Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.8
  1. Durch welche Differentialgleichungen   wird dieses Zweikörperproblem beschrieben?
  2. Durch welche Transformation  kann das Problem auf zwei ungekoppelte Differentialgleichungen reduziert werden? Wie sehen diese aus?
  3. Welche Erhaltungssätze  gelten und wie lauten sie im Schwerpunktsystem? Wähle ein geeignetes Bezugssystem.
  4. Übertrage das Integral  (B4.12), das die Bahnkurve beschreibt, auf die vorliegende Situation.
  5. Vor der Auswertung des Integrals soll die Streusituation  in anschaulicher Weise analysiert werden, um die spätere Rechnung vereinfachen zu können. Betrachte zu diesem Zweck die Kräfte, die der vorgegebenen potentiellen Energie entsprechen.
  6. Benenne die zwei Bahntypen,  die für die vorgegebene Streusituation möglich sind.
  7. Bei der Berechnung der Bahnkurve/(des Integrals) erweisen sich einige Umformungen  als nützlich. Ziehe als erstes den Faktor aus der Quadratwurzel der Bewegungsgleichung heraus und benutze die Ausdrücke, die durch die Anfangsbedingungen gegeben sind, um die Vorfaktoren des Integrals zu sortieren. Führe anschließend die Substitution durch.
  8. Wie bei dem Keplerproblem wird die reduzierte Masse  in einem Minimalabstand an dem Streuzentrum vorbeilaufen. Bestimme diesen Abstand.
  9. Was ergibt sich daraus für die Wurzel  des Integranden?
  10. Berechne das Integral  für den Bahntyp (a), d.h. für .
  11. Interpretiere  dieses Ergebnis.
  12. Was ist bei der Berechnung des Integrals  für die zweite Bahnform, bei der die fiktive Masse in die Potentialkugel eindringt, zu beachten?
  13. Berechne das Integral für den Bahntyp (b)  ( ) im Außenbereich.
  14. Berechne das Integral für den Bahntyp (b) ( ) im Innenbereich.  Betrachte zunächst nur eine obere Grenze mit .
  15. Zeige, dass dieser Teil der Bahn eine Gerade  ist, die senkrecht auf der Verbindungslinie des Zentrums der Potentialkugel mit einem Punkt, in dem diese Gerade eine Kugel mit dem Radius berührt, steht.
  16. Gib das Teilintegral  von dem Eintrittspunkt bis zu dem Minimalabstand an.
  17. Berechne den Beitrag des zweiten Teiles (zurück zum zweiten Teil)   der Bahnkurve im Innern  der Potentialkugel.
  18. Berechne das Integral für den Bahntyp (b) () im Außenbereich  nach der Wechselwirkung.
  19. Um welchen Winkel  hat sich demnach die Bahn der reduzierten Masse gedreht? Berechne den Streuwinkel .
  20. Skizziere den Verlauf  der Funktion für einige Sätze von Potentialparametern und kommentiere die Ergebnisse.

Werkzeuge

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4.8 Antwort zu H1



Das angesprochene Zweiteilchenproblem wird durch die Differentialgleichungen




charakterisiert.

   Durch welche Transformation  kann das Problem auf zwei ungekoppelte Differentialgleichungen reduziert werden? Wie sehen diese aus?


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4.8 Antwort zu H2



Mit der Transformation auf Schwerpunkt- und Relativkoordinaten




kann das Problem (wegen ) auf das triviale Schwerpunktproblem


und ein effektives Einteilchenproblem für die Relativbewegung


reduziert werden.

   Welche Erhaltungssätze  gelten und wie lauten sie im Schwerpunktsystem? Wähle ein geeignetes Bezugssystem.


