Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.2
  1. Sortiere die Geometrie   des Problems und wähle ein geeignetes Bezugssystem.
  2. Bestimme die Gesamtkraft,  die an der Masse angreift.
  3. Formuliere die Bewegungsgleichung  für die Bewegung in der Vertikalen
  4. Versuche, die nicht bekannten Größen  und in der Bewegungsgleichung in Beziehung zu zu setzen. Verwende die Bedingung für die Ruhelage, um zu bestimmen bzw. um die Geometrie der Ruhelage mit der Gravitationskonstanten zu verknüpfen.
  5. Linearisiere die (exakte) Differentialgleichung  für die vertikale Auslenkung.
  6. Welche Informationen  kann man dieser Gleichung entnehmen?
  7. Leite eine Gleichung  für die Periode unter Vernachlässigung der Änderung des Winkels mit der Auslenkung ab.
  8. Vergleiche die Resultate  und .
  9. Berechne die Länge  der unbelasteten Feder, den Winkel zwischen der unbelasteten Feder und der -Richtung und die Periode für die vorgegebenen Werte. Vergleiche das Ergebnis für mit dem einfachen Wert .



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6.2 Antwort zu H1



Die Geometrie des Problems legt es nahe, den Koordinatenursprung in die Mitte der Verbindungsstrecke zwischen den Aufhängepunkten zu legen und, wie angedeutet, ein rechtshändiges Koordinatensystem zu wählen (Abb. 2). Für jede Auslenkung in der Vertikalen ist
der Winkel zwischen der Horizontalen und jeder der Federn          
die Länge der Feder          
der Abstand der Masse von der Horizontalen          
Größen, die die Ruhelage des Systems charakterisieren, werden mit dem Index ( ) gekennzeichnet.


Abbildung 2: Geometriebetrachtungen und Festlegung eines Koordinatensystems



Der Mittelpunkt der Masse (der relevante Massenpunkt) entspricht dem Verbindungspunkt der beiden Federenden. (Auch wenn dies nicht der Fall ist, der Mittelpunkt der Masse also z.B. ein wenig tiefer liegt, so hat dies keine Auswirkung auf das Endergebnis. Der Betrag der Verschiebung kann am Ende der Rechnung einfach wieder zu als Konstante addiert werden.) Der feste Abstand der beiden Aufhängepunkte der Federn ist . Wie in der Aufgabenstellung vorgegeben, ist die Länge der unbelasteten Feder.

   Bestimme die Gesamtkraft,  die an der Masse angreift.


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6.2 Antwort zu H2



Es greifen 3 Kräfte an der Masse an (Abb. 3):

     Kraft:         Richtung:
Rückstellkraft Feder 1         von Masse zum Aufhängepunkt der Feder1
Rückstellkraft Feder 2         von Masse zum Aufhängepunkt der Feder2
Schwerkraft         zum Erdmittelpunkt (Vertikale)



Abbildung 3: Auf die Masse wirkende Kräfte



Die Rückstellkräfte werden durch das Hookesche Gesetz bestimmt. Der Betrag dieser Kräfte ist


ihre Komponentenzerlegung




Mit der Schwerkraft


ergibt sich für die Gesamtkraft


Bei vertikaler Auslenkung wirkt nur eine effektive Kraft in der Vertikalen.

   Formuliere die Bewegungsgleichung  für die Bewegung in der Vertikalen


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6.2 Antwort zu H3



Das 2. Newtonsche Axiom ergibt im Fall von vertikalen Auslenkungen in der -Richtung


Die resultierende Differentialgleichung


ist in dieser Form nicht analytisch lösbar. Die Details der eindimensionalen Bewegung hängen von der zweidimensionalen Geometrie ab, nämlich von der Auslenkung der Federn zu dem Zeitpunkt bzw. dem Winkel . Da und in nichtlinearer Weise mit der eigentlichen Variablen verknüpft sind, sind einige Schritte notwendig, um ein lineares Oszillatorproblem für kleine vertikale Schwingungen zu gewinnen.

   Versuche, die nicht bekannten Größen  und in der Bewegungsgleichung in Beziehung zu zu setzen. Verwende die Bedingung für die Ruhelage, um zu bestimmen bzw. um die Geometrie der Ruhelage mit der Gravitationskonstanten zu verknüpfen.


