3.1.3 Ergänzungen I:
n-dimensionale Vektorräume
Die folgende Aufforderung stellt eine gewisse Anforderung an das
Abstraktionsvermögen dar: Man stelle sich einen Raum vor, der durch
(wobei
größer als
ist) paarweise aufeinander senkrecht stehende
Einheitsvektoren aufgespannt wird. Auch wenn das Vorstellungsvermögen
Schwierigkeiten bereitet, ist die mathematische Fassung einer solchen
Situation ohne Schwierigkeiten möglich.
Man bezeichnet einen Satz von Basisvektoren, die den anvisierten Raum
aufspannen sollen, mit
und fordert (analog zu der Situation im dreidimensionalen Raum) die
Gültigkeit der Orthogonalitätsrelationen
Die Aussage, dass die
Vektoren die Länge
haben und paarweise
aufeinander senkrecht stehen, ist nur sinnvoll, wenn es gelingt, in dem
von dieser Basis aufgespannten Raum die Grundkonzepte der Geometrie, also
Längen, Abstände und Winkel, widerspruchsfrei zu definieren und zu handhaben.
Zu diesem Zweck beginnt man mit der Erweiterung der Komponentenzerlegung.
Ein beliebiger Vektor in diesem Raum soll bezüglich der vorgegebenen
Basis in der Form
dargestellt werden. In dem Sinn dieser Forderung kann man einen Vektor
durch ein
-Tupel von Zahlen charakterisieren
Da man einen der Basisvektoren durch die Basisvektoren darstellen kann
werden die Basisvektoren durch die
-Tupel
repräsentiert, wobei für den Vektor
die
an der
-ten
Stelle steht.
Mit diesen Forderungen kann man das Vektorkalkül des dreidimensionalen Raumes
einschließlich aller Rechenregeln auf
Raumdimensionen
übertragen:
- Addition
- Multplikation mit Skalar
- Subtraktion
- Skalarprodukt
Die Grundkonzepte der Geometrie kann man damit folgendermaßen fassen:
Die Länge eines Vektors ist durch das Skalarprodukt bestimmt
Ist
die Differenz von zwei Vektoren
,
so bestimmt
den Abstand von zwei Punkten (den Endpunkten der
Vektoren) im
-dimensionalen Raum. Zur Definition des Winkels zwischen
zwei Vektoren benutzt man ebenfalls das Skalarprodukt
- Das Vektorprodukt wurde im dreidimensionalen Raum zur Festlegung
der Orientierung des Koordinatendreibeins benutzt. Da die Benutzung
eines links- oder rechtshändigen Systems eher eine Frage des
Geschmacks denn der Notwendigkeit ist, verzichtet man im
mehrdimensionalen Raum auf diese Festlegung. Eine Verallgemeinerung des
Konzeptes des Vektorproduktes ist möglich, doch recht aufwendig.
Der hier angedeutete Euklidische Raum
kann über dem Bereich der reellen
oder der komplexen Zahlen definiert werden. Benutzt man reelle
-Tupel,
so bezeichnet man dem Raum mit
oder
, im Fall von komplexen
n-Tupeln als
oder
. Zur mathematischen Fundierung der
Quantenmechanik ist eine zusätzliche Erweiterung gefragt, der Grenzübergang
. Der entsprechende Raum über dem Bereich der komplexen
Zahlen
wird als Hilbertraum bezeichnet.
In der (speziellen) Relativitätstheorie spielt ein vierdimensionaler Raum,
der Minkowskiraum, die zentrale Rolle. Unterschiede gegenüber dem Euklidischen
Raum werden im nächsten Abschnitt angedeutet.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008