1.4.1.3 Cauchy-Hauptwerte.
Die Situation, dass eine singuläre Stelle des Integranden im Innenbereich
des Integrationsintervalles liegt (siehe Abb. 1.19), behandelt man in
ähnlicher Weise.
Abbildung 1.19:
Singuläre Stellen im Integrationsintervall
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Man spart zunächst ein `kleines Intervall` um die singuläre
Stelle aus und betrachtet die entsprechenden Grenzwerte
Es ergeben sich drei Möglichkeiten:
- 1.
- Die beiden Grenzwerte existieren, wenn man
und
unabhängig voneinander gegen Null gehen lässt.
Das uneigentliches Integral ist dann konvergent.
- 2.
- Ein endlicher Grenzwert existiert nur, wenn man
setzt und sich dann sozusagen
gleichmäßig der singulären Stelle von beiden Seiten nähert
Falls dieser Grenzwert existiert, bezeichnet man ihn als den Cauchy-
Hauptwert
des uneigentlichen Integrales.
- 3.
- Existiert auch der Cauchy-Hauptwert nicht, so ist das
uneigentliche Integral divergent.
Ein Beispiel für ein Integral, das einen Cauchy-Hauptwert besitzt, ist
Abbildung 1.20:
Zum Cauchy-Hauptwertintegral
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Die zu bestimmende Fläche ist in Abb. 1.20 angedeutet. Die allgemeine
Grenzwertbetrachtung erfordert
Die einzelnen Grenzwerte existieren nicht
Betrachtet man jedoch den Fall
, so findet man
Der Cauchy-Hauptwert dieses uneigentlichen Integrales existiert.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008