Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.8
  1. Welche Größen   sind bei der Bearbeitung jeder der Teilaufgaben zu bestimmen?
  2. Wo liegt der Schwerpunkt  des Zylinders? Berechne die Masse des Zylinders.
  3. Berechne die Trägheitsmomente  in geeigneten Koordinaten.
  4. Warum muss man die Deviationsmomente  nicht explizit berechnen?
  5. Die Annahme,  dass die Scheibe sehr dünn ist, kann mit


    übersetzt werden. Nur wenn die Variable in dem Integranden nicht auftritt, erhält man einen Beitrag. Wie berechnet man mit dieser Annahme die Masse der Scheibe?
  6. Berechne unter der entsprechenden Annahme  die Hauptträgheitsmomente der Kreisscheibe.
  7. Wie hätte man dieses Ergebnis  auch erhalten können?
  8. Welche Koordinatenwahl  bietet sich zur Vereinfachung der Rechnung für den Kreiskegel an?
  9. Für den ersten Teil der Rechnung  benötigt man das Kegelvolumen und die Trägheitsmomente bezüglich des Spitzenpunktes. Bestimme diese Größen.
  10. Berechne die Koordinaten  des Schwerpunktes des Kreiskegels.
  11. Berechne mit diesen Resultaten  die Trägheitsmomente im Schwerpunktsystem.

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6.8 Antwort zu H1



In den Teilaufgaben (1) und (3) berechnet man die Masse und den Schwerpunkt. Anschließend werden die Standardformeln für die Trägheitsmomente ausgewertet. Die Teilaufgabe (2) kann entweder explizit oder als Grenzfall von (1) betrachtet werden.

   Wo liegt der Schwerpunkt  des Zylinders? Berechne die Masse des Zylinders.


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6.8 Antwort zu H2



Der Schwerpunkt liegt auf der Zylinderachse in der Höhe über dem Zentrum der Grundfläche (Abb. 1). (Die Koordinaten des Schwerpunktes können natürlich auch explizit berechnet werden).



Abbildung 1: Der Kreiszylinder



Die Masse berechnet man gemäß


Das Volumen gewinnt man entweder aus der Formel Grundfläche mal Höhe


oder durch direkte Rechnung (in Zylinderkoordinaten , , mit dem Ursprung im Schwerpunkt)





   Berechne die Trägheitsmomente  in geeigneten Koordinaten.


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6.8 Antwort zu H3



Für die (Haupt-)Trägheitsmomente findet man in Zylinderkoordinaten











   Warum muss man die Deviationsmomente  nicht explizit berechnen?


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6.8 Antwort zu H4



Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die Koordinatenachsen Symmetrieachsen sind. Bei der möglichen Rechnung treten Winkelintegrale der Form






auf, die den Wert Null ergeben.

   Die Annahme,  dass die Scheibe sehr dünn ist, kann mit


übersetzt werden. Nur wenn die Variable in dem Integranden nicht auftritt, erhält man einen Beitrag. Wie berechnet man mit dieser Annahme die Masse der Scheibe?


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6.8 Antwort zu H5



Man schreibt




definiert die `Flächendichte` und erhält




Man hätte natürlich gleich mit der Flächendichte arbeiten können



   Berechne unter der entsprechenden Annahme  die Hauptträgheitsmomente der Kreisscheibe.


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6.8 Antwort zu H6













   Wie hätte man dieses Ergebnis  auch erhalten können?


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6.8 Antwort zu H7



Für einen Zylinder mit vernachlässigbarer Höhe () kann man mit aus dem Ergebnis aus (1)




gewinnen.

   Welche Koordinatenwahl  bietet sich zur Vereinfachung der Rechnung für den Kreiskegel an?


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6.8 Antwort zu H8



Bei der Berechnung der (Hauptträgheits)momente des Kegels bezüglich des Schwerpunktes stellt es sich heraus, dass die Rechnung am einfachsten ist, wenn man diese Größen zunächst in einem Koordinatensystem berechnet, dessen Ursprung die Kegelspitze ist (da es die Symmetrie des Kegels berücksichtigt, (Abb. 2).



Abbildung 2: Geometrie des Kreiskegels: Integrationsgrenzen



In diesem Fall sind die Integrationsgrenzen einfacher zu handhaben. Der Bezug der Trägheitsmomente auf den Schwerpunkt kann dann mit...

   (wie hergestellt werden)























































Steiner's Theorem (B6.125) hergestellt werden.


   Für den ersten Teil der Rechnung  benötigt man das Kegelvolumen und die Trägheitsmomente bezüglich des Spitzenpunktes. Bestimme diese Größen.


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6.8 Antwort zu H9



Die Masse erhält man aus dem Volumenintegral multipliziert mit der konstanten Dichte . Bei der Auswertung des Dreifachintegrals (in Zylinderkoordinaten) sind die Grenzen der -Integration wegen (siehe Abb. 2)


variabel. Es ist somit




Für die Trägheitsmomente in den drei Koordinatenrichtungen bezüglich der Spitze erhält man











   Berechne die Koordinaten  des Schwerpunktes des Kreiskegels.


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6.8 Antwort zu H10



Den Vektor der Schwerpunktskoordinaten berechnet man mit


Die und Koordinaten sind (aus Symmetriegründen) gleich Null. (Überprüfe dies!)

Nebenrechnung
Für die dritte Schwerpunktskoordinate erhält man





   Berechne mit diesen Resultaten  die Trägheitsmomente im Schwerpunktsystem.


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6.8 Antwort zu H11



Der Satz von Steiner ergibt in dem vorliegenden Beispiel




(Sind die Ergebnisse und ohne Rechnung verständlich?)



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