5.7 Bewegung auf dem `atmenden` Zylinder
In Kap. 5.3.1.4 wurde die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Zylinderfläche
unter dem Einfluss einer harmonischen Rückstellkraft berechnet.
Eine mögliche Variante in der Problemstellung, die in Kap. 5.3.1.6
angesprochen wurde, ist ein Problem mit rheonomen Zwangsbedingungen,
die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Zylinderfläche deren
Radius sich mit der Zeit verändert. Die entsprechenden Betrachtungen
zur Lösung der Bewegungsgleichungen und ein explizites Beispiel, ein
pulsierender Zylinder, werden in dieser Aufgabe vorgestellt.
Aufgabenstellung
Auf einem Zylinder, dessen Radius sich zeitlich verändert
(
), bewegt sich eine Masse unter dem Einfluss einer harmonischen
Rückstellkraft. Die Lagrangegleichungen für die zwei relevanten
Freiheitsgrade sind
mit
(Polarwinkel) und
(Höhe über
-
Ebene).
- (1)
- Löse die Bewegungsgleichung der Winkelkoordinate für beliebige (differenzierbare)
Funktionen
.
- (2)
- Gib die explizite Lösung für das Beispiel
(pulsierender Zylinder mit
)
an. Die Anfangsbedingungen sind
- (3)
- Beziehe neben der Rückstellkraft die einfache Schwerkraft
ein.
Gib die modifizierte Lösung mit den zusätzlichen Anfangsbedingungen
an.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008