Poissonklammern treten in der Mechanik bei der Diskussion der
Bewegungsgleichung für eine physikalische Größe, die durch die
generalisierten Koordinaten und Impulse dargestellt wird, auf. In dieser
Gleichung wird die Differenz der totalen und der partiellen Ableitung dieser
Größe durch die Poissonklammer dieser Größe mit der
Hamiltonfunktion verknüpft. Die Klammern stellen somit ein nützliches
Hilfsmittel bei der Charakterisierung physikalischer Größen
dar.
Sie haben eine besondere Bedeutung bei dem formalen Übergang
zwischen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik gewonnen. Die
weitbekannte Unschärferelation geht letztlich auf die Poissonklammer
zwischen Koordinaten und Impulskomponenten zurück. Auch die
Eigenschaften des Drehimpulses in Quantensystemen, die sich von
den Eigenschaften des Drehimpulses in klassischen Systemen
unterscheiden, wird durch die Poissonklammern zwischen den
Drehimpulskomponenten quasi vorbereitet. In dieser Aufgabe wird der
Umgang mit diesen Klammern anhand der Auswertung der Poissonklammern der
Drehimpulskomponenten mit anderen Größen geübt.
Aufgabenstellung
(1)
Berechne die Poissonklammern der Komponenten des Drehimpulsvektors
mit einem von und abhängigen Vektor
.
(2)
Betrachte insbesondere die Poissonklammern
(a)
(b)
(c)
Werkzeuge:
Verwende bei der Diskussion das Levi-Civita-Symbol
mit den Eigenschaften