4.13 Huygen's Zykloidenpendel
Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels ändert sich mit
dem Maximalausschlag. Da bei der Nutzung eines Pendels als Zeitmesser
unweigerlich Reibungseffekte auftreten, ändert sich der Maximalausschlag
mit der Zeit. Dieses Pendel ist also für präzisere Zeitmessungen nicht
geeignet. Schon im 17. Jahrhundert hat Christian Huygens als idealen
Zeitmesser das Zykloidenpendel vorgeschlagen. Dieser Vorschlag ist in
der Aufgabe im Detail zu untersuchen. Es sind diverse Zykloiden zu
betrachten, die Bewegungsgleichung des Zykloidenpendels aufzustellen
und die Vorschläge von Huygens (mit moderneren Mitteln) zu überprüfen.
Aufgabenstellung
- (A)
- Die Zykloide ist eine Kurve, die von einem Punkt eines Kreises
(Radius
) erzeugt wird, wenn der Kreis ohne zu gleiten auf einer
Geraden abrollt (Abb. 1).
Abbildung 1:
Entstehung einer Zykloide, Fall 1
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Für eine Parameterdarstellung der Zykloide kann man den Rollwinkel
benutzen. Gib die Parameterdarstellungen
für die folgenden Situationen an
- (1)
- Der Punkt ist anfänglich an der Stelle
und der Kreis rollt auf der
-Achse ab (Abb. 1).
- (2)
- Der Punkt ist anfänglich an der Stelle
und der Kreis rollt unter der
-Achse ab (Abb. 2).
Abbildung 2:
Entstehung einer Zykloide, Fall 2
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- (3)
- Der Punkt ist anfänglich an der Stelle
und der Kreis rollt unter der
-Achse ab.
Skizziere die Kurven.
- (B)
- Bewegt sich eine Masse
unter dem Einfluss der Schwerkraft auf einer
Zykloide (anstatt auf einem Kreis wie bei dem mathematischen Pendel),
so findet man (Huygens, 1673), dass die Masse
für Anfangsauslenkungen mit einem Winkel in den Grenzen
isochron schwingt (Abb. 3).
- (1)
- Stelle die Bewegungsgleichung des Zykloidenpendels auf und beweise somit diese
Aussage.
- (2)
- Gib die Lösung der Bewegungsgleichung an. Diskutiere die Schwingungsdauer
des Zykloidenpendels.
- (3)
- Vergleiche den Energiesatz für das mathematische Pendel und das
Zykloidenpendel.
Abbildung 3:
Bewegung auf einer Zykloide

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- (C)
- Um ein Zykloidenpendel zu realisieren, hat Huygens vorgeschlagen, in der
Spitze einer Zykloiden (erzeugt durch eine Kreis mit Radius
) einen
Faden der Länge
anzubringen, der sich bei der Auslenkung rechts und
links an diese Führungszykloiden anschmiegt (Abb. 4).
Abbildung 4:
Realisierung eines Zykloidenpendels
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Die Behauptung ist: Die dabei entstehende Bahnkurve ist ebenfalls eine
Zykloide.
Hinter dieser Behauptung steht die Aussage, dass die Evolute (der
geometrische Ort der Krümmungsmittelpunkte) einer Zykloiden wieder eine
Zykloide ist. Berechne die Parameterdarstellung der Evoluten einer
geeigneten Zykloide gemäß
(Die Striche bedeuten Ableitungen der Funktionen der Parameterdarstellung
nach dem Parameter
.) Verifiziere den Vorschlag von Huygens.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008