Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.3
  1. Welche Form der Bewegungsgleichung muss man für das Raketenproblem benutzen?
  2. Analysiere die Änderung der Masse und der Geschwindigkeit der Rakete sowie der ausgestoßenen Masse in einem Zeitintervall . Benutze dazu ein geeignetes Inertialsystem! (Warum ein Inertialsystem?) Fertige eine Skizze der Situation zu den Zeiten und an.
  3. Berechne die Impulsänderung des Gesamtsystems in dem Zeitintervall .
  4. Stelle die Bewegungsgleichung zusammen. Benutze die korrekte Definition der zeitlichen Änderung der Raketenmasse.
  5. Sortiere diese Gleichung, so dass sie als Bewegungsgleichung der Rakete interpretiert werden kann.
  6. Warum ist die Gleichung


    mit dem Impuls der Rakete, nicht korrekt? Begründe die Antwort.



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3.3 Antwort zu H1



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ANTWORT  
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ANTWORT  
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ANTWORT  
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ANTWORT  

   Analysiere die Änderung der Masse und der Geschwindigkeit der Rakete sowie der ausgestoßenen Masse in einem Zeitintervall . Benutze dazu ein geeignetes Inertialsystem! (Warum ein Inertialsystem?) Fertige eine Skizze der Situation zu den Zeiten und an.


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3.3 Antwort zu H2



Man benutzt ein Inertialsystem, das `fest im Raum` verankert ist. Die Situation ist aus der Sicht eines mit der Rakete verbundenen Bezugssystems schwieriger zu analysieren, da ein solches System ein beschleunigtes Bezugssystem darstellt.
Hat der Raketenkörper plus der nicht verbrannte Brennstoff zu dem Zeitpunkt die Masse und die Geschwindigkeit , so liegt zu dem späteren Zeitpunkt die folgende Situation vor: Die in dem Zeitraum verbrannte und ausgestoßene Treibstoffmasse bewegt sich (aus der Sicht des Inertialsystems) mit der Geschwindigkeit (das Vorzeichen der Relativbewegung ist berücksichtigt, ).
Das Restsystem bewegt sich, infolge des 'Rückstoßes', mit der höheren Geschwindigkeit . Diese Aussagen sind in der Tabelle und der Abb. 1 zusammengefasst.


          m(Rak.)         v(Rak.)         m(Ausst.)         v(Ausst.)
                                         
                                     
                                   




Abbildung 1: Zur Bewegungsgleichung der Rakete

   Berechne die Impulsänderung des Gesamtsystems in dem Zeitintervall .


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3.3 Antwort zu H3



Die Impulsänderung des Gesamtsystems ist Endimpuls (Restrakete und Ausstoß) minus Anfangsimpuls (Rakete)


Bei Vernachlässigung des Termes zweiter Ordnung ergibt sich


Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses wird durch die äußeren Kräfte bestimmt, also ist



   Stelle die Bewegungsgleichung zusammen. Benutze die korrekte Definition der zeitlichen Änderung der Raketenmasse.


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3.3 Antwort zu H4



Bezeichnet man die zeitliche Änderung der Raketenmasse (wie üblich) mit , so folgt mit der oben benutzten Festlegung der Grenzwert


oder


als Ausdruck der Tatsache, dass die Rakete Masse verliert. Im einfachsten Fall ist . Setzt man den Ausdruck für in den Impulssatz ein, so erhält man die Gleichung



   Sortiere diese Gleichung, so dass sie als Bewegungsgleichung der Rakete interpretiert werden kann.


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3.3 Antwort zu H5



Um diese Gleichung als Bewegungsgleichung der Rakete zu interpretieren, sortiert man sie in der Form


Die linke Seite hat die Form 'Momentane Masse mal Beschleunigung', die rechte Seite beinhaltet die äußere Kraft plus die Rückstoßkraft aufgrund der ausströmenden Verbrennungsprodukte.

   Warum ist die Gleichung


mit dem Impuls der Rakete, nicht korrekt? Begründe die Antwort.


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3.3 Antwort zu H6



Ein erster Hinweis, dass mit diesem Ansatz etwas nicht stimmt, ist die Aussage, dass in der Gleichung


die Ausströmgeschwindigkeit der Verbrennungsprodukte nicht auftritt. Die Beschleunigung der Rakete muss aber in irgendeiner Form von dieser Größe abhängen. Verschwindet die äußere Kraft, so gilt Impulserhaltung, jedoch nicht für die Restrakete, sondern für das Gesamtsystem Restrakete plus Verbrennungsprodukte. Der Fehler besteht darin, dass, obwohl die äußere Kraft an dem Gesamtsystem angreift, der Impuls der Verbrennungsprodukte, bzw. deren Impulsänderung, in diesem Ansatz nicht berücksichtigt ist. Der (korrekte) Ansatz über den (Gesamt-)Impulssatz entspricht im Gegensatz zu dem oben genannten Ansatz der Gleichung



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