3.10 Kugel und Massenpunkt auf der Rutsche mit Überschlag

Für eine partielle Analyse von einfachen Bewegungsproblemen ist die Anwendung des Energiesatzes ausreichend. Das Beispiel aus Kap. 3.2.3.3 (ein Massenpunkt bewegt sich unter dem Einfluss der einfachen Gravitation reibungsfrei auf einer Bahn mit kreisförmigem Überschlag) soll hier durch Variation der Anfangsbedingungen und durch einen Vergleich mit der Bewegung einer rollenden Kugel auf der gleichen Bahn vertieft werden

Aufgabenstellung

Auf einer Rutsche mit Überschlag in der Form eines Kreises (Radius ) bewegen sich unter dem Einfluss der einfachen Gravitation
(A) ein reibungsfrei gleitender Massenpunkt
(B) eine rollende Kugel mit homogener Massenverteilung, Radius und der gleichen Masse (Abb. 1).

Abbildung 1: Die Rutsche mit Überschlag


Für beide Objekte sind die Fragen zu beantworten:
(1)
Wie hoch über dem Boden () müssen der Massenpunkt bzw. der Kugelmittelpunkt ihre Bewegung beginnen, damit sie sich bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit durch die höchste Stelle des Überschlags bewegen ohne abzustürzen?
(2)
Wie groß muss die Anfangsgeschwindigkeit () bei einem Startpunkt auf der Erdoberfläche sein, damit die Objekte, wie oben, nicht an der höchsten Stelle des Überschlags abstürzen?
(3)
Diskutiere die Unterschiede, die für Objekt (A) versus Objekt (B) auftreten. Betrachte die Aufteilung der Gesamtenergie und die Geschwindigkeiten unter der Annahme für den Kugelradius und für die Anfangsbedingungen

(a)
  bei einem Start auf der Erdoberfläche, wobei groß genug sein muss, um gerade den Loop durchlaufen zu können.

(b)
  bei einer vorgegebenen Anfangshöhe , die ausreicht, um den Loop zu durchlaufen.
Benötigt wird (im Vorgriff auf Kap 6.3 ) die kinetische Energie der Drehbewegung einer Kugel um eine Achse durch das Zentrum


Dabei bezeichnet das Trägheitsmoment, das für eine Kugel mit homogener Massenverteilung


ist. Die Größe bezeichnet den Drehwinkel um die Drehachse durch das Zentrum der Kugel.


Deine Antworten:


(1) Die Abhängigkeit der Höhe von der Anfangsgeschwindigkeit ist für den Massenpunkt mit

gegeben und für die Kugel

(2) Die Startgeschwindigkeit des Massenpunktes muss mindestens

betragen damit der Massenpunkt die Schleife durchläuft.

Die Startgeschwindigkeit der Kugel muss größer oder gleich

sein, damit die Kugel die Schleife durchläuft.

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008