Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.5
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Fertige eine
Skizze der Kraftsituation
am Punkt
an.
Stelle eine Gleichung für die virtuelle Gesamtarbeit an dem Kurbelsystem
auf.
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Die (virtuellen) Verschiebungen in dem System sind durch
Zwangsbedingungen
veknüpft.
Wie lauten diese Zwangsbedingungen?
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Mittels
Differentiation
der Zwangsbedingungen erhält man
Relationen zwischen den drei virtuellen Verschiebungen. Wie
lauten diese Relationen?
-
Verwende diese
Relationen,
um die gesuchte Kraft
aus dem
d'Alembertprinzip zu berechnen.
Abbildung 3:
Der Kurbelmechanismus
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5.5 Antwort zu H1
Die Kraft, die über die Kurbelstange auf den Kurbelpunkt
übertragen
wird, kann in eine Radialkomponente
und eine
Tangentialkomponente
zerlegt werden.
Abbildung 4:
Kräfte an dem Kurbelpunkt
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Die
Bewegung des Punktes
wird durch die Tangentialkomponente bewirkt,
die Radialkomponente wird durch die Lagerung des Kurbelrades
aufgefangen.
Nach dem d'Alembertprinzip ist die virtuelle Gesamtarbeit an dem System
durch (B5.31)
charakterisiert. Der erste Term stellt die virtuelle Arbeit an der Masse
dar.
Die virtuelle Verschiebung des Punktes
ist durch
gegeben.
Die Kraftvektoren und die Verschiebungsvektoren sind jeweils parallel, so dass
man die skalare Relation
benutzen kann.
Die (virtuellen) Verschiebungen in dem System sind durch
Zwangsbedingungen
veknüpft.
Wie lauten diese Zwangsbedingungen?
Abbildung 5:
Die Variablen des Kurbelmechanismus
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5.5 Antwort zu H2
Abbildung 5:
Die Variablen des Kurbelmechanismus
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Zunächst wählt man als Ursprung eines (eindimensionalen) Koordinatensystems
die Stelle
aus der Sicht des Mittelpunktes des Kurbelrades
(siehe Abb. 5).
Die erste Zwangsbedingung lautet dann:
Die Summe der Projektionen der Strecken
und
auf die
-Achse
ist gleich der Summe der Kurbelparameter (
und
) minus der
momentanen Position der Masse
Bei dieser Wahl des Koordinatensystems ist
eine negative Größe.
Aus diesem Grund wird sie zu
addiert.
Die beiden Winkel
und
sind über die folgende
Relation verknüpft
Mittels
Differentiation
der Zwangsbedingungen erhält man
Relationen zwischen den drei virtuellen Verschiebungen. Wie
lauten diese Relationen?
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5.5 Antwort zu H3
Aus
folgt
Aus der Relation
gewinnt man
bzw. nach Auflösung und Elimination der Größe
mit
der zweiten Zwangsbedingung
Verwende diese
Relationen,
um die gesuchte Kraft
aus dem
d'Alembertprinzip zu berechnen.
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5.5 Antwort zu H4
Setzt man die zweite Relation zwischen den drei virtuellen
Verschiebungen in die erste ein, so erhält man
Das d'Alembertprinzip kann nach
aufgelöst werden. Mit dem obigen Ausdruck
für
erhält man
Diese Relation erlaubt die Berechnung von
für jede Position des
Kurbelrades (
), falls
vorgegeben ist. Die Relation ist nur
für
gültig.
Abbildung 6:
Die Funktion
für eine Periode/Umdrehung

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