Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.12
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Als Erstes muss ein
Ansatz
für die zu minimierende Fläche gefunden werden.
Wie kann man eine Gleichung für diese Element gewinnen? Fertige eine Skizze
eines infinitesimalen Flächenelements
an.
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Im nächsten Schritt muss man die
infinitesimale Bogenlänge
mit den Koordinaten verknüpfen. Wozu benutzt man diese Relation?
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Wie hilft
Hamilton's Prinzip
bei der Bestimmung des
Extremums der Gesamtfläche?
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Wie sieht die
Euler-Lagrange Gleichung
in dem Beispiel aus?
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Wie kann man diese
Differentialgleichung
lösen? Der erste Schritt ist einfach.
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Und nun? Was macht man mit dieser
(nichtlinearen) Differentialgleichung
erster Ordnung ?
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Bei Bedenken wegen der
Sortierung
der nichtlinearen Differentialgleichung durch
Quadrieren empfiehlt sich eine Probe (wie am geschicktesten?).
Werkzeuge
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5.12 Antwort zu H1
Abbildung 2:
Die infinitesimale Rotationsfläche
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Ein infinitesimales Element der Kurve
ergibt bei Rotation
um die
-Achse eine infinitesimale Fläche gemäß der Formel
da das infinitesimale Element als gerade angesehen werden kann.
Nach Abb. 2 erhält man also
Im nächsten Schritt muss man die
infinitesimale Bogenlänge
mit den Koordinaten verknüpfen. Wozu benutzt man diese Relation?
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5.12 Antwort zu H2
Die Bogenlänge ist durch die Differentiale
und
gegeben
Damit man die gesamte Fläche durch ein Integral darstellen kann, muss man
eines der Differentiale (am besten
) aus der Wurzel herausnehmen.
Man erhält dann
Setzt man dies in die Formel für das infinitesimale Flächenelement ein
und integriert, so findet man für die Gesamtfläche
deren Extremum zu bestimmen ist.
Wie hilft
Hamilton's Prinzip
bei der Bestimmung des
Extremums der Gesamtfläche?
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5.12 Antwort zu H3
Gemäß dem Hamiltonprinzip (Kap.5.4.1) erhält man einen Extremwert des
Integrals durch Lösung der Euler-Lagrange Variationsgleichung
wobei
der Integrand des zu minimierenden (maximierenden) Integrals ist,
in dem vorliegenden Beispiel also
Wie sieht die
Euler-Lagrange Gleichung
in dem Beispiel aus?
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5.12 Antwort zu H4
Man berechnet als Zutaten
und erhält
Wie kann man diese
Differentialgleichung
lösen? Der erste Schritt ist einfach.
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5.12 Antwort zu H5
Die erste direkte Integration liefert
Zwischenfrage:
Warum ist
?
Und nun? Was macht man mit dieser
(nichtlinearen) Differentialgleichung
erster Ordnung ?
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5.12 Antwort zu H6
Zur Lösung dieser Differentialgleichung muss man versuchen, sie in eine explizite Form
zu bringen. Das bedeutet Auflösung mittels Quadrieren und Sortieren.
Über
erhält man die explizite Differentialgleichung (hier wird die Relation
deutlich)
die ebenfalls direkt integriert werden kann. Die Lösung ist
mit der Umkehrung
Da der hyperbolische Kosinus eine gerade Funktion ist, tritt die Option
nicht mehr auf.
Die Konstanten
und
sind aus der Vorgabe der Punkt
und
zu bestimmen, wobei jedoch transzendente Gleichungen (numerisch)
zu lösen wären
Die berechnete Kurve
wird als Kettenlinie bezeichnet (Abb. 3).
Abbildung 3:
Die Rotationsfläche der Kettenlinie
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Bei Bedenken wegen der
Sortierung
der nichtlinearen Differentialgleichung durch
Quadrieren empfiehlt sich eine Probe (wie am geschicktesten?).
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5.12 Antwort zu H7
Benutze
um die Differentialgleichung umzuschreiben
Berechne dann
und stelle fest, dass die Probe wegen
aufgeht.
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