Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.1
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Notiere das erforderliche
Keplergesetz
in der Einkörper- und der
Zweikörpernäherung.
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Sortiere die
Vorgaben
in einer für die Auswertung geeigneten Weise.
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Berechne die noch
benötigte Größe
aus den Vorgaben und
bestimme die Erdmasse mit den zwei angegebenen Mondperioden in beiden Näherungen.
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Vergleiche die
berechneten Werte
mit dem exakten.
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Welche der
Gleichungen
kann man aufgrund der Angaben für die Berechnung der
Saturnmasse benutzen?
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Führe die
Rechnung
für beide Monde durch.
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Vergleiche die
beiden Ergebnisse
miteinander.
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Welchen
Schluss
kann man daraus ziehen?
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
4.1 Antwort zu H1
Benötigt wird lediglich das dritte Keplergesetz, das in der
Zweikörpernäherung (B4.26) in der Form
aufgelöst werden kann.
Wird die Satellitenmasse vernachlässigt , so erhält man die
Einkörpernäherung für die Masse des Zentralkörpers
Sortiere die
Vorgaben
in einer für die Auswertung geeigneten Weise.
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4.1 Antwort zu H2
Da die relevanten Entfernungen in Kilometern angegeben werden,
ist es nützlich, die Gravitationskonstante in der Form
zu notieren. Ebenso sind die Zeiten in Sekunden umzurechnen.
Berechne die noch
benötigte Größe
aus den Vorgaben und
bestimme die Erdmasse mit den zwei angegebenen Mondperioden in beiden Näherungen.
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4.1 Antwort zu H3
Es ist zuerst die große Halbachse
der Mondbahn zu bestimmen. Aus der
Definition der Exzentrizität folgt
Damit erhält man in der Einkörpernäherung und der genäherten Umlaufzeit
Die Einkörpernäherung und die genaue Umlaufzeit liefern
In der Zweikörpernäherung mit der genäherten Umlaufzeit
und dem Faktor
erhält man
in der Zweikörpernäherung mit der genauen Umlaufzeit
Vergleiche die
berechneten Werte
mit dem exakten.
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4.1 Antwort zu H4
Die relativen Abweichungen gegenüber dem Standardwert sind
Der letzte Wert ist der genaueste. Der Unterschied zwischen der
Einkörper- und der Zweikörpernäherung beträgt ca.
Der Unterschied aufgrund der genäherten Umlaufzeit ist deutlich
geringer (
). Die Werte aus der Zweikörpernäherung
sind etwas genauer, wenn auch nicht perfekt, da weitere Störungen
(z.B. durch die Sonne) zu berücksichtigen sind.
Welche der
Gleichungen
kann man aufgrund der Angaben für die Berechnung der
Saturnmasse benutzen?
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4.1 Antwort zu H5
Die Angaben reichen nur zur Nutzung der Einkörpernäherung aus, da das
Massenverhältnis von Saturn zu dem entsprechenden Mond nicht zur
Verfügung steht.
Führe die
Rechnung
für beide Monde durch.
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4.1 Antwort zu H6
Aus den Daten des ersten Mondes (Hyperion) ergibt sich
Die Daten des zweiten (Mimas) liefern
Vergleiche die
beiden Ergebnisse
miteinander.
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4.1 Antwort zu H7
Das Verhältnis
ist in den beiden Fällen
Die Abweichungen von dem angegebenen Wert sind
Welchen
Schluss
kann man daraus ziehen?
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4.1 Antwort zu H8
Der Wert für Hyperion ist (zufälligerweise) exakt. Da der zweite
Wert davon abweicht, kann man vermuten, dass die
Einkörpernäherung für den Mond Hyperion angemessener ist, also dass
dieser eine geringere Masse hat als der Mond Mimas.
Die in der Literatur angegebenen Werte sind:
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