Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.9
  1. Wie wird der Positionsvektor in ebenen Polarkoordinaten dargestellt?
  2. Berechne den Geschwindigkeitsvektor in ebenen Polarkoordinaten. Berechne die nötigen Einzelgrößen und setze daraus zusammen.
  3. Das Muster wiederholt sich bei der Berechnung des Beschleunigungsvektors in der Darstellung durch ebene Polarkoordinaten. Führe diese Rechnung aus.
  4. Berechne den Geschwindigkeitsvektor in der kartesischen Zerlegung.
  5. Gibt es eine alternative Möglichkeit? Berechne auch den Beschleunigungsvektor.
  6. Wie lautet die Transformationsgleichung zwischen dem kartesischen Koordinatenzweibein und dem Koordinatenzweibein der Polarkoordinaten?
  7. Benutze die Transformation zwischen den kartesischen Basisvektoren und den Basisvektoren der Polarkoordinaten, um die kartesische Zerlegung der drei kinematischen Vektoren , und in eine Zerlegung nach den Basisvektoren der Polarkoordinaten umzuschreiben.
  8. Für welche Zeiten ist die Geschwindigkeit maximal/minimal?
  9. Wie ändert sich die Flächengeschwindigkeit mit der Zeit?



Werkzeuge




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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































2.9 Antwort zu H





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2.9 Antwort zu H1



Die Definition des Positionsvektors in ebenen Polarkoordinaten lautet



   Berechne den Geschwindigkeitsvektor in ebenen Polarkoordinaten. Berechne die nötigen Einzelgrößen und setze daraus zusammen.


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2.9 Antwort zu H2



Zur Berechnung des Geschwindigkeitsvektors


(die Zeitabhängigkeit wird im Folgenden nicht immer explizit ausgeschrieben) benötigt man die Größen und . Mit der Vorgabe ist

  
























































und

  
























































Setzt man diese Zutaten zusammen, so erhält man





   Das Muster wiederholt sich bei der Berechnung des Beschleunigungsvektors in der Darstellung durch ebene Polarkoordinaten. Führe diese Rechnung aus.


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2.9 Antwort zu H3



Die Beschleunigung ist




Man benötigt die zweiten Ableitungen von und .

Nebenrechnung
Mit diesen Größen erhält man das Zwischenergebnis




Die Komponente der Beschleunigung proportional zu verschwindet, es liegt also eine Radialbeschleunigung vor. Um diesen Term weiter zu bearbeiten, bringt man die einzelnen Beiträge auf einen gemeinsamen Nenner (wobei der Faktor im Zähler ausgeschrieben wird)




Man sammelt nun die Faktoren von , und




Hier erkennt man das zugrunde liegende zweidimensionale Oszillatorproblem (harmonisch).

   Berechne den Geschwindigkeitsvektor in der kartesischen Zerlegung.


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2.9 Antwort zu H4



Der Geschwindigkeitsvektor ist


Die Ableitungen der kartesischen Komponenten


können über




berechnet werden, wobei die oben angegebenen Ausdrücke für und einzusetzen sind.

   Gibt es eine alternative Möglichkeit? Berechne auch den Beschleunigungsvektor.


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2.9 Antwort zu H5



Ja, man berechnet zuerst die explizite Zeitabhängigkeit der kartesischen Koordinaten (mit den vorgegebenen Umschreibungen der -Funktion):




und




Man hätte diese Relationen auch direkt aus den Vorgaben ablesen können:


und


Die Berechnung von und in der kartesischen Darstellung, beginnend mit


ergibt dann





   Wie lautet die Transformationsgleichung zwischen dem kartesischen Koordinatenzweibein und dem Koordinatenzweibein der Polarkoordinaten?


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2.9 Antwort zu H6



Die Transformationsgleichung ist




deren Umkehrung




(vergleiche (B2.52) und (B2.53)).

   Benutze die Transformation zwischen den kartesischen Basisvektoren und den Basisvektoren der Polarkoordinaten, um die kartesische Zerlegung der drei kinematischen Vektoren , und in eine Zerlegung nach den Basisvektoren der Polarkoordinaten umzuschreiben.


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2.9 Antwort zu H7



Die Transformation zwischen den beiden Zerlegungen der drei Vektoren erfordert die Anwendung der Transformationsgleichungen




und die Relationen




Man berechnet dann







Die Umrechnung von unterscheidet sich von der Umrechnung von nur durch den zusätzlichen Faktor .

   Für welche Zeiten ist die Geschwindigkeit maximal/minimal?


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2.9 Antwort zu H8



Der Betrag der Geschwindigkeit ist


Um die Extremwerte der Geschwindigkeit zu berechnen, werden die Nullstellen der ersten Ableitung von gesucht


Nur der Zähler kann Null werden, es folgt demnach




Mit Hilfe der zweiten Ableitung wird entschieden, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt








Maximalwerte der Geschwindigkeit werden für


erreicht. Minimalwerte liegen für


vor. Die Maximalwerte entsprechen Punkten, die näher an dem Koordinatenursprung liegen.

   Wie ändert sich die Flächengeschwindigkeit mit der Zeit?


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2.9 Antwort zu H9



Die Flächengeschwindigkeit ist gemäß der Formel




zu berechnen. Die Flächengeschwindigkeit ist zeitlich konstant, wie es für ein Problem mit Zentralbeschleunigung zu erwarten ist.



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