Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.12
  1. Als Erstes muss ein Ansatz   für die zu minimierende Fläche gefunden werden. Wie kann man eine Gleichung für diese Element gewinnen? Fertige eine Skizze eines infinitesimalen Flächenelements an.
  2. Im nächsten Schritt muss man die infinitesimale Bogenlänge  mit den Koordinaten verknüpfen. Wozu benutzt man diese Relation?
  3. Wie hilft Hamilton's Prinzip  bei der Bestimmung des Extremums der Gesamtfläche?
  4. Wie sieht die Euler-Lagrange Gleichung  in dem Beispiel aus?
  5. Wie kann man diese Differentialgleichung  lösen? Der erste Schritt ist einfach.
  6. Und nun? Was macht man mit dieser (nichtlinearen) Differentialgleichung  erster Ordnung ?
  7. Bei Bedenken wegen der Sortierung  der nichtlinearen Differentialgleichung durch Quadrieren empfiehlt sich eine Probe (wie am geschicktesten?).

Werkzeuge




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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.12 Antwort zu H1



Abbildung 2: Die infinitesimale Rotationsfläche


Ein infinitesimales Element der Kurve ergibt bei Rotation um die -Achse eine infinitesimale Fläche gemäß der Formel



da das infinitesimale Element als gerade angesehen werden kann. Nach Abb. 2 erhält man also



   Im nächsten Schritt muss man die infinitesimale Bogenlänge  mit den Koordinaten verknüpfen. Wozu benutzt man diese Relation?


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5.12 Antwort zu H2



Die Bogenlänge ist durch die Differentiale und gegeben


Damit man die gesamte Fläche durch ein Integral darstellen kann, muss man eines der Differentiale (am besten ) aus der Wurzel herausnehmen. Man erhält dann


Setzt man dies in die Formel für das infinitesimale Flächenelement ein und integriert, so findet man für die Gesamtfläche


deren Extremum zu bestimmen ist.

   Wie hilft Hamilton's Prinzip  bei der Bestimmung des Extremums der Gesamtfläche?


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5.12 Antwort zu H3



Gemäß dem Hamiltonprinzip (Kap.5.4.1) erhält man einen Extremwert des Integrals durch Lösung der Euler-Lagrange Variationsgleichung


wobei der Integrand des zu minimierenden (maximierenden) Integrals ist, in dem vorliegenden Beispiel also



   Wie sieht die Euler-Lagrange Gleichung  in dem Beispiel aus?


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5.12 Antwort zu H4



Man berechnet als Zutaten




und erhält



   Wie kann man diese Differentialgleichung  lösen? Der erste Schritt ist einfach.


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5.12 Antwort zu H5



Die erste direkte Integration liefert


Zwischenfrage: Warum ist ?
Nebenrechnung



   Und nun? Was macht man mit dieser (nichtlinearen) Differentialgleichung  erster Ordnung ?


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5.12 Antwort zu H6



Zur Lösung dieser Differentialgleichung muss man versuchen, sie in eine explizite Form zu bringen. Das bedeutet Auflösung mittels Quadrieren und Sortieren. Über


erhält man die explizite Differentialgleichung (hier wird die Relation deutlich)


die ebenfalls direkt integriert werden kann. Die Lösung ist


mit der Umkehrung


Da der hyperbolische Kosinus eine gerade Funktion ist, tritt die Option nicht mehr auf. Die Konstanten und sind aus der Vorgabe der Punkt und zu bestimmen, wobei jedoch transzendente Gleichungen (numerisch) zu lösen wären


Die berechnete Kurve wird als Kettenlinie bezeichnet (Abb. 3).


Abbildung 3: Die Rotationsfläche der Kettenlinie


   Bei Bedenken wegen der Sortierung  der nichtlinearen Differentialgleichung durch Quadrieren empfiehlt sich eine Probe (wie am geschicktesten?).


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5.12 Antwort zu H7



Benutze um die Differentialgleichung umzuschreiben


Berechne dann


und stelle fest, dass die Probe wegen


aufgeht.

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