Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.12
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Welche
Ausgangsgleichung
benutzt man für die Diskussion dieses Bewegungsproblems?
Sortiere die Anfangssituation.
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Bestimme die anfängliche
Winkelgeschwindigkeit,
die für einen Überschlag
notwendig ist.
-
Notiere die
Differentialgleichung,
die aus dem Energiesatz folgt, und löse sie durch
Variablentrennung. Verwende dabei die Standardumschreibung (siehe Werkzeuge).
-
Schreibe das
elliptische Integral
mit der Substitution
in die Standardform
um. Betrachte auch die Form
mit
. Diskutiere die Zuordnung der Variablen
,
und
.
-
Diskutiere die
Abhängigkeit
des Integranden von der Variablen
,
fertige eine Skizze dieser Funktion an.
-
Inwieweit ergibt das elliptische Integral
Aussagen
zu
der Drehbewegung des schnellen Pendels?
-
Ist die
Bewegung
periodisch?
Werkzeuge
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
4.12 Antwort zu H1
Wie in (Kap. 4.2.1)
diskutiert, stellt der Energiesatz (B4.36)
den Ausgangspunkt der Diskussion dar
Die Kreisfrequenz
ist
Das Pendel beginnt in der Ruhelage
und soll eine
anfängliche Winkelgeschwindigkeit von
erhalten, so dass es wenigstens den höchsten Punkt
erreicht, der durch
charakterisiert wird.
Bestimme die anfängliche
Winkelgeschwindigkeit,
die für einen Überschlag
notwendig ist.
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4.12 Antwort zu H2
Mit
,
und
erhält man aus dem Energiesatz die Aussage
Das Vorzeichen bezieht sich auf eine Drehung in oder gegen den
Uhrzeigersinn. Es genügt eines der Vorzeichen, z.B. (
), zu betrachten. Ist
also die anfängliche Winkelgeschwindigkeit
so bewegt sich das Pendel (starre Stange vorausgesetzt), durch den
höchsten Punkt.
Notiere die
Differentialgleichung,
die aus dem Energiesatz folgt, und löse sie durch
Variablentrennung. Verwende dabei die Standardumschreibung (siehe Werkzeuge).
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4.12 Antwort zu H3
Die zu diskutierende Differentialgleichung ist
Die (übliche) Umschreibung
und Variablentrennung liefert nach einer einfachen Umformung
Bei Integration von den Anfangswerten
,
bis zu den Endwerten
und
erhält man
Hier wurde die Definition
benutzt.
Schreibe das
elliptische Integral
mit der Substitution
in die Standardform
um. Betrachte auch die Form
mit
. Diskutiere die Zuordnung der Variablen
,
und
.
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4.12 Antwort zu H4
Die Substitution
mit
ergibt
Eine alternative Standardform des elliptischen Integrals ist (siehe Kap. 4.2.1)
wobei
gesetzt wird und für den Winkel
die Relation
gilt.
Die Zuordnung der Variablen entnimmt man der Tabelle
Diskutiere die
Abhängigkeit
des Integranden von der Variablen
,
fertige eine Skizze dieser Funktion an.
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4.12 Antwort zu H5
Der Integrand des elliptischen Integrals
ist an den Stellen
singulär. In den Zwischenbereichen (z.B. in
dem Intervall
für positive Werte von
) nimmt
die Funktion
imaginäre Werte an, ist also als reelle Funktion nicht
definiert. Die Abb. 1 zeigt das Verhalten der Funktion für
positive Werte von
und den Parameter
, das Verhalten für
negative Werte ist das Spiegelbild.
Abbildung 1:
Der Integrand
für das überschlagende Pendel
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Inwieweit ergibt das elliptische Integral
Aussagen
zu
der Drehbewegung des schnellen Pendels?
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4.12 Antwort zu H6
Der
Zuordnungstabelle
entnimmt man die Aussage,
dass nur der Bereich
bei der Diskussion des Pendelproblems
eine Rolle spielt. Die Funktion
(oder
), über die bei der
Berechnung des Zeitablaufes mit beliebig vielen Überschlägen letztlich integriert
wird, ist in Abb. 2 andeutungsweise dargestellt.
Sie entspricht einem geeigneten
Aneinanderstückeln des Integranden
in dem Intervall
.
Die entsprechende Lösung des Bewegungsproblems kann in
der Form angegeben werden
Dabei ist
das vollständige elliptische Integral erster Art,
die ganze Zahl
bezeichnet die Summe der vollendeten Aufwärts- plus
Abwärtsbewegungen. Der Winkel
ist jeweils auf den Bereich
beschränkt.
Zu beachten ist, dass das vollständige elliptische Integral für alle
Werte des Parameters
endlich ist, das uneigentliche Integral also
für
(trotz der Singularität an der Stelle
bzw.
)
existiert (siehe Kap. 4.2.1).
Abbildung 2:
Der Integrand des elliptischen Integrals (periodisch)

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Ist die
Bewegung
periodisch?
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4.12 Antwort zu H7
Den obigen Angaben entnimmt man, dass die Bewegung periodisch ist. Für die
Steigphase von der Gleichgewichtslage bis zu dem höchsten Punkt wird die
gleiche Zeit benötigt, wie für die Abwärtsbewegung von dem höchsten
Punkt bis zur Gleichgewichtslage. Die Zeit für eine Aufwärts- bzw. eine
Abwärtsbewegung beträgt
Aufruf
eines Applets
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