Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.6
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Das Problem wird am besten in
ebenen Polarkoordinaten
diskutiert.
Notiere die zuständigen Bewegungsgleichungen für das Einziehen
der Masse in Polarkoordinaten.
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Welcher
Erhaltungssatz
folgt aus der Azimutalgleichung?
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Bestimme die
Integrationskonstante
des Erhaltungssatzes
aus den Anfangsbedingungen und gib eine Relation
zwischen
und
auf der Basis des Erhaltungssatzes an.
-
Benutze die
Relation
und den Drehimpulssatz, um
eine Differentialgleichung für die Bahngleichung
aufzustellen.
-
Löse die
Differentialgleichung
für die Radialkoordinate.
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Bestimme die
Fadenkraft
aus der Radialgleichung.
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Berechne die
Arbeitsleistung
während des Einzuges.
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Wie vergleichen sich die Aussagen aus der
Energiebilanz
mit den
Aussagen des Drehimpulserhaltungssatzes?
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
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3.6 Antwort zu H1
Die Bewegungsgleichungen während des Einziehens sind die
Radialgleichung und die Azimutalgleichung:
Es wird (mit zunächst unbekannter) Kraft
nach innen gezogen, somit wird
ein negativer Wert von
erwartet.
Welcher
Erhaltungssatz
folgt aus der Azimutalgleichung?
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3.6 Antwort zu H2
Diese Gleichung beinhaltet Drehimpulserhaltung während des Einzuges
Bestimme die
Integrationskonstante
des Erhaltungssatzes
aus den Anfangsbedingungen und gebe eine Relation
zwischen
und
auf der Basis des Erhaltungssatzes an.
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3.6 Antwort zu H3
Zur Bestimmung der Konstanten
benutzt man die Anfangsbedingungen
Der Drehimpulserhaltungssatz liefert somit die Relation
Benutze die
Relation
und den Drehimpulssatz, um
eine Differentialgleichung für die Bahngleichung
aufzustellen.
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3.6 Antwort zu H4
Für die radiale Geschwindigkeit
der Masse
während des
Einziehens gilt
(Zug nach innen). Damit kann man schreiben
(benutze die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion).
Die Differentialgleichung für
lautet somit
Löse die
Differentialgleichung
für die Radialkoordinate.
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3.6 Antwort zu H5
Die Differentialgleichung
kann durch Variablentrennung gelöst werden
Die Konstante
wird bei der Aufgabenstellung nicht festgelegt. Auflösung
nach
ergibt
Dies ist die Bahngleichung einer Spirale (Abb. 2).
Abbildung 2:
Bahnkurve
 |
Der Abb. 3 entnimmt man z. B. die folgenden Aussagen: eine Erhöhung der
Anfangsgeschwindigkeit
bedingt eine engere Spirale. Der Bahnradius nimmt bei
einer Erhöhung der Einzugsgeschwindigkeit (wie zu erwarten) schneller ab.
Abbildung 3:
Illustration der Gleichung der Bahnkurve
mit
,
und den Parametern
,
(rot),
,
(blau),
,
(grün)
|
Bestimme die
Fadenkraft
aus der Radialgleichung.
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3.6 Antwort zu H6
Die Fadenkraft
, die während des Einzuges wirkt,
kann, wegen
direkt aus der Radialgleichung
zu
gewonnen werden.
Man muss eine Kraft anwenden, die (bei vorgegebener 'Stärke') mit dem
Radius wie
variiert, um eine konstante Einzugsgeschwindigkeit
zu gewährleisten.
Abbildung 4:
Kraftwirkung für uniformen Einzug
mit
,
und den Parametern
(rot),
(blau)
|
Die Fadenkraft ist unabhängig von der Einzugsgeschwindigkeit
, eine
Vergrößerung der Anfangsgeschwindigkeit erfordert eine Vergrößerung
der Fadenkraft (Abb. 4).
Berechne die
Arbeitsleistung
während des Einzuges.
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3.6 Antwort zu H7
Die Arbeitsleistung während des Einziehens berechnet man über
Für den Einzug von
nach
also
Durch die Arbeitsleistung während des Einzuges von
nach
wird die kinetische Energie der Masse um einen Faktor 8 erhöht.
Wie vergleichen sich die Aussagen aus der
Energiebilanz
mit den
Aussagen des Drehimpulserhaltungssatzes?
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3.6 Antwort zu H8
Die Aussage bezüglich der kinetischen Energie geht konform mit
der Drehimpulserhaltung. Aus der Relation
erhält man für
Die Differenz der kinetischen Energie vor und nach dem Einziehen ist
also
gleich der an der Masse geleisteten Arbeit.
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