Berechne die
Extremalstellen
des effektiven Potentials und stelle fest, ob
es sich um Minima oder Maxima handelt. Diskutiere die jeweilige
Situation im Detail.
Stabilität beinhaltet, dass das Pendel bei kleinen Auslenkungen aus der
Gleichgewichtssituation in diese zurückkehren würde. Für kleine Auslenkungen aus
der Gleichgewichtssituation gilt
Entwickle
die Bewegungsgleichung in erster Ordnung in der kleinen Größe .
Das Pendel in dieser Aufgabe hat wie das Kugelpendel zwei Freiheitsgrade.
Das Problem wird sinnvollerweise auch in Kugelkoordinaten gelöst.
Ein Unterschied besteht darin, dass die Bewegung in der -
Richtung durch
Eine Gleichgewichtssituation ist durch
charakterisiert.
Gleichgewichtspunkte (in dem Winkel ) entsprechen
Minimalpunkten des effektiven Potentials
Berechne die
Extremalstellen
des effektiven Potentials und stelle fest, ob
es sich um Minima oder Maxima handelt. Diskutiere die jeweilige
Situation im Detail.
sein. Um festzustellen ob (bzw. wann) ein Minimum vorliegt, muss die
zweite Ableitung betrachtet werden. Diese ist
Für die Extremalstellen findet man
(a)
Im Fall ist
Die Gleichgewichtssituation mit ist stabil, solange die
Winkelgeschwindigkeit kleiner als ist.
Ist die Winkelgeschwindigkeit größer als die kritische
Winkelgeschwindigkeit
, so liegt kein
Minimum an dieser Stelle vor und die Bedingung
ist
nicht erfüllbar. Das Pendel würde sich aus der Gleichgewichtssituation entfernen.
(b)
Für den Winkel
findet man
Der Punkt
ist (wie bei dem nichtrotierenden Pendel)
instabil, unabhängig von der Größe der Winkelgeschwindigkeit.
(c)
Für
mit
findet man
Dieser Gleichgewichtspunkt ist also für Drehgeschwindigkeiten oberhalb der
kritischen Drehgeschwindigkeit
stabil. Die beiden stabilen
Gleichgewichtswinkel ergänzen sich in dem Sinne, dass
für
für
ein stabiler Gleichgewichtspunkt ist.
Stabilität beinhaltet, dass das Pendel bei kleinen Auslenkungen aus der
Gleichgewichtssituation in diese zurückkehren würde. Für kleine Auslenkungen aus
der Gleichgewichtssituation gilt
Entwickle
die Bewegungsgleichung in erster Ordnung in der kleinen Größe .