Lösung der Aufgabe 2.6



Die vorgegebenen Differentialgleichungen separieren in Polarkoordinaten. Für die Radialkoordinate erhält man


mit der speziellen Lösung


im Fall der allgemeinen Anfangsbedingungen, bzw.


für die Anfangsbedingungen . Geht man damit in die Differentialgleichung für


ein, so findet man die korrespondierenden Lösungen ( )




Die Integrationskonstante kann für aus der Vorgabe nicht bestimmt werden. Für die einfachen Anfangsbedingungen gelten die Aussagen:
Die Bahnkurve ist eine Spirale, die uniform von innen nach außen durchlaufen wird. Pro Umlauf (Umlaufzeit ) vergrößert sich der Radius um . Die Radial- und die Azimutalgeschwindigkeiten und die entsprechenden Beschleunigungen auf der Spirale sind


und



Betrachtet man die Bewegung aus der Sicht eines kartesischen Koordinatensystems, so findet man (mit der Definition ) eine Abhängigkeit von trigonometrischen Funktionen bzw. mal eine trigonometrische Funktion








Die Beträge von Geschwindigkeit und Beschleunigung sind, unabhängig von der Wahl der Koordinaten,




Die zweite vorgegebene Differentialgleichung entspricht der Hälfte des Betrages der Flächengeschwindigkeit




Die Krümmung der Spirale berechnet sich zu




Sie beginnt mit dem Wert und geht für große Zeiten (bzw. große Werte von ) wie


gegen Null.

Animation der Kurven


Bei den allgemeineren Anfangsbedingungen ist der Umlauf nicht so einfach, die Winkelkoordinate geht aber für große Zeiten in


über. Die Radialkoordinate wächst zunächst parabelförmig mit der Zeit, für große Zeiten jedoch wieder linear.

Abbildung 4: Die Funktionen und : Vergleich der Anfangsbedingungen (a) (grün), (b) , (blau)






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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008