4.1.2 Funktionen von drei und mehreren unabhängigen Veränderlichen
Schon für eine Funktion von drei unabhängigen Veränderlichen
ist die Veranschaulichung schwierig.
Der Definitionsbereich ist im Normalfall ein Gebiet (Volumen) des
dreidimensionalen Raumes, z.B. das Innere einer Kugel um einen Punkt
einschließlich Rand
Zur Darstellung der Funktion benötigt man eine vierte Dimension, die
sich zeichnerisch nicht erfassen lässt. Die Funktion würde (in Analogie
zu dem Fall von zwei Veränderlichen) eine dreidimensionale
Mannigfaltigkeit, die im vierdimensionalen Raum eingebettet ist,
darstellen. Man spricht dann von einer Hyperfläche im
.
Es gibt in diesem Fall noch zwei Behelfsmethoden, mit denen man eine
gewisse anschauliche Darstellung gewinnen kann.
Man denkt sich in jedem Punkt des Definitionsbereiches den
Funktionswert angeheftet. Man könnte sich in dieser Weise vorstellen.
dass man z.B. eine Temperaturverteilung im Raum wiedergibt
Dies ist ein Beispiel für ein Skalarfeld (siehe Math.Kap. 5.1).
Eine kotierte Projektion von 4 auf 3 Dimensionen ist möglich.
Die Gleichung
stellt, in impliziter Form, eine Fläche im dreidimensionalen Raum dar.
Anstelle der vorher diskutierten Höhenlinien hat man in diesem Fall
Flächenscharen im Raum. Diese Darstellung findet im Allgemeinen jedoch keine Anwendung.
Für Funktionen mit mehr als drei unabhängigen Veränderlichen
ist keine Veranschaulichung mehr möglich. Der Definitionsbereich einer
solchen Funktion ist ein Gebiet des
-dimensionalen Raumes. Die
Funktion selbst stellt eine
-dimensionale Hyperfläche in einem
dimensionalen Raum dar. Außer der Tatsache, dass man keine
zeichnerische Darstellung zur Verfügung hat, ist der Unterschied zu den
einfachen Fällen jedoch nicht so groß. Man kann auch
in höherdimensionalen, euklidischen Räumen Punkte, Abstände von Punkten
etc. betrachten (siehe Math.Kap. 3.1.3).
Wie im Fall von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen ist auch für
Funktionen von mehreren Variablen das Thema `Grenzwerte und Differentiation`
von besonderem Interesse.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008