Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.12
  1. Welche Ausgangsgleichung   benutzt man für die Diskussion dieses Bewegungsproblems? Sortiere die Anfangssituation.
  2. Bestimme die anfängliche Winkelgeschwindigkeit,  die für einen Überschlag notwendig ist.
  3. Notiere die Differentialgleichung,  die aus dem Energiesatz folgt, und löse sie durch Variablentrennung. Verwende dabei die Standardumschreibung (siehe Werkzeuge).
  4. Schreibe das elliptische Integral  mit der Substitution


    in die Standardform um. Betrachte auch die Form mit . Diskutiere die Zuordnung der Variablen , und .
  5. Diskutiere die Abhängigkeit  des Integranden von der Variablen , fertige eine Skizze dieser Funktion an.
  6. Inwieweit ergibt das elliptische Integral Aussagen  zu der Drehbewegung des schnellen Pendels?
  7. Ist die Bewegung  periodisch?

Werkzeuge




Zurück zur Aufgabenstellung
<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































4.12 Antwort zu H1



Wie in (Kap. 4.2.1) diskutiert, stellt der Energiesatz (B4.36) den Ausgangspunkt der Diskussion dar


Die Kreisfrequenz ist


Das Pendel beginnt in der Ruhelage und soll eine anfängliche Winkelgeschwindigkeit von erhalten, so dass es wenigstens den höchsten Punkt erreicht, der durch charakterisiert wird.

   Bestimme die anfängliche Winkelgeschwindigkeit,  die für einen Überschlag notwendig ist.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































4.12 Antwort zu H2



Mit , und erhält man aus dem Energiesatz die Aussage


Das Vorzeichen bezieht sich auf eine Drehung in oder gegen den Uhrzeigersinn. Es genügt eines der Vorzeichen, z.B. (), zu betrachten. Ist also die anfängliche Winkelgeschwindigkeit


so bewegt sich das Pendel (starre Stange vorausgesetzt), durch den höchsten Punkt.

   Notiere die Differentialgleichung,  die aus dem Energiesatz folgt, und löse sie durch Variablentrennung. Verwende dabei die Standardumschreibung (siehe Werkzeuge).


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































4.12 Antwort zu H3



Die zu diskutierende Differentialgleichung ist


Die (übliche) Umschreibung


und Variablentrennung liefert nach einer einfachen Umformung


Bei Integration von den Anfangswerten , bis zu den Endwerten und erhält man


Hier wurde die Definition


benutzt.

   Schreibe das elliptische Integral  mit der Substitution


in die Standardform um. Betrachte auch die Form mit . Diskutiere die Zuordnung der Variablen , und .


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































4.12 Antwort zu H4



Die Substitution


mit


ergibt


Eine alternative Standardform des elliptischen Integrals ist (siehe Kap. 4.2.1)


wobei gesetzt wird und für den Winkel die Relation gilt. Die Zuordnung der Variablen entnimmt man der Tabelle

Tabelle: Zuordnung der Variablen und
 

 

 
            


   Diskutiere die Abhängigkeit  des Integranden von der Variablen , fertige eine Skizze dieser Funktion an.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































4.12 Antwort zu H5



Der Integrand des elliptischen Integrals


ist an den Stellen


singulär. In den Zwischenbereichen (z.B. in dem Intervall für positive Werte von ) nimmt die Funktion imaginäre Werte an, ist also als reelle Funktion nicht definiert. Die Abb. 1 zeigt das Verhalten der Funktion für positive Werte von und den Parameter , das Verhalten für negative Werte ist das Spiegelbild.


Abbildung 1: Der Integrand für das überschlagende Pendel


   Inwieweit ergibt das elliptische Integral Aussagen  zu der Drehbewegung des schnellen Pendels?


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































4.12 Antwort zu H6



Der Zuordnungstabelle   entnimmt man die Aussage, dass nur der Bereich bei der Diskussion des Pendelproblems eine Rolle spielt. Die Funktion (oder ), über die bei der Berechnung des Zeitablaufes mit beliebig vielen Überschlägen letztlich integriert wird, ist in Abb. 2 andeutungsweise dargestellt. Sie entspricht einem geeigneten Aneinanderstückeln des Integranden in dem Intervall . Die entsprechende Lösung des Bewegungsproblems kann in der Form angegeben werden


Dabei ist das vollständige elliptische Integral erster Art, die ganze Zahl bezeichnet die Summe der vollendeten Aufwärts- plus Abwärtsbewegungen. Der Winkel ist jeweils auf den Bereich beschränkt. Zu beachten ist, dass das vollständige elliptische Integral für alle Werte des Parameters endlich ist, das uneigentliche Integral also für (trotz der Singularität an der Stelle bzw. ) existiert (siehe Kap. 4.2.1).




Abbildung 2: Der Integrand des elliptischen Integrals (periodisch)





   Ist die Bewegung  periodisch?


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































4.12 Antwort zu H7



Den obigen Angaben entnimmt man, dass die Bewegung periodisch ist. Für die Steigphase von der Gleichgewichtslage bis zu dem höchsten Punkt wird die gleiche Zeit benötigt, wie für die Abwärtsbewegung von dem höchsten Punkt bis zur Gleichgewichtslage. Die Zeit für eine Aufwärts- bzw. eine Abwärtsbewegung beträgt





JAVA
Aufruf eines Applets



Zurück zu den Hinweisen            Zurück zur Aufgabenstellung            Zurück zum Inhaltsverzeichnis


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008





















































.