Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.7
  1. Fertige eine Skizze   der Situation an.
  2. Klassifiziere das Problem  und gib die entsprechende Ausgangssgleichung an.
  3. Leite aus der allgemeinen Bewegungsgleichung  (zur Übung) die Grundformel (B4.12) des Keplerproblems her.
  4. Notiere die Grundformel  und kommentiere.
  5. Setze die Ausdrücke  für und ein, wähle Integrationsgrenzen, die dem Problem entsprechen, und werte das Integral aus.
  6. Welche Aussagen  kann man zu machen? Was ist der Zusammenhang zwischen dem Stoßparameter und ?
  7. Löse diese quadratische Gleichung  für .
  8. Benutze den Wert  und den Ausdruck für zur Berechnung von .
  9. Was ist der Zusammenhang  zwischen dem Streuwinkel und ?
  10. Benutze die Relation 


    zur Bestimmung von .
  11. Wie kann man die Anfangsgeschwindigkeit  mit der vorgegebenen Größe verknüpfen?
  12. Wie hängen der Stoßparameter  und der Streuwinkel zusammen?
  13. Berechne  und für .
  14. Vergleiche das Ergebnis  für mit der Aussage der Bahngleichung der Keplerhyperbel (B4.14) für Punkte, die weit von der Sonne entfernt sind und den Aussagen in Kap. 4.1.3.2.

Werkzeuge

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4.7 Antwort zu H1



Abbildung 1: Die Parameter der Kometenbahn



   Klassifiziere das Problem  und gib die entsprechende Ausgangssgleichung an.


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4.7 Antwort zu H2



Dieses Streuproblem ist ein effektives Einkörperproblem mit der reduzierten Masse


und der Gesamtmasse


Für eine dominante Sonnenmasse lautet die grundlegende Bewegungsgleichung



   Leite aus der allgemeinen Bewegungsgleichung  (zur Übung) die Grundformel (B4.12) des Keplerproblems her.


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4.7 Antwort zu H3



Diese Aufbereitung findet man in Kap. 4.1.2.1.



   Notiere die Grundformel  und kommentiere.


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4.7 Antwort zu H4



Ausgangspunkt der weiteren Diskussion ist die Grundformel (B4.11) bzw. (B4.12) des Keplerproblems




Die Anfangsenergie für unendlich ferne Punkte ist im Fall einer Hyperbelbahn positiv und durch


gegeben. Der Drehimpulsbetrag ist . Der inverse Abstand vom Brennpunkt ist mit bezeichnet. Der Drehsinn kann positiv oder negativ sein, was in dem Vorzeichen des Integrals zum Ausdruck kommt. Bei den vier möglichen Hyperbelbahnen (siehe Abb. 2) ist der Drehsinn für die Bahnen (1) und (3) positiv, für die Bahnen (2) und (4) negativ.



Abbildung 2: Vier Kometenbahnen: Öffnung der Hyperbel, Drehsinn (siehe Text)









   Setze die Ausdrücke  für und ein, wähle Integrationsgrenzen, die dem Problem entsprechen, und werte das Integral aus.


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4.7 Antwort zu H5



Als obere Grenze wählt man z.B. (dies entspricht einer beliebig großen Entfernung des Kometen auf dem auslaufenden Ast der Hyperbel) und als untere Grenze , den Minimalabstand von der Sonne. Das Integral ist dann (benutze eine Integraltafel oder das angegebene Werkzeug)

  


























































Der Winkel ist (neben der Art der Wechselwirkung) nur durch die Anfangsgeschwindigkeit () und den Stoßparameter () bestimmt.

   Welche Aussagen  kann man zu machen? Was ist der Zusammenhang zwischen dem Stoßparameter und ?


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4.7 Antwort zu H6



Die Abstandsvariable ist dadurch charakterisiert, dass bei diesem Abstand die Bahn die -Achse des zugrundeliegenden Koordinatensystems im rechten Winkel schneidet. Als mögliche Winkel für kommen somit oder in Frage. Diese Wahl entspricht (siehe Kap. 4.1.1.2) nach links bzw. nach rechts geöffneten Hyperbeln. Wähle z.B., entsprechend den Abbildungen, . Ein Zusammenhang zwischen Stoßparameter und Minimalabstand ergibt sich aus dem Energiesatz (B4.11), ausgewertet für den Scheitelpunkt der Bahn, der durch charakterisiert ist



   Löse diese quadratische Gleichung  für .


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4.7 Antwort zu H7



Löst man die entsprechende quadratische Gleichung für , so erhält man


Die Größe ist ein Abstand, also positiv. Das positive Vorzeichen entspricht dem korrekten Wert für .

   Benutze den Wert  und den Ausdruck für zur Berechnung von .


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4.7 Antwort zu H8



Man erhält für das Argument der inversen Sinusfunktion an der Stelle




Somit ist

  
























































Sortierung und Inversion der Gleichung ergibt je nach Vorzeichen



   Was ist der Zusammenhang  zwischen dem Streuwinkel und ?


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4.7 Antwort zu H9



Der Abb. 3 entnimmt man, dass


ist.

Abbildung 3: Geometrie der Streuwinkel





   Benutze die Relation 


zur Bestimmung von .


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4.7 Antwort zu H10



Benutzt man die trigonometrische Relation


(wobei, wegen , das positive Vorzeichen relevant ist), so erhält man die Aussage


Für den Streuwinkel erhält man wegen


die Relation



   Wie kann man die Anfangsgeschwindigkeit  mit der vorgegebenen Größe verknüpfen?


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4.7 Antwort zu H11



Die Anfangsgeschwindigkeit ist in der Aufgabenstellung mit der Geschwindigkeit der Erde um die Sonne verknüpft. Deren Abhängigkeit von dem Bahnradius erhält man aus dem Energiesatz oder einfacher aus der Bedingung, dass Gravitation und Zentripetalwirkung gleich groß sein müssen




zu



   Wie hängen der Stoßparameter  und der Streuwinkel zusammen?


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4.7 Antwort zu H12



Aus


und


folgt


Je kleiner die Anfangsgeschwindigkeit ist, desto größer muss der Stoßparameter sein, damit man einen bestimmten Streuwinkel erhält.

   Berechne  und für .


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4.7 Antwort zu H13



Für die beiden vorgegebenen Winkel und findet man





   Vergleiche das Ergebnis  für mit der Aussage der Bahngleichung der Keplerhyperbel (B4.14) für Punkte, die weit von der Sonne entfernt sind und den Aussagen in Kap. 4.1.3.2.


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4.7 Antwort zu H14



Aus der Bahngleichung der Keplerhyperbel


mit


gewinnt man für weit entfernte Punkte


also das gleiche Ergebnis (für die nach rechts offene Hyperbel) wie zuvor. Das Endresultat


entspricht (natürlich) den in Kap. 4.1.3.2 bereitgestellten Formeln.

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