Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.19
  1. Formuliere die zuständigen Erhaltungssätze.  
  2. Wie löst  man diese Gleichungen am geschicktesten nach den gesuchten Geschwindigkeiten und auf?
  3. Eliminiere aus den zwei zur Verfügung stehenden  linearen Gleichungen und berechne einen Ausdruck für .
  4. Berechne nun einen Ausdruck  für .
  5. Könnte man die Formel  für ohne Rechnung gewinnen, wenn die Formel für bekannt ist?
  6. Wie verhalten sich die Massen  nach dem Stoß für den Fall fast gleich schwerer Massen?
  7. Wie verhalten sich die Massen  nach dem Stoß für den Fall, dass eine der Massen deutlich schwere als die andere ist (, )?
  8. Berechne die Endgeschwindigkeiten  der fast gleich schweren Massen im Fall (a): Die Anfangsgeschwindigkeiten sind gleich groß und entgegengesetzt.
  9. Verfahre ebenso die in den Fällen (b) bis (e): 
    (b)
    Die Massen laufen aufeinander zu, die Anfangsgeschwindigkeit der schweren Masse ist jedoch doppelt (zehnmal) so groß wie die der leichten Masse.
    (c)
    Wie in (b), jedoch besitzt nun die leichte Masse die größere Geschwindigkeit.
    (d)
    Die Massen laufen in die gleiche Richtung. Die Anfangsgeschwindigkeit der größeren Masse ist jedoch doppelt (zehnmal) so hoch wie die der leichteren.
    (e)
    Wie (d) jedoch mit einer doppelt (zehnmal) so großen Anfangsgeschwindigkeit der kleineren Masse.
  10. Welche Konsequenzen  ergeben sich aus der Forderung ?
  11. Welche Ergebnisse  erhält man für , , wenn die zweite Masse nach dem Stoß ruht?
  12. Betrachte die gleichen Situationen (a)-(e)  für und .
  13. Welche Ergebnisse  erhält man für die Bedingung, dass eine der Massen nach dem Stoß ruht (, )?



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3.19 Antwort zu H1



Ausgangspunkt sind der Impulserhaltungssatz und die Energieerhaltung





   Wie löst  man diese Gleichungen am geschicktesten nach den gesuchten Geschwindigkeiten und auf?


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3.19 Antwort zu H2



Es liegt eine Gleichung vor, in der die Geschwindigkeiten linear auftreten und eine mit quadratischen Termen in den Geschwindigkeiten. Kann man aus der zweiten eine lineare Gleichung machen?

Zeit zum Nachdenken





















































Wie kann man die Formel nutzbringend einsetzen?


Weitere Zeit zum Nachdenken





















































Man sortiert beide Gleichungen nach den Beiträgen der einzelnen Massen




Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite liefert dann eine zweite lineare Relation





   Eliminiere aus den zwei zur Verfügung stehenden  linearen Gleichungen und berechne einen Ausdruck für .


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3.19 Antwort zu H3



Benutzt man aus der ersten Gleichung


so kann man in eliminieren


und diese Relation nach auflösen





   Berechne nun einen Ausdruck  für .


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3.19 Antwort zu H4



Das Resultat für kann man in einsetzen und sortieren





   Könnte man die Formel  für ohne Rechnung gewinnen, wenn die Formel für bekannt ist?


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3.19 Antwort zu H5



Die Ausgangsgleichungen sind symmetrisch bezüglich der Vertauschung der Indizes. Man kann also durch Vertauschung der Indizes in


gewinnen.

   Wie verhalten sich die Massen  nach dem Stoß für den Fall fast gleich schwerer Massen?


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3.19 Antwort zu H6



Mit und erhält man für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß

     



























































Es findet nahezu ein Austausch der Geschwindigkeiten statt. Für exakt gleiche Massen ist dies der Fall.

   Wie verhalten sich die Massen  nach dem Stoß für den Fall, dass eine der Massen deutlich schwere als die andere ist (, )?


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3.19 Antwort zu H7



Ist eine der Massen wesentlich schwerer als die andere (, ), so ergeben sich die folgenden Geschwindigkeiten nach dem Stoß




Die Geschwindigkeit der schweren Masse wird nur beeinflusst, wenn die anfängliche Geschwindigkeit der leichten Masse sehr hoch ist.

   Berechne die Endgeschwindigkeiten  der fast gleich schweren Massen im Fall (a): Die Anfangsgeschwindigkeiten sind gleich groß und entgegengesetzt.


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3.19 Antwort zu H8



Die Anfangsgeschwindigkeiten sind gleich groß und entgegengesetzt


Man erhält mit




für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß




Die Massen tauschen ihre Bewegungsrichtung aus. Die schwerere Masse wird dabei etwas verlangsamt, die leichtere erhöht ihre Geschwindigkeit.

   Verfahre ebenso die in den Fällen (b) bis (e): 
(b)
Die Massen laufen aufeinander zu, die Anfangsgeschwindigkeit der schweren Masse ist jedoch doppelt (zehnmal) so groß wie die der leichten Masse.
(c)
Wie in (b), jedoch besitzt nun die leichte Masse die größere Geschwindigkeit.
(d)
Die Massen laufen in die gleiche Richtung. Die Anfangsgeschwindigkeit der größeren Masse ist jedoch doppelt (zehnmal) so hoch wie die der leichteren.
(e)
Wie (d) jedoch mit einer doppelt (zehnmal) so großen Anfangsgeschwindigkeit der kleineren Masse.


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3.19 Antwort zu H9



(b)
Die Massen laufen aufeinander zu, die Anfangsgeschwindigkeit der schweren Masse ist jedoch doppelt (zehnmal) so groß wie die der leichten Masse


bzw.