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4.8 Antwort zu H3



Die Vorgabe eines Zentralpotentials für die Relativbewegung impliziert Energie- und Drehimpulserhaltung mit den Anfangswerten




wobei die anfängliche Relativgeschwindigkeit bei sehr großen Abständen darstellt. ist der Stoßparameter (siehe Abb. 1). Drehimpulserhaltung bedingt, dass sich die Masse in einer Ebene bewegt, die durch den Positionsvektor und den Geschwindigkeitsvektor aufgespannt wird. Diese Ebene, die `Streuebene`, verläuft durch das Zentrum der `Potentialkugel` und schneidet aus dieser eine Fläche aus, die durch einen Großkreis (Radius ) begrenzt ist.


Abbildung 1: Die Stoßgeometrie


Es ist nützlich ein Koordinatensystem zu wählen, dessen - Ebene der Streuebene entspricht. Der Ursprung ist das Zentrum des Streubereiches , Winkel werden von einer willkürlich gewählten Bezugslinie, z.B. der -Achse, aus gemessen (siehe Abb. 1).

   Übertrage das Integral  (B4.12), das die Bahnkurve beschreibt, auf die vorliegende Situation.


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4.8 Antwort zu H4



Zur Berechnung der Bahnkurve des (fiktiven) Massenpunktes, der die reduzierte Masse trägt, ist die Verallgemeinerung von (B4.12) zuständig



   Vor der Auswertung des Integrals soll die Streusituation  in anschaulicher Weise analysiert werden, um die spätere Rechnung vereinfachen zu können. Betrachte zu diesem Zweck die Kräfte, die der vorgegebenen potentiellen Energie entsprechen.


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4.8 Antwort zu H5



Für die vorgegebene potentielle Energie ist die Kraftwirkung nur auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius um den Bezugspunkt von Null verschieden, denn es gilt außerhalb und innerhalb der Kugel


Abbildung 2: Kraftwirkung auf der Kugeloberfläche mit



Nur auf der Oberfläche der Kugel tritt wegen


ein Kraftstoß auf, der auf den Bezugspunkt gerichtet ist (Abb. 2). Will man diesen Kraftstoß explizit darstellen, so benötigt man die -Funktion (eine Distribution).

   Benenne die zwei Bahntypen,  die für die vorgegebene Streusituation möglich sind.


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4.8 Antwort zu H6



Für die vorgegebene Streusituation sind zwei Bahntypen möglich:
(a)
Der Stoßparameter ist größer als der Kugelradius . Die reduzierte Masse erfährt keine Kraftwirkung, folglich erwartet man eine gerade Bahn (Abb. 3).

Abbildung 3: Bahn für


(b)
Ist , so tritt die reduzierte Masse in die Kugel ein. Die gerade Bahn im Außenbereich erfährt einen `Knick`. Im Innenbereich verschwindet die Kraftwirkung ebenfalls, so dass die reduzierte Masse sich auch hier auf einem (anderen) Geradenstück bewegt. Da der Kraftvektor an der Eintrittsstelle auf das Zentrum der Potentialkugel gerichtet ist, ist dieses Geradenstück auf das Zentrum zu gedreht. Beim Austritt aus der Kugel erfährt die reduzierte Masse einen zweiten Kraftstoß, der sie auf die auslaufende Gerade befördert. Die Auswirkung dieses Kraftstoßes ist eine zweite Drehung der Bahn mit dem gleichen Drehsinn wie die erste. Die kumulative Wirkung der beiden Kraftstöße bedingt den Streuwinkel (Abb. 4).


Abbildung 4: Bahn für



Offensichtlich stellt die beschriebene Bahn eine gewisse Idealisierung der Realität dar. Gerade aus diesem Grund ist die Streuung an einem homogenen kugelförmigen Potential einfacher zu berechnen und sowohl in der Elektrodynamik als auch der Quantenmechanik wieder zu finden.

   Bei der Berechnung der Bahnkurve/(des Integrals) erweisen sich einige Umformungen  als nützlich. Ziehe als erstes den Faktor aus der Quadratwurzel der Bewegungsgleichung heraus und benutze die Ausdrücke, die durch die Anfangsbedingungen gegeben sind, um die Vorfaktoren des Integrals zu sortieren. Führe anschließend die Substitution durch.


