Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.14
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Welche
Erhaltungssätze
gelten für ein Bewegungsproblem mit einer Zentralkraft?
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Eine
Zentralkraft
kann über die potentielle Energie charakterisiert werden
Nutze diese Tatsache zur Ermittlung der Zentralkraft.
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Bestimme
für die
Kardioide
und berechne die gesuchte Kraft.
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Bestimme die
Funktion
für die Bewegung auf einem Kreis mit dem Kraftzentrum
auf dem Kreisumfang. Fertige eine Skizze der Situation an.
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Für
(Kraftzentrum im Mittelpunkt) ist eine alternative
Route
notwendig, da
ist. Zur Aufbereitung der Antwort genügt der
Drehimpulssatz.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
3.14 Antwort zu H1
Im Fall einer Zentralkraft gilt Drehimpulserhaltung
und Energieerhaltung
Eine
Zentralkraft
kann über die potentielle Energie charakterisiert werden
Nutze diese Tatsache zur Ermittlung der Zentralkraft.
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3.14 Antwort zu H2
Mit dem Energiesatz erhält man für
Für die Zeitableitung von
gilt nach der Kettenregel
Mittels Drehimpulserhaltung kann der Ausdruck für die potentielle Energie wie
folgt geschrieben werden
Gelingt es nun
als Funktion von
darzustellen,
so ist die rechte Seite der obigen Gleichung eine Funktion von
alleine und die Zentralkraft kann durch Bildung der Ableitung
bestimmt werden. Voraussetzungen an die Funktion
sind:
Die Funktion muss differenzierbar und invertierbar sein.
Bestimme
für die
Kardioide
und berechne die gesuchte Kraft.
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3.14 Antwort zu H3
Für die Kardioide ist
Mit
und
folgt somit
und die potentielle Energie
Die Stärke der Zentralkraft
ist
Bestimme die
Funktion
für die Bewegung auf einem Kreis mit dem Kraftzentrum
auf dem Kreisumfang. Fertige eine Skizze der Situation an.
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3.14 Antwort zu H4
Abbildung 1:
Ein nichtzentriertes Kraftzentrum
|
Die Funktion
folgt in diesem Beispiel aus dem Kosinussatz
oder der Überlegung, dass das Skalarprodukt
über
auf die Relation (Bahngleichung)
führt. Es folgt dann
und somit für die potentielle Energie
und die Stärke der Kraft
In beiden Fällen ist die Kraft anziehend und folgt einem inversen
Potenzgesetz.
Für
(Kraftzentrum im Mittelpunkt) ist eine alternative
Route
notwendig, da
ist. Zur Aufbereitung der Antwort genügt der
Drehimpulssatz.
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3.14 Antwort zu H5
Aus dem Drehimpulserhaltungsatz gewinnt man für
die Aussage
Geht man damit in den Energiesatz ein, so findet man
mit
Das Kraftgesetz (mit Wiedereinführung eines variablen Abstandes
)
lautet also
Es liegt (wie bekannt) eine Hookesche Zentralkraft vor.
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2008