Detail 6.1

Schwingungsprobleme: Kette mit drei gleichen Massen zwischen vier gleichen Federn
(Beispiel 6.2)



Es sind drei lineare Gleichungssysteme der Form (mit )

   
   
(6.1.1)


zu lösen. Mit dem ersten Eigenwert aus (B6.33) erhält man für die erste und die dritte Gleichung von ( 6.1.1)
Setzt man die Auflösung
in die Normierungsbedingung
ein, so findet man (das Vorzeichen ist frei wählbar) und somit für den ersten Eigenvektor
Mit ergibt die erste wie die dritte Gleichung . Die verbleibende Gleichung liefert über die Normierungsbedingung
die Entwicklungskoeffizienten
Die Gleichungen mit unterscheiden sich von den Gleichungen mit nur durch ein Vorzeichen in den diagonalen Termen. Es ist somit
und
Die Ableitungen der drei Auslenkungen aus den Gleichgewichtslagen ((B6.17) und (B6.18))
sind
Die vorgegebenen Anfangsbedingungen führen somit auf das Gleichungssystem


Die Lösung der ersten drei Gleichungen (setze )

erfordert die Schritte: Gewinne aus der zweiten Gleichung , die letzte Gleichung liefert dann , so dass man aus der ersten Gleichung und somit
erhält. Die Lösung der letzten drei Gleichungen (nach dem gleichen Muster) ergibt
Falls eine der drei Amplituden gleich Null wird, ergibt sich ein Widerspruch zu dem Gleichungssystem. So folgt z.B. für aus Gleichung (6.1.2) und (6.1.5) und entsprechend aus den restlichen Gleichungen außer (6.1.1) . Dies ist ein Widerspruch zu (6.1.1). Analoge Argumente greifen für den Ansatz oder . Da keine der drei Größen gleich Null sein kann, muss für die drei Phasen
gelten. Es bleibt

Die entsprechenden speziellen Lösungen für die Auslenkungen der drei gleichen Massen ist in (B6.34) angegeben.

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<Mechanik   Details >  R. Dreizler C. Lüdde     2008