6.6 Trägheitsmatrix: Quader und Ellipsoid

Die Kenntnis der Trägheitsmatrix für einige Grundkörper gehört zum Rüstzeug der theoretischen Physik. Die Berechnung der entsprechenden Matrixelemente ist eine Übung in Dreifachintegration, wobei sowohl die Frage nach geeigneten Substitutionen als auch die Frage nach optimalen Integrationsvariablen beantwortet werden sollte. Zu dem Grundstock gehören Quader und Ellipsoid, die hier betrachtet werden.

Aufgabenstellung

Berechne die Trägheitsmatrix
(1)
eines homogenen Quaders (Kantenlängen , , , Dichte ) in Bezug auf die Achsen durch die Mitte der Seitenflächen (Abb. 1a). Betrachte den Grenzfall eines Würfels.
(2)
eines homogenen Ellipsoides (Halbachsen , , , Dichte ) in Bezug auf die Halbachsen (Abb. 1b). Vergleiche diese Rechnung mit der Rechnung für eine Kugel.



Abbildung 1: Die homogenen Körper



Für jedes der Beispiele sind die Masse und alle 6 Elemente des Trägheitstensors zu berechnen. (Nutze die Symmetrie!) Es treten eine ganze Reihe von Winkelintegralen auf, die in einer Tabelle zusammengestellt sind. Diese bestimmten oder auch unbestimmten Integrale können Integraltafeln entnommen werden oder (per partieller Integration) relativ leicht berechnet werden.

Werkzeuge:

Tabelle mit Winkelintegralen




Deine Antworten:

zu (1) Die Masse des Quaders beträgt

Die Trägheitsmomente sind

zu (2) Die Masse des Ellipsoides beträgt

Die Matrixelemente sind:..

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008