Die explizite Berechnung des Integrals aus Aufgabe 5.7
Die Auswertung des Integrals
folgt den Standardschritten für die Berechnung von Integralen mit einem
Integranden der Form
.
Als erstes macht man die Substitution
und erhält
Die Substitution
führt dann auf ein Integral der Form
Die im nächsten Schritt anstehende Partialbruchzerlegung wird
vereinfacht, wenn man die Umformung
benutzt.
Es ist dann
mit
Das Integral
kann mit der quadratischen Ergänzung
und der Substitution
auf das Grundintegral für den Arcustangens zurückgeführt werden
In dem zweiten Integral
wird der Zähler in der Form
umgeschrieben.
Das Integral
kann mit der Substitution
direkt integriert werden.
Für das Integral
ist eine Reduktionsformel auf der Basis der Aussage
notwendig. Man erhält damit
wobei das noch verbleibende Integral dem Integral
entspricht.
Das Endergebnis lautet somit
Macht man hier die Substitutionen rückgängig
(
), so erhält man
Dies unterscheidet sich von dem Ergebnis der Integraltafel nur um die
Konstante
die natürlich in die allgemeine Integrationskonstante des unbestimmten
Integrals eingearbeitet werden kann.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
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