3.10 Kugel und Massenpunkt auf der Rutsche mit Überschlag
Für eine partielle Analyse von einfachen Bewegungsproblemen ist die
Anwendung des Energiesatzes ausreichend. Das Beispiel aus Kap. 3.2.3.3
(ein Massenpunkt bewegt sich unter dem Einfluss der einfachen Gravitation
reibungsfrei auf einer Bahn mit kreisförmigem Überschlag) soll hier
durch Variation der Anfangsbedingungen und durch einen Vergleich mit der
Bewegung einer rollenden Kugel auf der gleichen Bahn vertieft werden
Aufgabenstellung
Auf einer Rutsche mit Überschlag in der Form eines Kreises (Radius
)
bewegen sich unter dem Einfluss der einfachen Gravitation
(A) ein reibungsfrei gleitender Massenpunkt
(B) eine rollende Kugel mit homogener Massenverteilung, Radius
und
der gleichen Masse
(Abb. 1).
Abbildung 1:
Die Rutsche mit Überschlag
 |
Für beide Objekte sind die Fragen zu beantworten:
- (1)
- Wie hoch über dem Boden (
) müssen der Massenpunkt bzw. der
Kugelmittelpunkt ihre Bewegung beginnen,
damit sie sich bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit
durch die
höchste Stelle des Überschlags bewegen ohne abzustürzen?
- (2)
- Wie groß muss die Anfangsgeschwindigkeit (
) bei einem Startpunkt
auf der Erdoberfläche sein, damit die Objekte, wie oben, nicht an der höchsten Stelle des
Überschlags abstürzen?
- (3)
- Diskutiere die Unterschiede, die für Objekt (A) versus Objekt (B)
auftreten. Betrachte die Aufteilung der Gesamtenergie und die
Geschwindigkeiten unter der Annahme
für den
Kugelradius und für die Anfangsbedingungen
- (a)
-
bei einem Start auf der Erdoberfläche, wobei
groß
genug sein muss, um gerade den Loop durchlaufen zu können.
- (b)
-
bei einer vorgegebenen Anfangshöhe
, die ausreicht,
um den Loop zu durchlaufen.
Benötigt wird (im Vorgriff auf Kap 6.3 ) die kinetische Energie der
Drehbewegung einer Kugel um eine Achse durch das Zentrum
Dabei bezeichnet
das Trägheitsmoment, das
für eine Kugel mit homogener Massenverteilung
ist. Die Größe
bezeichnet
den Drehwinkel um die Drehachse durch das Zentrum der Kugel.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008