Detail 5.1
Zwangsbedingungen: Beispiel zur Beschreibung von Raumkurven
Die Raumkurve, eine schief im Raum liegende Ellipse, ergibt sich als Schnitt eines Zylinders, dessen Mantel
parallel zur
-Achse
verläuft und einer Ebene, die die
-Achse
enthält und gegen die
-
Ebene um
geneigt ist
(Abb. 5.1.1).
Abbildung 5.1.1:
Raumkurve aus der Sicht des ursprünglichen Koordinatensystems
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Um die Gleichung der ebenen Raumkurve explizit anzugeben, muss man die
-
Ebene um
die
-Achse drehen, und zwar so, dass die
gedrehte Ebene (die
-
Ebene) mit der Ebene
zusammenfällt
(Abb. 5.1.2).
(Animation der Abb. 5.1.1 und 5.1.2)
Abbildung 5.1.2:
Raumkurve aus der Sicht des gedrehten Koordinatensystems
 |
Da die
-Koordinate von der Drehung nicht
berührt wird, ist es ausreichend, die benötigte Drehung um
durch die Matrix
 |
(5.1.1) |
zu beschreiben (siehe Math.Kap.3.2.3).
Diese Transformationsgleichung erlaubt es, die Koordinaten eines Punktes
in dem gedrehten Koordinatensystem in die Koordinaten des Punktes in dem
ursprünglichen System umzurechnen. Zur Überprüfung der Korrektheit der
Drehmatrix kann man einen Punkt in der
-
Ebene,
z.B. einen Punkt auf der
-Achse
betrachten. Die
Koordinaten dieses Punktes in dem ursprünglichen Koordinatensystem sind
(siehe Abb. 5.1.3), sie entsprechen
der Projektion des Punktes
auf die Achsen des
ursprünglichen Koordinatensystems.
Abbildung 5.1.3:
Illustration der Drehung des Koordinatensystems. Die
-Achse (identisch mit der
-Achse) zeigt in den
Bildschirm hinein.
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Anhand der Koordinatentransformation erhält man für
die Ebene
Die Ebene wird in dem indizierten Koordinatensystem durch
charakterisiert.
Die Gleichung des Zylinders in dem gedrehten Koordinatensystem ist
Der Schnitt dieser Raumfläche (ein schief liegender Zylinder) mit der
Ebene
ergibt
In der
-
Ebene erkennt man eine Ellipse
mit dem Achsenverhältnis
bzw. der numerischen Exzentrizität
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<Mechanik Details > R. Dreizler C. Lüdde
2008