1.3.2.1 Zur Berechnung der Summenwerte.
Man kann versuchen, den Summenwert einer numerischen Reihe in direkter Weise
oder mit Geschick zu berechnen. Tritt dabei ein eindeutiger, endlicher Summenwert
auf, so bezeichnet man die Reihe als konvergent. Hat man keinen
eindeutigen, endlichen Summenwert, so ist die Reihe divergent.
Direkte Summation ist nicht unbedingt die beste Methode, die Konvergenz
einer numerischen Reihe abzuschätzen. Zur Untersuchung der Konvergenz von
Zahlenreihen definiert man die folgenden Größen
Diese Größen bezeichnet man als Partial- oder Teilsummen.
Die Partialsummen bilden eine Folge
Man stellt fest, dass die Reihe einen eindeutigen, endlichen
Summenwert hat, wenn die Folge der Partialsummen gegen einen endlichen
Grenzwert
konvergiert. Durch diesen
einfachen Kunstgriff wird die Betrachtung der Konvergenz von numerischen Reihen
auf die Betrachtung der Konvergenz von Folgen (siehe Math.Kap. 1.2.3) zurückgeführt.
Gelingt es, einen geschlossenen Ausdruck für die Partialsummen
anzugeben,
so ist die Konvergenzuntersuchung relativ einfach. Leider ist dies nur in wenigen
Fällen möglich.
Zur Illustration der direkten Auswertung von Partialsummen folgen einige
Rechenbeispiele.
Beispiel 1: Die Reihe für die Zahl
.
Die Partialsummen dieser Reihe konvergieren recht schnell. Die Partialsumme
gibt den exakten Summenwert
bis auf 9 Stellen hinter dem
Komma wieder.
Beispiel 2: Die alternierende harmonische Reihe
.
Diese Reihe konvergiert sehr langsam. Der Summenwert ist bekannt:
Beispiel 3: Die harmonische Reihe
.
Es sieht so aus, als ob die Folge der Partialsummen konvergiert, wenn
auch recht langsam. Diese Vermutung ist jedoch falsch. Der Summenwert
der harmonischen Reihe ist
. Die Reihe ist divergent. Zum Beweis
dieser Aussage vergleicht man die Reihe
mit der harmonischen Reihe
Es gilt
. Jeder Term der harmonischen Reihe ist größer oder
gleich dem entsprechenden Term der Vergleichsreihe. Die Vergleichsreihe
kann man jedoch in einfacher Weise zusammenfassen
Da
ist, divergiert auch die harmonische Reihe.
Die Lehre, die man aus diesem Beispiel ziehen kann, lautet: Hat man keinen
geschlossenen Ausdruck für die Partialsummen zur Verfügung, so ist die
Abschätzung der Konvergenz auf der Basis der direkten Berechnung von
Partialsummen mit Vorsicht zu betrachten. Es ist notwendig, allgemeinere
Kriterien zur Überprüfung der Konvergenz aufzustellen.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008