Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.4
  1. Wie lautet der Ansatz   für eine Zwangskraft entlang einer Kurve in der - Ebene?
  2. Stelle die Lagrangegleichungen  erster Art auf.
  3. Aus der Kenntnis des Tangentenvektors  kann man den Normalenvektor konstruieren. Bestimme zunächst den Tangentenvektor gemäß der allgemeinen Definition.
  4. Der Normalenvektor  steht senkrecht auf dem Tangentenvektor und ist auf normiert. Bestimme den Normalenvektor.
  5. Zeigt die Zwangskraft  in Richtung des Normalenvektors?
  6. Bestimme die Zwangskraft  durch Berechnung des Lagrangemultiplikators.
  7. Berechne die benötigten Ableitungen  der Funktion


    zur Bestimmung der Zwangskraft.
  8. Aus dem Energiesatz  und den gegebenen Anfangsbedingungen kann die Geschwindigkeit berechnet werden. Damit sind alle Größen zur Bestimmung der Zwangskraft bekannt.
  9. Welche Einschränkung  gilt für die Variable in diesem Beispiel?
  10. Welche Aussagen  kann man über die Variation der Führungskraft entlang der Bahnkurve machen?
  11. Berechne die benötigten Ableitungen für die zweite Führungskurve  
    ( ).
    Bestimme die Geschwindigkeit der Masse und die Zwangskraft.
  12. Welche Bedingung  muss erfüllt sein, damit sich die Masse von der Führungskurve ablöst?
  13. Berechne den Ablösepunkt  (!) und die Geschwindigkeit in diesem Punkt.



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5.4 Antwort zu H1



Die Zwangskraft ist


mit



   Stelle die Lagrangegleichungen  erster Art auf.


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5.4 Antwort zu H2



Die Standardvorschrift ergibt





   Aus der Kenntnis des Tangentenvektors  kann man den Normalenvektor konstruieren. Bestimme zunächst den Tangentenvektor gemäß der allgemeinen Definition.


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5.4 Antwort zu H3



Der Geschwindigkeitsvektor der Masse zeigt in Richtung des Tangentenvektors. Bestimme gemäß der Vorschrift den Geschwindigkeitsvektor und normiere ihn, um den Tangentenvektor zu erhalten.

   (Denkpause)























































Der Geschwindigkeitsvektor hat die Form


sein Betrag ist


Aus der Zwangsbedingung folgt


so dass man für den Betrag der Geschwindigkeit


schreiben kann. Der Tangentenvektor ist gemäß Definition





   Der Normalenvektor  steht senkrecht auf dem Tangentenvektor und ist auf normiert. Bestimme den Normalenvektor.


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5.4 Antwort zu H4



Der gesuchte Vektor muss die Bedingung


erfüllen. Man kann ihn also fast ablesen:




Die Normierung auf erfordert den Faktor



   Zeigt die Zwangskraft  in Richtung des Normalenvektors?


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5.4 Antwort zu H5



Der Vergleich des Normalenvektors mit der Zwangskraft zeigt, dass


ist. Die zwei Vektoren zeigen in die gleiche Richtung.

   Bestimme die Zwangskraft  durch Berechnung des Lagrangemultiplikators.


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5.4 Antwort zu H6



Zur Bestimmung des Lagrangemultiplikators benutzt man die Folgerung aus der Zwangsbedingung (noch einmal nach der Zeit differenziert)


und die Bewegungsgleichungen




Auflösung nach liefert


oder wenn man durch ersetzt


Somit lautet die Zwangskraft



   Berechne die benötigten Ableitungen  der Funktion


zur Bestimmung der Zwangskraft.


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5.4 Antwort zu H7



Für die vorgegebene Führungskurve


sind die erforderlichen Ableitungen





   Aus dem Energiesatz  und den gegebenen Anfangsbedingungen kann die Geschwindigkeit berechnet werden. Damit sind alle Größen zur Bestimmung der Zwangskraft bekannt.


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5.4 Antwort zu H8



Aus


folgt mit


für die Geschwindigkeit


so dass man für die Zwangskraft das Ergebnis


erhält.

   Welche Einschränkung  gilt für die Variable in diesem Beispiel?


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5.4 Antwort zu H9



Aus dem Energiesatz ergibt sich die Einschränkung



   Welche Aussagen  kann man über die Variation der Führungskraft entlang der Bahnkurve machen?


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5.4 Antwort zu H10



Die Variation der Zwangskraft entlang der Bahnkurve ist in Abb. 3 und Abb. 4 angedeutet.


Abbildung 3: Bahnkurve (blau) und Zwangskraft (grün) als Funktion von (Fall I)
Abbildung 4: Variation der Richtung der Zwangskraft (Fall I)


Diese Kraft und damit auch die auf die Führungsschiene (in entgegengesetzter Richtung: ) ausgeübte Kraft ist am größten an dem tiefsten Punkt der Bahn. Diese Aussage kann anhand der Ableitungen der Zwangskraft


überprüft werden.

   Berechne die benötigten Ableitungen für die zweite Führungskurve  
( ).
Bestimme die Geschwindigkeit der Masse und die Zwangskraft.


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5.4 Antwort zu H11



Die entsprechenden Zutaten zur Berechnung der Zwangskraft im Fall der invertierten Führungskurve sind




Der Energiesatz ergibt hier mit den gegebenen Anfangsbedingung und bei Vernachlässigung der infinitesimalen Anfangsenergie


Man erhält damit für die Zwangskraft



   Welche Bedingung  muss erfüllt sein, damit sich die Masse von der Führungskurve ablöst?


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5.4 Antwort zu H12



Ablösung findet statt, wenn


ist, also wenn die Zwangskraft verschwindet.

   Berechne den Ablösepunkt  (!) und die Geschwindigkeit in diesem Punkt.


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5.4 Antwort zu H13



Die Zwangskraft


wird Null für . Die Koordinaten des Ablösepunktes sind somit


Die Geschwindigkeit in diesem Punkt ist


Die Geschwindigkeit an der Ablösestelle setzt sich aus den kartesischen Komponenten




zusammen. Mit


erhält man




Die Richtung der Ablösung ist also durch


mit dem Winkel


gegeben.


Abbildung 5: Ablösung (Fall II)




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