1.4.1.2 Unbeschränkte Integranden.
Bei uneigentlichen Integralen vom Typ 2 ist der Integrand nicht beschränkt.
Das erste Beispiel zu diesem Fall ist
Der Integrand hat ungefähr den in Abb. 1.17 gezeigten Verlauf.
Abbildung 1.17:
Die Funktion
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Der Integrand ist an der unteren Grenze nicht beschränkt. Auch solche
Fälle sind mit einer etwas vorsichtigeren Grenzwertbetrachtung zu
behandeln. Für das Beispiel betrachtet man den Grenzwert
und erhält das Ergebnis
Es ist dann zu untersuchen, für welche Werte von
der Grenzwert
existiert. Es gilt
und es folgt somit:
Für
ist das uneigentliche Integral konvergent und hat den
(Grenz)wert
Für
ist das uneigentliche Integral divergent.
Das Ergebnis kann durch einen Vergleich der Funktionen
und
verdeutlicht werden (siehe Abb. 1.18).
Abbildung 1.18:
Vergleich der Integranden
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In dem ersten Fall ist der `Anstieg` der Funktion bei
noch flach genug, so dass der Grenzwert endlich ist. In dem zweiten Fall ist
der `Anstieg` zu stark.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008