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4.8 Antwort zu H7



Aus den Anfangsbedingungen erhält man die Relationen


sowie


Benutzt man diese Relationen in dem Integral für die Bahngleichung, so nimmt es die Form


an. Mit der Substitution


erhält man



   Wie bei dem Keplerproblem wird die reduzierte Masse  in einem Minimalabstand an dem Streuzentrum vorbeilaufen. Bestimme diesen Abstand.


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4.8 Antwort zu H8



Der Minimalabstand markiert einen Umkehrpunkt der Radialbewegung, es gilt . Damit folgt aus den Erhaltungssätzen


und


mit der Definition


Läuft die Masse an der Potentialkugel vorbei, so ist und der Minimalabstand ist gleich dem Stoßparameter. Dringt die Masse in die Potentialkugel ein, so ist


und somit (wie zu erwarten)



   Was ergibt sich daraus für die Wurzel  des Integranden?


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4.8 Antwort zu H9



Für die Wurzel des Integranden gilt somit



   Berechne das Integral  für den Bahntyp (a), d.h. für .


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4.8 Antwort zu H10



Für ist . Somit ist das Integral


zu berechnen. Das Integral ist elementar (siehe Werkzeuge) und liefert


Für die in Abb. 5 angedeutete Situation dreht sich der



Abbildung 5: Variation des Winkels mit dem Abstand



Radiusvektor im Uhrzeigersinn. Die Winkeldifferenz ist somit negativ. Die inverse trigonometrische Funktion hat jedoch in dem relevanten Bereich positive Werte. Aus diesem Grund muss man das negative Vorzeichen wählen und erhält mit der Definition das Ergebnis


Der Winkel ist ein positiver Winkel, der von der Geraden durch den Koordinatenursprung aus, die parallel zu der Bahn verläuft, gemessen wird.

   Interpretiere  dieses Ergebnis.


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4.8 Antwort zu H11



Diese Gleichung beschreibt die (an sich) triviale Variation des Abstandes von dem gewählten Ursprung für die Bewegung auf einer Geraden. Der Minimalabstand ist gleich dem Stoßparameter



   Was ist bei der Berechnung des Integrals  für die zweite Bahnform, bei der die fiktive Masse in die Potentialkugel eindringt, zu beachten?


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4.8 Antwort zu H12



Bei der Auswertung des Integrals für den Bahntyp (b) ist eine Aufspaltung in konsekutive Beiträge durchzuführen




  setzen Dabei stellt den Oberflächenpunkt beim Einlaufen der reduzierten Masse in die Kugel und den Punkt beim Austritt dar. Da die beiden Größen den gleichen Zahlenwert haben, ist bei der Auswertung des mittleren Integrals offensichtlich Vorsicht geboten.

   Berechne das Integral für den Bahntyp (b)  ( ) im Außenbereich.


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4.8 Antwort zu H13



Für die Gerade bis zu einem Punkt mit dem Radius vom Streuzentrum gilt wie im Fall (a)


mit der Auflösung



   Berechne das Integral für den Bahntyp (b) ( ) im Innenbereich.  Betrachte zunächst nur eine obere Grenze mit .


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4.8 Antwort zu H14



Für Punkte innerhalb der Kugel ist das Integral


zu berechnen. Das Ergebnis


kann mit der Formel


umgeschrieben werden. Wieder ist die Winkeldifferenz negativ, der Ausdruck in der Klammer auf der rechten Seite wegen postiv, so dass wiederum das negative Vorzeichen zu wählen ist. Mit der positiven Winkeldifferenz


erhält man



   Zeige, dass dieser Teil der Bahn eine Gerade  ist, die senkrecht auf der Verbindungslinie des Zentrums der Potentialkugel mit einem Punkt, in dem diese Gerade eine Kugel mit dem Radius berührt, steht.


