5.8 Das Keplerproblem mit Lagrange II
Das Keplerproblem wird meist durch direkte Auswertung der Newtonschen
Bewegungsgleichungen gelöst. In dieser Aufgabe wird ein alternativer
Zugang auf der Basis des Lagrangeformalismus angesprochen. Dieser führt
auf die Diskussion eines Oszillatorproblems, im Endeffekt natürlich
auf die gleiche Lösung.
Aufgabenstellung
- Stelle die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen für die ebene Bewegung
(Polarkoordinaten
,
) eines Himmelskörpers (Masse
) um
eine feste Sonne (Masse
) auf.
- Diskutiere in diesem Rahmen die Erhaltungssätze des Problems.
- Benutze in der Radialgleichung die Substitution
,
um eine Differentialgleichung für die Funktion
zu gewinnen.
- Bestimme die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
- Wähle Anfangsbedingungen zur Zeit
, so dass sich die Standardlösung des Keplerproblems
mit den Parametern von (B4.18) ergibt.
Fragen
zur schrittweisen Gewinnung der Lösung
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008