Lösung der Aufgabe 4.6
In Analogie zu dem Keplerproblem gewinnt man das folgende Integral zur
Bestimmung der Bahngleichung
(
).
Es treten drei Spezialfälle auf, die den folgenden Spezifikationen des
Radikanden der Quadratwurzel entsprechen
- (1)
-
In diesem Fall exisitiert keine Einschränkung des Bereiches der
Abstandsvariablen.
- (2)
-
Hier gibt es einen maximal möglichen Abstand.
- (3)
-
In diesem Fall sind nur
-Werte mit
zulässig.
Die Auswertung des Integrals und Sortierung des Ergebnisses in den drei Fällen
liefert die Lösungen:
Fall (1):
Dieses Ergebnis kann vereinfacht werden, wenn man das zugrundeliegende
Koordinatensystem so wählt, dass
ist und wenn der
Massenpunkt bei einem sehr großen Abstand startet. Die Lösung
beschreibt eine Spiralbahn, auf der der Massenpunkt auf das Zentrum zuläuft
und dieses nach unendlich vielen Umdrehungen (je nach Vorzeichen im oder gegen den
Uhrzeigersinn) erreicht.
Abbildung 10:
Die Bahnkurve
in dem Fall 1 mit
unterschiedlichem Drehsinn (positives Vorzeichen: blau, negatives: grün).
Parameter:
,
,
,

|
Fall (2):
Eine Vereinfachung der Endformel ergibt sich hier, wenn der Massenpunkt
bei dem maximalen Abstand
startet und das Koordinatensystem wie in (1) festgelegt wird. Die
spezielle Lösung
entspricht ebenfalls einer Spiralbahn. Der Massenpunkt beginnt an der
Stelle (
) und erreicht den Ursprung nach
unendlich vielen Umdrehungen. Der Drehsinn kann in dem oder gegen den
Uhrzeigersinn sein, beide Möglichkeiten werden (da
ist)
durch die gleiche Formel abgedeckt.
Abbildung 11:
Die Bahnkurve
in dem Fall 2 mit
unterschiedlichem Drehsinn
Parameter:
,
,
,

|
Fall (3):
Die Lösung bei der allgemeinen Anfangssituation
geht bei Wahl der Anfangsbedingung
in den Ausdruck
über.
Um den Zeitablauf auf dieser Bahn zu diskutieren, muss man
die Funktionen
und
berechnen. Die Formel für
ergibt
(und bei Einsetzen in die Formel für
wieder die Bahngleichung). Der obigen
Gleichung entnimmt man die Aussage, dass ein Massenpunkt für die Bewegung von
der Anfangsposition bis zu der Endsituation, charakterisiert durch die
Winkel
eine unendlich große Zeitspanne benötigt. Während sich die Masse um diesen
Winkel dreht, wird der Abstand unendlich groß.
Abbildung 12:
Fall 3
(Parameter:
,
,
)

|
Für
ist in jedem der Fälle auch eine gerade Bahn möglich,
insbesondere erhält man für eine gerade Bahn im Fall 3
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008