Man erhält mit




für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß


bzw.


Im ersten Fall () wird immer noch reflektiert, doch wird der Betrag der Geschwindigkeit deutlich reduziert. Die leichtere Masse kehrt ihre Bewegungsrichtung um und wird schneller. In dem zweiten Fall () behält die schwere Masse ihre Bewegungsrichtung bei, wird jedoch deutlich langsamer, während die leichtere Masse reflektiert wird und entsprechend deutlich an Geschwindigkeit gewinnt.
(c)
Man erhält mit


Beide Massen kehren ihre Bewegungsrichtung um, die leichtere wird langsamer, die schwerere schneller als vor dem Stoß. Für erhält man


Es findet ebenfalls eine Umkehrung der Bewegungsrichtung statt, mit einer deutlichen Erhöhung der Geschwindigkeit von und entsprechend großer Reduktion der Geschwindigkeit von .
(d)
Die Vorgaben entsprechen hier


und


Man berechnet für das erste Wertepaar


Die Massen behalten ihre Bewegungsrichtung bei, wird verlangsamt und wird beschleunigt. Für den zweiten Satz von Vorgaben ergibt sich


Auch hier wird die Bewegungsrichtung der einzelnen Massen beibehalten mit deutlich höherer Geschwindigkeit der leichteren Masse und erheblicher Reduktion der Geschwindigkeit der schwereren.
(e)
Man erhält mit und




Die schwerere Masse wird von der leichteren eingeholt. Nach dem Stoß läuft sie mit fast doppelt so großer Geschwindigkeit weiter, die leichtere Masse wird langsamer. Für erhält man


Die schwere Masse wird beschleunigt, die leichtere wird reflektiert und verliert deutlich an Geschwindigkeit.

   Welche Konsequenzen  ergeben sich aus der Forderung ?


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3.19 Antwort zu H10



Aus der Bedingung folgt für die Geschwindigkeiten vor dem Stoß




Nach dem Stoß bewegt sich die zweite Masse mit einer Geschwindigkeit von


Beide Massen müssen anfänglich aufeinander zu laufen, wobei die Geschwindigkeit der schwereren Masse viermal so hoch ist wie die der leichteren. bleibt nach dem Stoß stehen, die Masse kehrt ihre Bewegungsrichtung um und wird deutlich schneller.

   Welche Ergebnisse  erhält man für , , wenn die zweite Masse nach dem Stoß ruht?


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3.19 Antwort zu H11



Mit erhält man für die Geschwindigkeiten vor dem Stoß


Nach dem Stoß bewegt sich die erste Masse mit einer Geschwindigkeit von


Beide Massen laufen hintereinander her, ist vor dem Stoß sechsmal so schnell wie . Nach dem Stoß bleibt stehen, wird deutlich beschleunigt.

   Betrachte die gleichen Situationen (a)-(e)  für und .


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3.19 Antwort zu H12



Man erhält mit




für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß: Für die Anfangsbedingung (a)


ist


Die sehr viel schwerere Masse verliert bei dem Stoß etwas Geschwindigkeit, die leichtere Masse ändert ihre Bewegungsrichtung und verdreifacht fast ihre ursprüngliche Geschwindigkeit. Hier ist (b)


gegeben und man erhält


Mit


folgt


In beiden Fällen setzt die schwere Masse ihren Weg nach dem Stoß fast unbeirrt fort, während die leichte Masse auch hier ihre Bewegungsrichtung umkehrt und ihre Geschwindigkeit erheblich vergrößert. Für (c)




und




Bei einer zehnfach höheren Geschwindigkeit der leichteren Masse, verliert die schwerere Masse fast die Hälfte ihrer Geschwindigkeit, während sich die leichtere Masse nach Umkehr der Bewegungsrichtung mit leicht erhöhter Geschwindigkeit fortbewegt. Für (d)


folgt


sowie für




Die schwere Masse holt die leichtere und langsamere Masse ein und verdreifacht bzw. verzwanzigfacht nahezu durch den Stoß deren Geschwindigkeit. Sie selbst wird nur unwesentlich langsamer. Und schließlich (e) für




Die leichtere Masse holt die schwerere Masse ein, beschleunigt diese ein wenig und reduziert dadurch ihre Geschwindigkeit fast auf Null.
Für




Auch hier wird die schwere Masse von der leichteren eingeholt und wird durch diese beschleunigt. Die leichte Masse wird reflektiert und erhöht ihre Geschwindigkeit erheblich.

   Welche Ergebnisse  erhält man für die Bedingung, dass eine der Massen nach dem Stoß ruht (, )?


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3.19 Antwort zu H13



Mit berechnet man für die Geschwindigkeiten vor dem Stoß


Nach dem Stoß bewegt sich die zweite Masse mit einer Geschwindigkeit von


Beide Massen laufen aufeinander zu, die schwerere Masse mit einer Geschwindigkeit von nur 4 % der Geschwindigkeit der leichteren Masse. Nach dem Stoß bleibt stehen, kehrt seine Bewegungsrichtung um und wird nur unwesentlich beschleunigt. Mit erhält man für die Geschwindigkeiten vor dem Stoß


Nach dem Stoß bewegt sich die erste Masse mit einer Geschwindigkeit von


Beide Massen laufen vor dem Stoß in die gleiche Richtung, die schwerere Masse hat eine Geschwindigkeit von 49% der Geschwindigkeit der leichteren Masse und wird von dieser verfolgt. Nach dem Stoß bleibt stehen, während sich die Masse nun mit 51% ihrer ursprünglichen Geschwindigkeit weiter fortbewegt.


JAVA
Aufruf eines Applets

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