Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.10
  1. Definiere Schwerpunkt- und Relativkoordinaten   und die entsprechenden Geschwindigkeiten der beiden Massen.
  2. Gib die Geschwindigkeiten  der Massen aus der Sicht des Schwerpunktes (siehe Abb. 3) an.
  3. Betrachte den Impulserhaltungssatz. 
  4. Notiere die Konsequenzen der Impulserhaltung  aus der Sicht des Schwerpunktsystems.
  5. Drücke die Geschwindigkeiten  der Massen vor und nach dem Stoß durch die Relativgeschwindigkeiten und und die Schwerpunktgeschwindigkeit aus.
  6. Betrachte die kinetische Energie  vor und nach dem Stoß als Funktion der Relativgeschwindigkeiten. Welche Aussagen kann man über und machen?
  7. Fertige eine Skizze der Geschwindigkeiten  der Massen aus der Sicht des Schwerpunktsystems an und identifiziere den Streuwinkel aus der Sicht dieses Systems.
  8. Vergleiche den Streuwinkel  mit dem Winkel zwischen den Vektoren der Relativgeschwindigkeiten vor und nach dem Stoß ( und ).
  9. Finde, unter der Voraussetzung , Relationen  zwischen den Vektoren und und zwischen den Vektoren und .
  10. Skizziere die Geschwindigkeitsvektoren  ( vorausgesetzt) in den beiden Systemen vor und nach dem Stoß. Identifiziere den Streuwinkel (Laborsystem) und den Streuwinkel (Schwerpunktsystem).
  11. Finde über den Sinussatz der ebenen Trigonometrie eine Relation  zwischen den beiden Streuwinkeln ( vorausgesetzt).
  12. Kann man den Bruch  durch die Massen darstellen?
  13. Löse die Relation zwischen den beiden Streuwinkeln  nach dem Winkel , bzw. nach auf.
  14. Betrachte die Grenzfälle  und
  15. Betrachte das in Kap. 4.1.3 angesprochene Streuproblem  aus der Sicht der nun vorliegenden Ergebnisse.

Werkzeuge
Abbildung 3: Schwerpunkt- und Relativkoordinaten




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4.10 Antwort zu H1



Die Definition der Schwerpunkt- und Relativkoordinaten und der entsprechenden Geschwindigkeiten lautet







Die gleichen Aussagen gelten für die Situation nach dem Stoß (gestrichene Koordinaten).

   Gib die Geschwindigkeiten  der Massen aus der Sicht des Schwerpunktes (siehe Abb. 3) an.


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4.10 Antwort zu H2



Die Geschwindigkeiten der beiden Massen kann man auf den Schwerpunkt beziehen.
Es gelten die folgenden Relationen, die Geschwindigkeit der Massen im Laborsystem und im Schwerpunktsystem verknüpfen (siehe Abb. 4)  ...


Abbildung 4: Schwerpunkt- und Relativkoordinaten



   (welche Relationen?)





















































Abbildung 5: Schwerpunkt- und Relativkoordinaten






Der Vektor für die Relativgeschwindigkeit kann auch durch die schwerpunktbezogenen Geschwindigkeiten ausgedrückt werden. Vor bzw. nach dem Stoß ist





   Betrachte den Impulserhaltungssatz. 


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4.10 Antwort zu H3



Für den Stoß gilt (unabhängig ob der Stoß elastisch oder inelastisch ist) der Impulserhaltungssatz


Ersetzt man die jeweiligen Summen durch die Schwerpunktgeschwindigkeiten, so findet man


Der Schwerpunktimpuls ist erhalten


die Geschwindigkeit des Schwerpunktes ändert sich nicht . Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß bezogen auf den Schwerpunkt lauten deswegen



   Notiere die Konsequenzen der Impulserhaltung  aus der Sicht des Schwerpunktsystems.


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4.10 Antwort zu H4



Setzt man in die Definition des Schwerpunktimpulses vor dem Stoß die Umrechnungen für die Geschwindigkeiten


ein, so erhält man über


die Relation


Entsprechend ergibt Einsetzen der Umrechnungen der Geschwindigkeiten nach dem Stoß


die Aussage


Aus der Sicht des Schwerpunktes sind die Impulsvektoren ( ) der beiden Massen vor und nach dem Stoß gleich groß und entgegengesetzt gerichtet (Abb. 6).




Abbildung 6: Die Impulsvektoren () der beiden Massen vor und nach dem Stoß




Aus der Sicht des Schwerpunktes lautet der Impulssatz



   Drücke die Geschwindigkeiten  der Massen vor und nach dem Stoß durch die Relativgeschwindigkeiten und und die Schwerpunktgeschwindigkeit aus.


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4.10 Antwort zu H5



Aus der Definition des Schwerpunktimpulses folgt z.B. bei Ersetzung von durch und die Relativgeschwindigkeit


nach einfacher Sortierung die Relation


Mit einem entsprechenden Argument findet man





   Betrachte die kinetische Energie  vor und nach dem Stoß als Funktion der Relativgeschwindigkeiten. Welche Aussagen kann man über und machen?


