In Worten bedeutet dies, dass eine Funktion
an der Stelle
differenzierbar ist, wenn ein eindeutiger Differentialquotient
gebildet
werden kann. In ganz anschaulicher Weise könnte man auch sagen: Wenn man
an der Stelle
eine eindeutige Tangente an die Kurve, die die Funktion
darstellt, zeichnen kann.
Eine Funktion kann stetig sein, muss aber nicht notwendigerweise
differenzierbar sein. Zur Erläuterung dieser Aussage genügt
ein Beispiel. Die oben definierte Funktion
Die Umkehrung der obigen Aussage lautet jedoch: Ist eine Funktion an einer Stelle
differenzierbar, so ist sie an dieser Stelle auch stetig. Der Grund ist:
Bei der Bildung des Grenzwertes des Differenzenquotienten setzt man
voraus, dass
Eine mögliche Klassifikation von Funktionen
kann man demnach folgendermaßen
zum Ausdruck bringen: Die stetigen Funktionen sind eine Untermenge aller
möglichen Funktionen. Differenzierbare Funktionen sind eine Untermenge
der stetigen Funktionen.
Der Bezug zu den kinematischen Fragestellungen, die in Buch.Kap. 2
diskutiert werden, ist offensichtlich: Funktionen, die die Position
und die Geschwindigkeit
eines Massenpunktes beschreiben sollen,
müssen differenzierbar sein. Man wäre sonst nicht in der Lage, eine
Beschleunigung zu definieren. Funktionen, die die Beschleunigung
darstellen, müssen wenigstens stetig sein.
Sollten trotz dieser Aussage unstetige Funktionen zur Charakterisierung
der Beschleunigung herangezogen werden, ist dies immer eine Idealisierung.
Wenn man zum Beispiel einen Massenpunkt für eine bestimmte Zeit einer
konstanten Beschleunigung aussetzt, nach dem Zeitpunkt
die Beschleunigung
in irgendeiner Form recht plötzlich abschaltet, so würde der Abschaltprozess,
unabhängig von Details (wie in Abb. 1.12a angedeutet), durch
eine stetige Funktion beschrieben.