Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.4
-
Notiere die
Bewegungsgleichung
für die genannten Voraussetzungen
(konstanter Massenausstoß/Zeiteinheit und uniforme
Ausstoßgeschwindigkeit).
-
Löse die
Bewegungsgleichung für den Fall,
dass keine äußeren Kräfte
auf die Rakete wirken (
).
-
Betrachte die
kinetische Energie
für die kräftefreie Bewegung
der Rakete. Bestimme das Maximum von
.
-
Bestimme den
Zeitpunkt
, zu dem das Maximum der kinetischen Energie
erreicht wird.
-
Berechne die
Masse
und die kinetische Energie der Rakete zu dem Zeitpunkt
.
-
Diskutiere die
Zeitabhängigkeit
der Funktionen
und
.
-
Bestimme die
Endgeschwindigkeit
der Rakete bei Brennschluss.
-
Berechne die
Restmassen
für die angegebenen Endgeschwindigkeiten. Kommentiere.
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3.4 Antwort zu H1
Für den in der Aufgabenstellung angesprochenen Fall einer uniformen
Ausströmung ist
und somit für
Löse die
Bewegungsgleichung für den Fall,
dass keine äußeren Kräfte
auf die Rakete wirken (
).
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3.4 Antwort zu H2
Die Bewegungsgleichung
kann in der Form
bzw.
separiert werden.
Der Integrand auf der rechten Seite dieser Gleichung ist eine
logarithmische Ableitung. Integration liefert also
Ist
später als
, so ist
. Die
Geschwindigkeitsänderung ist also (wie erwartet) positiv.
Betrachte die
kinetische Energie
für die kräftefreie Bewegung
der Rakete. Bestimme das Maximum von
.
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3.4 Antwort zu H3
Die kinetische Energie der Rakete zu dem Zeitpunkt
ist
Zur Bestimmung des Maximums bildet man die Zeitableitung
Nach Einsetzen von
und
erhält man die
Gleichung
zur Bestimmung der Extrema (Maximum). Die maximale kinetische Energie wird erreicht, wenn
ist.
Bestimme den
Zeitpunkt
, zu dem das Maximum der kinetischen Energie
erreicht wird.
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3.4 Antwort zu H4
Zur Bestimmung des Zeitpunktes der maximalen kinetischen Energie benutzt man
die berechnete Geschwindigkeitsdifferenz, angepasst auf die vorliegende Situation
(
,
). Es ist
mit der Auflösung
Berechne die
Masse
und die kinetische Energie der Rakete zu dem Zeitpunkt
.
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3.4 Antwort zu H5
Die Masse und die kinetische Energie der Rakete zu diesem Zeitpunkt sind
Diskutiere die
Zeitabhängigkeit
der Funktionen
und
.
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3.4 Antwort zu H6
Für die Geschwindigkeit und die kinetische Energie gilt mit
den vorgegebenen Anfangsbedingungen
sowie (entsprechend
)
Trägt man diese Funktionen gegen
auf, so findet man die in Abb. 1
gezeigten Kurven.
Abbildung 1:
Die kräftefreie Rakete: kinetische Energie (blau) und
Geschwindigkeit (rot) als Funktion der Zeit (Parameter:
,
,
die Kurve für die Geschwindigkeit ist (mit
) skaliert)
|
Die kinetische Energie wächst zunächst an, nimmt aber
jenseits des Maximalpunktes (stark) ab, da die Restmasse
reduziert wird (im rechnerischen Extremfall auf Null, in Wirklichkeit auf den
Wert
). Der Abfall ist dadurch bedingt, dass der Vorfaktor
für Zeiten mit
schneller abnimmt als der Logarithmus
zunimmt. Die Geschwindigkeit wächst logarithmisch an und würde für die
Zeit
unendlich groß werden.
Dieser Zeitpunkt wird jedoch nicht erreicht, da die Brenndauer
kleiner ist.
Bestimme die
Endgeschwindigkeit
der Rakete bei Brennschluss.
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3.4 Antwort zu H7
Die Endgeschwindigkeit der Rakete ist nach der
Brenndauer
erreicht.
Die Brenndauer ergibt sich aus der Definition
oder
Die kinetische Energie bei Brennschluss ist
die entsprechende Geschwindigkeit
Berechne die
Restmassen
für die angegebenen Endgeschwindigkeiten. Kommentiere.
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3.4 Antwort zu H8
Die angegebenen Endgeschwindigkeiten entsprechen
. Aus der Formel für die Endgeschwindigkeit bei
Brennschluss erhält man somit
Dies bedeutet, dass bei der höheren Geschwindigkeit der Brennstoff 99.6 %
der ursprünglichen Raketenmasse betrug, nur 0.4 % der ursprünglichen Masse
entfielen auf den Raketenkörper und die Zuladung. Bei der geringeren
Endgeschwindigkeit sind die Zahlen 77.7 % und 22.3 %. Dieser hohe
Treibstoffverbrauch im Vergleich zu der Nutzlast bedingt den hohen
Kostenaufwand der Raketentechnik.
Zusatz: Diskutiere die Variation von
mit der
Endgeschwindigkeit
!
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