Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.15
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Was kann man über die
allgemeine Lösung
der Differentialgleichung die zur
Diskussion steht, aussagen?
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Wie kann man die gesuchten
Teillösungen
gewinnen?
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Welche
Ergebnisse
kann man der Diskussion des Problems in Band 1
(Kap 4.2.2 und 4.2.3 ) entnehmen?
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Welche
Schritte
müssen durchgeführt werden, um die vorgegebenen
Anfangsbedingungen zu implementieren?
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Führe diese Schritte für alle drei Fälle durch:
(w) schwache Dämpfung
(a) aperiodischer Grenzfall
(s) starke Dämpfung
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
4.15 Antwort zu H1
Die allgemeine Lösung einer linearen, inhomogenen Differentialgleichung
setzt sich aus der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung
und einer Partikulärlösung der inhomogenen
Differentialgleichung zusammen (siehe Math.Kap 2.2.2)
Wie kann man die gesuchten
Teillösungen
gewinnen?
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4.15 Antwort zu H2
Die Lösung der homogenen Differentialgleichung gewinnt man über den
Ansatz
, die Partikulärlösung der inhomogenen kann
man mit einem einfachen Ansatz gewinnen oder mit der Methode der Variation
der Konstanten berechnen.
Welche
Ergebnisse
kann man der Diskussion des Problems in Band 1
(Kap 4.2.2 und 4.2.3 ) entnehmen?
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4.15 Antwort zu H3
Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung ist
für alle drei Fälle bekannt, ebenfalls
eine Partikulärlösung der inhomogenen.
Diese Lösungen sind:
- (w)
- schwache Dämpfung:
mit
- (a)
- aperiodischer Grenzfall
- (s)
- starke Dämpfung
mit
- (p)
- Partikulärlösung
mit
Welche
Schritte
müssen durchgeführt werden, um die vorgegebenen
Anfangsbedingungen zu implementieren?
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4.15 Antwort zu H4
Die Standardschritte für die Bestimmung der Integrationskonstanten
aus den vorgegebenen Anfangsbedingungen, in dem vorliegenden Beispiel
sind:
- (a)
- Berechnung der erforderlichen Ableitung der allgemeinen Lösung.
- (b)
- Umsetzung der Anfangsbedingungen. Dies führt (für lineare
Differentialgleichungen zweiter Ordnung) auf ein lineares Gleichungssystem für
die Koeffizienten
und
, das zu lösen ist.
- (c)
- Fasse das Resultat mit den so bestimmten Integrationskonstanten zusammen.
Führe diese Schritte für alle drei Fälle durch:
(w) schwache Dämpfung
(a) aperiodischer Grenzfall
(s) starke Dämpfung
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4.15 Antwort zu H5 (w)
schwache Dämpfung:
Berechnung der erforderlichen Ableitung der allgemeinen Lösung:
Die Ableitung ergibt
Umsetzung der Anfangsbedingungen:
Das Gleichungssystem lautet
Auflösung nach
ergibt
bzw.
Aus der ersten Gleichung folgt dann
Fasse das Resultat mit den so bestimmten Integrationskonstanten zusammen:
Die spezielle Lösung (siehe Abb. unten) ist
(a) aperiodischer Grenzfall
(s) starke Dämpfung
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4.15 Antwort zu H5 (a)
aperiodischer Grenzfall:
Hier ist die Ableitung
woraus sich das Gleichungssystem
mit der Lösung
ergibt.
Die spezielle Lösung (siehe Abb. unten) lautet in diesem Fall
(w) schwache Dämpfung
(s) starke Dämpfung
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4.15 Antwort zu H5 (s)
starke Dämpfung:
Die Rechnung verläuft bis auf die Ersetzung von
durch
analog zu dem Fall (w). Die Zusammenfassung liefert dann
hyperbolische anstatt trigonometrische Funktionen, also
Der Zeitablauf
für die drei Fälle ist in Abbildung
1 dargestellt. Man beobachtet eine Einschwingphase nur im Fall der
schwachen Dämpfung.
Abbildung 1:
Auslenkung
als Funktion der Zeit für die verschiedenen Dämpfungen
(schwache Dämpfung: blau,
aperiodischer Grenzfall: rot,
starke Dämpfung: grün)

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(w) schwache Dämpfung
(a) aperiodischer Grenzfall
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