Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.15
  1. Was kann man über die allgemeine Lösung   der Differentialgleichung die zur Diskussion steht, aussagen?
  2. Wie kann man die gesuchten Teillösungen  gewinnen?
  3. Welche Ergebnisse  kann man der Diskussion des Problems in Band 1 (Kap 4.2.2 und 4.2.3 ) entnehmen?
  4. Welche Schritte  müssen durchgeführt werden, um die vorgegebenen Anfangsbedingungen zu implementieren?
  5. Führe diese Schritte für alle drei Fälle durch:
           (w) schwache Dämpfung
           (a) aperiodischer Grenzfall
           (s) starke Dämpfung



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4.15 Antwort zu H1



Die allgemeine Lösung einer linearen, inhomogenen Differentialgleichung setzt sich aus der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung und einer Partikulärlösung der inhomogenen Differentialgleichung zusammen (siehe Math.Kap 2.2.2)



   Wie kann man die gesuchten Teillösungen  gewinnen?


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4.15 Antwort zu H2



Die Lösung der homogenen Differentialgleichung gewinnt man über den Ansatz , die Partikulärlösung der inhomogenen kann man mit einem einfachen Ansatz gewinnen oder mit der Methode der Variation der Konstanten berechnen.

   Welche Ergebnisse  kann man der Diskussion des Problems in Band 1 (Kap 4.2.2 und 4.2.3 ) entnehmen?


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4.15 Antwort zu H3



Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung ist für alle drei Fälle bekannt, ebenfalls eine Partikulärlösung der inhomogenen. Diese Lösungen sind:
(w)
schwache Dämpfung:




mit


(a)
aperiodischer Grenzfall




(s)
starke Dämpfung




mit


(p)
Partikulärlösung


mit





   Welche Schritte  müssen durchgeführt werden, um die vorgegebenen Anfangsbedingungen zu implementieren?


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4.15 Antwort zu H4



Die Standardschritte für die Bestimmung der Integrationskonstanten aus den vorgegebenen Anfangsbedingungen, in dem vorliegenden Beispiel


sind:
(a)
Berechnung der erforderlichen Ableitung der allgemeinen Lösung.
(b)
Umsetzung der Anfangsbedingungen. Dies führt (für lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung) auf ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten und , das zu lösen ist.
(c)
Fasse das Resultat mit den so bestimmten Integrationskonstanten zusammen.

   Führe diese Schritte für alle drei Fälle durch:
       (w) schwache Dämpfung
       (a) aperiodischer Grenzfall
       (s) starke Dämpfung


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4.15 Antwort zu H5 (w)



schwache Dämpfung:
Berechnung der erforderlichen Ableitung der allgemeinen Lösung:
Die Ableitung ergibt




Umsetzung der Anfangsbedingungen:
Das Gleichungssystem lautet




Auflösung nach ergibt




bzw.




Aus der ersten Gleichung folgt dann




Fasse das Resultat mit den so bestimmten Integrationskonstanten zusammen:
Die spezielle Lösung (siehe Abb. unten) ist





       (a) aperiodischer Grenzfall        (s) starke Dämpfung


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4.15 Antwort zu H5 (a)



aperiodischer Grenzfall:
Hier ist die Ableitung




woraus sich das Gleichungssystem




mit der Lösung




ergibt. Die spezielle Lösung (siehe Abb. unten) lautet in diesem Fall





       (w) schwache Dämpfung        (s) starke Dämpfung



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4.15 Antwort zu H5 (s)



starke Dämpfung:
Die Rechnung verläuft bis auf die Ersetzung von durch analog zu dem Fall (w). Die Zusammenfassung liefert dann hyperbolische anstatt trigonometrische Funktionen, also




Der Zeitablauf für die drei Fälle ist in Abbildung 1 dargestellt. Man beobachtet eine Einschwingphase nur im Fall der schwachen Dämpfung.

Abbildung 1: Auslenkung als Funktion der Zeit für die verschiedenen Dämpfungen (schwache Dämpfung: blau, aperiodischer Grenzfall: rot, starke Dämpfung: grün)



       (w) schwache Dämpfung        (a) aperiodischer Grenzfall
      


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