Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.7
-
Fertige eine
Skizze
der Situation an.
-
Klassifiziere das
Problem
und gib die entsprechende Ausgangssgleichung an.
-
Leite aus der
allgemeinen Bewegungsgleichung
(zur Übung) die Grundformel
(B4.12) des Keplerproblems her.
-
Notiere die
Grundformel
und kommentiere.
-
Setze die
Ausdrücke
für
und
ein, wähle Integrationsgrenzen,
die dem Problem entsprechen, und werte das Integral aus.
-
Welche
Aussagen
kann man zu
machen?
Was ist der Zusammenhang zwischen dem Stoßparameter und
?
-
Löse diese
quadratische Gleichung
für
.
-
Benutze den
Wert
und den Ausdruck für
zur Berechnung von
.
-
Was ist der
Zusammenhang
zwischen dem Streuwinkel
und
?
-
Benutze die
Relation
zur Bestimmung von
.
-
Wie kann man die
Anfangsgeschwindigkeit
mit der vorgegebenen Größe
verknüpfen?
-
Wie hängen der
Stoßparameter
und der Streuwinkel
zusammen?
-
Berechne
und
für
.
-
Vergleiche das
Ergebnis
für
mit der Aussage der
Bahngleichung der Keplerhyperbel (B4.14) für Punkte, die weit
von der Sonne entfernt sind und den Aussagen in Kap. 4.1.3.2.
Werkzeuge
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4.7 Antwort zu H1
Abbildung 1:
Die Parameter der Kometenbahn

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Klassifiziere das
Problem
und gib die entsprechende Ausgangssgleichung an.
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4.7 Antwort zu H2
Dieses Streuproblem ist ein effektives Einkörperproblem mit der
reduzierten Masse
und der Gesamtmasse
Für eine dominante Sonnenmasse lautet
die grundlegende Bewegungsgleichung
Leite aus der
allgemeinen Bewegungsgleichung
(zur Übung) die Grundformel
(B4.12) des Keplerproblems her.
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4.7 Antwort zu H3
Diese Aufbereitung findet man in Kap. 4.1.2.1.
Notiere die
Grundformel
und kommentiere.
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4.7 Antwort zu H4
Ausgangspunkt der weiteren Diskussion ist die Grundformel
(B4.11) bzw. (B4.12) des Keplerproblems
Die Anfangsenergie
für unendlich ferne Punkte ist im Fall einer
Hyperbelbahn positiv und durch
gegeben. Der Drehimpulsbetrag ist
.
Der inverse Abstand vom Brennpunkt ist mit
bezeichnet.
Der Drehsinn kann positiv oder negativ sein, was in dem Vorzeichen
des Integrals zum Ausdruck kommt. Bei den vier möglichen Hyperbelbahnen
(siehe Abb. 2) ist der Drehsinn für die Bahnen (1) und (3)
positiv, für die Bahnen (2) und (4) negativ.
Abbildung 2:
Vier Kometenbahnen: Öffnung der Hyperbel, Drehsinn (siehe Text)
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Setze die
Ausdrücke
für
und
ein, wähle Integrationsgrenzen,
die dem Problem entsprechen, und werte das Integral aus.
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4.7 Antwort zu H5
Als obere Grenze wählt man z.B.
(dies
entspricht einer beliebig großen Entfernung des Kometen auf dem
auslaufenden Ast der Hyperbel) und als untere Grenze
, den Minimalabstand von der Sonne.
Das Integral ist dann (benutze eine Integraltafel
oder das angegebene Werkzeug)
Der Winkel
ist (neben der Art der Wechselwirkung) nur durch
die Anfangsgeschwindigkeit (
) und den Stoßparameter (
)
bestimmt.
Welche
Aussagen
kann man zu
machen?
Was ist der Zusammenhang zwischen dem Stoßparameter und
?
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4.7 Antwort zu H6
Die Abstandsvariable
ist dadurch charakterisiert, dass
bei diesem Abstand die
Bahn die
-Achse des zugrundeliegenden Koordinatensystems im rechten
Winkel schneidet. Als mögliche Winkel für
kommen somit
oder
in Frage. Diese Wahl entspricht (siehe Kap. 4.1.1.2) nach links bzw. nach rechts
geöffneten Hyperbeln. Wähle z.B., entsprechend den Abbildungen,
.
Ein Zusammenhang zwischen Stoßparameter und Minimalabstand ergibt sich
aus dem Energiesatz (B4.11), ausgewertet für den Scheitelpunkt der Bahn, der
durch
charakterisiert ist
Löse diese
quadratische Gleichung
für
.
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4.7 Antwort zu H7
Löst man die entsprechende quadratische Gleichung für
, so erhält man
Die Größe
ist ein Abstand, also positiv. Das positive
Vorzeichen entspricht dem korrekten Wert für
.
Benutze den
Wert
und den Ausdruck für
zur Berechnung von
.
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4.7 Antwort zu H8
Man erhält für das Argument der inversen Sinusfunktion an der Stelle
Somit ist
Sortierung und Inversion der Gleichung ergibt je nach Vorzeichen
Was ist der
Zusammenhang
zwischen dem Streuwinkel
und
?
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4.7 Antwort zu H9
Der Abb. 3 entnimmt man, dass
ist.
Abbildung 3:
Geometrie der Streuwinkel

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Benutze die
Relation
zur Bestimmung von
.
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4.7 Antwort zu H10
Benutzt man die trigonometrische Relation
(wobei, wegen
, das positive Vorzeichen relevant
ist), so erhält man die Aussage
Für den Streuwinkel
erhält man wegen
die Relation
Wie kann man die
Anfangsgeschwindigkeit
mit der vorgegebenen Größe
verknüpfen?
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4.7 Antwort zu H11
Die Anfangsgeschwindigkeit
ist in der Aufgabenstellung mit der
Geschwindigkeit der Erde um die Sonne verknüpft. Deren Abhängigkeit von
dem Bahnradius erhält man aus dem Energiesatz oder
einfacher aus der Bedingung, dass Gravitation und Zentripetalwirkung gleich
groß sein müssen
zu
Wie hängen der
Stoßparameter
und der Streuwinkel
zusammen?
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4.7 Antwort zu H12
Aus
und
folgt
Je kleiner die Anfangsgeschwindigkeit ist, desto größer muss der
Stoßparameter sein, damit man einen bestimmten Streuwinkel erhält.
Berechne
und
für
.
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4.7 Antwort zu H13
Für die beiden vorgegebenen Winkel
und
findet man
Vergleiche das
Ergebnis
für
mit der Aussage der
Bahngleichung der Keplerhyperbel (B4.14) für Punkte, die weit
von der Sonne entfernt sind und den Aussagen in Kap. 4.1.3.2.
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4.7 Antwort zu H14
Aus der Bahngleichung der Keplerhyperbel
mit
gewinnt man für weit entfernte Punkte
also das gleiche Ergebnis (für die nach rechts offene Hyperbel) wie zuvor.
Das Endresultat
entspricht (natürlich) den in Kap. 4.1.3.2 bereitgestellten Formeln.
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