Führe die Rechnung für den
Wurf in östlicher/westlicher
Richtung
(Fall B) durch. Bestimme zunächst die spezielle Lösung für
die vorgegebenen Anfangsbedingungen und eine vertretbare Näherung.
Vergleiche die
Resultate
(Näherungsformeln) für die Situation (B) mit den
Ergebnissen im Fall (A). Welche Schlüsse kann man daraus ziehen?
Die allgemeine Lösung des freien Wurfproblems auf der Erde lautet
Die Größen sind Integrationskonstanten,
ist die Kreisfrequenz der Erdrotation und
die geographische Breite (des Anfangspunktes). Außerdem treten
die Konstanten
auf. Zu beachten ist, dass die geographische Breite in der weiteren
Diskussion konstant bleibt. Für nicht zu weite Würfe ist dies
eine vertretbare Näherung.
Aus den drei Funktionen gewinnt man für die Geschwindigkeiten in den drei
Koordinatenrichtungen
Notiere das
Gleichungssystem
für die Integrationskonstanten
für allgemeine Anfangsbedingungen bei .
Eine Vernachlässigung der Terme, die aufgrund der Rotation in der
Bestimmungsgleichung auftreten, führt zu einem Fehler. Um diesen
abzuschätzen, berechnet man den Unterschied zwischen
dem Ergebnis mit einer Entwicklung in -ter Ordnung in
den Termen aufgrund der Rotation und dem Ergebnis mit Termen bis zur
-ten Ordnung. Man beginnt zweckmäßigerweise
mit der einfachsten Näherung
(der nullten Näherung, die eine vollständige Vernachlässigung der
Terme aufgrund der Erdrotation beinhaltet). Ist der Unterschied klein
genug, so liegt eine akzeptable Lösung vor.
Die grobe Näherung
ergibt über
den Zeitpunkt des Auftreffens zu
Die maximale Höhe wird (in entsprechender Näherung) wegen
zu dem Zeitpunkt
erreicht.
Um den Fehler in der Zeit abzuschätzen, setzt man
in die vollständige Gleichung für
ein und bestimmt in linearer Näherung
Dabei wurden Terme der Ordnung
und
mit
vernachlässigt.
Für die Differenz
erhält man dann
Welche
Näherungsformeln
kann man für und verwenden,
wenn man voraussetzt, dass
die in (5.) berechneten, genäherten
Zeiten ausreichend genau sind?
Hier wurden alle Terme, in denen Potenzen von () auftreten,
vernachlässigt. In dem Ausdruck für treten nur Terme aufgrund der
Erdrotation auf. Für sollte der Term dominieren.
Berechne für die vorgegebene
Anfangsgeschwindigkeit
(A) die maximale Weite und
Höhe. Benutze dazu eine geeignete Näherung und schätze den Fehler
ab.
Tabelle 1:
Höhe, Weite und Abweichung im Fall (A), (
)
(m/s)
(m/s)
(s)
(m)
(m)
(m)
Während die Ergebnisse für die Höhe und die Weite recht durchsichtig sind, bedarf
das Abweichungsmuster einer genaueren Diskussion. Um die Systematik zu erfassen, betrachtet
man die Abweichungen als Funktion der Breite.
Berechne die
Abweichungen für die fünf Breiten.
Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst.
Tabelle 2:
Die Abweichung (in ) im Fall (A) als Funktion der
geographischen Breite
(m/s)
(m/s)
Für eine Ausgangssituation am Nordpol
hat das Vektorprodukt der zwei Geschwindigkeitsvektoren
(und damit die Corioliskraft) für die Paare 1, 3 und 5 ein entgegengesetztes
Vorzeichen zu den Paaren 2, 4 und 6.
Da die Vektoren in
jedem Paar die gleiche Länge haben und der eingeschlossene Winkel
dem Betrag nach gleich ist, ergeben
sich entgegengesetzte Abweichungen. Diese Situation ist in
Abb. 1a (mit Andeutung
der Richtung der anfänglichen Corioliskraft) dargestellt.
Abbildung 1:
Wurf auf der rotierenden Erde: Anfangsgeschwindigkeiten bei verschiedenen
geographischen Breiten
Abbildung 2:
Wurf auf der rotierenden Erde: Die Auswirkung von in zwei Situationen auf
der nördlichen Halbkugel bei
Die Situation bei
(Abb. 1b) ist dadurch charakterisiert, dass bei dem steilen
Wurf der -Vektor für beide Geschwindigkeitsvektoren (unterschieden durch )
in die gleiche Richtung gedreht wird und somit die Corioliskraft und (cum grano salis auch die
Abweichung) in die gleiche Richtung zeigt
(Abb. 2a). Für die anderen Anfangsbedingungen,
die in der Tabelle angesprochen werden, liegt der -Vektor zwischen
den zwei Geschwindigkeitsvektoren des Paares. Es treten somit entgegengesetzte
Vorzeichen in der Richtung der Corioliskraft und somit in der Abweichung in
der Ost-West Richtung auf (Abb. 2b).
Am Äquator haben alle Geschwindigkeitsvektoren die gleiche Orientierung bezüglich des
-Vektors. Aus diesem Grund haben alle Abweichungen das gleiche Vorzeichen
(Abb. 3a).
Auf der südlichen Halbkugel kehrt sich die Situation insofern um, als die
Rolle der Winkel vertauscht ist (Abb. 3b).
Abbildung 3:
Wurf auf der rotierenden Erde
Führe die Rechnung für den
Wurf in östlicher/westlicher
Richtung
(Fall B) durch. Bestimme zunächst die spezielle Lösung für
die vorgegebenen Anfangsbedingungen und eine vertretbare Näherung.
Im Fall (A) wird die Koordinate bis auf Korrekturen durch den
Term bestimmt, die Koordinate entsprechend durch die
zwei Terme bis zur Ordnung
Die interessante Koordinate ist hier
, die die Abweichung von der dominanten Nord-Süd Bewegung
beschreibt. Dieser Beitrag ist bei den vorgegebenen Geschwindigkeitswerten
von der Größenordnung bis m. Die Abweichung
ist für keinen Breitengrad gleich Null.
Im Fall (B) mit der dominanten Ost-West Bewegung vertauschen
und
bezüglich der Zeitabhängigkeit
ihre Rollen
Die Abweichung ist hier proportional
zu , variiert also ganz systematisch mit dem
Breitengradwinkel. Für eine Bewegung entlang des Äquators ist die
Abweichung Null, ansonsten von ähnlicher Größenordnung wie die
Ost-West Abweichung im Fall (A). Für findet man einen
zusätzlichen Term in , doch ist dieser bei den vorgegebenen
Geschwindigkeitswerten wenigstens um zwei Größenordnungen
kleiner als der Gravitationsbeitrag. Trotzdem führt seine
(nicht notwendige) Vernachlässigung zu einem merklicheren Fehler
(bis zu einer Größenordnung von bei den vorgegebenen
Geschwindigkeiten).
Zusatzfrage (Beantwortung freigestellt): Betrachte die Situation auf
einem schnell rotierenden Himmelskörper.