Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.10
  1. Notiere den Energiesatz   für die beiden Objekte.
  2. Welche Bedingung  muss erfüllt sein, damit die Masse/Kugel im höchsten Punkt des Loops nicht abstürzt?
  3. Bestimme aus dem Energieerhaltungssatz und der Zusatzbedingung für beliebige Anfangssituationen eine Relation  zwischen der Anfangsgeschwindigkeit und der Anfangshöhe.
  4. Was kann man zu diesen Ergebnissen  bemerken?
  5. Berechne die notwendige Anfangsgeschwindigkeit  , wenn die beiden Objekte auf der Erdoberfläche starten. Wie groß ist die Endgeschwindigkeit , wenn die Objekte nach Passieren des Loops wieder auf der Erdoberfläche sind?
  6. Betrachte die Zusammensetzung  der Gesamtenergie der beiden Objekte bei einem Startpunkt auf der Erdoberfläche für die drei Zeitpunkte , (im Maximum der Schleife) und . Die Anfangsgeschwindigkeit soll dabei die Minimalgeschwindigkeit sein, bei der das jeweilige Objekt den Loop gerade noch durchläuft.
  7. Betrachte den Fall , für die drei Zeitpunkte  , (im Maximum der Schleife) und .



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3.10 Antwort zu H1



In dem Gravitationsfeld gilt Energieerhaltung. Für den Massenpunkt (A) hat man kinetische und potentielle Energie


im Detail


Für die Kugel (B) setzt sich die Gesamtenergie aus den kinetischen Energien der Translation (des Kugelmittelpunktes) und der Rotation sowie der potentiellen Energie (ebenfalls bezogen auf die Position des Kugelmittelpunktes) zusammen


im Detail für zwei beliebige Zeiten



   Welche Bedingung  muss erfüllt sein, damit die Masse/Kugel im höchsten Punkt des Loops nicht abstürzt?


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3.10 Antwort zu H2



Die Zentrifugalkraft muss im höchsten Punkt der Schleife der Schwerkraft die Waage halten.
Für den Massenpunkt (A) bedeutet dies


wobei die Geschwindigkeit des Massenpunktes in dem höchsten Punkt der Schleife ist. Für die Kugel (B) ist der Bezugspunkt der Kugelmittelpunkt. Aus diesem Grund gilt


Es wird (natürlich) vorausgesetzt, dass ist. In vielen Fällen kann der Kugelradius vernachlässigt werden.

   Bestimme aus dem Energieerhaltungssatz und der Zusatzbedingung für beliebige Anfangssituationen eine Relation  zwischen der Anfangsgeschwindigkeit und der Anfangshöhe.


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3.10 Antwort zu H3



Für den Massenpunkt (A) gilt:


Mit der Loopbedingung erhält man


Für die Kugel (B) ist die Auflösung des Energiesatzes nach wegen des Auftretens von nicht sofort möglich. Man benötigt einen Zusammenhang zwischen der Drehgeschwindigkeit und der Geschwindigkeit des Kugelmittelpunktes zu einem beliebigen Zeitpunkt Dieser lautet

Nebenrechnung


Benutzt man diese Relation, so lautet die Gesamtenergie der Kugel


Bei der Nutzung der Zusatzbedingung ist zu beachten, dass sich der Kugelmittelpunkt in dem höchsten Punkt des Loops in der Höhe befindet. Es gilt deswegen


und nach Ersetzung von und Auflösung nach



   Was kann man zu diesen Ergebnissen  bemerken?


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3.10 Antwort zu H4



Ist , so ist eine bestimmte Anfangshöhe notwendig. Besitzen die Objekte eine Anfangsgeschwindigkeit , so gelangen die zwei Objekte auch bei einer niedrigeren Anfangshöhe noch durch die Schleife. Vergleicht man Kugel und Massenpunkt so findet man für den Fall
(a)
Bei Vernachlässigung der Kugelausdehnung muss die Kugel eine um 8 % größere Anfangshöhe haben, um es noch durch die Schleife zu schaffen.
(b)
Ist der Kugelradius z.B. , also ca. des Durchmessers der Schleife, so rollt die Kugel bei derselben Anfangshöhe des Mittelpunktes wie die des Massenpunktes noch durch den Loop.
(c)
Die Unterschiede sind dadurch bedingt, dass bei dem Massenpunkt die potentielle Energie alleine in Energie der Translationsbewegung umgesetzt wird. Bei der Kugel findet man ca. der anfänglichen potentiellen Energie als kinetische Energie der Translationsbewegung und ca. als kinetische Energie der Drehung wieder.

