4.12 Rotator: Das schnelle mathematische Pendel

Das mathematische Pendel ist ein beliebtes Objekt zur Illustration einer etwas komplizierteren periodischen Bewegung, die durch die Lösung einer nichtlinearen Bewegungsgleichung beschrieben wird. Die Diskussion beschränkt sich jedoch meist auf maximale Ausschläge mit einem Winkel, der kleiner als ist. Die mögliche Bewegung mit Überschlag des Pendels wird in dieser Aufgabe besprochen.

Aufgabenstellung

Diskutiere die Lösung des Bewegungsproblems für das mathematische Pendel (Kap. 4.2.1) für den Fall, dass das Pendel überschlägt. Beantworte insbesondere die Punkte:
(1)
Welche anfängliche Winkelgeschwindigkeit muss das Pendel haben, damit es überschlägt, wenn es aus der Gleichgewichtslage () beginnt?
(2)
Gib die Differentialgleichung des überschlagenden Pendels und deren Lösung an.
(3)
Gib die Standardform des elliptischen Integrals, das in der Lösung auftritt, an.
(4)
Skizziere den Integranden des elliptischen Integrals und kommentiere.
(5)
Inwieweit beschreibt das elliptische Integral die Drehbewegung des überschlagenden Pendels?
(6)
Welche Aussage kann man über die Periodizität der Bewegung machen?
Werkzeuge:

Definition des elliptischen Integrals




Deine Antworten:

zu (1)
Im Vergleich mit der Eigenfrequenz des Pendels ist die anfängliche Winkelgeschwindigkeit

zu (2)
Die Differentialgleichung des schnellen Pendels lautet

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008