt nur das Resultat mit dem negativen Vorzeichen die Ausgangsgleichung.

Nebenrechnung
Das Endergebnis ist also



   Wie berechnet man die nun benötigte Ableitung  von nach ?


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4.9 Antwort zu H5



Es ist , somit folgt aus


mit der Kettenregel die Relation




die auszuwerten und in die Formel für den differentiellen Wirkungsquerschnitt




einzusetzen ist.

   Berechne  die benötigte Ableitung.


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4.9 Antwort zu H6



Für die Berechnung des effektiven Wirkungsquerschnittes benötigt man

      



























































Der differentielle Wirkungsquerschnitt selbst ist (B4.31)




Gemäß Aufg. 4.8 ist der maximal mögliche Streuwinkel für eine gegebene Stärke des Potentials . Genau an dieser Stelle verschwindet auch der differentielle Wirkungsquerschnitt. Die Abb. 2 zeigt die Variation des differentiellen Wirkungsquerschnitts mit in den Grenzen für drei verschiedene Werte von . Während sich der mögliche Winkelbereich ausdehnt (von bis ca. für die angegebenen -Werte) ändert sich die Struktur des differentiellen Wirkungsquerschnittes deutlich.


Abbildung 2: Variation des differentiellen Wirkungsquerschnitts (in Einheiten von ) mit dem Parameter als Funktion von ( rot, blau, grün)



Zur Interpretation dieser Kurven muss man sich noch einmal vergegenwärtigen, dass das Konzept des differentiellen Wirkungsquerschnitts auf der Vorstellung beruht, dass ein Teilchenstrahl auf den Potentialbereich auftrifft. Beim Durchgang durch eine kleine Potentialstufe ( oder klein) werden die Teilchen nur wenig abgelenkt. Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist maximal für . Es sind also die Teilchen mit kleinem Stoßparameter die den Hauptbeitrag zu dem differentiellen Wirkungsquerschnitt liefern. Ist die Potentialstufe tiefer (im Vergleich zur Einschussenergie), so tragen die Teilchen mit einem größeren Stossparameter in vergleichbarer Stärke bei. Bei einer extremen Potentialstufe ist dann der Beitrag dieser Teilchen dominierend. Zu bemerken ist noch: Die Struktur des differentiellen Wirkungsquerschnitts wird alleine durch den Potentialparameter bestimmt. Der Radius der Potentialkugel tritt nur in dem Vorfaktor auf.

   Berechne den totalen Wirkungsquerschnitt  (gesamten Wirkungsquerschnitt).


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4.9 Antwort zu H7



Den totalen Wirkungsquerschnitt gewinnt man aus dem differentiellen durch Integration über den gesamten Raumwinkel


mit


also




Es bietet sich die Substitution








an, so dass der gesamte Wirkungsquerschnitt durch Auswertung des Integrals

  
























































zu berechnen ist. Mit den angegebenen Integralen

Werkzeuge


erhält man für das Resultat

  




























































Der Wirkungsquerschnitt entspricht der Fläche der `Scheibe` , die der Potentialbereich einem Strahl von Teilchen (Einkörperproblem) oder fiktiven Teilchen (reduziertes Zweikörperproblem) entgegenstellt.




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