Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.6
-
Welche
Erhaltungssätze
gelten für das vorliegende Problem?
Notiere diese Erhaltungssätze in Koordinaten, die dem Problem angepasst sind.
-
Welche
Aussagen
kann man (wie bei dem Keplerproblem) ohne explizite Lösung der
Bewegungsgleichungen über mögliche Bahnformen machen?
-
Welche
Gleichung
benutzt man zur Berechnung der Bahnform?
-
Welche
Aussagen
ergeben sich aus der Struktur des Integranden des zur
Auswertung anstehenden Integrals? (Fertige eine Skizze des Radikanden an.)
-
Werte das
Integral
für
Fall 1 aus, um einen Ausdruck für die
Bahngleichung zu gewinnen.
-
Durch geschickte Wahl des
Koordinatensystems
und der
Anfangsbedingungen lässt sich dieser Ausdruck entscheidend
vereinfachen.
-
Beschreibe die
Bahn,
auf der sich der Massenpunkt bewegt. Wie nahe kommt er dem
Koordinatenursprung?
-
Berechne die
Bahnkurve
für den zweiten Fall
(
Fall 2 )
-
Vereinfache den
Ausdruck
mit der Vorgabe, dass
sich der Massenpunkt zum Zeitpunkt
an der Stelle
befindet. Zeige, dass dieser Wert von
die maximal mögliche Entfernung
vom Koordinatenursprung darstellt. Diskutiere die Bahnform.
-
Berechne die
allgemeine Lösung
für den dritten Fall (
Fall 3
)
-
Wähle wie schon in den beiden anderen Fällen
geschickte Anfangsbedingungen
und gib die spezielle Lösung an.
-
Welche
Bahn
beschreibt der Massenpunkt?
-
Berechne die
Zeitentwicklung
der Bewegung des Massenpunktes (in dem Fall3).
-
Betrachte den
Fall 3
mit den
Anfangsbedingungen
und
so dass
ist.
-
Berechne die
Zeitentwicklung des Azimutalwinkels
. Benutze dazu den
Drehimpulserhaltungssatz.
-
Löse die
Gleichung
in der Form
auf.
-
Welchen
Zeitraum
benötigt der Massenpunkt, um eine Drehung von
durchzuführen?
-
Bestimme (zur Probe) die
Bahngleichung
durch Elimination der Zeit aus den
Gleichungen
und
im Fall 3.
-
Welche
Bedingungen
müssen erfüllt sein, damit der Massenpunkt
eine gerade Bahn beschreibt? Wie sehen die Details im Fall 3 aus, wenn der Massenpunkt
seine Bewegung bei
beginnt und sich auf einer
Geraden nach außen bewegt?
Werkzeuge
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
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4.6 Antwort zu H1
Es liegt ein Zentralkraftproblem vor, also gelten Energie- und
Drehimpulserhaltung.
Der Energiesatz lautet
oder dargestellt in ebenen Polarkoordinaten
wobei
der erhaltene Drehimpuls ist.
Welche
Aussagen
kann man (wie bei dem Keplerproblem) ohne explizite Lösung der
Bewegungsgleichungen über mögliche Bahnformen machen?
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4.6 Antwort zu H2
Man betrachtet die effektive potentielle Energie
und findet, dass sie für
positiv ist (siehe Abb. 1).
Abbildung 1:
Das effektive Potential für

|
Es sind in diesem Fall nur Bahnen mit
möglich.
Für diese Bahnen existiert, bei gegebener Energie
, ein
Minimalabstand
von dem Kraftzentrum, der nicht
unterschritten werden kann.
Ist
, so ist die potentielle Energie
negativ. Es sind positive und negative Energiewerte
möglich (siehe Abb. 2).
Abbildung 2:
Das effektive Potential für

|
Für negative Energien existiert ein Maximalabstand
.
Welche
Gleichung
benutzt man zur Berechnung der Bahnform?
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4.6 Antwort zu H3
Die gestellte Aufgabe kann mit Hilfe der Gleichung
(B4.12)
gelöst werden.
Welche
Aussagen
ergeben sich aus der Struktur des Integranden des zur
Auswertung anstehenden Integrals? (Fertige eine Skizze des Radikanden an.)
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4.6 Antwort zu H4
Der Ausgangspunkt
kann mit der üblichen Substitution
in die Form
gebracht werden.
Die oben erwähnten Fälle entsprechen den folgenden
Aussagen über die Bestandteile des Radikanden der Quadratwurzel
Abbildung 3:
Die Definitionsbereiche der Variablen
für die drei
Lösungstypen

