Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.4
-
Wie lauten die
Lösungen
der Bewegungsgleichungen?
-
Stelle die
Geschwindigkeit
als Funktion von
und den
Koordinaten des Endpunktes dar.
-
Berechne den
Minimalwert
von
.
-
Eliminiere den Winkel
aus der
Relation
um
als Funktion der
Koordinaten des Endpunktes auszudrücken.
-
Wie ist der
Auftreffwinkel
definiert? Wie hängt der Winkel
mit dem Winkel
zusammen?
-
Stelle die
Funktion
durch die Koordinaten des Endpunktes
dar. Man benötigt dazu eine Relation zwischen
und
diesen Koordinaten.
-
Berechne die
Komponenten
und
der
Endgeschwindigkeit .
-
Bestimme die
Koordinaten
des höchsten Punktes.
-
Berechne die
Flugzeit
bis zu dem Maximalpunkt
.
-
Fertige eine Skizze der
angesprochenen Winkel
an. Betrachte den Tangens des Sichtwinkels
und stelle einen Zusammenhang zwischen den Winkeln
und
her.
-
Beweise
die Aussage
durch Anwendung der Additionstheoreme für das
Komplement von
zu
.
-
Berechne die geforderten
Zahlenwerte
für die Vorgabe
Werkzeuge
|
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2008
2.4 Antwort zu H1
Es liegen die gleichen Anfangsbedingungen wie in Aufg. 2.3 vor. Aus
diesem Grund sind die Lösungen der Bewegungsgleichungen (gegebenenfalls nachrechnen)
Stelle die
Geschwindigkeit
als Funktion von
und den
Koordinaten des Endpunktes dar.
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2.4 Antwort zu H2
Um
in der gewünschten Form darzustellen, geht man von den
Lösungen der Bewegungsgleichungen zu der Bahngleichung
(Elimination der Zeit) über.
Aus der Bewegungsgleichung für
folgt
Einsetzen in die Bewegungsgleichung für
ergibt die Bahngleichung
Diese kann nach
aufgelöst
und unter Benutzung von
vereinfacht werden. Die resultierende Gleichung ist für alle Punkte
der Bahnkurve gültig, so auch für die Koordinaten des Endpunktes
Berechne den
Minimalwert
von
.
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2.4 Antwort zu H3
ist minimal, wenn
minimal ist. Diese Größe ist
minimal, wenn der Nenner
maximal ist.
Das Maximum des Nenners bestimmt man aus
Daraus folgt die grundlegende Relation zwischen dem Wurfwinkel und den
Koordinaten des Zielpunktes
Negative Werte der Tangensfunktion treten in dem Intervall
bis
(modulo
) auf. Der Winkel
liegt dann
zwischen den Werten
und
(d.h. im ersten Quadranten),
in Übereinstimmung mit der Vorgabe, dass
und
positive Größen sind.
Um sicherzustellen, dass der gefundene Extremwert ein Maximum ist,
muss man die zweite Ableitung des Nenners betrachten
Setzt man das Ergebnis für
ein, so folgt
In dem Intervall
ist die Funktion
negativ. Die Extremalstelle ist ein Maximum des Nenners
von
, falls
ist.
Für
erhält man
,
was dem Ergebnis aus Aufg. 2.3 entspricht.
Eliminiere den Winkel
aus der
Relation
um
als Funktion der
Koordinaten des Endpunktes auszudrücken.
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2.4 Antwort zu H4
In der Gleichung
treten
und
auf. Diese Funktionen
können mit den unter `Werkzeugen` angegebenen Relationen
mit
in Verbindung gebracht werden.
So ergibt die Auflösung der Relation
nach
In dem vorliegenden Fall,
ist das negative Vorzeichen zuständig. Es gilt also
Den Term
(mit positivem Vorzeichen) berechnet man folgendermaßen
Damit erhält man
Der vorgegebene Punkt
wird
bei einem Wurfwinkel von
mit einer minimalen Wurfgeschwindigkeit
getroffen.
Im Fall
erhält man
(vergleiche Aufg. 2.3).
Wie ist der
Auftreffwinkel
definiert? Wie hängt der Winkel
mit dem Winkel
zusammen?
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2.4 Antwort zu H5
Der Winkel
, unter dem der Massenpunkt den Zielpunkt trifft,
ist durch
definiert (Abb. 2).
