6.2.5 Differentialgleichungen höheren Grades
Die Standardform ist ein `Polynom` in den Ableitungen erster Ordnung
Ein solches Polynom kann faktorisiert werden
wobei unter Umständen das Auftreten von komplexen Funktionen in Kauf
zu nehmen ist. Es bietet sich an, die einzelnen Faktordifferentialgleichungen
zu lösen und daraus die Gesamtlösung zusammenzusetzen. Die
entsprechende Strategie soll an zwei Beispielen illustriert werden.
Für die Differentialgleichung
lautet die Faktorisierung
. Die Einzellösungen sind
Das Produkt
kann jedoch nicht die
Gesamtlösung sein, da eine Differentialgleichung erster Ordnung,
unabhängig von dem Grad, nur eine Integrationskonstante enthalten
darf. Als Ausweg bietet es sich an,
zu setzen. Man stellt
dann fest, dass die Funtion
oder
(eine
Schar von parallelverschobenen, nach oben bzw. nach unten offenen
Parabeln) die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist.
Das zweite Beispiel ist, der Einfachheit halber, ebenfalls eine
Differentialgleichung zweiten Grades
Faktorisierung ergibt
, mit den
Einzellösungen
Die allgemeine Lösung ist nach der angedeuteten Vorschrift
wobei eines der Vorzeichen genügt, da der Parameter
die Werte
annehmen kann. Die Lösungsmannigfaltigkeit
ist eine Parabelschar, deren Minima auf der
-Achse liegen.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008