5.4 Zwangskräfte entlang einer ebenen Führungsschiene

Bewegungsprobleme entlang einer vorgegebenen Kurven (hier ein Massenpunkt in der Ebene) kann man mit den Lagrangeschen Gleichungen erster Art behandeln. Ein erster Schritt ist die Bestimmung der Zwangskraft. Anstatt die (wie in vielen Fällen nur numerisch zugänglichen) Bewegungsgleichungen zu lösen, werden in dieser Aufgabe die Zwangskräfte für zwei Führungskurven analysiert und einige explizite Fragen bezüglich der Wirkung der Zwangskräfte gestellt.

Aufgabenstellung

Ein Massenpunkt bewegt sich reibungsfrei in der - Ebene entlang einer Führungsschiene unter dem Einfluss der einfachen Schwerkraft .
(1)
Berechne die Zwangskraft und zeige, dass sie in Richtung des Normalenvektors zeigt.
(2)
Für die Führungskurve (Abb. 1)


soll die Variation der Zwangskraft entlang der Kurve für den Fall, dass die Masse in der Höhe startet, berechnet werden. In welchem Punkt ist die auf die Führungsschiene ausgeübte Kraft maximal? Überlege zunächst ohne zu rechnen!


Abbildung 1: Hyperbolische Führungsschiene I


(3)
Auf der Führungskurve (Abb. 2)


beginnt der Massenpunkt an der Stelle mit einer infinitesimalen Anfangsgeschwindigkeit . An welcher Stelle, mit welcher Geschwindigkeit und in welcher Richtung verlässt der Massenpunkt die Führungsschiene? (Die infinitesimale Anfangsgeschwindigkeit dient lediglich dazu, den Massenpunkt aus der labilen Ausgangslage zu entfernen).



Abbildung 2: Hyperbolische Führungsschiene II
Werkzeuge:









Deine Antworten:

Zu (2)
Die Zwangskraft entlang der Führungskurve I ist

zu (3)
Die Zwangskraft entlang der Führungskurve II ist

Die Geschwindigkeitskomponente zum Zeitpunkt des Ablösens beträgt in der -Richtung

Die Masse entfernt sich unter einem Winkel

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008