Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.13
  1. Verwende die Darstellung des Drehimpulses   durch das Levi-Civita Symbol.
  2. Setze diesen Ausdruck für den Drehimpuls  in die Poissonklammer ein und vereinfache den Ausdruck durch Auswertung der einzelnen Terme.
  3. Anstatt die gesamte Rechnung für erneut durchzuführen, ersetze  durch und berechne die geforderten Poissonklammern.
  4. Berechne die Poissonklammer  nach der gleichen Methode für .
  5. Was fällt bei dem Vergleich  der beiden Sätze von Poissonklammern auf?
  6. Notiere die Ausgangsgleichung  für die Possonklammer und werte die Terme einzeln aus.
  7. Versuche einen Ausdruck  zu finden, der die Terme und auf eine einfache Form reduziert. Beginne mit dem ersten Term. Nutze die Tatsache, dass


    ist.
  8. Führe die gleiche Überlegung  für den zweiten Term durch.
  9. Setze diese Ergebnisse  ein und werte die Poissonklammer vollständig aus.

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5.13 Antwort zu H1





mit
              (gerade Permutation)
        (ungerade Permutation)
        alle anderen Kombinationen.



   Setze diesen Ausdruck für den Drehimpuls  in die Poissonklammer ein und vereinfache den Ausdruck durch Auswertung der einzelnen Terme.


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5.13 Antwort zu H2



Für die Poissonklammer ergibt sich





   Anstatt die gesamte Rechnung für erneut durchzuführen, ersetze  durch und berechne die geforderten Poissonklammern.


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5.13 Antwort zu H3



Für findet man


und


und somit


Im Detail erhält man


                         
                 
                 



Nebenrechnung

   Berechne die Poissonklammer  nach der gleichen Methode für .


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5.13 Antwort zu H4



Für findet man entsprechend


und


und somit


bzw. im Detail


                         
                 
                 



  
  • Was fällt bei dem Vergleich  der beiden Sätze von Poissonklammern auf?


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    5.13 Antwort zu H5



    In beiden Fällen reproduziert die Poissonklammer der Drehimpulskomponenten mit den jeweiligen Variablen eben diese Variablen, natürlich jeweils diejenigen mit dem `fehlenden` Index. Das Vorzeichen entspricht einer zyklischen Vertauschung des Zahlentupels , das Minuszeichen nichtzyklischen Vertauschungen. Das Matrixmuster ist in beiden Fällen



       Notiere die Ausgangsgleichung  für die Possonklammer und werte die Terme einzeln aus.


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    5.13 Antwort zu H6



    Die Poissonklammer lautet in diesem Fall




    Berechnung des Faktors in dem ersten Summanden ergibt




    wobei im letzten Schritt nur der Summenindex umbenannt wurde. Die zweite partielle Ableitung wird ebenso berechnet




    Setzt man diese Ausdrücke in die allgemeine Formel ein, so erhält man





       Versuche einen Ausdruck  zu finden, der die Terme und auf eine einfache Form reduziert. Beginne mit dem ersten Term. Nutze die Tatsache, dass


    ist.


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    5.13 Antwort zu H7



    Die `Kontraktion` der Indices der Levi-Civita Symbole kann folgendermaßen evaluiert werden: Für ein gegebenes Wertepaar trägt zu der Summe


    nur ein -Wert bei. Für diesen -Wert muss das Indexpaar mit dem Paar übereinstimmen und zwar in der Form


    (Überprüfe dies!)

    Nebenrechnung

       Führe die gleiche Überlegung  für den zweiten Term durch.


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    5.13 Antwort zu H8



    Für den zweiten Term findet man entsprechend



       Setze diese Ergebnisse  ein und werte die Poissonklammer vollständig aus.


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    5.13 Antwort zu H9



    Es folgt also




    im Detail


                     
                     
                     


    Die Poissonklammer von zwei verschiedenen Drehimpulskomponenten ergibt eine Drehimpulskomponente nach dem Muster


    sowie drei Relationen, bei denen die Reihenfolge der Komponenten auf der linken Seite vertauscht ist und auf der rechten Seite ein Minuszeichen hinzukommt.

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