Zur Lösung der gestellten Aufgabe sind die Masse, die
Schwerpunktskoordinaten
und die Elemente des Trägheitstensors zu
berechnen. Gib eine Substitution an, die die Rechnung im Fall von
Kugelgeometrie etwas vereinfacht.
Stelle die
Diagonalelemente
der Trägheitsmatrix zusammen.
Welche Aussage folgt aus diesen Ergebnissen und für den Fall ?
Wie groß sind die Halbachsen des äquivalenten
Trägheitsellipsoides?
Berechne die
Hauptträgheitsmomente
für das achsenparallele Koordinatensystem
durch dem Schwerpunkt.
Berechne die geforderten
Größen
für den Fall der Kugel (2).
Die Rechnung verläuft weitgehend analog zu dem Fall (1). Auch hier wird
auf die angefügte Tabelle der Winkelintegrale verwiesen.
Beginne mit der Berechnung der Masse der Kugel.
Entwickle eine
Vorstellung
von der Dichteverteilung (2).
Welche
Position
hat der Schwerpunkt?
(Kann man diese andeutungsweise erraten?)
Berechne die entsprechenden
Teilintegrale, , und die
Deviationsmomente , und der Trägheitsmatrix.
Kommentiere in Bezug auf die Ergebnisse für die Kugel (1).
Welche
Integrale
müssen in der Teilaufgabe (3) berechnet werden?
Welche Veränderungen ergeben sich im Vergleich zu der Rechnung
für die homogene Vollkugel?
Berechne die
Dichte
der Hohlkugel, die bei gleichem äußerem Radius die
gleiche Masse ergibt wie die einer homogenen Vollkugel. Was ist der Unterschied
in dem (den) Trägheitsmoment(en)?
Die Masse der vorgegebenen Kugel ist (für ) größer als die
Masse einer homogenen Kugel mit der Dichte .
Wie geht man vor, um die
Trägheitsmatrix
bezüglich des
Schwerpunktes zu berechnen?
Durch die Aufgabenstellung ist ein Koordinatensystem , dessen Ursprung der
Kugelmittelpunkt ist, vorgegeben. Aus der Sicht dieses
Koordinatensystems berechnet man die Position des Schwerpunktes und die
Trägheitsmatrix. Die Elemente der Trägheitsmatrix bezüglich des
Schwerpunktes können dann mit dem Satz von Steiner
(B6.125)
gewonnen werden.
Berechne die
Position
des Schwerpunktes der Kugel (1).
Einige alternative Darstellungen der Dichteverteilung sind in den folgenden
Abbildungen zu sehen. Die
Abb. 1a entspricht der Standarddarstellung der
Funktion (in dem Intervall für bestimmte Werte
der Parameter
). Die (oft benutzte) Polardarstellung in
Abb. 1b
vermittelt eine direktere Vorstellung der Situation. Aufgetragen ist in der
- Ebene für jeden Wert von die Größe
als Länge eines von dem Koordinatenursprung ausgehenden Strahls.
In Abb. 2
wird versucht, die Situation in einem dreidimensionalen Bild zu veranschaulichen.
Man sieht die konstante Dichte für drei Werte des Winkels . Die
Kugelflächen (der Übersicht halber nur für eine Halbkugel dargestellt)
deuten an, dass die Dichte für alle Punkte mit dem gleichen Wert von
innerhalb der Kugel den gleichen Wert hat.
Abbildung 1:
Die Dichteverteilung , (1)
(Parameter:
,
,
)
Abbildung 2:
Variation der Dichte (1) mit dem Winkel (und dem Abstand )
Welche
Integrale
sind zur Berechnung der Matrixelemente im Fall der
Kugel (1) auszuwerten?
Für die Teilintegrale der diagonalen Elemente der Trägheitsmatrix
in dem vorgegebenen Koordinatensystem findet man
Die Deviationsmomente
verschwinden alle.
Stelle die
Diagonalelemente
der Trägheitsmatrix zusammen.
Welche Aussage folgt aus diesen Ergebnissen und für den Fall ?
Wie groß sind die Halbachsen des äquivalenten
Trägheitsellipsoides?
Die Koordinatenachsen sind Hauptachsen, da alle Deviationsmomente verschwinden.
Für gehen diese Resultate in die Resultate für die homogene Kugel
über. Der Term mit dem Parameter trägt zu der Trägheitsmatrix
in dem System nicht bei.
