1.2.4 Grenzwert einer Funktion
Die strenge Definition lautet:
Gegeben ist eine Funktion
mit einem Definitionsbereich. Man
betrachtet einen Punkt
, der als Grenzwert einer ganz im
Definitionsbereich gelegenen Zahlenfolge erhalten werden kann. Die
Funktion
hat an der Stelle
den Grenzwert
, geschrieben
wenn gilt:
Für jede in dem Definitionsbereich liegende Zahlenfolge
mit dem Grenzwert
Auch diese etwas umständlich erscheinende Definition ist verdaulicher als
sie zunächst aussieht, ein konkretes Beispiel kann helfen. Betrachte die Funktion
die für
wohldefiniert ist. Das Schaubild der Funktion in der Nähe
der Stelle
ist in Abb. 1.6
gezeigt.
Abbildung 1.6:
Grenzwertbetrachtung für die Funktion
 |
Die Aufgabe soll sein, den Grenzwert dieser Funktion an der Stelle
zu bestimmen.
Man würde zu diesem Zweck folgendermaßen vorgehen:
- 1.
- Betrachte Folgen
mit dem Grenzwert
, so zum
Beispiel eine Folge mit
.
- 2.
- Betrachte die entsprechende Folge
, in dem vorliegenden Beispiel also
. Es ist dann das obige Kriterium zu benutzen, um zu zeigen,
dass der Grenzwert
ist.
- 3.
- Der springende Punkt der Definition ist jedoch: Für jede ... Folge ... .
Da dies nicht so einfach durchzuführen ist, geht man die Angelegenheit
in der Praxis auf andere Weise, zum Beispiel durch Vergleich mit Folgen,
deren Konvergenzverhalten bekannt ist, an (siehe unten Math.Kap. 1.3.3). Es ist
dann nur für die zum Vergleich benutzten Folgen (mit einem einfacheren
Bildungsgesetz) die vollständige Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
Eine andere Möglichkeit ist die Formulierung einer äquivalenten
Definition des Grenzwertes einer Funktion im Rahmen der Epsilontik.
Setzt man voraus, dass derartiges geschehen ist, so hätte man
festgestellt, dass für das Beispiel die Aussage
gilt. Eine weiterer Punkt ist jedoch zu beachten: Der Punkt
gehört
nicht zu dem ursprünglichen Definitionsbereich. Die Funktion ist für
nicht definiert. Der Wert
ist aber der Grenzwert von ganz in
dem Definitionsbereich liegenden Zahlenfolgen. Den Anforderungen der
Definition ist also Genüge getan und der Grenzwert der Funktion an der Stelle
wurde bestimmt.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008