4.13 Huygen's Zykloidenpendel

Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels ändert sich mit dem Maximalausschlag. Da bei der Nutzung eines Pendels als Zeitmesser unweigerlich Reibungseffekte auftreten, ändert sich der Maximalausschlag mit der Zeit. Dieses Pendel ist also für präzisere Zeitmessungen nicht geeignet. Schon im 17. Jahrhundert hat Christian Huygens als idealen Zeitmesser das Zykloidenpendel vorgeschlagen. Dieser Vorschlag ist in der Aufgabe im Detail zu untersuchen. Es sind diverse Zykloiden zu betrachten, die Bewegungsgleichung des Zykloidenpendels aufzustellen und die Vorschläge von Huygens (mit moderneren Mitteln) zu überprüfen.

Aufgabenstellung

(A)
Die Zykloide ist eine Kurve, die von einem Punkt eines Kreises (Radius ) erzeugt wird, wenn der Kreis ohne zu gleiten auf einer Geraden abrollt (Abb. 1).


Abbildung 1: Entstehung einer Zykloide, Fall 1


Für eine Parameterdarstellung der Zykloide kann man den Rollwinkel benutzen. Gib die Parameterdarstellungen für die folgenden Situationen an
(1)
Der Punkt ist anfänglich an der Stelle und der Kreis rollt auf der -Achse ab (Abb. 1).
(2)
Der Punkt ist anfänglich an der Stelle und der Kreis rollt unter der -Achse ab (Abb. 2).


Abbildung 2: Entstehung einer Zykloide, Fall 2

(3)
Der Punkt ist anfänglich an der Stelle und der Kreis rollt unter der -Achse ab.


Skizziere die Kurven.


(B)
Bewegt sich eine Masse unter dem Einfluss der Schwerkraft auf einer Zykloide (anstatt auf einem Kreis wie bei dem mathematischen Pendel), so findet man (Huygens, 1673), dass die Masse für Anfangsauslenkungen mit einem Winkel in den Grenzen isochron schwingt (Abb. 3).
(1)
Stelle die Bewegungsgleichung des Zykloidenpendels auf und beweise somit diese Aussage.
(2)
Gib die Lösung der Bewegungsgleichung an. Diskutiere die Schwingungsdauer des Zykloidenpendels.
(3)
Vergleiche den Energiesatz für das mathematische Pendel und das Zykloidenpendel.


Abbildung 3: Bewegung auf einer Zykloide



(C)
Um ein Zykloidenpendel zu realisieren, hat Huygens vorgeschlagen, in der Spitze einer Zykloiden (erzeugt durch eine Kreis mit Radius ) einen Faden der Länge anzubringen, der sich bei der Auslenkung rechts und links an diese Führungszykloiden anschmiegt (Abb. 4).


Abbildung 4: Realisierung eines Zykloidenpendels


Die Behauptung ist: Die dabei entstehende Bahnkurve ist ebenfalls eine Zykloide. Hinter dieser Behauptung steht die Aussage, dass die Evolute (der geometrische Ort der Krümmungsmittelpunkte) einer Zykloiden wieder eine Zykloide ist. Berechne die Parameterdarstellung der Evoluten einer geeigneten Zykloide gemäß




(Die Striche bedeuten Ableitungen der Funktionen der Parameterdarstellung nach dem Parameter .) Verifiziere den Vorschlag von Huygens.


Deine Antworten:

Die Parameterdarstellung der Zykloide für den Fall (A2) ist





Die Parameterdarstellung der Zykloide für den Fall (A3) ist





Der Massenpunkt, der sich auf der Zykloide bewegt (B2), hat eine Schwingungsdauer von

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008