Die Kenntnis der Trägheitsmatrix für einige Grundkörper gehört
zum Rüstzeug der theoretischen Physik. Die Berechnung der
entsprechenden Matrixelemente ist eine Übung in Dreifachintegration,
wobei sowohl die Frage nach geeigneten Substitutionen als auch die Frage
nach optimalen Integrationsvariablen beantwortet werden sollte.
Zu dem Grundstock gehören Quader und Ellipsoid, die hier betrachtet
werden.
Aufgabenstellung
Berechne die Trägheitsmatrix
(1)
eines homogenen Quaders
(Kantenlängen , , , Dichte )
in Bezug auf die Achsen durch die Mitte der Seitenflächen
(Abb. 1a). Betrachte den
Grenzfall eines Würfels.
(2)
eines homogenen Ellipsoides
(Halbachsen , , , Dichte )
in Bezug auf die Halbachsen (Abb. 1b).
Vergleiche diese Rechnung mit der Rechnung
für eine Kugel.
Abbildung 1:
Die homogenen Körper
Für jedes der Beispiele sind die Masse und alle 6 Elemente des Trägheitstensors zu berechnen. (Nutze die Symmetrie!)
Es treten eine ganze Reihe von Winkelintegralen auf, die in einer
Tabelle zusammengestellt sind. Diese bestimmten oder auch unbestimmten
Integrale können Integraltafeln entnommen werden oder (per partieller
Integration) relativ leicht berechnet werden.