4.1.1 Funktionen von zwei unabhängigen Veränderlichen

Eine explizite Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen wird in der Form geschrieben. Zur Veranschaulichung einer solchen Funktion fasst man , , als kartesische Koordinaten in einem dreidimensionalen Raum auf. Der Definitionsbereich der Funktion ist im Allgemeinen ein Gebiet der - Ebene. Die Punkte bilden dann eine räumliche Fläche über dem Definitionsbereich. Die Menge der -Werte, die sich anhand der Zuordnung ergeben, bezeichnet man wieder als Wertebereich (Abb. 4.1).

Abbildung 4.1: Schaubild einer expliziten Funktion von zwei Veränderlichen

Einige Beispiele sollen die Möglichkeiten verdeutlichen.

Abbildung 4.2: Beispiele für Funktionen von zwei Veränderlichen

Eine Möglichkeit solche Flächen in präziser Weise graphisch darzustellen, ist die in der Geographie benuzte Darstellung durch Höhenlinien. Die offizielle Bezeichnung dieser Darstellung ist kotierte Projektion. Man betrachtet die Schnittkurven der Fläche mit den Ebenen const. und zeichnet die Projektion der Schnittlinien in die - Ebene. In der Praxis sieht dies folgendermaßen aus: Bei der Kugelschale sind die Höhenlinien konzentrische Kreis um den Nullpunkt. Sie haben den Radius . Am zweckmäßigsten wählt man äquidistante -Werte (wie man es von den Landkarten gewohnt ist (Abb. 4.3)).


Abbildung 4.3: Kotierte Projektion

Die Höhenlinien in dem zweiten Beispiel sind konzentrische Kreise um den Nullpunkt mit dem Radius . In dem dritten Beispiel sind es die Geraden .

Ein etwas kompliziertes Beispiel wird durch die Funktion


vorgegeben. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die gesamte - Ebene, außer dem Koordinatenursprung. Für ist diese gebrochen rationale Funktion nicht definiert. Um eine Vorstellung von der entsprechenden Fläche zu gewinnen, benutzt man zweckmäßigerweise anstelle von kartesischen Koordinaten in der - Ebene Polarkoordinaten. Es ist dann



Abbildung 4.4: Die Funktion


Animation der Abbildung 4.4a:

Dieser Form entnimmt man die Aussagen
1.
Der Wertebereich der Funktion ist .
2.
Die Höhenlinien der Funktion sind die Geraden const.
Aus dem Höhenlinienbild (Abb. 4.4b) liest man die folgende Eigenschaft ab. In beliebiger Nähe des Nullpunktes kann die Funktion alle Werte zwischen und annehmen. Die Fläche selbst (Abb. 4.4a) ist nicht so einfach zu zeichnen. Sie windet sich pro Quadrant von +1 nach -1 (und umgekehrt) unter Aussparung des Ursprungs.

Bei der expliziten Angabe der Funktion wird jedem Punkt eines Gebietes der - Ebene ein -Wert zugeordnet. Eine Verallgemeinerung erreicht man mit der impliziten Funktion (von zwei Veränderlichen)


Beispiele für eine derartige Vorgabe sind:

Bei einer impliziten Form ist die Rolle der unabhängigen Variablen und der abhängigen Variablen beliebig vertauschbar. Die Gleichung


würde man nicht unbedingt nach auflösen,


sondern in der Form


und feststellen, dass es sich um die Beschreibung eines Drehparaboloides um die -Achse handelt (Abb. 4.5c).

Abbildung 4.5: Implizite Funktionen


< Mechanik     Mathematische Ergänzungen >       R. Dreizler   C. Lüdde     2008