6.5 Der rotierende Springbrunnen

Ein Springbrunnen (in Kreisform) hat vier (oder mehr) Wasserstrahlen, die sich in der Mitte des Kreises kreuzen. In der vorliegenden Aufgabe soll die Frage beantwortet werden, wie sich die Strahlen verhalten, wenn der Brunnen in uniforme Rotation versetzt wird. Zur Lösung dieser Aufgabe ist es notwendig, den Wasserstrahl in einfacher Weise zu modellieren. Da die Drehgeschwindigkeit der Erde einen sehr kleinen Wert hat, kann die Rotation der Erde bei der Beantwortung dieser Frage vernachlässigt werden (obschon die Diskussion bei Einbeziehung dieses Effektes möglich, aber natürlich aufwendiger wäre). Um die Auswirkungen der Scheinkräfte zu verdeutlichen, werden zwei verschiedene Situationen gegenübergestellt, die sich durch Einschluss bzw. Ausschluss der Zentrifugalwirkung unterscheiden.



Aufgabenstellung

Auf einer kreisförmigen Platte befinden sich vier, symmetrisch angeordnete Düsen (im Abstand vom Zentrum der Platte), aus denen Wasser in Radialrichtung austritt. Die Wasserstrahlen können durch eine Folge von Massenpunkten modellmäßig dargestellt werden. Auf diese wirkt die einfache Schwerkraft ( ).

A.
Bestimme die Bahnkurve eines dieser Massenpunkte unter dem Einfluss der Zentrifugal- und der Corioliskraft, wenn sich die Platte mit einer uniformen Winkelgeschwindigkeit um eine Achse, die senkrecht durch das Zentrum der Platte verläuft, dreht. Diskutiere den Bewegungsablauf aus der Sicht des mitrotierenden Koordinatensystems und eines Inertialsystems.
B.
Bestimme die Bahnkurve eines Massenpunktes, wenn sich die Platte mit einer uniformen Winkelgeschwindigkeit um eine Achse, die senkrecht durch das Zentrum der Platte verläuft, dreht, jedoch nur die Corioliskraft wirkt. Diskutiere den Bewegungsablauf aus der Sicht des mitrotierenden Koordinatensystems und eines Inertialsystems.

Beachte, dass die Lösungen dieser Bewegungsgleichungen keiner realen Bewegung entsprechen. Mit Hilfe dieser Teilaufgabe sollen nur die Auswirkungen, die bei Vernachlässigung der Zentrifugalkraft auftreten, untersucht werden.

C.
Diskutiere die Resultate der beiden Teilaufgaben (Abhängigkeit von , Drehsinn, Anfangsgeschwindigkeit) und vergleiche sie.
Aus der Sicht der rotierenden Systeme liegen in beiden Fällen die folgenden Anfangsbedingungen vor: Der Massenpunkt befindet sich zur Zeit in der Entfernung von dem Zentrum auf der Höhe der Platte und hat eine Anfangsgeschwindigkeit mit den Komponenten: in Radialrichtung, wobei negative Werte von eine Bewegung in Richtung des Zentrums beschreiben sollen und in Richtung senkrecht zu der Platte (ein positiver Wert von entspricht der Bewegung nach oben).
          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008