Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.4
  1. Notiere die Bewegungsgleichung   für die genannten Voraussetzungen (konstanter Massenausstoß/Zeiteinheit und uniforme Ausstoßgeschwindigkeit).
  2. Löse die Bewegungsgleichung für den Fall,   dass keine äußeren Kräfte auf die Rakete wirken ().
  3. Betrachte die kinetische Energie   für die kräftefreie Bewegung der Rakete. Bestimme das Maximum von .
  4. Bestimme den Zeitpunkt   , zu dem das Maximum der kinetischen Energie erreicht wird.
  5. Berechne die Masse   und die kinetische Energie der Rakete zu dem Zeitpunkt .
  6. Diskutiere die Zeitabhängigkeit   der Funktionen und .
  7. Bestimme die Endgeschwindigkeit   der Rakete bei Brennschluss.
  8. Berechne die Restmassen   für die angegebenen Endgeschwindigkeiten. Kommentiere.



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3.4 Antwort zu H1



Für den in der Aufgabenstellung angesprochenen Fall einer uniformen Ausströmung ist




und somit für



   Löse die Bewegungsgleichung für den Fall, dass keine äußeren Kräfte auf die Rakete wirken ().


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3.4 Antwort zu H2



Die Bewegungsgleichung


kann in der Form


bzw.


separiert werden. Der Integrand auf der rechten Seite dieser Gleichung ist eine logarithmische Ableitung. Integration liefert also
(1)

Ist später als , so ist . Die Geschwindigkeitsänderung ist also (wie erwartet) positiv.

   Betrachte die kinetische Energie für die kräftefreie Bewegung der Rakete. Bestimme das Maximum von .


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3.4 Antwort zu H3



Die kinetische Energie der Rakete zu dem Zeitpunkt ist


Zur Bestimmung des Maximums bildet man die Zeitableitung


Nach Einsetzen von und erhält man die Gleichung


zur Bestimmung der Extrema (Maximum). Die maximale kinetische Energie wird erreicht, wenn


ist.

   Bestimme den Zeitpunkt , zu dem das Maximum der kinetischen Energie erreicht wird.


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3.4 Antwort zu H4



Zur Bestimmung des Zeitpunktes der maximalen kinetischen Energie benutzt man die berechnete Geschwindigkeitsdifferenz, angepasst auf die vorliegende Situation ( , ). Es ist




mit der Auflösung



   Berechne die Masse und die kinetische Energie der Rakete zu dem Zeitpunkt .


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3.4 Antwort zu H5



Die Masse und die kinetische Energie der Rakete zu diesem Zeitpunkt sind





   Diskutiere die Zeitabhängigkeit der Funktionen und .


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3.4 Antwort zu H6



Für die Geschwindigkeit und die kinetische Energie gilt mit den vorgegebenen Anfangsbedingungen


sowie (entsprechend )


Trägt man diese Funktionen gegen auf, so findet man die in Abb. 1 gezeigten Kurven.


Abbildung 1: Die kräftefreie Rakete: kinetische Energie (blau) und Geschwindigkeit (rot) als Funktion der Zeit (Parameter: , , die Kurve für die Geschwindigkeit ist (mit ) skaliert)



Die kinetische Energie wächst zunächst an, nimmt aber jenseits des Maximalpunktes (stark) ab, da die Restmasse reduziert wird (im rechnerischen Extremfall auf Null, in Wirklichkeit auf den Wert ). Der Abfall ist dadurch bedingt, dass der Vorfaktor für Zeiten mit schneller abnimmt als der Logarithmus zunimmt. Die Geschwindigkeit wächst logarithmisch an und würde für die Zeit unendlich groß werden. Dieser Zeitpunkt wird jedoch nicht erreicht, da die Brenndauer


kleiner ist.

   Bestimme die Endgeschwindigkeit der Rakete bei Brennschluss.


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3.4 Antwort zu H7



Die Endgeschwindigkeit der Rakete ist nach der Brenndauer erreicht. Die Brenndauer ergibt sich aus der Definition


oder


Die kinetische Energie bei Brennschluss ist


die entsprechende Geschwindigkeit



   Berechne die Restmassen für die angegebenen Endgeschwindigkeiten. Kommentiere.


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3.4 Antwort zu H8



Die angegebenen Endgeschwindigkeiten entsprechen . Aus der Formel für die Endgeschwindigkeit bei Brennschluss erhält man somit


Dies bedeutet, dass bei der höheren Geschwindigkeit der Brennstoff 99.6 % der ursprünglichen Raketenmasse betrug, nur 0.4 % der ursprünglichen Masse entfielen auf den Raketenkörper und die Zuladung. Bei der geringeren Endgeschwindigkeit sind die Zahlen 77.7 % und 22.3 %. Dieser hohe Treibstoffverbrauch im Vergleich zu der Nutzlast bedingt den hohen Kostenaufwand der Raketentechnik. Zusatz: Diskutiere die Variation von mit der Endgeschwindigkeit !





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