Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.15
  1. Wie lautet die Formel   für die Berechnung des Gravitationspotentials?
  2. Berechne die Masse der Hohlkugel.  Interpretiere das Ergebnis.
  3. Berechne das Integral  für den Außenbereich .
  4. Interpretiere  dieses Ergebnis.
  5. Was muss bei der Berechnung  des Integrals für den Innenbereich beachtet werden?
  6. Berechne das Integral für den Innenbereich  . Interpretiere das Ergebnis.
  7. Welche Bemerkungen  kann man zu dem Superpositionsprinzip machen?
  8. Überprüfe die links- und rechtsseitigen Grenzwerte  der Potentiale an den kritischen Stellen und .
  9. Gilt die gleiche Aussage  auch für das Gravitationsfeld ? Überprüfe auch die Stetigkeit des Gravitationsfeldes an den kritischen Stellen.
  10. Berechne die geforderten Koeffizienten  der Terme des Potentials für , , mit .



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3.15 Antwort zu H1



Die Formeln zur Berechnung des Gravitationspotentials einer kugelsymmetrischen Massenverteilungen wurden in Kap. 3.2.4.1 aufbereitet. Für Punkte außerhalb der Massenverteilung () gilt


Für Punkte innerhalb der Massenverteilung ( ) ist das Integral


zu berechnen.

   Berechne die Masse der Hohlkugel.  Interpretiere das Ergebnis.


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3.15 Antwort zu H2



Die Masse der Hohlkugel ist wegen der Symmetrie




Die Masse entspricht (wie erwartet) der Masse einer homogenen Vollkugel mit dem Radius von der die Masse einer Vollkugel (mit der gleichen konstanten Massendichte) mit Radius subtrahiert wird.

   Berechne das Integral  für den Außenbereich .


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3.15 Antwort zu H3



Das Integral in Gleichung


kann in 2 Beiträge zerlegt werden, wobei das erste Integral wegen verschwindet




Man erkennt die Masse der Hohlkugel und kann das Ergebnis in der Form


zusammenfassen.

   Interpretiere  dieses Ergebnis.


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3.15 Antwort zu H4



Aus der Sicht des Außenraumes kann man nicht erkennen, ob es sich um eine Hohlkugel, eine Kugel oder eine kompliziertere Massenverteilung mit der Masse und Kugelsymmetrie handelt.

   Was muss bei der Berechnung  des Integrals für den Innenbereich beachtet werden?


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3.15 Antwort zu H5



Für Punkte innerhalb der Massenverteilung ist das Integral


zu berechnen. Es sind die Fallunterscheidungen




zu treffen. Der Punkt (eigentlich Kugelschale) , für den das Potential berechnet wird, liegt entweder in der massenbelegten Kugelschale oder in dem Hohlraum.

   Berechne das Integral für den Innenbereich  . Interpretiere das Ergebnis.


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3.15 Antwort zu H6



Ist , so trägt das Intervall zu dem ersten Integral nicht bei () und es ist




Dies entspricht wiederum der Differenz der Potentiale von zwei homogenen Vollkugeln


(mit der gleichen Dichte ), wobei für die Kugel mit dem größeren Radius das Potential im 'Innenbereich' () und für die Kugel mit dem kleineren Radius das Potential im Außenbereich () einzusetzen ist. In dem zweiten Fall () trägt das erste Integral gar nicht, das zweite erst ab dem Radius bei. Es bleibt




Das Potential in dem Hohlraum ist konstant und entspricht wegen




ebenfalls der Differenz der Potentiale der Vollkugeln mit dem Radius und .

   Welche Bemerkungen  kann man zu dem Superpositionsprinzip machen?


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3.15 Antwort zu H7



Die Tatsache, dass das (Gravitations-)Potential durch Überlagerung (in diesem Fall Subtraktion) der Potentiale von zwei Vollkugeln dargestellt werden kann, bezeichnet man als Superpositionsprinzip. Das Superpositionsprinzip beinhaltet letztlich die Linearität der Differentialgleichungen, die das Potential bestimmen (siehe Band 2). Die Gültigkeit des Superpositionsprinzips erlaubt in vielen Fällen die Berechnung von Potentialen von komplizierteren Massenverteilungen mit relativ einfachen Mitteln.

   Überprüfe die links- und rechtsseitigen Grenzwerte  der Potentiale an den kritischen Stellen und .


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3.15 Antwort zu H8



Die Potentialfunktion ist stetig, denn es ist


und



   Gilt die gleiche Aussage  auch für das Gravitationsfeld ? Überprüfe auch die Stetigkeit des Gravitationsfeldes an den kritischen Stellen.


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3.15 Antwort zu H9



Es ist




somit folgt




Auch das Gravitationsfeld ist stetig. Die Ergebnisse deuten jedoch an, dass eine entsprechende Aussage für die Ableitung des Feldes nicht gilt.


Abbildung 2: Das Gravitationspotential der Hohlkugel ( in Meter)



   Berechne die geforderten Koeffizienten  der Terme des Potentials für , , mit .


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3.15 Antwort zu H10



Die numerischen Werte (gerundet) für die Massen der Vollkugeln und der Hohlkugel, sowie der weiteren Konstanten, die in den Potentialen auftreten, sind für die angegebenen Zahlenwerte:

















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