Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.10
  1. Welche Gemeinsamkeiten/Unterschiede   bestehen zwischen diesem Problem und dem in Kapitel 5.3.2 diskutierten Kugelpendel (sphärisches Pendel)?
  2. Notiere die Lagrangefunktion. 
  3. Stelle die Bewegungsgleichung  auf.
  4. Wodurch sind Gleichgewichtspunkte  (in diesem Pendelproblem) ausgezeichnet?
  5. Berechne die Extremalstellen  des effektiven Potentials und stelle fest, ob es sich um Minima oder Maxima handelt. Diskutiere die jeweilige Situation im Detail.
  6. Stabilität beinhaltet, dass das Pendel bei kleinen Auslenkungen aus der Gleichgewichtssituation in diese zurückkehren würde. Für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtssituation gilt


    Entwickle  die Bewegungsgleichung in erster Ordnung in der kleinen Größe .
  7. Betrachte die genäherte Bewegungsgleichung  für .
  8. Betrachte die genäherte Bewegungsgleichung  für .


    Abbildung 2: Geometrie des rotierenden Pendels

Werkzeuge




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5.10 Antwort zu H1



Das Pendel in dieser Aufgabe hat wie das Kugelpendel zwei Freiheitsgrade. Das Problem wird sinnvollerweise auch in Kugelkoordinaten gelöst. Ein Unterschied besteht darin, dass die Bewegung in der - Richtung durch


vorgegeben ist.

   Notiere die Lagrangefunktion.


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5.10 Antwort zu H2



Mit




ist die Lagrangefunktion gleich





   Stelle die Bewegungsgleichung  auf.


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5.10 Antwort zu H3



Die Standardvorschrift ergibt





   Wodurch sind Gleichgewichtspunkte  (in diesem Pendelproblem) ausgezeichnet?


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5.10 Antwort zu H4



Eine Gleichgewichtssituation ist durch charakterisiert. Gleichgewichtspunkte (in dem Winkel ) entsprechen Minimalpunkten des effektiven Potentials



   Berechne die Extremalstellen  des effektiven Potentials und stelle fest, ob es sich um Minima oder Maxima handelt. Diskutiere die jeweilige Situation im Detail.


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5.10 Antwort zu H5



Extremalpunkte liegen wegen


für




vor. In dem letzten Fall muss


sein. Um festzustellen ob (bzw. wann) ein Minimum vorliegt, muss die zweite Ableitung betrachtet werden. Diese ist


Für die Extremalstellen findet man
(a)
Im Fall ist


Die Gleichgewichtssituation mit ist stabil, solange die Winkelgeschwindigkeit kleiner als ist. Ist die Winkelgeschwindigkeit größer als die kritische Winkelgeschwindigkeit , so liegt kein Minimum an dieser Stelle vor und die Bedingung ist nicht erfüllbar. Das Pendel würde sich aus der Gleichgewichtssituation entfernen.

(b)
Für den Winkel findet man


Der Punkt ist (wie bei dem nichtrotierenden Pendel) instabil, unabhängig von der Größe der Winkelgeschwindigkeit.

(c)
Für mit


findet man


Dieser Gleichgewichtspunkt ist also für Drehgeschwindigkeiten oberhalb der kritischen Drehgeschwindigkeit stabil. Die beiden stabilen Gleichgewichtswinkel ergänzen sich in dem Sinne, dass
für
für
ein stabiler Gleichgewichtspunkt ist.

   Stabilität beinhaltet, dass das Pendel bei kleinen Auslenkungen aus der Gleichgewichtssituation in diese zurückkehren würde. Für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtssituation gilt


Entwickle  die Bewegungsgleichung in erster Ordnung in der kleinen Größe .


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5.10 Antwort zu H6



Die Bewegungsgleichung




enthält trigonometrische Funktionen in , die zu entwickeln sind




Setzt man diese Näherung in die Bewegungsgleichung ein, so erhält man bis zur ersten Ordnung in

   (die Differentialgleichung )

























































   Betrachte die genäherte Bewegungsgleichung  für .


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5.10 Antwort zu H7



Für findet man die Oszillatorgleichung


mit der Frequenz


die für eine reelle Größe darstellt.

   Betrachte die genäherte Bewegungsgleichung  für .


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5.10 Antwort zu H8



Auch in diesem Fall erhält man eine Oszillatorgleichung, und zwar mit der Frequenz


eine Größe, die für reell ist.


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