Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.11
  1. Wähle ein Koordinatensystem   und gib die Zwangsbedingungen an.
  2. Welche Vorgabe  wurde noch nicht betrachtet?
  3. Wie viele Freiheitsgrade  verbleiben demnach und wie kann man sie charakterisieren?
  4. Zur Aufstellung der Bewegungsgleichung  nach Lagrange II benötigt man einen Ausdruck für die kinetische und die potentielle Energie des Systems. Bestimme die kinetische Energie der Massen.
  5. Gib die potentielle Energie  an.
  6. Welche Form  hat somit die Lagrangefunktion?
  7. Wie sind die Gleichgewichtspositionen  des Systems (bezüglich der Auf- und Abwärtsbewegung) zu bestimmen?
  8. Berechne das Extremum  des effektiven Potentials und charakterisiere es näher.
  9. Berechne die Ableitung der Lagrangefunktion,  die zur Aufstellung der Bewegungsgleichung benötigt werden. Führe dies für die generalisierten Koordinaten und durch.
  10. Zur Diskussion von kleinen Schwingungen  um die Gleichgewichtslage setzt man z.B.


    und entwickelt bis zur Ordnung (). Das heißt: es werden nur lineare Terme in verwendet, alle anderen werden vernachlässigt. Führe diese Rechnung zunächst für die Differentialgleichung in durch.
  11. Führe die Diskussion  von kleinen Schwingungen um die Gleichgewichtslage auch für die Bewegungsgleichung in durch und vergleiche das Ergebnis für die Frequenz. Was fällt auf?



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5.11 Antwort zu H1



Abbildung 2: Variablen des Fliehkraftreglers



Bei einer Wahl des Koordinatensystems gemäß Abb. 2 sind die Zwangsbedingungen:
(a)
Alle drei Massen liegen zu jedem Zeitpunkt in einer Ebene, der - Ebene. Es gelten die drei Bedingungen


(b)
Vier Abstände der Massen zueinander bzw. zu dem Befestigungspunkt sind vorgegeben



   Welche Vorgabe  wurde noch nicht betrachtet?


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5.11 Antwort zu H2



Die Drehung um die Vertikale (Winkel ) ist ebenfalls vorgegeben



   Wie viele Freiheitsgrade  verbleiben demnach und wie kann man sie charakterisieren?


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5.11 Antwort zu H3



Drei Massen besitzen neun Freiheitsgrade, es liegen 8 Zwangsbedingungen vor, es verbleibt demnach nur ein Freiheitsgrad, der entweder durch den Abstand der Masse von dem Punkt


oder durch den Winkel zwischen der Vertikalen und den Stangen von zu bzw. charakterisiert werden kann.


Abbildung 3: Variablen des Fliehkraftreglers



Zwischen den alternativ möglichen, generalisierten Koordinaten besteht die Relation


eine Umrechnung zwischen diesen Koordinaten ist also problemlos möglich.

   Zur Aufstellung der Bewegungsgleichung  nach Lagrange II benötigt man einen Ausdruck für die kinetische und die potentielle Energie des Systems. Bestimme die kinetische Energie der Massen.


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5.11 Antwort zu H4



Die kinetische Energie der Masse wird alleine durch die Änderung der Koordinate bestimmt


Die kinetische Energie der Massen und ergibt sich aus zwei möglichen Verschiebungen: Da die beiden Verschiebungen orthogonal zueinander sind, kann man das Betragsquadrat bilden


und daraus die Geschwindigkeit


berechnen. Die kinetische Energie der Massen und ist



   Gib die potentielle Energie  an.


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5.11 Antwort zu H5



Die potentielle Energie des Gesamtsystems ist


wenn das Koordinatensystem wie angedeutet gewählt wurde.

   Welche Form  hat somit die Lagrangefunktion?


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5.11 Antwort zu H6



Die Lagrangefunktion kann entweder in der Koordinate




oder alternativ durch die Koordinate




dargestellt werden.

   Wie sind die Gleichgewichtspositionen  des Systems (bezüglich der Auf- und Abwärtsbewegung) zu bestimmen?


