Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.11
  1. Bestimme die (implizite) Gleichung der Kurven der angedeuteten Scharen durch Elimination je eines der Parameter aus der Parameterdarstellung.
  2. Zeige, dass die beiden Kurvenscharen orthogonal zueinander sind.
  3. Zeige, dass für zwei Winkel, deren Differenz ist (Abb. 1), die Relation


    besteht. Verifiziere, dass dies für die obigen Winkel zutrifft.

    Abbildung 1: Zum Produkt der Tangenswerte


  4. Warum ist der Gradient einer Funktion ein nützliches Instrument für die Darstellung der Basisvektoren des lokalen Koordinatensystems der elliptischen Koordinaten?
  5. Stelle die beiden Basisvektoren und durch Gradienten dar und notiere die Zerlegung in kartesische Koordinaten.
  6. Berechne die Gradienten der Funktionen und normiere die so bestimmten Vektoren.
  7. Welche Vorzeichen der Koeffizienten sollte man wählen?



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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































2.11 Antwort zu H1



Löse die vorgegebenen Gleichungen nach bzw. auf, quadriere




und addiere die Gleichungen


Für const. stellt dies eine Ellipse mit den Halbachsen und dar, variiert man so erhält man eine Schar von konzentrischen Ellipsen. Da in dem angegebenen Bereich von ist, entspricht die große Halbachse einer Strecke auf der -Achse. Für die Elimination von werden die vorgegebenen Gleichungen nach bzw. aufgelöst und quadriert




Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt auf der rechten Seite


und somit


Für const. stellt dies die Gleichung einer Hyperbel dar. Die Hyperbeln dieser Schar (als Funktion von ) sind durch die Scheitelpunkte


und die Brennpunkte


charakterisiert. Die Asymptoten einer Hyperbel


entsprechen den Geraden



   Zeige, dass die beiden Kurvenscharen orthogonal zueinander sind.


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2.11 Antwort zu H2



Um die Orthogonalität nachzuweisen, löst man die impliziten Kurvengleichungen (für die obere bzw. untere Halbebene) nach auf, differenziert die Funktion und erhält so die Steigung der Tangente in einem Kurvenpunkt. Für die Ellipsen gilt:




wobei das Pluszeichen für die obere Halbebene zuständig ist. Die Steigung ist


Die entsprechende Rechnung für die Hyperbeln ergibt




und



   Zeige, dass für zwei Winkel, deren Differenz ist (Abb. 2), die Relation


besteht. Verifiziere, dass dies für die obigen Winkel zutrifft.


Abbildung 2: Zum Produkt der Tangenswerte



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2.11 Antwort zu H3



Bei einem Differenzwinkel von ist


bzw.


Nach dem Additionstheorem gilt


Da die Winkel und per Definition nicht gleich sind, folgt


Für die Steigungswinkel der Ellipsen und der Hyperbeln in einem Raumpunkt erhält man




Damit ist die Orthogonalität der Kurvenscharen nachgewiesen (Illustration in Abb. 3).


Abbildung 3: Die konfokalen elliptischen Koordinaten


   Warum ist der Gradient einer Funktion ein nützliches Instrument für die Darstellung der Basisvektoren des lokalen Koordinatensystems der elliptischen Koordinaten?


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2.11 Antwort zu H4



Der Gradient einer Funktion steht senkrecht auf der zugehörigen Kurve und zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion . Entsprechende Eigenschaften sollen die Basisvektoren haben.

   Stelle die beiden Basisvektoren und durch Gradienten dar und notiere die Zerlegung in kartesische Koordinaten.


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2.11 Antwort zu H5



Für die lokalen Basisvektoren gilt der Ansatz:


mit der Funktion


sowie


mit


Die 'Konstanten' und sind aus den Normierungsbedingungen


zu bestimmen.

   Berechne die Gradienten der Funktionen und normiere die so bestimmten Vektoren.


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2.11 Antwort zu H6



Der Gradient der Funktion ist




Die Normierungsbedingung entspricht


so dass man für den Normierungskoeffizienten







erhält. Bei Benutzung der Parameterdarstellung erhält man für die kartesische Zerlegung des Einheitsvektors


Die entsprechende Rechnung für den Vektor beinhaltet die Schritte:




Mit der Normierungsbedingung wird bestimmt:




und



   Welche Vorzeichen der Koeffizienten sollte man wählen?


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2.11 Antwort zu H7



Wählt man die Vorzeichen der Einheitsvektoren, so dass sie in Richtung der Gradientenvektoren zeigen, so erhält man (mit positiven Koeffizienten als auch ) für die gesuchte Transformation (in der Ebene)




mit








Für diese Basisvektoren gilt


sie stehen (im Einklang mit der Diskussion unter Hinweis 3  ) senkrecht aufeinander. Außerdem ist




Die Vektoren , und bilden ein rechtshändiges Koordinatensystem.



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