6.1 Die kurze, asymmetrische Federkette

Die lineare Oszillatorkette ist das grundlegende Modell eines wechselwirkenden (über nächste Nachbarn), schwingungsfähigen Vielteilchensystems. Sind alle Massen gleich und alle Federn gleich stark, so ist eine allgemeine analytische Lösung, auch für Systeme mit einer großen Anzahl von Massen und Federn, möglich. Sind die Massen und/oder die Federn verschieden, so ist der Lösungsprozess etwas langwieriger. Hier ist das klassische Problem der Longitudinalschwingungen eines Systems mit zwei verschiedenen Massen und drei verschiedenen Federn im Detail zu diskutieren.

Aufgabenstellung



Abbildung 1: Die Problemstellung



Zwei Massen und sind durch eine Feder mit der Federkonstante verbunden und mit zwei weiteren Federn (Federkonstanten und ) in der Form einer linearen Kette angeordnet (Abb. 1). Zu berechnen sind die longitudinalen Eigenschwingungen des Systems.
(1)
Stelle (zur Überprüfung von (B6.29)) die Lagrangefunktion und die Lagrangegleichungen auf.
(2)
Berechne die Eigenfrequenzen (Überprüfung von (B6.30)).
(3)
Berechne die Normalschwingungen für


(4)
Bestimme die Anfangsbedingungen für die kartesischen Koordinaten, so dass jeweils nur eine der Normalschwingungen auftritt.
(5)
Berechne und diskutiere den Bewegungsablauf für die Anfangsbedingungen


(6)
Wie ändert sich das Ergebnis, wenn die mittlere Feder durch drei parallel angebrachte Federn (jede mit der Federkonstanten ) ersetzt wird (Abb. 2)?


Abbildung 2: Variation der Problemstellung





Deine Antworten:

zu (4): Die Entwicklungkoeffizienten der Schwingung nach den
Normalkoordinaten des Problems sind    ( ):






zu (6): Die Frequenz einer Eigenschwingung wird bei Ersetzung der mittleren Feder durch drei parallel angebrachte Federn um den Faktor

erniedrigt erhöht erniedrigt
erhöht erhöht erniedrigt

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008