Abbildung 2:
Geschwindigkeitssituation im Zielpunkt
 |
Setzt man hier den Ausdruck für
ein und formt um, so
erhält man
Stelle die
Funktion
durch die Koordinaten des Endpunktes
dar. Man benötigt dazu eine Relation zwischen
und
diesen Koordinaten.
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2.4 Antwort zu H6
Eine Relation zwischen
und
gewinnt man aus
dem Additionstheorem
Lösung der quadratischen Gleichung für
sowie
Einsetzen der Koordinaten des Endpunktes ergibt
bzw., da
für
positiv
ist, mit dem positiven Vorzeichen vor der Wurzel
Setzt man dieses Ergebnis
(und das Resultat für
)
in den Ausdruck für
ein, so
findet man
Für
ist
. Der Auftreffwinkel ist dann
.
Berechne die
Komponenten
und
der
Endgeschwindigkeit .
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2.4 Antwort zu H7
Die gesuchten Geschwindigkeitskomponenten gewinnt man, indem man von den
Definitionen
ausgeht und die schon berechneten Relationen zwischen den Koordinaten des
Endpunktes und den trigonometrischen Funktionen (bzw.
) einsetzt. Für die
-Komponente der Geschwindigkeit ergibt sich
Für die
-Komponente ist die Argumentation dann kürzer
Bestimme die
Koordinaten
des höchsten Punktes.
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2.4 Antwort zu H8
Man benutzt die Bahngleichung
und bestimmt deren Extremum
Die Maximalstelle (ist es ein Maximum?) hat die
-Koordinate
Benutzt man die Ausdrücke für
und für
so erhält man für
Für
, ist, wie in Aufg. 2.3,
.
Für positive Werte von
, liegt der Maximalpunkt näher an
dem Zielpunkt als für
(Wäre etwas anderes zu erwarten gewesen?)
Die entsprechende
-Koordinate
berechnet man am einfachsten mit Hilfe der Relation (siehe oben)
Der Ausdruck vereinfacht sich dann zu
so dass sich nach Einsetzen der erforderlichen Ausdrücke und
Sortierung das Resultat
ergibt.
Berechne die
Flugzeit
bis zu dem Maximalpunkt
.
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2.4 Antwort zu H9
Die Relation
,
kann in
umgeschrieben werden. Setzt man hier die schon gewonnenen Ergebnisse ein, so
erhält man direkt
Fertige eine Skizze der
angesprochenen Winkel
an. Betrachte den Tangens des Sichtwinkels
und stelle einen Zusammenhang zwischen den Winkeln
und
her.
Abbildung 3:
Die Winkel
und
|
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2.4 Antwort zu H10
Der Winkel
, unter dem der Zielpunkt
angepeilt wird, ist durch
gegeben (Abb. 3).
Mit der Relation
folgt somit die Aussage
Beweise
die Aussage
durch Anwendung der Additionstheoreme für das
Komplement von
zu
.
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2.4 Antwort zu H11
Benenne die Winkel zur Abkürzung
(Abb. 4).
Abbildung 4:
Winkelgeometrie
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Es ist dann
Außerdem gilt (mit dem Additionstheorem für den Tangens)
Benutze die Relation zwischen
und
und erhalte
Dies lässt sich mit der Relation
zu
vereinfachen.
Es folgt somit
bzw.
Dies bedeutet: Der Winkel
ist gleich der Hälfte des Komplementes des
Zielwinkels zu
Um den Punkt
zu treffen, muss man den Zielpunkt anpeilen. Hat man
durch Peilung bestimmt, so kann man den entsprechenden
Wurfwinkel
in einfacher Weise berechnen.
Berechne die geforderten
Zahlenwerte
für die Vorgabe
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2.4 Antwort zu H12
Es ist nützlich die Zahl
zu notieren. Einsetzen der Koordinaten in die gewonnenen Gleichungen liefert:
- Für den Winkel
berechnet man zunächst die Werte
Da jedoch infolge der Symmetrie für den Tangens
und für den Sinus
möglich ist, lautet das Ergebnis in allen drei Fällen
- Die minimal mögliche Anfangsgeschwindigkeit ist
- Für die Komponenten der Endgeschwindigkeit erhält man
- Die maximale Höhe der Flugbahn ist
die Flugzeit bis zu diesem Punkt
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