Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.12
  1. Durch eine geschickte Wahl   des körperfesten Koordinatensystems kann man sich einige Arbeit ersparen. Welches Koordinatensystem sollte man wählen?
  2. Gib die Komponentenzerlegung  des Vektors der Winkelgeschwindigkeit in diesem Koordinatensystem an. Welche Linie entspricht der momentanen Drehachse?
  3. Drücke die Größen und durch die Kegelparameter und aus.
  4. Notiere die kinetische Energie  für die Rotation des Kegels in den oben bestimmten Größen.
  5. Wie bringt man den Winkel  , den Winkel zwischen der -Achse (die Auflagelinie zum Zeitpunkt ) und der momentanen Auflagelinie des Kegels ins Spiel?

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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































6.12 Antwort zu H1



Man wählt ein körperfestes Koordinatensystem, in dem die Symmetrieachse des Kegels die -Achse darstellt. Die -Achse liegt in der Ebene, die von der Symmetrieachse und der Auflagelinie des Kegels aufgespannt wird. Die -Achse bildet das rechtshändige Komplement zu einem Koordinatendreibein (Abb. 2).


Abbildung 2: Wahl des körperfesten Koordinatensystems



   Gib die Komponentenzerlegung  des Vektors der Winkelgeschwindigkeit in diesem Koordinatensystem an. Welche Linie entspricht der momentanen Drehachse?


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6.12 Antwort zu H2



Die Auflagelinie stellt die momentane Drehachse dar. Somit gilt für die Drehgeschwindigkeit die Zerlegung


wobei der Öffnungswinkel des Kegels ist (Abb. 3).


Abbildung 3: Zur Wahl des körperfesten Koordinatensystems




   Drücke die Größen und durch die Kegelparameter und aus.


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6.12 Antwort zu H3



Der Abbildung (4) entnimmt man die Relationen






Abbildung 4: Zur Wahl des körperfesten Koordinatensystems




   Notiere die kinetische Energie  für die Rotation des Kegels in den oben bestimmten Größen.


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6.12 Antwort zu H4



Für die kinetische Energie gilt die Standardformel (B6.104)




wobei die Trägheitsmomente auf den Spitzenpunkt bezogen sind, also die Werte (bei Elimination von zugunsten von )




haben (siehe Aufg. 6.8). Damit erhält man





   Wie bringt man den Winkel  , den Winkel zwischen der -Achse (die Auflagelinie zum Zeitpunkt ) und der momentanen Auflagelinie des Kegels ins Spiel?


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6.12 Antwort zu H5



Man betrachtet die Rollbewegung, für die gilt
Abgerollter Kegelumfang = Kreisbogen mit dem Winkel .
In Formeln (bei Bezeichnung des Rollwinkels mit )


Differentiation ergibt


Die Größe ist identisch mit dem Betrag der Drehgeschwindigkeit ( ), somit erhält man für die kinetische Energie...

  
























































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