6.2 Ein Federpendel in Form eines V
Schwingungsfähige Systeme mit einer Masse und zwei Federn müssen nicht
linear angeordnet sein. In dieser Aufgabe wird die etwas komplizierte Geometrie
des Problems durch eine symmetrische, V-förmige Anordnung von zwei identischen
Federn bedingt.
Die Bewegungsgleichung für vertikale Auslenkungen ist
infolge der Geometrie nicht linear.
Zu diskutieren sind jedoch nur kleine vertikale Schwingungen der Masse bei
entsprechender Auslenkung des Systems. Dabei soll die anstehende lineare Näherung
korrekt abgeleitet werden.
Aufgabenstellung
Eine Masse
wird an zwei identischen Federn
(jeweils mit der Federkonstanten
)
aufgehängt. In der Ruhestellung, die sich aufgrund der Wirkung der
einfachen Gravitation einstellt, bilden die Federn einen Winkel
mit der Horizontalen und haben die Länge
(Abb. 1).
Abbildung 1:
Aufgabenstellung
 |
-
Leite eine Differentialgleichung für Schwingungen bei vertikalen Auslenkungen
aus der Ruhelage ab. Berücksichtige sowohl die
Änderungen der Federlänge
als auch des Winkels
.
Bestimme die Periode
der Schwingungen für kleine vertikale
Auslenkungen aus der Ruhelage in linearer Näherung.
-
Stelle die Differentialgleichung für Schwingungen bei vertikalen
Auslenkungen aus der Ruhelage unter Vernachlässigung
der Änderung des Winkels auf.
Vergleiche die entsprechende Periode
mit der Periode
.
- Berechne die Länge der unbelasteten Feder
, den Winkel
zwischen der
horizontalen Achse und der unbelasteten Feder sowie die Periode
für die folgende Werte:
cm,
,
g,
dyn/cm,
.
Vergleiche den numerischen Wert für die Periode mit dem Wert der einfachen Näherung.
Deine Antworten:
Fragen
zur schrittweisen Gewinnung der Lösung
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008