Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.1
  1. Stelle die Lagrangefunktion   für dieses System auf. Benutze zwei Optionen.
  2. Stelle die Bewegungsgleichung  auf.
  3. Zur Bestimmung der Eigenmoden  des Systems stellt man die Funktionen , durch trigonometrische Funktionen (Eigenmoden) dar. Im Zuge der Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten werden auch die Eigenfrequenzen ermittelt. (Siehe gegebenenfalls Kap. 6.1 !!)
  4. Bestimme zunächst die Eigenfrequenzen  für die angegebenen Systemparameter


  5. Bestimme die Entwicklungskoeffizienten  für die angegebenen Systemparameter und notiere die normierte Lösung.
  6. Bestimme Anfangsbedingungen  der kartesischen Koordinaten, so dass nur eine symmetrische bzw. antisymmetrische Normalschwingung auftritt.
  7. Bestimme die Integrationskonstanten der Normalschwingung für die Anfangsbedingungen


  8. Notiere und diskutiere die Ergebnisse  für und .
  9. Zur Beantwortung der Frage (6) nach der Veränderung der Situation bei Austausch der mittleren Feder gegen drei parallele Federn (jeweils mit der Federkonstanten ) ist zunächst die folgende Vorbetrachtung  nützlich: Betrachte eine Masse, die an drei gleichen Federn befestigt ist (Abb. 3), um die Strecke ausgelenkt wird und die Geschwindigkeit hat. Wie sieht die Lagrangefunktion aus? (Siehe auch Aufg. 4.11).


    Abbildung 3: Aufbereitung des variierten Problems


  10. Wie kann die Frage (6) mit geringem Aufwand  beantwortet werden?



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6.1 Antwort zu H1



Man kann die kinetische und potentielle Energie des Systems explizit angeben und die Lagrangefunktion daraus zusammensetzen. Man kann jedoch auch die in Abschnitt 6.1.3 erarbeitete Formel für ein System aus Massen und Federn mit verwenden und erhält (selbstverständlich) das gleiche Ergebnis. Führe beide Methoden zur Übung durch.

   Methode 1
oder
   Methode 2























































Methode 1:
Die kinetische Energie ist


Die potentielle Energie setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: Die Endfedern wirken wie äußere Kräfte. Die äußere potentielle Energie ist


Der inneren Feder wird eine innere potentielle Energie


zugeordnet. Die Lagrangefunktion des Federn-Massen Systems lautet demnach




   Methode 2























































Methode 2: Die Gleichung (B6.14)


mit und


ermöglicht die direkte Aufstellung der Lagrangefunktion für den vorliegenden Spezialfall




   Methode 1

   Stelle die Bewegungsgleichung  auf.


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6.1 Antwort zu H2



Zuerst werden die benötigten Ableitungen berechnet








Damit ergeben sich die Lagrangegleichungen





   Zur Bestimmung der Eigenmoden  des Systems stellt man die Funktionen , durch trigonometrische Funktionen (Eigenmoden) dar. Im Zuge der Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten werden auch die Eigenfrequenzen ermittelt. (Siehe gegebenenfalls Kap. 6.1 !!)


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6.1 Antwort zu H3



Der Ansatz für


mit


reduziert die Bewegungsgleichungen auf die Aussagen




Setzt man die lineare Unabhängigkeit der Funktionen voraus, so ergibt sich das lineare Gleichungssystem




bzw.




Diese homogenen Gleichungssysteme haben nur nichttriviale Lösungen, wenn die jeweilige Koeffizientendeterminante verschwindet. Aus der entsprechenden Gleichung, der Säkulargleichung, erhält man die Eigenfrequenzen ( entspricht entweder oder )




Die Auflösung der entsprechenden quadratischen Gleichung für ergibt




Der Ausdruck für ist positiv definit.

   Bestimme zunächst die Eigenfrequenzen  für die angegebenen Systemparameter




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6.1 Antwort zu H4



Mit


ergibt sich für






Wie ändert sich die nachfolgende Rechnung und damit das Ergebnis, wenn


gewählt wird? (Antwort siehe unten)

   Bestimme die Entwicklungskoeffizienten  für die angegebenen Systemparameter und notiere die normierte Lösung.


