Detail 6.5
Trägheitsmatrix: Bestimmung von Hauptträgheitsmomenten
Für eine vorgegebene Trägheitsmatrix
sollen die Hauptträgheitsmomente und die Transformation
auf das entsprechende körperfeste Koordinatensystem bestimmt
werden. Zunächst ist die Determinante
auszuwerten. Dazu benutzt man entweder die Regel von Sarrus oder
Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte.
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(6.5.1) |
Zur Lösung der anstehenden kubischen Gleichung kann man entweder
die Gleichung mit Standardmethoden, wie der Cardanformel,
explizit lösen oder man kann
versuchen, eine Faktorisierung gemäß
zu finden.
Die Wurzeln der kubischen Gleichung sind die Hauptträgheitsmomente
Im nächsten Schritt zwecks Berechnung der Drehmatrix
sind drei homogene lineare Gleichungssysteme
mit der Normierungsbedingung
(reelle Koeffizienten vorausgesetzt)
zu lösen.
Für jedes der Systeme ergeben z.B. zwei der drei Gleichungen
eine Aussage der Form
und somit
und
(per Einsetzen in eine geeignete Gleichung des Systems)
. Die Normierungsbedingung
liefert dann
Das Vorzeichen von
kann frei gewählt werden. Die Vorzeichen von
und
sind dann festgelegt.
Im Detail findet man für
Man beachte, dass die Orthogonalitätsrelation
automatisch erfüllt ist (wenn nicht, liegt ein Rechenfehler vor).
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<Mechanik Details > R. Dreizler C. Lüdde
2008