Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.8
  1. Wie lautet der Ausdruck für die kinetische und die potentielle Energie   in ebenen Polarkoordinaten?
  2. Stelle die Lagrangeschen  Bewegungsgleichungen auf.
  3. Wie gewinnt man in diesem Rahmen Aussagen über die Erhaltungsgrößen?  Wie lauten sie?
  4. Führe die angegebene Substitution  und durch. Berechne die erste und die zweite Ableitung von nach mit der Kettenregel.
  5. Eliminiere  und zugunsten der Ableitungen von aus der radialen Bewegungsgleichung, benutze dabei die Relation zwischen und dem Drehimpuls.. Mit Hilfe der so gewonnenen Relation kann man in der Radialgleichung durch ersetzen und erhält die gesuchte Differentialgleichung.
  6. Wie kann man die vorliegende Differentialgleichung  lösen?
  7. Wie gewinnt man aus der Lösung  der vorliegenden Differentialgleichung die Standardlösung des einfachen Keplerproblems?
  8. Welche Anfangsbedingungen  und welches Koordinatensystem muss man wählen, damit identisch mit den Parametern aus (B4.18) ist?



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5.8 Antwort zu H1



Die kinetische Energie lautet in ebenen Polarkoordinaten


die potentielle Energie ist



   Stelle die Lagrangeschen  Bewegungsgleichungen auf.


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5.8 Antwort zu H2



Die Lagrangefunktion


liefert die Bewegungsgleichungen

     
radial:
azimutal:    

Nebenrechnung



   Wie gewinnt man in diesem Rahmen Aussagen über die Erhaltungsgrößen?  Wie lauten sie?


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5.8 Antwort zu H3



In der Lagrangefunktion tritt der Winkel nicht auf, d.h. ist eine zyklische Koordinate. Der Drehimpuls mit


ist erhalten. Die Hamiltonfunktion, definiert durch


ergibt mit und die Aussage


Wie erwartet, stellt sie die Energie dar und ist wegen


eine Erhaltungsgröße.

   Führe die angegebene Substitution  und durch. Berechne die erste und die zweite Ableitung von nach mit der Kettenregel.


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5.8 Antwort zu H4



Der Ansatz mit bedingt


Den Nenner kann man durch den Drehimpuls darstellen, so dass man


erhält. Für die zweite Ableitung von nach findet man (wieder Kettenregel)...

  



























































   Eliminiere  und zugunsten der Ableitungen von aus der radialen Bewegungsgleichung, benutze dabei die Relation zwischen und dem Drehimpuls.. Mit Hilfe der so gewonnenen Relation kann man in der Radialgleichung durch ersetzen und erhält die gesuchte Differentialgleichung.


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5.8 Antwort zu H5



Verwende


und


um die Radialgleichung


in eine Differentialgleichung für umzuschreiben:





   Wie kann man die vorliegende Differentialgleichung  lösen?


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5.8 Antwort zu H6



Die Differentialgleichung ist eine inhomogene, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung bzw., anschaulicher gesprochen, eine harmonische Oszillatorgleichung mit (konstantem) inhomogenen Term. Die allgemeine Lösung hat die Form


Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung kann durch


(mit den Integrationskonstanten , ) angegeben werden. Eine Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung ist


Die allgemeine Lösung lautet demnach



   Wie gewinnt man aus der Lösung  der vorliegenden Differentialgleichung die Standardlösung des einfachen Keplerproblems?


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5.8 Antwort zu H7



Direkte Sortierung ergibt


mit



   Welche Anfangsbedingungen  und welches Koordinatensystem muss man wählen, damit identisch mit den Parametern aus (B4.18) ist?


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5.8 Antwort zu H8



Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass ist. Mit den Anfangsbedingungen für ()


folgt aus dem Energieausdruck für




Setzt man hier das Ergebnis für (zum Zeitpunkt ) ein, so erhält man




bzw. nach Auflösung




Die Größe ist identisch mit dem Standardparameter des Keplerproblems. Die spezielle Lösung mit den genannten Anfangsbedingungen lautet wie bei der Standardbehandlung



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