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4.8 Antwort zu H15



Eine kleine Nebenrechnung zeigt, dass dieser Teil der Bahn eine Gerade ist, die durch den angegebenen Berührungspunkt und den Schnittpunkt der Kugel und der einlaufenden Geraden verläuft. Es sind (Abb. 6) drei Abstände von dem Koordinatenursprung zu betrachten:

     
Minimalabstand
Abstand
Oberfläche .
Abbildung 6: Geometrie der Bahn im Innenbereich



Unter der Voraussetzung, dass dieser Teil der Bahnkurve senkrecht auf der Verbindungslinie Zentrum-Berührungspunkt steht, gelten die Beziehungen:








Von Interesse ist der Winkel . Für diesen gilt (mit dem Additionstheorem)


Setzt man hier ein, so findet man


Dieses Ergebnis zeigt, dass die Bahn der Masse im Innern der Potentialkugel in der Tat eine Gerade ist und die Kugel mit dem Radius in einem Punkt berührt.

   Gib das Teilintegral  von dem Eintrittspunkt bis zu dem Minimalabstand an.


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4.8 Antwort zu H16



Für das Teilintegral von bis zu dem Minimalabstand, charakterisiert durch , ergibt sich





   Berechne den Beitrag des zweiten Teiles (zurück zum zweiten Teil)   der Bahnkurve im Innern  der Potentialkugel.


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4.8 Antwort zu H17



Der Beitrag des Integrals von bis zu dem Punkt, der mit bezeichnet wurde, ist genauso groß wie der Beitrag des Integrals von bis . Dies ergibt sich auch durch direkte Rechnung. Die Sortierung der Vorzeichen und Winkel verläuft in diesem Fall folgendermaßen: Für das Integral findet man




Sowohl die Winkeldifferenz als auch der Ausdruck in der Klammer sind negativ, so dass in diesem Fall das positive Vorzeichen vor dem Integral zu wählen ist. Mit der Definition


und der Relation


(da ist), folgt



   Berechne das Integral für den Bahntyp (b) () im Außenbereich  nach der Wechselwirkung.


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4.8 Antwort zu H18



Für die auslaufende Gerade gilt


so dass bei der Wahl des positiven Vorzeichens der zusätzliche Winkel


mit durch


gegeben ist.

   Um welchen Winkel  hat sich demnach die Bahn der reduzierten Masse gedreht? Berechne den Streuwinkel .


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4.8 Antwort zu H19



Der gesamte Winkel, um den die einlaufende Bahn gedreht wird, ist (infolge der Symmetrie)




Der Streuwinkel ist (Abb. 7)




Abbildung 7: Der Streuwinkel



In der Rutherfordformel wird der Sinus des halben Streuwinkels benötigt, der mit


angegeben werden kann. Ersetzt man in den letzten beiden Gleichungen durch , so erhält man die gesuchte Relation zwischen dem Streuwinkel (oder dem Sinus des halben Streuwinkels) und dem Stoßparameter (und den Potentialparametern).

   Skizziere den Verlauf  der Funktion für einige Sätze von Potentialparametern und kommentiere die Ergebnisse.


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4.8 Antwort zu H20



In Abb. 8 ist der Verlauf der Funktion für die Parametersätze


(in beliebigen Einheiten) dargestellt. Die Werte für den Parameter , der ein Maß der Potentialtiefe im Vergleich zu der anfänglichen kinetischen Energie ist, entsprechen Potentialtiefen von bzw. mal der Einschussenergie.




Abbildung 8: Variation des Streuwinkels mit den Potentialparametern für grün, schwarz, blau



Für den Stoßparameter findet keine Ablenkung statt. Die Masse durchläuft die Potentialkugel in Fortsetzung der einlaufenden Geraden. Innerhalb der Kugel erhöht sich die Geschwindigkeit auf den Wert


Die Streuung ist am stärksten, wenn die Masse die Potentialkugel gerade noch streift (). Für größere -Werte findet keine Streuung statt. Der maximale Streuwinkel wird alleine durch den Parameter bestimmt. Für (bzw. ) folgt aus den angegebenen Gleichungen



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