   Berechne die notwendige Anfangsgeschwindigkeit  , wenn die beiden Objekte auf der Erdoberfläche starten. Wie groß ist die Endgeschwindigkeit , wenn die Objekte nach Passieren des Loops wieder auf der Erdoberfläche sind?


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3.10 Antwort zu H5



Für den Massenpunkt (A) ist die anfängliche Höhe Aus der Bedingung zwischen und erhält man somit


Aus dem Energiesatz folgt für die Endsituation


Anfangs- und Endgeschwindigkeit sind gleich groß. Für die Kugel (B) ist die Anfangshöhe des Mittelpunktes . Gemäß der Relation zwischen und muss die Anfangsgeschwindigkeit gleich


sein, bei vernachlässigbarem Kugelradius ist
Aus dem Energiesatz


ergibt sich auch hier die Ausage, dass und gleich groß sind.

   Betrachte die Zusammensetzung  der Gesamtenergie der beiden Objekte bei einem Startpunkt auf der Erdoberfläche für die drei Zeitpunkte , (im Maximum der Schleife) und . Die Anfangsgeschwindigkeit soll dabei die Minimalgeschwindigkeit sein, bei der das jeweilige Objekt den Loop gerade noch durchläuft.


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3.10 Antwort zu H6



Die anfängliche Gesamtenergie des Massenpunktes (A) ist kinetisch


In dem höchsten Punkt der Schleife ( ) setzt sich die Gesamtenergie aus den Anteilen


zusammen, was einer Aufteilung in 20 % kinetischer Energie und 80 % potentieller Energie entspricht. Die Situation für entspricht der Situation für
Im Fall der Kugel (B) ist die anfängliche Gesamtenergie




bzw. bei dem vorgegebenen Kugelradius


Es entfallen ca. 70.9 % auf den Translationsanteil, ca. 28.4 % auf den Rotationsanteil und ca. 0.8 % auf die potentielle Energie. In dem höchsten Punkt ist




bei dem Kugelradius also


Hier ist die Aufteilung ca. 18.4 % Translationsanteil, ca. 7.4 % Rotationsanteil und ca. 74.3 % potentielle Energie. Die Endsituation entspricht wieder der Anfangssituation. Im Vergleich der beiden Objekte ist zu bemerken: Die Gesamtenergie ist für die Kugel um ca 6.6 % höher als für den Massenpunkt. Die benötigte anfängliche Geschwindigkeit ist für den Massenpunkt größer als für die Kugel:




da ein Teil der benötigten anfänglichen kinetischen Energie im Fall der Kugel als Rotationsenergie vorliegt. In dem höchsten Punkt sind die Geschwindigkeiten


versus


Die Geschwindigkeit des Massenpunktes ist um ca. 2 % höher, was dadurch bedingt ist, dass der Mittelpunkt der Kugel an der höchsten Stelle der Schleife etwas unterhalb des Massenpunktes liegt. Bei kleinem Kugelradius kann die Kugel essentiell als Massenpunkt betrachtet werden. Dabei ist jedoch zu bedenken, dass die Energie der Drehbewegung in keinem Fall vernachlässigt werden darf. Die Relation besagt, dass bei vorgegebener Geschwindigkeit des Zentrums der Kugel eine Verkleinerung von eine Vergrößerung von bedingt. Die kinetische Energie der Drehbewegung ist aber unabhängig davon



   Betrachte den Fall , für die drei Zeitpunkte  , (im Maximum der Schleife) und .


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3.10 Antwort zu H7



Ist , so sind die notwendigen Anfangshöhen




Die benötigte Höhe ist für die Kugel um 6.6% höher als für den Massenpunkt. Ein entsprechender Unterschied besteht für die potentielle Energie. Ein Vergleich mit dem Ergebnis für die vorherigen Anfangsbedingungen zeigt, dass die Gesamtenergie in beiden Fällen sowohl für den Massenpunkt als auch für die Kugel übereinstimmt. Die anfängliche Gesamtenergie wird, falls die Forderung besteht, dass das Objekt gerade durch die Schleife gelangen soll ohne abzustürzen, alleine durch die Loopbedingung bestimmt. Die beiden Sätze von Anfangsbedingungen unterscheiden sich nur insofern als in einem Fall die Anfangsenergie kinetisch, in dem anderen Fall potentiell ist. Die gleichgroße Anfangsenergie bedingt jedoch, dass für beide Anfangsbedingungen die gleichen Verteilungen der Gesamtenergie auf kinetische und potentielle Anteile zu den Zeiten und vorliegen wie im Fall der Anfangssituation mit .

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