4.6 Das Keplerproblem mit einem
Potential
Das Keplerproblem wird durch ein
Potential charakterisiert. Es
ensteht natürlich die Frage: Welche Bahnformen treten auf, wenn das
Potential nicht diese spezielle Form hat? Anstelle einer allgemeinen
Antwort wird diese Frage in dieser Aufgabe für ein
Potential
im Detail untersucht. Die gleiche Lösungstechnik wie bei dem
Keplerproblem kann hier eingesetzt werden.
Aufgabenstellung
Berechne die Bahnkurven für die Bewegung eines Massenpunktes in dem
Potential
für
und
.
Je nach vorgegebener Anfangsenergie und dem Vorzeichen von
findet
man drei verschiedene Bahntypen. Gib in jedem Fall die allgemeine Lösung
(mit Hilfe von Integraltafeln oder den Werkzeugen) an und forme diese mit
Hilfe der angegebenen Werkzeuge (W3 - W5) zu einem kompakten Ausdruck um.
Betrachte dann die speziellen Lösungen:
Der Massenpunkt befindet sich zur Zeit
auf der positiven
-Achse (
)
und in einem möglichen Minimal- oder Maximalabstand von dem Koordinatenursprung.
- Diskutiere die Form der Bahnen für die drei Lösungstypen bei
diesen Anfangsbedingungen.
- Berechne den expliziten Bewegungsablauf für das repulsive Potential
(mit den obigen Anfangsbedingungen).
- Diskutiere, ob oder unter welchen Bedingungen gerade Bahnen auftreten.
Gib für den Fall des repulsiven Potentials die Gleichungen für eine gerade
Bahn an.
Werkzeuge:
- (W1)
-
- (W2)
-
- (W3)
-
- (W4)
-
- (W5)
-
Deine Antworten:
Fragen
zur schrittweisen Gewinnung der Lösung
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008