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6.1 Antwort zu H5



Aus dem linearen Gleichungssystem ()




erhält man mit


und mit


Die Normierungsbedingung


ermöglicht die vollständige Bestimmung der Koeffizienten




und somit


Für den zweiten Satz von Koeffizienten ergibt die Normierungsbedingung




Diese beiden Lösungen sind nicht nur normiert, sondern auch orthogonal (B6.25)


Die Zeitabhängigkeit der Auslenkungen der beiden Massen aus der Ruhelage ist demnach





   Bestimme Anfangsbedingungen  der kartesischen Koordinaten, so dass nur eine symmetrische bzw. antisymmetrische Normalschwingung auftritt.


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6.1 Antwort zu H6



Auflösung der linearen Gleichungen




(mit den berechneten Koeffizienten ) nach den Normalkoordinaten ergibt die Relationen




Wählt man nun als Anfangsbedingungen


sowie




so findet man im Fall (a)


und im Fall (b)


Man findet auch für das System mit unterschiedlichen Massen und Federn eine symmetrische Normalschwingung ( mit der niedrigeren Frequenz, Abb. 4) und eine antisymmetrische Normalschwingung ( mit der höheren Frequenz Abb. 5), wenn auch die letztere, gegenüber dem System mit gleichen Massen und Federn, eine etwas kompliziertere Superposition aufweist.


Abbildung 4: Die Eigenschwingung (schwarz) durch Superposition (symmetrisch, Fall (a))



Abbildung 5: Die Eigenschwingung (grün) durch Superposition (antisymmetrisch, Fall (b))



   Bestimme die Integrationskonstanten der Normalschwingung für die Anfangsbedingungen




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6.1 Antwort zu H7



Für die Anfangsbedingungen


erhält man aus der Lösung




und den Ableitungen




das (nichtlineare) Gleichungssystem




Subtraktion der ersten beiden Gleichungen ergibt (da die Amplitude nicht gleich Null sein kann)


woraus direkt


und somit


folgt.
Durch Addition der beiden letzten Gleichungen erhält man


bzw.


Einsetzen in die letzte Gleichung liefert


und somit auch


Da nur die Produkte auftreten, kann man ohne Einschränkung


setzen. Das (alleine relevante) relative Vorzeichen wird dann über die Koeffizienten wie zuvor festgelegt. Für die Koeffizienten erhält man somit





   Notiere und diskutiere die Ergebnisse  für und .


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6.1 Antwort zu H8



Die Schwingungen der beiden Massen werden durch




beschrieben. Die Abb. 6 illustriert die beiden Lösungen. Man erzielt das gleiche Ergebnis wenn man


wählt (bitte nachprüfen!!!). Die Koeffizienten werden durch die Anfangsbedingung und nicht durch die Numerierung der Eigenmoden bestimmt.


Abbildung 6: Die Schwingungen (rot) und (blau) für die vorgegebenen Anfangsbedingungen



   Zur Beantwortung der Frage (6) nach der Veränderung der Situation bei Austausch der mittleren Feder gegen drei parallele Federn (jeweils mit der Federkonstanten ) ist zunächst die folgende Vorbetrachtung  nützlich: Betrachte eine Masse, die an drei gleichen Federn befestigt ist (Abb. 7), um die Strecke ausgelenkt wird und die Geschwindigkeit hat. Wie sieht die Lagrangefunktion aus? (Siehe auch Aufg. 4.11).


Abbildung 7: Aufbereitung des variierten Problems




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6.1 Antwort zu H9



Die Lagrangefunktion für dieses Bewegungsproblem lautet




(alle drei Federn sind um den gleichen Betrag gestaucht/gestreckt). Die drei parallelen Federn wirken wie eine Feder mit der dreifachen Federkonstanten.

   Wie kann die Frage (6) mit geringem Aufwand  beantwortet werden?


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6.1 Antwort zu H10



In den Gleichungen für die Eigenfrequenz ist durch zu ersetzen






Die Frequenz einer Eigenschwingung ist um den Faktor erhöht.
Der entsprechende Eigenvektor berechnet sich aus


bzw. für die explizite Vorgabe


Somit ist wie zuvor


Die Bewegung der beiden Massen wird durch die gleiche Linearkombination der Normalschwingungen beschrieben, deren Frequenz nun jedoch


ist. Der Unterschied in den Schwingungsmustern kann Abb. 8 entnommen werden.


Abbildung 8: Vergleich der Schwingungen ( rot, blau)





JAVA
JAVA
(eindimensionale Schwingung)    (zweidimensionale Schwingung)

Aufruf eines Applets

(Ein weiteres Applet zu dem Thema Federkette findet man in D.tail 6.1)

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