5.11 Betrachtung des Fliehkraftreglers
Ein Fliehkraftregler ist ein mechanisches Instrument, das in vielen
technischen Anwendungen eingesetzt wurde (wird). Die Arbeitsweise beruht
darauf, dass sich bei der Rotation von zwei Massen an gelenkig
befestigten Stangen eine von der Rotationsgeschwindigkeit abhängige
Gleichgewichtsposition einstellt. Mittels geeigneter Vorrichtungen, die
auf diese Positionen ansprechen, kann man in Abhängigkeit von der
Rotationsgeschwindigkeit die Arbeitsweise von Maschinen regulieren.
In dieser Aufgabe wird die Arbeitsweise des Fliehkraftreglers in einem
vereinfachten Modell auf der Basis von Lagrange II im Detail analysiert.
Die Aufgabe ist eine etwas anspruchsvollere Variante der Aufgabenstellung,
die in Aufg. 5.10 für ein rotierendes mathematisches Pendel diskutiert
wurde.
Aufgabenstellung
Betrachte das folgende Modell eines Fliehkraftreglers (siehe
Abb. 1):
Abbildung 1:
Modell eines Fliehkraftreglers

|
Zwei (gewichtslose, starre) Stangen der Länge
sind an einem
vertikalen, uniform rotierenden Stab gelenkig befestigt. Sie liegen in
einer Ebene. Am Ende jeder Stange sitzt eine Masse (
).
Gelenkig verbunden sind zwei weitere Stangen der Länge
,
die an einer hohlzylindrischen Masse
befestigt sind. Die Masse
kann sich reibungsfrei entlang der Vertikalen bewegen.
Alle drei Massen werden als punktförmig behandelt.
Das ganze System dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit
um die Vertikale, die Massen sind der einfachen Gravitation
ausgesetzt.
- (1)
- Zeige, dass das System effektiv nur einen Freiheitsgrad besitzt. Diskutiere
die Optionen für die Wahl von generalisierten Koordinaten.
- (2)
- Stelle die Lagrangefunktion des Systems auf.
- (3)
- Bestimme die Gleichgewichtssituationen, die bei der
uniformen Drehung auftreten können. Diskutiere das Ergebnis.
- (4)
- Stelle die Bewegungsgleichung in jeder der möglichen generalisierten Koordinaten auf.
- (5)
- Bestimme die Frequenz der harmonischen Oszillationen um den in (3)
bestimmten Gleichgewichtspunkt.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008