Detail 2.1
Lissajousproblem: Diskussion der allgemeinen Bahngleichung
(B2.17)
In einem zweidimensionalen Koordinatensystem
ist eine Gleichung der Form
 |
(2.1.1) |
mit den Koeffizienten
vorgegeben. Die Behauptung lautet: Diese Gleichung
stellt eine um den Mittelpunkt gedrehte Ellipse dar
(Abb. 2.1).
Zum Beweis dieser Behauptung geht man zu einem Koordinatensystem
über, das gegenüber dem System
um einen Winkel
gedreht ist.
Abbildung 2.1:
Darstellung der Ellipse in den beiden Koordinatensystemen
 |
Die zuständigen Transformationsgleichungen, die die Koordinaten
eines Punktes aus der Sicht von
mit den Koordinaten
des gleichen Punktes aus der Sicht von
verknüpft, ist
(vergleiche (B2.52), (B2.53))
Setzt man diese Transformation in die Ausgangsgleichung
(2.1.1)
ein, so erhält man
mit
Wählt man den Drehwinkel
so, dass
ist,
so erhält man in dem System
mit
Dies ist die Standardellipsenform
vorausgesetzt die
Koeffizienten
und
sind positiv. (Falls einer der Koeffizienten
,
negativ wäre, läge eine Hyperbel vor.)
Um nachzuweisen, dass dies für die vorgegebenen Gleichungen zutrifft,
sind die folgenden Fallunterscheidungen
notwendig.
Fall (i):
Es ist dann
, so dass die Gleichungen
(2.1.2) unter Verwendung von
die Form annehmen
Für die Wahl
ist
und
und
(und damit die Koeffizienten
und
) sind ungleich Null, außer für
Die Gleichung der Bahnkurve in dem System
für
ist also
die Gleichung einer Ellipse
mit
Für die ausgeschlossenen Werte
ist entweder
und
oder
und
.
In dem gedrehten Koordinatensystem ist die Bahngleichung
oder
.
Der Massenpunkt bewegt sich auf einer der Koordinatenachsen des
Systems
. Dies ist konsistent mit der Aussage in dem System
:
Fall (ii):
In diesem Fall bedingt die Forderung
einen Drehwinkel, der durch
 |
(2.1.3) |
bestimmt ist. Um diese Aussage zur Diskussion der Koeffizienten
und
zu verwerten, benötigt man
die Umschreibung
sowie die Relationen
Der erste Satz von Relationen ergibt sich
aus der Beziehung zwischen dem Tangens eines Winkels und dem entsprechenden
Sinus bzw. Kosinus,
der zweite Satz folgt aus dem Additionstheorem.
Es ist zunächst zu zeigen, dass der Radikand in den Ausdrücken
(2.1.4) und (2.1.5)
positiv ist.
Dazu berechnet man
Für den größtmöglichen negativen Wert von
erhält man in der Tat
und somit auch für alle anderen Werte von
.
Für die Koeffizienten
und
findet man
und
Der Koeffizient
ist positiv, da dies für
,
und den Radikanden der Wurzel gilt.
In dem Ausdruck für
wird die Wurzel subtrahiert. Es
interessiert also der größtmögliche positive Wert der Wurzel,
der für
mit
erreicht wird.
Für den entsprechenden Winkel
ist die Bahnkurve wieder eine
Gerade, die in dem System
wegen
und
durch
charakterisiert wird.
Für alle anderen Werte von
gilt
Die Bahnkurve ist (bis auf den ausgenommenen Winkel
) auch für den Fall (ii)
eine Ellipse mit
Fall (iii):
kann in vollständiger Analogie zu dem Fall (ii) diskutiert werden, beginnend mit
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<Mechanik Details > R. Dreizler C. Lüdde
2008