Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.14
  1. Wie berechnet man die Abnahme   der mechanischen Energie, die infolge der Reibung auftritt?
  2. Wie lauten die Lösungen  des gedämpften harmonischen Oszillatorproblems für die drei Fälle starke (s), schwache (w) Dämpfung sowie in dem aperiodischen (a) Grenzfall bei den gegebenen Anfangsbedingungen?
  3. Welche Integrale  sind im Fall der schwachen Dämpfung zu berechnen?
  4. Berechne die einzelnen Integrale  mittels partieller Integration.
  5. Wie lautet das Ergebnis  für die Zeitabhängigkeit der mechanischen Energie ?
  6. Welche Integrale sind im aperiodischen  Grenzfall zu berechnen?
  7. Berechne die einzelnen Integrale  mittels partieller Integration (oder benutze eine Integraltafel).
  8. Wie ändert sich im aperiodischen Grenzfall  mit der Zeit?
  9. Welche Integrale sind im Fall der starken  Dämpfung zu berechnen?
  10. Berechne und für den Fall der starken  Dämpfung.
  11. Diskutiere die gewonnenen  Ergebnisse.



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4.14 Antwort zu H1



Wie in Kapitel 4.2.2 besprochen, berechnet man die Abnahme der mechanischen Energie infolge von Reibung anhand der Gleichung


wobei


ist.

   Wie lauten die Lösungen  des gedämpften harmonischen Oszillatorproblems für die drei Fälle starke (s), schwache (w) Dämpfung sowie in dem aperiodischen (a) Grenzfall bei den gegebenen Anfangsbedingungen?


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4.14 Antwort zu H2



schwache Dämpfung:


mit dem Dämpfungsparameter


und


wobei die Kreisfrequenz des ungedämpften Oszillators ist.

aperiodischer Grenzfall:




starke Dämpfung:


mit





   Welche Integrale  sind im Fall der schwachen Dämpfung zu berechnen?


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4.14 Antwort zu H3



Differentiation der Position (mit ) nach der Zeit ergibt


Es ist somit das Integral


mit




zu berechnen.

   Berechne die einzelnen Integrale  mittels partieller Integration.


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4.14 Antwort zu H4



Die Integrale werden mitteles partieller Integration behandelt. Dabei setzt man (unter Benutzung der Standardnotation bei partieller Integration ). Man erhält










Setzt man das Zwischenergebnis für in die Zwischergebnisse von und ein, so findet man ein lineares Gleichungssystem für und




mit der Lösung:

   (bitte selbst berechnen!!)
























































Die Korrektheit dieser Ergebnisse kann durch Differentiation überprüft werden




außerdem gilt


und


entsprechend


Für das letzte Integral erhält man durch Einsetzen und Auswerten:

   (bitte selbst berechnen!!)
























































Auch in diesem Fall ist die Probe mit


angebracht.

   Wie lautet das Ergebnis  für die Zeitabhängigkeit der mechanischen Energie ?


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4.14 Antwort zu H5



Die Abnahme der mechanischen Energie wird (benutze ) durch die Gleichung




die in Abb. 1 dargestellt ist, beschrieben.


Abbildung 1: Schwache Dämpfung: , , (Parameter: , , , )



   Welche Integrale sind im aperiodischen  Grenzfall zu berechnen?


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4.14 Antwort zu H6



Die Zeitableitung der Funktion ist


Das Integral, das zur Auswertung ansteht, ist also


wobei folgende Einzelintegrale auftreten







   Berechne die einzelnen Integrale  mittels partieller Integration (oder benutze eine Integraltafel).


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4.14 Antwort zu H7










   Wie ändert sich im aperiodischen Grenzfall  mit der Zeit?


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4.14 Antwort zu H8



Für das Gesamtintegral erhält man


und somit () für die Zeitabhängigkeit der mechanischen Energie




Diese Funktion zeigt die Abb. 2.


Abbildung 2: aperiodischer Grenzfall: , , (Parameter: , , , )




   Welche Integrale sind im Fall der starken  Dämpfung zu berechnen?


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4.14 Antwort zu H9



Hier ist


mit



Die Geschwindigkeit


führt auf das Integral




mit




Alle drei auftretenden Exponentialfunktionen sind abfallend, da ist.







Zusammenfassung ergibt




Das relevante Integral in allen Beiträgen ist



   Berechne und für den Fall der starken  Dämpfung.


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4.14 Antwort zu H10



Das Grundintegral ist




so dass das Endresultat




lautet. Die entsprechende Abnahme der mechanischen Energie (siehe Abb. 3) ist




Abbildung 3: Starke Dämpfung: , , (Parameter: , , , )



   Diskutiere die gewonnenen  Ergebnisse.


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4.14 Antwort zu H11



Die Abnahme der mechanische Energie wird in jedem der drei Fälle durch Exponentialfunktionen reguliert. Bei der schwachen Dämpfung ist der Abfall (wie zu erwarten) am langsamsten. Die Funktion zeigt noch Andeutungen des oszillatorischen Charakters der Funktion (bzw. ). Die Abnahme der mechanischen Energie für den aperiodischen Grenzfall und den Fall der starken Dämpfung unterscheidet sich in der Struktur nicht wesentlich. Man findet in beiden Fällen eine starke Abnahme bis in die Nähe des Zeitpunktes der Bewegungsumkehr und dann, infolge der niedrigen Geschwindigkeit des Massenpunktes (angedeutet durch die langsame Änderung der Position mit der Zeit), einen deutlich verzögerten Abfall.



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