Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.6
  1. Wähle ein Koordinatensystem   und gib die Zwangsbedingungen an. Notiere die entsprechenden Gleichungen.
  2. Stelle die Bewegungsgleichungen  für die Bewegung der beiden Massen auf.
  3. Wie lauten die Bahngleichungen  für die Massen?
  4. Berechne die Geschwindigkeit  der Masse für und fertige eine Skizze der Funktionen und an.
  5. Betrachte die Position und die Geschwindigkeit  der Masse für den Grenzfall und fertige eine Skizze dieser Funktionen an.
  6. Berechne die Position  der Masse für den Grenzfall und fertige eine Skizze der Funktion an.
  7. Berechne die Geschwindigkeit  der Masse in dem Grenzfall und fertige eine Skizze der Funktion an. Was fällt auf?
  8. Wie wird der Grenzfall  korrekt behandelt?
  9. Es bleibt die Frage  zu beantworten, wieso die Bewegung von in dem Grenzfall nicht korrekt in dem ersten Teil der Diskussion bestimmt werden konnte.



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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.6 Antwort zu H1



Lege den Ursprung des Koordinatensystems in den Mittelpunkt des Kreises (Abb. 2) und wähle die Gerade als -Achse.


Abbildung 2: Wahl des Koordinatensystems


Die folgenden Zwangsbedingungen liegen vor:
(1)
Die Masse bewegt sich auf einem Kreis.
(2)
Die Masse führt eine uniforme Kreisbewegung aus.
(3)
Die beiden Massen sind durch eine starre Stange der Länge verbunden.
(4)
Die Masse kann sich nur entlang der -Achse bewegen.


   Setze die Zwangsbedingungen in Gleichungen um.























































(1)
Die Masse bewegt sich auf einem Kreis


(2)
Die Masse führt eine uniforme Kreisbewegung entgegen der Uhrzeigerrichtung aus




Die Anfangsbedingungen ist für erfüllt.
(3)
Die beiden Massen sind durch eine starre Stange der Länge verbunden


(4)
Die Masse kann sich nur entlang der -Achse bewegen



   Stelle die Bewegungsgleichungen  für die Bewegung der beiden Massen auf.


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5.6 Antwort zu H2



Für die vier kartesischen Koordinaten liegen vier Zwangsbedingungen vor. Die Bewegung der beiden Massen wird somit nicht durch Differentialgleichungen, sondern alleine durch die Zwangsbedingungen bestimmt. Diese führen direkt auf die Bahngleichungen der zweiten Masse.

   Wie lauten die Bahngleichungen  für die Massen?


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5.6 Antwort zu H3



Für die Masse lautet die Parameterdarstellung der Bahngleichung bei den vorgegebenen Anfangsbedingungen, wie schon diskutiert,


Aus der Bedingung (3)


folgt mit der Bedingung (4) ()

     























































Die Anfangsbedingung für


sind für das positive Vorzeichen erfüllt. Man erhält somit für die Bewegung von



   Berechne die Geschwindigkeit  der Masse für und fertige eine Skizze der Funktionen und an.


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5.6 Antwort zu H4



Aus


folgt für die Geschwindigkeit


Die beiden Größen sind in Abb. 3a und 3b dargestellt.


Abbildung 3: Position und Geschwindigkeit der Masse für



Die Abbildung illustriert ein Situation, in der die Länge der Stange nur wenig größer ist als der Radius des Kreises. Der Massenpunkt erreicht deswegen zu dem Zeitpunkt fast den Mittelpunkt des Kreises. Der Betrag der Geschwindigkeit ist in einem deutlich erkennbaren Zeitintervall um diesen Umkehrpunkt sehr klein.

   Betrachte die Position und die Geschwindigkeit  der Masse für den Grenzfall und fertige eine Skizze dieser Funktionen an.


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5.6 Antwort zu H5



In dem Grenzfall kann man die Wurzel in den Größen


bzw.


nach dem kleinen Parameter entwickeln. Man erhält in niedriger Ordnung




Die Masse bewegt sich (bei Vernachlässigung von Termen der Ordnung , harmonisch um die Stelle (Abb. 4).



Abbildung 4: Position und Geschwindigkeit der Masse für (niedrigste Ordnung)




   Berechne die Position  der Masse für den Grenzfall und fertige eine Skizze der Funktion an.


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5.6 Antwort zu H6



In dem Grenzfall ist


Addition der beiden Terme ergibt


da die Wurzel für die vorgegebene Anfangsbedingung mit dem positiven Vorzeichen beiträgt. In dem Intervall hat die Funktion demnach die in Abb. 5 gezeigte Form.


Abbildung 5: Position der Masse für



Die Interpretation dieses Schaubildes ist: Die Masse zieht die Masse in den Koordinatenursprung, sie verharrt an dieser Stelle (während den Halbkreis vollendet) und wird ab wieder in Bewegung gesetzt bis sie die Ausgangssituation erreicht.

   Berechne die Geschwindigkeit  der Masse in dem Grenzfall und fertige eine Skizze der Funktion an. Was fällt auf?


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5.6 Antwort zu H7



Für die Geschwindigkeit von findet man in dem Grenzfall


Das Ergebnis, das in Abb. 6 gezeigt ist, bedingt den folgenden Kommentar.


Abbildung 6: Geschwindigkeit der Masse für





   (Denkpause)























































Offensichtlich treten Schwierigkeiten auf. Die Funktion ist für an den Stellen und unbestimmt und die links- und rechtsseitigen Grenzwerte stimmen an diesen Stellen nicht überein (Abb 7). Die Interpretation des Schaubildes wäre: Die Geschwindigkeit von müsste in beliebig kurzer Zeit von der Geschwindigkeit auf Null absinken und nach einem Zeitraum von , ebenfalls in beliebig kurzer Zeit, von dem Wert Null auf den Wert springen. Dies kann nicht stimmen.

Abbildung 7: Geschwindigkeit der Masse für



   Wie wird der Grenzfall  korrekt behandelt?


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5.6 Antwort zu H8



Um diesen Grenzfall korrekt zu behandeln, ist es notwendig noch einmal zu den Ausgangsgleichungen zurückzukehren. Die Zwangsbedingung (3)


entspricht


mit und also




   Löse und interpretiere diese quadratische Gleichung.























































Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind

   Es bleibt die Frage  zu beantworten, wieso die Bewegung von in dem Grenzfall nicht korrekt in dem ersten Teil der Diskussion bestimmt werden konnte.


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5.6 Antwort zu H9



Zur Beantwortung dieser Frage stellt man die Lösungen der quadratischen Gleichungen
        
        
gegenüber. Die zwei Lösungen der ersten quadratischen Gleichung sind


wobei die erstere den geforderten Anfangsbedingung entspricht. Die zwei Lösungen der zweiten quadratischen Gleichung sind




In dem Grenzfall erhält man


Da die Wurzel selbst positiv definit ist, kann man auch schreiben


Für die vorgegebenen Anfangsbedingungen, die das Pluszeichen erfordern, gilt dann


Die zwei Lösungen der ersten Gleichung treten auf, sind jedoch inkorrekt vermischt. Die Zwangsbedingung (3) ändert in dem Grenzfall ihren Charakter, sie erlaubt eine andere Bewegungsform. Aus diesem Grund können die Operationen Grenzübergang und Lösung der quadratischen Gleichungen nicht vertauscht werden.



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Aufruf eines Applets

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