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5.11 Antwort zu H7



Das System ist im Gleichgewicht (bezüglich der Auf- und Abwärtsbewegung), falls sich der Winkel nicht mit der Zeit ändert und die restliche Lagrangefunktion


(zusammengefasst als effektive potentielle Energie) ein Minimum besitzt. Alternativ kann man das effektive Potential


betrachten.

   Berechne das Extremum  des effektiven Potentials und charakterisiere es näher.


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5.11 Antwort zu H8



Die Ableitung der Größe ergibt


Die zweite Ableitung ist


Es liegt also ein Minimum vor. Die Minimalstelle ist

  























































Eine zusätzliche Bedingung ist: kann nicht größer als sein. Es gilt also die geometrische Einschränkung


Auf der anderen Seite kann man die Größe


einstellen, z.B. durch Reduktion der Winkelgeschwindigkeit bei gegebenen Massen und Länge  so, dass sie größer als ist. In diesem Fall gibt es nur eine (stabile) Situation: . Die Massenpunkte hängen, falls die Drehgeschwindigkeit zu niedrig ist, in der Vertikalen (). Die Arbeitsweise des Fliehkraftreglers beruht auf der Ausnutzung der Relation . Bringt man auf der Vertikalen einen Kontakt an, so kann man beim Erreichen einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit einen Vorgang regeln (z.B. Drehzahlbegrenzer für Motoren). (Zusatzübung: Führe die Bestimmung des Minimums auch mit durch.)

   Berechne die Ableitung der Lagrangefunktion,  die zur Aufstellung der Bewegungsgleichung benötigt werden. Führe dies für die generalisierten Koordinaten und durch.


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5.11 Antwort zu H9



Die Lagrangefunktion in Abhängigkeit von lautet




Die benötigten Ableitungen errechnen sich zu




Damit erhält man als Bewegungsgleichung




Entsprechend benötigt man für die Bewegungsgleichung in







und erhält





   Zur Diskussion von kleinen Schwingungen  um die Gleichgewichtslage setzt man z.B.


und entwickelt bis zur Ordnung (). Das heißt: es werden nur lineare Terme in verwendet, alle anderen werden vernachlässigt. Führe diese Rechnung zunächst für die Differentialgleichung in durch.


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5.11 Antwort zu H10



Aus




folgt mit




Unter Vernachlässigung aller Terme höherer Ordnung erhält man




Setzt man den Ausdruck für


in die Bewegungsgleichung ein, so heben sich der zweite und der letzte Term weg und es bleibt die Oszillatorgleichung


Hier kann als Frequenz der Schwingung


abgelesen werden. Anstelle von kann man die Variable benutzen. Es ist


Löst man diese Relation nach auf


so kann man die Frequenz auch in der Form


angeben.

   Führe die Diskussion  von kleinen Schwingungen um die Gleichgewichtslage auch für die Bewegungsgleichung in durch und vergleiche das Ergebnis für die Frequenz. Was fällt auf?


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5.11 Antwort zu H11



Setze in die Bewegungsgleichung ein, vernachlässige alle nichtlinearen Terme in




Dabei wurde die Reihenentwicklung der trigonometrischen Funktionen verwendet und konsequent Terme höherer Ordnung vernachlässigt




Durch das Ersetzen von durch


in der Bewegungsgleichung, erhält man


Man erhält selbstverständlich die gleiche Frequenz wie bei dem ersten Durchgang.


Abbildung 6: Variation der Oszillationsfrequenz mit dem Gleichgewichtswinkel



Die Abhängigkeit der Oszillationsfrequenz von dem Gleichgewichtswinkel ist in Abb. 6 dargestellt. Die Frequenz wächst über einen weiten Bereich nahezu linear mit an, um letztlich für den maximal möglichen Winkel zu divergieren. Offensichtlich ist die Linearisierung der (nichtlinearen) Bewegungsgleichung in bzw. in diesem Winkelbereich nicht vertretbar.

Animation



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