Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.7
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Die Integration einer Differentialgleichung vom Typ
wird durch
die Substitution
ermöglicht. Löse die
Differentialgleichung
für die
Winkelkoordinate.
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Berechne die
allgemeine Lösung
für
.
Bestimme die spezielle Lösung für die vorgegebenen Anfangsbedingungen.
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Wie ändert sich die
Lagrangegleichung,
wenn die einfache Schwerkraft
einbezogen wird?
Werkzeuge
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
5.7 Antwort zu H1
Durch die Substitution
wird die Differentialgleichung
in
übergeführt. Diese Differentialgleichung kann mittels Variablentrennung
behandelt werden. Der Integrand des Zeitintegrals ist eine
logarithmische Ableitung
Die Ausführung der angedeuteten Integrationen ergibt also
Auflösung nach
und Zusammenfassung der Integrationskonstanten (es wurde
einmal integriert) liefert
Nochmalige Integration liefert das im Buch zitierte Resultat
Berechne die
allgemeine Lösung
für
.
Bestimme die spezielle Lösung für die vorgegebenen Anfangsbedingungen.
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5.7 Antwort zu H2
Für die Funktion
kann das anstehende Integral
den Standardintegraltafeln oder den
Werkzeugen entnommen werden.
Werkzeuge
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Die
explizite
Berechnung dieses Integrals ist als Übung zu empfehlen, auch wenn
sie etwas langwierig ist.
Die Winkelkoordinate ergibt sich demnach zu
Die Anfangsbedingungen erfordern
und
Die spezielle Lösung ist somit
Im Grenzfall
ist
Man erhält somit
die Lösung der Differentialgleichung
mit den Anfangsbedingungen
und
Wie ändert sich die
Lagrangegleichung,
wenn die einfache Schwerkraft
einbezogen wird?
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5.7 Antwort zu H3
Die potentielle Energie ist unter Einbeziehung der Schwerkraft
Dies besagt, dass nur die Variable
durch die Schwerkraft
beeinflusst wird. Die Lagrangegleichung enthält jetzt einen Term
so dass die Oszillatorgleichung in
übergeht. Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen
linearen Differentialgleichung ist, wegen
Die Anfangsbedingungen
erfordern hier
Die Lösung ist also
Die Funktion
beschreibt eine Oszillation mit der Amplitude
um die Gleichgewichtslage
Sie ist in Abb. 1 für die Fälle
dargestellt.
Abbildung 1:
Die Funktion
für
(blau) und
(grün)

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2008