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6.2 Antwort zu H4



In der Differentialgleichung


sind (neben ) die Größen und nicht bekannt. Zur Bestimmung von betrachtet man die Ruhelage der Masse. Da in diesem Fall die Summe der auf die Masse wirkenden Kräfte (Gesamtkraft) gleich Null ist, folgt


Diese Gleichung kann nach der einzigen Unbekannten aufgelöst werden


Die Konstante kann aus den vorgegebenen Größen berechnet werden. Für spätere Verwendung notiert man noch die Auflösung der Bedingung für die Ruhelage nach der Gravitationskonstante


Eine Relation zwischen der Größe und kann direkt Abb. 4 entnommen werden. Es ist


Abbildung 4: Relationen zwischen den Variablen des Pendels





Entsprechend gilt in der Ruhelage


Ersetzt man nun in der Bewegungsgleichung durch den bereitgestellten Ausdruck sowie die Sinusfunktionen durch die Längenverhältnisse, so erhält man die Umschreibung


bzw. nach Sortierung


Die Länge kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras mit verknüpft werden


(entsprechend gilt ), so dass man letztlich die nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für


gewinnt.

   Linearisiere die (exakte) Differentialgleichung  für die vertikale Auslenkung.


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6.2 Antwort zu H5



Die Differentialgleichung


kann linearisiert werden, indem man die Funktion in eine Taylorreihe um die Ruhelage entwickelt und alle nichtlinearen Terme in vernachlässigt. Solange als klein gelten kann, ist dies zulässig und sinnvoll. Ausgehend von


findet man, da ist (bitte nachrechnen oder überlegen) die linearisierte Differentialgleichung


Die (partielle) Ableitung von ist




Die Ableitung an der Stelle kann wieder durch die vorgegebenen Größen und ausgedrückt werden, indem man und durch diese Größen ersetzt




Die linearisierte Differentialgleichung lautet somit



   Welche Informationen  kann man dieser Gleichung entnehmen?


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6.2 Antwort zu H6



Es liegt die wohlbekannte Oszillatorgleichung in der Auslenkung aus der Ruhelage vor


aus der man direkt die Periode entnehmen kann. Mit


findet man


und



   Leite eine Gleichung  für die Periode unter Vernachlässigung der Änderung des Winkels mit der Auslenkung ab.


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6.2 Antwort zu H7



Die Bewegungsgleichung des Pendels für vertikale Auslenkungen


nimmt nach der Ersetzung von durch


und mit die Form


an.
Mit der in entsprechender Näherung gültigen Relation


und erhält man dann die Oszillatorgleichung


aus der die Kreisfrequenz


bzw. die entsprechende Periode


abgelesen werden kann.

   Vergleiche die Resultate  und .


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6.2 Antwort zu H8



Den Unterschied zwischen der einfachen Lösung und der konsistent linearisierten Lösung diskutiert man zweckmäßigerweise anhand des Verhältnisses




Die effektive Periode ist kleiner (größer) als der einfache Wert, falls das Argument der Quadratwurzel größer (kleiner) als 1 ist.




Abb. 5 zeigt dieses Verhältnis für verschiedene Werte von , bezogen auf cm, als Funktion des Winkels .


Abbildung 5: Verhältnis von zu als Funktion von für verschiedene Längen




   Berechne die Länge  der unbelasteten Feder, den Winkel zwischen der unbelasteten Feder und der -Richtung und die Periode für die vorgegebenen Werte. Vergleiche das Ergebnis für mit dem einfachen Wert .


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6.2 Antwort zu H9



Mit den vorgegebenen Werten
         
              
erhält man auf der Basis der Gleichung


das Resultat . Durch die Belastung wird jede der Federn um beinahe gestreckt. Um den Winkel zwischen der -Achse und der unbelasteten Feder aufgrund der Vorgaben zu berechnen, benutzt man


für die unbelastete Feder. Die noch unbekannte Größe ist für alle vertikalen Auslenkungen gleich und kann somit z.B. aus den Daten für die belastete Feder in Ruhelage


bestimmt werden. Das Ergebnis ist


Die Periode erhält man durch direktes Einsetzen zu


Vergleich der Periode in der linearisierten Näherung mit der einfachen


ergibt


Dies entspricht einer Erhöhung von gegenüber um ca. 75 %.


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Aufruf eines Applets

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