|
Die Forderung nach einem positiv definiten Radikanden führt auf
die Aussagen:
Im Fall 1 sind alle Werte von
aus dem Intervall
zulässig.
Im Fall 2 ist das zulässige Intervall
(entsprechend
).
Im Fall 3 ist nur
(entsprechend
)
möglich.
Werte das
Integral
für
Fall 1 aus, um einen Ausdruck für die
Bahngleichung zu gewinnen.
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4.6 Antwort zu H5
Das anstehende Integral
kann einschlägigen Integraltafeln oder den Werkzeugen entnommen werden.
Die Grundform ist
Man erhält somit im Fall 1 mit
die allgemeine Lösung
Um die anfallende Differenz der beiden hyperbolischen Areasinusfunktionen zu handhaben,
benutzt man
und erhält durch Inversion der obigen Gleichung und Wiedereinführung der
Variablen
Durch geschickte Wahl des
Koordinatensystems
und der
Anfangsbedingungen lässt sich dieser Ausdruck entscheidend
vereinfachen.
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4.6 Antwort zu H6
Der Ausdruck wird einfacher, wenn man das Koordinatensystem so
wählt, dass
ist und der Massenpunkt aus großer
Entfernung von dem Kraftzentrum startet (
).
Es ist dann
Da die Abstandsfunktion positiv und der hyperbolische Sinus eine ungerade Funktion ist,
ist das positive Vorzeichen zu benutzen, falls
in den Grenzen
variiert (der Massenpunkt sich also gegen den
Uhrzeigersinn bewegt). Das negative Vorzeichen ist für
(also für eine Bewegung im Uhrzeigersinn) zuständig.
Beschreibe die
Bahn,
auf der sich der Massenpunkt bewegt. Wie nahe kommt er dem
Koordinatenursprung?
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4.6 Antwort zu H7
Die Funktion
beschreibt die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Spiralbahn. Die
Masse bewegt sich auf das Zentrum zu (die Funktion
wächst
mit
), das sie für
erreicht. Das
Vorzeichen bezieht sich auf den Drehsinn der Spirale (siehe Abb. 4).
Abbildung 4:
Die Bahnkurve
in dem Fall 1 mit
unterschiedlichem Drehsinn (positives Vorzeichen: blau, negatives: grün).
Parameter:
,
,
,

|
Abbildung 5:
Variation der Bahnkurve
mit
und
(Fall 1).
Parameter:
,
,
(a)
(b)
,

|
Berechne die
Bahnkurve
für den zweiten Fall
(
Fall 2)
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4.6 Antwort zu H8
In diesem Fall schreibt man zweckmäßigerweise
und benutzt das Integral
Das Ergebnis
kann man mit der Formel
zusammenfassen und invertieren. Man erhält (ersetze wieder
durch
)
Nur das positive Vorzeichen tritt auf, da der hyperbolische Kosinus
eine gerade Funktion ist, die nur positive Werte annimmt.
Vereinfache den
Ausdruck
mit der Vorgabe, dass
sich der Massenpunkt zum Zeitpunkt
an der Stelle
befindet. Zeige, dass dieser Wert von
die maximal mögliche Entfernung
vom Koordinatenursprung darstellt. Diskutiere die Bahnform.
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4.6 Antwort zu H9
Für die maximal mögliche Entfernung ist
, so dass sich aus
dem Energiesatz
die Aussage
ergibt.
Mit diesem Abstand und
gewinnt man die spezielle Lösung
Die
Winkelbereiche
bis
und
bis
beschreiben
wiederum Drehungen gegen bzw. im Uhrzeigersinn.
Es liegt auch hier eine Spiralbahn vor. Der Massenpunkt beginnt an der Stelle
, erreicht den Koordinatenursprung aber erst
nach unendlich vielen Drehungen
(siehe Abb. 6).
Abbildung 6:
Die Bahnkurve
in dem Fall 2 mit
unterschiedlichem Drehsinn
Parameter:
,
,
,

|
Abbildung 7:
Die Bahnkurve
, Fall 2: Variation
von
und
.
Parameter:
,
,
(a)
(b)
,

