Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.3
-
Mit welchem
Formalismus
sollte man dieses Problems bearbeiten?
-
Fertige eine
Skizze
der Situation an und wähle ein geeignetes
Koordinatensystem.
-
Gib die
Zwangsbedingungen
(ignorablen Koordinaten) an.
-
Welche
Möglichkeiten
bestehen für die Wahl der einzigen nichtignorablen
generalisierten Koordinate? Welche ist die günstigste?
-
Bestimme die
Transformation
zwischen den kartesischen Koordinaten und der
generalisierten Koordinate
-
Gib die
Lagrangefunktion
an.
-
Stelle die
Bewegungsgleichung
auf und und löse sie.
-
Bestimme die
Zeitabhängigkeit
aller kartesischen Koordinaten für die
angegebenen Anfangsbedingungen.
-
Berechne die
Zeit,
die die zweite Masse benötigt, um an die Position der
Pseudorolle zu gelangen (
).
-
Betrachte die
Variation
der effektiven Erdbeschleunigung
für die angegebenen Massen und Winkel
(
)
-
Berechne
und
für die (in der Aufgabenstellung)
vorgegebenen Werte. Welche Folgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen?
-
Wie läuft die
Bewegung
der beiden Massen bei den vorgegebenen Werten ab?
-
Wie hängt die
Geschwindigkeit
der Massen mit der Drehgeschwindigkeit
der realen Rolle zusammen?
-
Gib die
Lagrangefunktion
für das System Massen und Rolle an.
Abbildung 3:
Die Fallmaschine

|
Zurück zur Aufgabenstellung
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H1
Dieses Problem mit Zwangsbedingungen kann mit Lagrange II bearbeitet werden.
Fertige eine
Skizze
der Situation an und wähle ein geeignetes
Koordinatensystem.
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H2
Es bietet sich an, den Koordinatenursprung eines kartesischen Bezugssystems
mit der Horizontalen
und der Vertikalen
an die Stelle
der (punktförmigen) Pseudorolle zu legen (Abb. 4).
Abbildung 4:
Wahl des Koordinatensystems
 |
Gib die
Zwangsbedingungen
(ignorablen Koordinaten) an.
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H3
Beschränkt man die Betrachtung auf die
-
Ebene,
so liegt ein Problem mit 4 Freiheitsgraden vor, das durch 3
Zwangsbedingungen eingeschränkt ist.
Die Zwangsbedingungen sind ...
- 1.
-
bewegt sich auf einer Geraden durch den Ursprung mit dem
Steigungswinkel
- 2.
-
bewegt sich auf einer Geraden durch den Ursprung mit dem
Steigungswinkel
- 3.
- Die Massen sind durch ein Seil von konstanter Länge verbunden
Welche
Möglichkeiten
bestehen für die Wahl der einzigen nichtignorablen
generalisierten Koordinate? Welche ist die günstigste?
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H4
Als generalisierte Koordinaten bieten sich an:
- (a)
- Eine der Koordinaten der Masse
oder der Masse
.
- (b)
- Den Abstand der Masse
oder der Masse
von dem Ursprung
(der Position der Pseudorolle).
Die Option (b) ist günstiger, da man damit die Zwangsbedingungen
besser in den Griff bekommt. Also wähle z.B.
(Versuche es auch mit der Option (a)).
Bestimme die
Transformation
zwischen den kartesischen Koordinaten und der
generalisierten Koordinate
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H5
Zur Aufstellung der Lagrangegleichungen benötigt man die Relationen der
vier kartesischen Koordinaten mit der generalisierten Koordinate.
Ein Blick auf Abb. 5 zeigt, dass
ist.
Da die
-Koordinate von
in dem gewählten Koordinatensystem
negativ ist, muss man
benutzen, um die positive Größe
darzustellen.
Abbildung 5:
Generalisierte Koordinaten

|
Entsprechend gilt
Die restlichen Gleichungen der gesuchten Umkehrtransformation erhält man
über die ersten zwei Zwangsbedingungen und der korrekten Wahl des
Vorzeichens einer der Koordinaten für jede der Massen
Gib die
Lagrangefunktion
an.
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H6
Man benötigt die kinetische Energie
die potentielle Energie
und bildet
.
Stelle die
Bewegungsgleichung
auf und und löse sie.
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H7
Die Bewegungsgleichung
lautet
Sie kann in der Form
sortiert werden.
Die allgemeine Lösung (mit allgemeinen Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt
) ist ...
Bestimme die
Zeitabhängigkeit
aller kartesischen Koordinaten für die
angegebenen Anfangsbedingungen.
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H8
Die Anfangsbedingungen
ergeben
Damit gilt für die Zeitabhängigkeit der generalisierten Koordinate
und somit für die Zeitabhängigkeit der vier kartesischen Koordinaten
Berechne die
Zeit,
die die zweite Masse benötigt, um an die Position der
Pseudorolle zu gelangen (
).
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H9
Die zweite Masse ist zunächst um die Strecke
von dem
Koordinatenursprung entfernt. Aus der quadratischen Gleichung
erhält man (nur die positive Wurzel ist möglich)
für die Zeit, die verstrichen ist, bis
an den Ursprung gelangt ist.
Betrachte die
Variation
der effektiven Erdbeschleunigung
für die angegebenen Massen und Winkel
(
)
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H10
Die effektive Erdbeschleunigung ist für das angegebene Massenverhältnis
und hat bei der Vorgabe der Winkel die Werte
Der Abstand der Masse
von dem Ausgangspunkt (Koordinate
) wächst monoton, wenn
und
positiv sind. Ist hingegen
negativ, so wird die Masse
nach oben beschleunigt. Dies kann z.B.
bedeuten, dass auf eine anfängliche
Fallbewegung eine Aufwärtsbewegung folgt.
Berechne
und
für die (in der Aufgabenstellung)
vorgegebenen Werte. Welche Folgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen?
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H11
Mit
erhält man für
Das Ergebnis für
ist somit eine komplexe Zahl.
Das bedeutet, dass die zweite Masse die Position der Pseudorolle nicht erreichen kann.
Wie läuft die
Bewegung
der beiden Massen bei den vorgegebenen Werten ab?
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H12
Betrachtung der Bewegung der ersten Masse zeigt,
dass die Bewegungsrichtung sich unter Umständen umkehren kann. In dem
Umkehrpunkt ist
und
Für negative Werte der effektiven Erdbeschleunigung ist
eine positive
Größe. Die erste Masse wird abgebremst und kehrt in Richtung der Pseudorolle
zurück.
Für die angegebenen Werte kehrt die Masse
nach ca.
ihre Bewegungsrichtung um. Sie hat sich in dieser
Zeit von der Stelle
bis zu der Stelle
bewegt. Die Masse
bewegt sich in dem gleichen Zeitraum von
der Stelle
bis zu der Stelle
erreicht also in der Tat nie den Koordinatenursprung.
Wie hängt die
Geschwindigkeit
der Massen mit der Drehgeschwindigkeit
der realen Rolle zusammen?
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H13
Für die Bewegung der Rolle gilt die (übliche) Relation
,
wobei
die Geschwindigkeit des Seils (idealer Kontakt vorausgesetzt) und
somit die der Massen ist.
Gib die
Lagrangefunktion
für das System Massen und Rolle an.
Zurück zu den Hinweisen
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.3 Antwort zu H14
Es ist nur die kinetische Energie des Systems betroffen. Diese ist
mit
und
Dies bedingt, dass die effektive Erdbeschleunigung reduziert wird
Zurück zu den Hinweisen
Zurück zur Aufgabenstellung
Zurück zum Inhaltsverzeichnis
<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
.