Lösung der Aufgabe 4.6



In Analogie zu dem Keplerproblem gewinnt man das folgende Integral zur Bestimmung der Bahngleichung




(). Es treten drei Spezialfälle auf, die den folgenden Spezifikationen des Radikanden der Quadratwurzel entsprechen
(1)


In diesem Fall exisitiert keine Einschränkung des Bereiches der Abstandsvariablen.

(2)


Hier gibt es einen maximal möglichen Abstand.

(3)


In diesem Fall sind nur -Werte mit zulässig.
Die Auswertung des Integrals und Sortierung des Ergebnisses in den drei Fällen liefert die Lösungen:


Fall (1):




Dieses Ergebnis kann vereinfacht werden, wenn man das zugrundeliegende Koordinatensystem so wählt, dass ist und wenn der Massenpunkt bei einem sehr großen Abstand startet. Die Lösung


beschreibt eine Spiralbahn, auf der der Massenpunkt auf das Zentrum zuläuft und dieses nach unendlich vielen Umdrehungen (je nach Vorzeichen im oder gegen den Uhrzeigersinn) erreicht.


Abbildung 10: Die Bahnkurve in dem Fall 1 mit unterschiedlichem Drehsinn (positives Vorzeichen: blau, negatives: grün). Parameter: , , ,




Fall (2):




Eine Vereinfachung der Endformel ergibt sich hier, wenn der Massenpunkt bei dem maximalen Abstand


startet und das Koordinatensystem wie in (1) festgelegt wird. Die spezielle Lösung




entspricht ebenfalls einer Spiralbahn. Der Massenpunkt beginnt an der Stelle ( ) und erreicht den Ursprung nach unendlich vielen Umdrehungen. Der Drehsinn kann in dem oder gegen den Uhrzeigersinn sein, beide Möglichkeiten werden (da ist) durch die gleiche Formel abgedeckt.


Abbildung 11: Die Bahnkurve in dem Fall 2 mit unterschiedlichem Drehsinn Parameter: , , ,




Fall (3):
Die Lösung bei der allgemeinen Anfangssituation




geht bei Wahl der Anfangsbedingung


in den Ausdruck


über. Um den Zeitablauf auf dieser Bahn zu diskutieren, muss man die Funktionen


und




berechnen. Die Formel für ergibt


(und bei Einsetzen in die Formel für wieder die Bahngleichung). Der obigen Gleichung entnimmt man die Aussage, dass ein Massenpunkt für die Bewegung von der Anfangsposition bis zu der Endsituation, charakterisiert durch die Winkel


eine unendlich große Zeitspanne benötigt. Während sich die Masse um diesen Winkel dreht, wird der Abstand unendlich groß.


Abbildung 12: Fall 3 (Parameter: , , )




Für ist in jedem der Fälle auch eine gerade Bahn möglich, insbesondere erhält man für eine gerade Bahn im Fall 3




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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008