Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.9
  1. Fertige eine Skizze   des bewegten Pendels an.
  2. Welche generalisierten Koordinaten  sind zur Beschreibung der Pendelbewegung notwendig?
  3. Notiere die Lagrangefunktion  des Pendels in kartesischen Koordinaten und bestimme die Transformation zwischen den kartesischen und der generalisierten Koordinate.
  4. Berechne die Größen, die zur Aufstellung der Lagrangegleichung  benötigt werden. Stelle die Bewegungsgleichung auf.
  5. Entwickle die trigonometrischen Funktionen  in niedrigster Ordnung und diskutiere die so gewonnene Differentialgleichung für kleine Schwingungen.
  6. Benutze die Vorgabe  einer horizontalen Bewegung und bestimme die Bewegungsgleichung für beliebige und für kleine Ausschläge.
  7. Gib die Bewegungsgleichung  bei vertikaler Bewegung des Aufhängepunktes an (für beliebige und für kleine Winkel).
  8. Stelle die Bewegungsgleichung  des kräftefreien Pendels bei Bewegung des Aufhängepunktes auf einem Kreis auf. Forme die Gleichung so um, dass sie der Differentialgleichung des mathematischen Pendels entspricht. Bestimme die effektive Erdbeschleunigung.



Werkzeuge




Zurück zur Aufgabenstellung
<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.9 Antwort zu H1



Siehe Abb. 1.
Abbildung 1: Geometrie des bewegten Pendels

   Welche generalisierten Koordinaten  sind zur Beschreibung der Pendelbewegung notwendig?


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.9 Antwort zu H2



Es genügt der Winkel , die Auslenkung aus der Vertikalen (Abb. 1).

   Notiere die Lagrangefunktion  des Pendels in kartesischen Koordinaten und bestimme die Transformation zwischen den kartesischen und der generalisierten Koordinate.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.9 Antwort zu H3



Die Lagrangefunktion ist


Die Koordinaten der Masse ergeben sich durch Überlagerung der Bewegung des Aufhängepunktes und der Pendelbewegung zu



   Berechne die Größen, die zur Aufstellung der Lagrangegleichung  benötigt werden. Stelle die Bewegungsgleichung auf.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.9 Antwort zu H4



Um die Lagrangegleichung


aufzustellen, benötigt man die kinetische und die potentielle Energie als Funktion der generalisierten Koordinate. Für die kinetische Energie folgt




Die potentielle Energie ist




Die Ableitungen der Lagrangefunktion nach der generalisierten Koordinate und deren Geschwindigkeit sind







Mit




folgt für die Bewegungsgleichung





   Entwickle die trigonometrischen Funktionen  in niedrigster Ordnung und diskutiere die so gewonnene Differentialgleichung für kleine Schwingungen.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.9 Antwort zu H5



Kleine Schwingungen sind durch und charakterisiert. Hier erhält man durch Entwicklung in niedrigster Ordnung (O)
(Werkzeuge)      die Differentialgleichung




Dies ist die Differentialgleichung eines periodisch angetriebenen harmonischen Oszillators mit (effektiver) zeitabhängiger Frequenz


Die Differentialgleichung, die man in diesem Grenzfall erhält, kann als eine inhomogene, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit explizit zeitabhängigen Koeffizientenfunktionen klassifiziert werden. Eine analytische Lösung ist nicht einfach, eine numerische Lösung ist möglich. Der Ausdruck für die Frequenz geht in das Resultat des mathematischen Pendels bei kleinen Ausschlägen über, falls gleich Null ist, der Aufhängepunkt des Pendel sich also an der Stelle befindet. Es ist noch von Interesse zu bemerken, dass die Frequenz nur durch die Halbachse , der Antrieb dagegen nur durch die Halbachse bestimmt ist.

   Benutze die Vorgabe  einer horizontalen Bewegung und bestimme die Bewegungsgleichung für beliebige und für kleine Ausschläge.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.9 Antwort zu H6



Eine (periodische) horizontale Bewegung des Aufhängepunktes wird durch charakterisiert. Damit erhält man




bzw. für kleine Auslenkungen (Ordnung O())




Diese Differentialgleichung entspricht einem angetriebenen harmonischen Pendel (Oszillator).

   Gib die Bewegungsgleichung  bei vertikaler Bewegung des Aufhängepunktes an (für beliebige und für kleine Winkel).


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.9 Antwort zu H7



Vertikale harmonische Bewegung des Aufhängepunktes mit ergibt




Hier hat man die Differentialgleichung eines mathematisches Pendel mit der zeitabhängigen Frequenz , bei kleinen Ausschlägen die Differentialgleichung eines entsprechenden harmonischen Oszillators.

   Stelle die Bewegungsgleichung  des kräftefreien Pendels bei Bewegung des Aufhängepunktes auf einem Kreis auf. Forme die Gleichung so um, dass sie der Differentialgleichung des mathematischen Pendels entspricht. Bestimme die effektive Erdbeschleunigung.


Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.9 Antwort zu H8



Bei Bewegung des Aufhängepunktes auf einem Kreis mit dem Radius () erhält man




Betrachtet man eine Situation, in der die Gravitation nicht wirkt (), und benutzt die Substitution , so erhält man


Diese Gleichung besagt, dass man die Wirkung der einfachen Gravitation durch eine uniforme Kreisbewegung des Aufhängepunktes simulieren kann, wenn man die Bewegung in dem Winkel verfolgt. Die effektive Erdbeschleuigung ist durch


gegeben.

Zurück zu den Hinweisen            Zurück zur Aufgabenstellung            Zurück zum Inhaltsverzeichnis


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008