Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.1
  1. Wähle die generalisierten Koordinaten   wie in Abb. 2 dargestellt und gib einen allgemeinen Ansatz für eine holonome Zwangsbedingung an.
  2. Welche Aussagen  kann man über die Rollbewegung und die Geschwindigkeit des Rades machen? Gewinne daraus Relationen zwischen den Differentialen , und .
  3. Ersetze die Differentiale  und in dem Ausdruck für . Welchen Schluss kann man aus dem Ergebnis ziehen?
  4. Differenziere  den Ausdruck für einmal, bzw. zweimal nach der Koordinate und zeige, dass


    ist.
  5. Welche Schlüsse  kann man aus diesem Ergebnis ziehen?
  6. Wie lauten die nichtholonomen Zwangsbedingungen? 

Abbildung 2: Freiheitsgrade des aufrechten Rades



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5.1 Antwort zu H1



Wählt man, wie in Abb. 2 angedeutet, als Ebene, in der das Rad rollt, die - Ebene, so sind die relevanten Größen

Koordinaten         :    , )
Winkel         :    , .


Ignoriert man die -Komponente für die Position des Mittelpunktes, die bei einem streng aufrechten Rad nicht interessiert, so lautet der Ansatz für eine holonome Zwangsbedingung


oder in differentieller Form (bilde das totale Differential)



   Welche Aussagen  kann man über die Rollbewegung und die Geschwindigkeit des Rades machen? Gewinne daraus Relationen zwischen den Differentialen , und .


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5.1 Antwort zu H2



Bei der Rollbewegung gilt für die Winkelgeschwindigkeit eines Punktes auf dem Rand des Rades die Relation


wobei die Geschwindigkeit des Radmittelpunktes ist. Der Geschwindigkeitsvektor selbst ( ) kann in Komponenten zerlegt werden




Hieraus gewinnt man die gesuchten Relationen zwischen den Differentialen





   Ersetze die Differentiale  und in dem Ausdruck für . Welchen Schluss kann man aus dem Ergebnis ziehen?


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5.1 Antwort zu H3



Die Differentiale und können durch ersetzt werden




Die Differentiale und sind unabhängig voneinander. Das totale Differential kann also nur verschwinden, falls sowohl


sind. Die zweite Aussage bedeutet: hängt nicht von ab.

   Differenziere  den Ausdruck für einmal, bzw. zweimal nach der Koordinate und zeige, dass


ist.


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5.1 Antwort zu H4



Zweimalige Differentiation von




nach ergibt




und




Diese beiden Gleichungen können als ein homogenes lineares Gleichungssystem für die beiden Ableitungen aufgefasst werden.

   Weise nach, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat und berechne diese Lösung.
























































Die Koeffizientendeterminante des Gleichungssystems hat den Wert . Nach der Cramerschen Regel hat das Gleichungssystem nur die (eindeutige) triviale Lösung



   Welche Schlüsse  kann man aus diesem Ergebnis ziehen?


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5.1 Antwort zu H5



Die Funktion kann somit auch nicht von den Koordinaten und abhängen. Es verbleibt die Aussage


was im Endeffekt bedeutet, dass die Funktion von keiner der Variablen abhängt. Ein Ansatz der Form


für eine holonome Zwangsbedingung ist nicht möglich.

   Wie lauten die nichtholonomen Zwangsbedingungen? 


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5.1 Antwort zu H6



Die nichtholonomen Zwangsbedingungen sind (siehe oben) die Gleichungen




bzw. in differentieller Form




Sie haben eine nichtholonome Form



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