6.1 Weitere Orientierung

Die allgemeine Form einer gewöhnlichen Differentialgleichung für eine Funktion einer Variablen kann man durch eine implizite Gleichung zum Ausdruck bringen[*]


Für die Lösung (Integration) der Differentialgleichung bestehen die folgenden Optionen: Einige weitere, willkürlich gewählte Beispiele sollen die Vielfalt der Möglichkeiten noch einmal unterstreichen
  1. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion , mit einer vorgegebenen Konstanten .
  2. Die allgemeine Oszillatorgleichung , mit den Konstanten und einer vorgegebenen Funktion .
  3. Die Differentialgleichung der konfluenten, hypergeometrischen Funktion , mit Konstanten . Diese Funktion ist eine der speziellen (d.h. nichtelementaren) Funktionen der mathematischen Physik (siehe Math.Kap. 6.3.3 für einige Bemerkungen zu dem Thema spezielle Funktionen).
  4. Die Differentialgleichung eines belasteten Balkens , wobei die Funktion die variable Belastung in der Horizontalen (Variable ) und die Durchbiegung beschreibt.
  5. Ein Phantasieprodukt ,
  6. sowie ein weiteres .

Zur Grobklassifikation kann man unter Umständen neben dem Begriff der Ordnung einer Differentialgleichung (siehe Math.Kap. 2.1) den Begriff Grad einer Differentialgleichung benutzen, und zwar dann, wenn die Differentialgleichung als Polynom in den Ableitungen geschrieben werden kann. Die Potenz der höchsten, auftretenden Ableitung bezeichnet man als den Grad der Differentialgleichung. Die Standardform einer Differentialgleichung, die durch Angabe eines Grades charakterisiert werden kann, ist


Dies ist eine Differentialgleichung n-ter Ordnung und -ten Grades. Für die oben aufgeführten Differentialgleichungen lautet die Grobklassifikation





Der einzige Punkt, der eventuell zu kommentieren ist, ist die Gradangabe für das Beispiel . Durch Logarithmieren kann man diese Differentialgleichung in umschreiben.

Hängt die zu bestimmende Funktion von mehreren Variablen ab


so liegt eine partielle Differentialgleichung vor. Die allgemeine implizite Form enthält die Variablen, die Funktion und deren partielle Ableitungen


Die Aufgabe ist auch hier die Bestimmung der Funktion aufgrund der vorgegebenen Differentialgleichung. Die Ausführung dieser Aufgabe ist im Allgemeinen schwieriger als die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Doch muss man feststellen, dass viele der grundlegenden Differentialgleichungen der theoretischen Physik (Maxwellgleichungen, Schrödingergleichung, ) partielle Differentialgleichungen sind. Zwei Beispiele aus der Mechanik sind die Wellengleichung (siehe Buch.Kap. 6.1) und die Poissongleichung der Potentialtheorie


Die Aufgabe, die mit der Poissongleichung gestellt wird, lautet: Bestimme die Potentialfunktion einer vorgegebenen Massenverteilung, die durch die Dichtefunktion charakterisiert wird. Die Diskussion der Lösung von partiellen Differentialgleichungen wird in Band 2 aufgegriffen.

Weitere Varianten unter dem Stichwort Differentialgleichungen, die in der mathematischen Physik eine Rolle spielen, sind:

Die weitere Diskussion in diesem Kapitel wird sich jedoch auf die Frage der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen konzentrieren.


< Mechanik     Mathematische Ergänzungen >       R. Dreizler   C. Lüdde     2008