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4.10 Antwort zu H6



Für die kinetische Energie gilt aus der Sicht des Laborsystems vor () und nach () dem Stoß




wobei


die reduzierte Masse ist. Für einen elastischen Stoß mit


ist somit


Der Vektor für die Relativgeschwindigkeit kann in einem elastischen Stoßprozess seine Richtung, nicht aber seinen Betrag, ändern.

   Fertige eine Skizze der Geschwindigkeiten  der Massen aus der Sicht des Schwerpunktsystems an und identifiziere den Streuwinkel aus der Sicht dieses Systems.


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4.10 Antwort zu H7



Der Streuwinkel aus der Sicht des Schwerpunktsystems ist der Winkel zwischen den Vektoren und bzw. zwischen und (Abb. 7).



Abbildung 7: Der Streuwinkel aus der Sicht des Schwerpunktsystems




   Vergleiche den Streuwinkel  mit dem Winkel zwischen den Vektoren der Relativgeschwindigkeiten vor und nach dem Stoß ( und ).


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4.10 Antwort zu H8



Für die Vektoren und folgt aus den obigen Definitionen




Der Streuwinkel zwischen den Vektoren und ist gleich dem Winkel zwischen den Vektoren und .

BEMERKUNG:
Es wird im Folgenden nur der Fall betrachtet, dass die Masse vor dem Stoß ruht (). Die Herleitung der gesuchten Relation ist für den allgemeinen Fall () recht mühselig. Für die meisten Experimente ist die Bedingung , das Target ruht vor dem Stoß, ausreichend.

   Finde, unter der Voraussetzung ,  Relationen  zwischen den Vektoren und und
zwischen den Vektoren und .


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4.10 Antwort zu H9



Falls ist, folgt sofort . Außerdem gilt für die Schwerpunktgeschwindigkeit vor dem Stoß


Von den Relationen, die noch angegeben werden können, interessiert im Folgenden nur



   Skizziere die Geschwindigkeitsvektoren  ( vorausgesetzt) in den beiden Systemen vor und nach dem Stoß. Identifiziere den Streuwinkel (Laborsystem) und den Streuwinkel (Schwerpunktsystem).


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4.10 Antwort zu H10



Anhand der Vorgaben kann man die folgende Zeichnung anfertigen (siehe Abb. 8).




Abbildung 8: Definition und Relation der beiden Streuwinkel und




Aus der Sicht des Schwerpunktsystems sind sowohl die Geschwindigkeiten der beiden Massen vor dem Stoß als auch nach dem Stoß entgegengerichtet. Vor dem Stoß ist zusätzlich proportional zu . Nach dem Stoß setzt sich die Geschwindigkeit der Masse aus der Sicht des Laborsystems vektoriell aus und (einem Vektor parallel zu ) zusammen


In dem von den drei Vektoren und gebildeten Dreieck treten die Winkel (als Stufenwinkel gegenüber der Seite ) und () (gegenüber der Seite V) auf.

   Finde über den Sinussatz der ebenen Trigonometrie eine Relation  zwischen den beiden Streuwinkeln ( vorausgesetzt).


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4.10 Antwort zu H11



Der Sinussatz der ebenen Trigonometrie angewandt auf das Dreieck, das von den drei Vektoren und aufgespannt wird, liefert die Beziehung (siehe Abb. 9)





Abbildung 9: Relation der beiden Streuwinkel und



Einfache Auflösung liefert


Benutzt man für das Additionstheorem, so kann man dies in die Form


umschreiben, in der der Tangens des Streuwinkels im Laborsystem durch den Streuwinkel im Schwerpunktsystem dargestellt wird.

   Kann man den Bruch  durch die Massen darstellen?


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4.10 Antwort zu H12



Die Vektorgleichungen


und


ergeben für einen elastischen Stoß mit für das Verhältnis der Beträge



   Löse die Relation zwischen den beiden Streuwinkeln  nach dem Winkel , bzw. nach auf.


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4.10 Antwort zu H13



Für die Auflösung nach dem Winkel ist eine kleine Zwischenrechnung notwendig. Durch Quadrieren der Gleichung




erhält man eine quadratische Gleichung für


mit der Lösung



   Betrachte die Grenzfälle  und


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4.10 Antwort zu H14



In dem Grenzfall ergibt sich aus




bzw.


die beiden Winkel sind gleich. In dem anderen Grenzfall findet man


bzw.


Beide Aussagen entsprechen in der allgemeinen Relation zwischen den beiden Streuwinkeln dem positiven Vorzeichen vor dem Term mit der Wurzel.

   Betrachte das in Kap. 4.1.3 angesprochene Streuproblem  aus der Sicht der nun vorliegenden Ergebnisse.


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4.10 Antwort zu H15



In dem in Kap. 4.1.3 angesprochenen Streuproblem ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren der Relativgeschwindigkeit und . Dieser Winkel ist, wie oben gezeigt, mit dem Winkel identisch. Ist die `Targetmasse` groß genug gegenüber der `Projektilmasse` , so ist der Winkel (fast) gleich dem Streuwinkel in dem Laborsystem. In dem Grenzfall gleicher Massen ist durch zu ersetzen. In dem Fall eines beliebigen Massenverhältnisses muss man für den Ausdruck




in die Rutherfordformel einsetzen, um die Abhängigkeit von dem Streuwinkel in dem Laborsystem zu erhalten.







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