Das mathematische Pendel kann vielfältig variiert werden. In diesem
Beispiel rotiert der Aufhängepunkt mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit. Wie man einfachen Versuchen entnehmen kann,
treten bei solchen Drehungen stabile Gleichgewichtslagen des Winkels
zwischen Drehachse und Pendelstange auf. Diese speziellen Auslenkwinkel
sind zu bestimmen und zu diskutieren. Für kleine Auslenkungen aus den
stabilen Konfigurationen erwartet man harmonische Bewegungen, deren
Frequenzen ebenfalls gesucht werden. Eine gewisse Ähnlichkeit des
vorliegenden Problems mit dem Problem des Kugelpendels erleichtert den
Einstieg.
Aufgabenstellung
Der Aufhängepunkt eines mathematischen Pendel (Masse , Länge )
rotiert mit der konstanten Drehgeschwindigkeit um eine
vertikale Achse (siehe Abb. 1). Es wirkt die einfache Schwerkraft.
Abbildung 1:
Geometrie des rotierenden Pendels
(1)
Bestimme die Lagrangefunktion und die Bewegungsgleichung für den Auslenkwinkel
.
(2)
Berechne und diskutiere die Werte , für die sich aufgrund der
Drehbewegung eine stabile Gleichgewichtssituation einstellt.
(3)
Berechne die Frequenz für kleine harmonische Schwingungen um die stabilen
Gleichgewichtssituationen.