5.13 Umgang mit Poissonklammern

Poissonklammern treten in der Mechanik bei der Diskussion der Bewegungsgleichung für eine physikalische Größe, die durch die generalisierten Koordinaten und Impulse dargestellt wird, auf. In dieser Gleichung wird die Differenz der totalen und der partiellen Ableitung dieser Größe durch die Poissonklammer dieser Größe mit der Hamiltonfunktion verknüpft. Die Klammern stellen somit ein nützliches Hilfsmittel bei der Charakterisierung physikalischer Größen dar. Sie haben eine besondere Bedeutung bei dem formalen Übergang zwischen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik gewonnen. Die weitbekannte Unschärferelation geht letztlich auf die Poissonklammer zwischen Koordinaten und Impulskomponenten zurück. Auch die Eigenschaften des Drehimpulses in Quantensystemen, die sich von den Eigenschaften des Drehimpulses in klassischen Systemen unterscheiden, wird durch die Poissonklammern zwischen den Drehimpulskomponenten quasi vorbereitet. In dieser Aufgabe wird der Umgang mit diesen Klammern anhand der Auswertung der Poissonklammern der Drehimpulskomponenten mit anderen Größen geübt.

Aufgabenstellung

(1)
Berechne die Poissonklammern der Komponenten des Drehimpulsvektors mit einem von und abhängigen Vektor .
(2)
Betrachte insbesondere die Poissonklammern
(a)      
(b)
(c)



Werkzeuge:

Verwende bei der Diskussion das Levi-Civita-Symbol mit den Eigenschaften


          wenn zwei Koeffizienten gleich sind
          wenn eine zyklische (gerade) Permutation von ist
          für jede andere Permutation.




Deine Antworten:


Die Poissonklammer ergibt

Die Poissonklammer ergibt

Die Poissonklammer ergibt

Die Poissonklammer ergibt

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008