Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.1
  1. Notiere das erforderliche Keplergesetz   in der Einkörper- und der Zweikörpernäherung.
  2. Sortiere die Vorgaben  in einer für die Auswertung geeigneten Weise.
  3. Berechne die noch benötigte Größe  aus den Vorgaben und bestimme die Erdmasse mit den zwei angegebenen Mondperioden in beiden Näherungen.
  4. Vergleiche die berechneten Werte  mit dem exakten.
  5. Welche der Gleichungen  kann man aufgrund der Angaben für die Berechnung der Saturnmasse benutzen?
  6. Führe die Rechnung  für beide Monde durch.
  7. Vergleiche die beiden Ergebnisse   miteinander.
  8. Welchen Schluss  kann man daraus ziehen?



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4.1 Antwort zu H1



Benötigt wird lediglich das dritte Keplergesetz, das in der Zweikörpernäherung (B4.26) in der Form


aufgelöst werden kann. Wird die Satellitenmasse vernachlässigt , so erhält man die Einkörpernäherung für die Masse des Zentralkörpers





   Sortiere die Vorgaben  in einer für die Auswertung geeigneten Weise.


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4.1 Antwort zu H2



Da die relevanten Entfernungen in Kilometern angegeben werden, ist es nützlich, die Gravitationskonstante in der Form


zu notieren. Ebenso sind die Zeiten in Sekunden umzurechnen.







   Berechne die noch benötigte Größe  aus den Vorgaben und bestimme die Erdmasse mit den zwei angegebenen Mondperioden in beiden Näherungen.


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4.1 Antwort zu H3



Es ist zuerst die große Halbachse der Mondbahn zu bestimmen. Aus der Definition der Exzentrizität folgt


Damit erhält man in der Einkörpernäherung und der genäherten Umlaufzeit




Die Einkörpernäherung und die genaue Umlaufzeit liefern




In der Zweikörpernäherung mit der genäherten Umlaufzeit und dem Faktor




erhält man




in der Zweikörpernäherung mit der genauen Umlaufzeit





   Vergleiche die berechneten Werte  mit dem exakten.


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4.1 Antwort zu H4



Die relativen Abweichungen gegenüber dem Standardwert sind




Der letzte Wert ist der genaueste. Der Unterschied zwischen der Einkörper- und der Zweikörpernäherung beträgt ca. Der Unterschied aufgrund der genäherten Umlaufzeit ist deutlich geringer ( ). Die Werte aus der Zweikörpernäherung sind etwas genauer, wenn auch nicht perfekt, da weitere Störungen (z.B. durch die Sonne) zu berücksichtigen sind.

   Welche der Gleichungen  kann man aufgrund der Angaben für die Berechnung der Saturnmasse benutzen?


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4.1 Antwort zu H5



Die Angaben reichen nur zur Nutzung der Einkörpernäherung aus, da das Massenverhältnis von Saturn zu dem entsprechenden Mond nicht zur Verfügung steht.

   Führe die Rechnung  für beide Monde durch.


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4.1 Antwort zu H6



Aus den Daten des ersten Mondes (Hyperion) ergibt sich




Die Daten des zweiten (Mimas) liefern





   Vergleiche die beiden Ergebnisse   miteinander.


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4.1 Antwort zu H7



Das Verhältnis ist in den beiden Fällen




Die Abweichungen von dem angegebenen Wert sind





   Welchen Schluss  kann man daraus ziehen?


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4.1 Antwort zu H8



Der Wert für Hyperion ist (zufälligerweise) exakt. Da der zweite Wert davon abweicht, kann man vermuten, dass die Einkörpernäherung für den Mond Hyperion angemessener ist, also dass dieser eine geringere Masse hat als der Mond Mimas.

Die in der Literatur angegebenen Werte sind:




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