|
Berechne die
allgemeine Lösung
für den dritten Fall
(
Fall 3)
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4.6 Antwort zu H10
In dieser Situation setzt man
und benutzt das Integral
Zur weiteren Aufbereitung des Ergebnisses
benutzt man zunächst
und dann die Formel
die für
gültig ist.
Es folgt dann bei allgemeiner Anfangsposition
Wähle wie schon in den beiden anderen Fällen
geschickte Anfangsbedingungen
und gib die spezielle Lösung an.
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4.6 Antwort zu H11
Eine Vereinfachung ergibt sich in diesem Fall (
vorausgesetzt), wenn der Startpunkt zum Zeitpunkt
der
Minimalabstand
ist.
Man erhält dann
Der Kosinus ist eine gerade Funktion, kann aber positive und negative Werte
annehmen. Aus diesem Grund muss man die Situation genauer betrachten.
Der Umlaufsinn ist (immer noch) gegen den Uhrzeigersinn für wachsendes
, bzw. in dem Uhrzeigersinn, falls
(beginnend bei dem Wert
)
abnimmt.
Welche
Bahn
beschreibt der Massenpunkt?
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4.6 Antwort zu H12
Der Massenpunkt bewegt sich von der Stelle
bis zu der Stelle
, während er sich z. B. von dem Winkel
bis zu dem Winkel
dreht. Bei einer Drehung um einen größeren Winkel wird die rechte
Seite der Gleichung, im Widerspruch zu dem positiven Abstand, negativ.
Offensichtlich entsteht die Frage, wie es
mit dem Zeitablauf auf diesem Spiralenstück bestellt ist?
Berechne die
Zeitentwicklung
der Bewegung des Massenpunktes (in dem Fall 3).
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4.6 Antwort zu H13
Um den Zeitablauf zu diskutieren, beginnt man mit (B4.10)
Einfache Sortierung ergibt
Diese Aussage gilt für jeden der Fälle 1 - 3.
Betrachte den
Fall 3 mit den
Anfangsbedingungen
und
so dass
ist.
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4.6 Antwort zu H14
Das Ergebnis für
kann dann in der Form
notiert werden. Die Zeit ist eine positive Größe, so dass
die Auflösung nach
lautet.
Berechne die
Zeitentwicklung des Azimutalwinkels
. Benutze dazu den
Drehimpulserhaltungssatz.
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4.6 Antwort zu H15
Das Resultat für
kann in den Drehimpulssatz
eingesetzt werden,
so dass für den Azimutalwinkel das Integral
zu berechnen ist.
Einer Integraltafel oder den Werkzeugen entnimmt man das Grundintegral
In dem vorliegenden Fall ist die Funktion
also
Löse die
Gleichung
in der Form
auf.
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4.6 Antwort zu H16
Für die genannten Anfangsbedingungen ist im Fall 3
Welchen
Zeitraum
benötigt der Massenpunkt, um eine Drehung von
durchzuführen?
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4.6 Antwort zu H17
Man sieht explizit, dass für eine Drehung von
bis
eine unendliche Zeitspanne verstreicht.
Abbildung 8:
Fall 3
(Parameter:
,
,
)

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Abbildung 9:
Die Bahnkurve
Fall 3: Variation
von
und
.
Parameter:
,
(a)
,
(b)

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Bestimme (zur Probe) die
Bahngleichung
durch Elimination der Zeit aus den
Gleichungen
und
im Fall 3.
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4.6 Antwort zu H18
Setzt man den Ausdruck für
in den Ausdruck für
ein
so man erhält zunächst
Mit
findet man das vorherige
Ergebnis
Welche
Bedingungen
müssen erfüllt sein, damit der Massenpunkt
eine gerade Bahn beschreibt? Wie sehen die Details im Fall 3 aus, wenn der Massenpunkt
seine Bewegung bei
beginnt und sich auf einer
Geraden nach außen bewegt?
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2008
4.6 Antwort zu H19
Eine gerade Bahn wird durch
beschrieben. Dies beinhaltet
wiederum, dass
sein muss (keine Drehung).
Eine derartige Bahn ist für jeden der drei diskutierten Fälle möglich.
Der angesprochene Fall betrifft die repulsive Wechselwirkung (
).
Mit
findet man hier
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