Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.6
-
Gib die
Beziehung
zwischen kartesischen und Polarkoordinaten an.
-
Zeige
, dass die angegebenen Differentialgleichungen in Polarkoordinaten
separieren.
-
Wie kann man die
Differentialgleichung
für
lösen?
Bestimme die allgemeine Lösung sowie die Integrationskonstante für beide
Sätze von Anfangsbedingungen.
-
Wie gewinnt man die
Lösung
der
Differentialgleichung für
?
Löse diese Differentialgleichung für die Anfangsbedingung
und bestimme die Integrationskonstante.
-
Welchen
Bewegungsablauf
beschreiben die Funktionen
und
?
Betrachte die Variation der Bahnkurve mit den Parametern
und
.
-
Bestimme und diskutiere die
Lösung der Differentialgleichung
für
für den zweiten Satz von Anfangsbedingungen.
-
Berechne die
Komponenten der Geschwindigkeit und der Beschleunigung
in
Polar- und kartesischen Koordinaten für den ersten Satz von Anfangsbedingungen.
-
Welche
Aussage
kann man bezüglich der Beträge der Vektoren
und
machen?
-
Berechne die
Flächengeschwindigkeit
für die Anfangsbedingung
.
-
Wie ist die
Krümmung
der Bahn definiert? Berechne die Krümmung.
-
Berechne die gesuchten
Zahlenwerte
(mit
und
für die Anfangsbedingungen
).
Werkzeuge
|
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
2.6 Antwort zu H1
Die Definition der Polarkoordinaten ist
(Alle Variablen sind zeitabhängig, dies wird der Übersichtlichkeit wegen
jedoch nicht immer ausgeschrieben.)
Zeige
, dass die angegebenen Differentialgleichungen in Polarkoordinaten
separieren.
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2.6 Antwort zu H2
Man bildet die Zeitableitungen der Transformationsgleichungen auf Polarkoordinaten
und setzt sie in die vorgegebenen Differentialgleichungen ein.
Für die erste Differentialgleichung erhält man
Entsprechend gewinnt man für die zweite Differentialgleichung
Wie kann man die
Differentialgleichung
für
lösen?
Bestimme die allgemeine Lösung sowie die Integrationskonstante für beide
Sätze von Anfangsbedingungen.
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2.6 Antwort zu H3
Die Differentialgleichung für
kann per Variablentrennung integriert werden...
Die Integration ergibt
bzw.
Die Anfangsbedingung
erfordert als spezielle Lösung
Für den zweiten Satz von Anfangsbedingungen ist
und die spezielle Lösung lautet...
mit
Wie gewinnt man die
Lösung
der
Differentialgleichung für
?
Löse diese Differentialgleichung für die Anfangsbedingung
und bestimme die Integrationskonstante.
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2.6 Antwort zu H4
Die Lösung der ersten Differentialgleichung kann in die zweite
(
) eingesetzt
werden, so dass man...
erhält. Integration ergibt
mit
.
Da der Massenpunkt seine Bewegung am Ursprung (
) beginnt, kann man die
Integrationskonstante
nicht bestimmen.
Welchen
Bewegungsablauf
beschreiben die Funktionen
und
?
Betrachte die Variation der Bahnkurve mit den Parametern
und
.
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2.6 Antwort zu H5
Die Gleichungen
,
sind die Parameterdarstellung einer Spirale, für die nach einem Umlauf
(in der Zeit
) die Entfernung vom Ursprung um
zunimmt.
Bei Veränderung der Parameter
,
findet man die folgende
Variation der Bahnkurve:
Abbildung 1:
Die lineare Spirale für die Anfangsbedingung
 |
Bei Vergrößerung von
wird
größer,
wird kleiner.
Pro Umlauf ist der Zuwachs von
geringer.
Die Spirale wird bei Vergrößerung von
enger.
Bei Vergrößerung von
wird
kleiner,
größer und der Zuwachs von
pro Umlauf ist größer. Die Spirale wird weiter.
Bestimme und diskutiere die
Lösung der Differentialgleichung
für
für den zweiten Satz von Anfangsbedingungen.
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2.6 Antwort zu H6
Setzt man die allgemeine Lösung der ersten Differentialgleichung in die zweite
ein, so findet man
Per Variablentrennung erhält man die Lösung
mit dem Integral
Die Bahnkurve ist im Fall allgemeiner Anfangsbedingungen etwas komplizierter.
Die Radialbewegung wird für kleine Zeiten (im Vergleich zu
) durch eine Parabel,
und erst für große Zeiten durch eine lineare Funktion in
beschrieben.
Die Winkelbewegung wird anfänglich durch die Arctan-Funktion modifiziert
und geht, wegen
für große Zeiten in eine (im Vergleich zu dem einfachen Fall phasenverschobene)
uniforme Drehbewegung über. Die Integrationskonstante ist
Abbildung 2:
Die Spirale mit den Parametern
: Vergleich der Anfangsbedingungen
 |
Abbildung 3:
Die Funktionen
und
: Vergleich der Anfangsbedingungen
(a)
(grün),
(b)
, (blau)
|
Berechne die
Komponenten der Geschwindigkeit und der Beschleunigung
in
Polar- und kartesischen Koordinaten für den ersten Satz von Anfangsbedingungen.
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2.6 Antwort zu H7
Es sind die Ableitungen der folgenden Gleichungen zu bilden:
Für Polarkoordinaten:
sind die Geschwindigkeitskomponenten
die Beschleunigungskomponenten
Man beachte, dass
und
linear mit der Zeit wachsen, während
und
konstant sind.
Für kartesische Koordinaten
definiert man
und erhält für die Geschwindigkeit
und die Beschleunigung
Welche
Aussage
kann man bezüglich der Beträge der Vektoren
und
machen?
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2.6 Antwort zu H8
Der Betrag der Geschwindigkeit bzw. der Beschleunigung ist unabhängig
von der Wahl der Koordinaten
Berechne die
Flächengeschwindigkeit
für die Anfangsbedingung
.
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2.6 Antwort zu H9
Gemäß der Definition
erhält man
Die zweite vorgegebene Differentialgleichung
entspricht bis auf einen Faktor
dem Betrag der Flächengeschwindigkeit.
Wie ist die
Krümmung
der Bahn definiert? Berechne die Krümmung.
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2.6 Antwort zu H10
Zur Bestimmung der Krümmung
kann man die Definition
benutzen, wobei der Vektor
der Tangentenvektor
ist
Die Details der Rechnung (in Polarkoordinaten) sind
Mit
und
folgt
so dass man letztlich für die Krümmung...
erhält.
Die Krümmung
beginnt mit dem Wert
und geht
für große Zeiten
(bzw. große Werte von
) wie
gegen Null.
Berechne die gesuchten
Zahlenwerte
(mit
und
für die Anfangsbedingungen
).
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2.6 Antwort zu H11
Es ist
- die Kreisfrequenz:
- der Betrag der Flächengeschwindigkeit:
- der Betrag der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt
:
- der Betrag der Beschleunigung zum Zeitpunkt
:
- die Krümmung zum Zeitpunkt
:
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008