Detail 5.1

Zwangsbedingungen: Beispiel zur Beschreibung von Raumkurven

Die Raumkurve, eine schief im Raum liegende Ellipse, ergibt sich als Schnitt eines Zylinders, dessen Mantel parallel zur -Achse verläuft und einer Ebene, die die -Achse enthält und gegen die - Ebene um geneigt ist (Abb. 5.1.1).

Abbildung 5.1.1: Raumkurve aus der Sicht des ursprünglichen Koordinatensystems
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Um die Gleichung der ebenen Raumkurve explizit anzugeben, muss man die - Ebene um die -Achse drehen, und zwar so, dass die gedrehte Ebene (die - Ebene) mit der Ebene zusammenfällt (Abb. 5.1.2).


(Animation der Abb. 5.1.1 und 5.1.2)


Abbildung 5.1.2: Raumkurve aus der Sicht des gedrehten Koordinatensystems

Da die -Koordinate von der Drehung nicht berührt wird, ist es ausreichend, die benötigte Drehung um durch die Matrix
(5.1.1)
zu beschreiben (siehe Math.Kap.3.2.3). Diese Transformationsgleichung erlaubt es, die Koordinaten eines Punktes in dem gedrehten Koordinatensystem in die Koordinaten des Punktes in dem ursprünglichen System umzurechnen. Zur Überprüfung der Korrektheit der Drehmatrix kann man einen Punkt in der - Ebene, z.B. einen Punkt auf der -Achse betrachten. Die Koordinaten dieses Punktes in dem ursprünglichen Koordinatensystem sind
(siehe Abb. 5.1.3), sie entsprechen der Projektion des Punktes auf die Achsen des ursprünglichen Koordinatensystems.
Abbildung 5.1.3: Illustration der Drehung des Koordinatensystems. Die -Achse (identisch mit der -Achse) zeigt in den Bildschirm hinein.


Anhand der Koordinatentransformation erhält man für die Ebene
Die Ebene wird in dem indizierten Koordinatensystem durch charakterisiert. Die Gleichung des Zylinders in dem gedrehten Koordinatensystem ist
weitere Rechenschritte..


Der Schnitt dieser Raumfläche (ein schief liegender Zylinder) mit der Ebene ergibt
In der - Ebene erkennt man eine Ellipse mit dem Achsenverhältnis bzw. der numerischen Exzentrizität


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<Mechanik   Details >  R. Dreizler C. Lüdde     2008