Für die Halbachsen des äquivalenten Trägheitsellipsoids gewinnt
man
über die Gleichungen
die folgenden Aussagen
Berechne die
Hauptträgheitsmomente
für das achsenparallele Koordinatensystem
durch dem Schwerpunkt.
findet man für die Hauptträgheitsmomente in dem achsenparallelen
Schwerpunktsystem
mit
Alle Deviationsmomente verschwinden auch in dem Schwerpunktsystem.
Die parallelverschobenen Achsen sind immer noch Hauptachsen.
Die Massenverteilung bezüglich der -Achse ändert sich durch die
Verschiebung des Bezugspunktes nicht. Aus diesem Grund ist das
Hauptträgheitsmoment bezüglich dieser Achse unverändert. Die
Verschiebung verändert die Hauptträgheitsmomente der anderen Achsen
und zwar (infolge der Symmetrie) in gleicher Weise. Die Änderung
hängt von dem zusätzlichen `Arm`, der durch den Parameter
bestimmt ist, ab.
Berechne die geforderten
Größen
für den Fall der Kugel (2).
Die Rechnung verläuft weitgehend analog zu dem Fall (1). Auch hier wird
auf die angefügte Tabelle der Winkelintegrale verwiesen.
Beginne mit der Berechnung der Masse der Kugel.
Die `Korrektur` der Masse einer homogenen Kugel ist gegenüber dem Fall (1)
verändert, da die Gewichtung (trotz der gleichen Form) durch die verschiedenen
Integrationsbereiche der beiden Winkel eine andere ist.
Entwickle eine
Vorstellung
von der Dichteverteilung (2).
Infolge der Symmetrie der Massenverteilung liegt der Schwerpunkt auf der
-Achse und zwar an der Stelle
Berechne die entsprechenden
Teilintegrale, , und die
Deviationsmomente , und der Trägheitsmatrix.
Kommentiere in Bezug auf die Ergebnisse für die Kugel (1).
Die Addition der Einzelintegrale und die Verwendung des Ausdrucks für
die Masse liefert die folgenden Ergebnisse
Die Ergebnisse für diese Massenverteilung
unterscheiden sich von denen der Teilaufgabe (1) in den folgenden
Punkten: Bei der Teilaufgabe (1) besteht keine Symmetrie bezüglich der
Vertauschung der - und -Achsen, das Hauptträgheitsmoment
bezüglich der -Achse ist gegenüber dem der homogenen Kugel
nicht verändert. In der Teilaufgabe (2) ist die Symmetrie zwischen
den - und -Achsen gegeben und alle Hauptträgheitsmomente werden
gegenüber der homogenen Kugel modifiziert. Die Struktur der
Modifikationen ist (abgesehen von Zahlenwerten) in beiden Teilaufgaben
sehr ähnlich.
Gib die
Trägheitsmatrix
bezogen auf das Schwerpunktsystem an.
Wie im Fall (1) erhält man mit der Steinerformel keine Veränderung der
Deviationsmomente, da die Verschiebung wiederum nur in einer
Koordinatenrichtung stattfindet. Für die Hauptträgheitsmomente
gilt in diesem Fall
mit
Welche
Integrale
müssen in der Teilaufgabe (3) berechnet werden?
Welche Veränderungen ergeben sich im Vergleich zu der Rechnung
für die homogene Vollkugel?
Die Winkelintegrale unterscheiden sich (Benutzung von Kugelkoordinaten vorausgesetzt)
nicht von dem Fall der Vollkugel.
Es treten auch die gleichen Radialintegrale jedoch mit der unteren Grenze
anstatt Null auf. Für diese Radialintegrale gilt
so dass man die Diagonalelemente
über das Integral
berechnen kann. Man erhält
Für die Deviationsmomente gilt wie zuvor
Berechne die
Dichte
der Hohlkugel, die bei gleichem äußerem Radius die
gleiche Masse ergibt wie die einer homogenen Vollkugel. Was ist der Unterschied
in dem (den) Trägheitsmoment(en)?
Die Trägheitsmomente der gleich schweren Hohlkugel erhält man, wenn man
in dem Resultat
die Masse der Vollkugel einsetzt
im Vergleich zur Vollkugel mit
gilt also
Die Trägheitsmomente der Hohlkugel sind größer als die einer
Vollkugel mit gleichem Radius und gleicher Masse, da die Beiträge
zu dem Radialintegral, die weiter von den Koordinatenachsen entfernt
sind, stärker gewichtet werden.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008