Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.13
-
Fertige eine
Skizze
an. Wie hängt die abgerollte Strecke
von
dem Winkel
ab?
-
Stelle
Gleichungen
für die Koordinaten des Punktes auf dem Kreis
für das Abrollen auf der Geraden auf.
-
Wie lautet die
Parameterdarstellung
für das Abrollen unter der Geraden
mit dem Anfangspunkt
?
-
Gib die Parameterdarstellung für das Abrollen
unter der Geraden
mit dem Anfangspunkt
an.
-
Fertige
Skizzen
der drei Zykloiden an.
-
Welche der
drei Zykloiden
ist als Führungskurve
für das Zykloidenpendel geeignet?
-
Fertige eine Skizze der
angreifenden Kräfte
an. Welche Kraft bedingt die
Bewegung des Pendels?
-
Wie hängt der
Ausschlagwinkel
(siehe Abb. 12) von dem
Rollwinkel
ab?
-
Was benötigt man zur
Aufstellung
der Bewegungsgleichung?
-
Wie erhält man den gesuchten Ausdruck für die
Geschwindigkeit?
-
Wie erhält man den gesuchten Ausdruck für die
rücktreibende Kraft?
-
Notiere die
Bewegungsgleichung
und sortiere sie, so dass die
Schwingungsdauer
bestimmt werden kann.
-
Betrachte den
Energiesatz
, um das mathematischen Pendels mit dem
Zykloidenpendel zu vergleichen.
-
Welche
Zykloide
benutzt man zweckmäßigerweise für die Konstruktion des
Zykloidenpendels nach Huygens?
-
Berechne die benötigten
Ableitungen
für die Parameterdarstellung
der Evolute. Gib die Parameterdarstellung der Evolute an.
-
Wie kann man
diese Zykloide
im Sinne des Vorschlages von Huygens nutzen?
-
Überprüfe die
Aussage
, dass sich der Faden ganz an die Führungszykloiden
anschmiegen kann.
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4.13 Antwort zu H1
Abbildung 5:
Geometrie der Zykloide

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Für die von dem Zentrum des Kreises zurückgelegte Strecke
gilt die
Relation
(dies entspricht dem abgerollten Kreisbogen (Abb. 5)).
Stelle
Gleichungen
für die Koordinaten des Punktes auf dem Kreis
für das Abrollen auf der Geraden auf.
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4.13 Antwort zu H2
Die Koordinaten eines Punktes, der anfänglich im Koordinatenursprung
war, sind gemäß Abb. 6
Abbildung 6:
Entstehung der Zykloide 1: Details

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Wie lautet die
Parameterdarstellung
für das Abrollen unter der Geraden
mit dem Anfangspunkt
?
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4.13 Antwort zu H3
Rollt der Kreis unterhalb der
-Achse ab, so gilt gemäß
der Anfangsbedingungen (Abb. 7)
Abbildung 7:
Entstehung der Zykloide 2: Details

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Gib die Parameterdarstellung für das Abrollen
unter der Geraden
mit dem Anfangspunkt
an.
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4.13 Antwort zu H4
Für diese Anfangssituation (der Punkt ist anfänglich an der
Stelle
, wobei der Kreis unter der
-Achse abrollt, hat man
(Abb. 8)
Abbildung 8:
Entstehung der Zykloide 3: Details

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Fertige
Skizzen
der drei Zykloiden an.
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4.13 Antwort zu H5
Die Schaubilder der drei Zykloiden sind in Abb. 9 bis Abb. 11
skizziert.
Abbildung 9:
Zykloide 1
 |
Abbildung 10:
Zykloide 2
 |
Abbildung 11:
Zykloide 3
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Welche der
drei Zykloiden
ist als Führungskurve
für das Zykloidenpendel geeignet?
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4.13 Antwort zu H6
Für die Diskussion des Zykloidenpendels ist der Fall 3 geeignet.
Die Koordinaten der Pendelmasse lauten dann
mit
.
Fertige eine Skizze der
angreifenden Kräfte
an. Welche Kraft bedingt die
Bewegung des Pendels?
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4.13 Antwort zu H7
Abbildung 12:
Die Kräfte bei der Bewegung auf der Zykloide 2: Übersicht

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Die Schwerkraft
kann in eine rücktreibende Kraft
und eine Kraft
zerlegt werden (Abb. 12). Die rücktreibende
Kraft ist tangential zu der Bahnkurve, die Kraft
wird durch die Seilspannung
kompensiert. Bezeichnet man den Winkel zwischen der Vertikalen und der Tangente
an die Zykloide mit
, so ist der Betrag der rücktreibenden Kraft
Wie hängt der
Ausschlagwinkel
(siehe Abb. 12) von dem
Rollwinkel
ab?
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4.13 Antwort zu H8
Der Winkel
ist nicht identisch mit dem Winkel
. Es gilt
vielmehr wegen
die Relation
Abbildung 13:
Die Kräfte bei der Bewegung auf der Zykloide 2: Übersicht

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Der Winkelbereich
entspricht dem Bereich
.
Was benötigt man zur
Aufstellung
der Bewegungsgleichung?
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4.13 Antwort zu H9
Um die Bewegungsgleichung aufzustellen, benötigt man die Geschwindigkeit des
Massenpunktes und die Komponente der Schwerkraft tangential an die Zykloide
als Funktion des Winkels
.
Wie erhält man den gesuchten Ausdruck für die
Geschwindigkeit?
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4.13 Antwort zu H10
Um die Geschwindigkeit als Funktion des Winkels
auszudrücken,
stellt man zunächst die Bogenlänge als Funktion des Winkels
dar und bildet den Differentialquotienten
.
Beginnend mit der Definition der infinitesimalen Bogenlänge
setzt man die Differentiale
und
ein und erhält
Wie erhält man den gesuchten Ausdruck für die
rücktreibende Kraft?
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4.13 Antwort zu H11
Um die gesuchte Kraft angeben zu können, benötigt man eine
Relation zwischen den Winkeln
und
.
Abbildung 14:
Die Kräfte bei der Bewegung auf der Zykloide 2: Details

|
Die momentane Geschwindigkeit zeigt in Richtung der
Tangentialkomponente. Man kann somit der Abb. 14 die
folgenden Beziehungen entnehmen
Der Steigungswinkel ist
, der Projektionswinkel
(Abb 14)
somit
Notiere die
Bewegungsgleichung
und sortiere sie, so dass die
Schwingungsdauer
bestimmt werden kann.
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4.13 Antwort zu H12
Man findet für die relevante Kraftkomponente
die Bewegungsgleichung lautet
Nach der Substitution
steht hier die
Differentialgleichung des harmonischen Oszillators.
Die Lösung ist somit
Die Integrationskonstanten sind
und
.
Dies bedeutet aber, dass das Pendel unabhängig von dem maximalen
Ausschlag
(
entsprechend
einem Wert von
mit
)
isochron mit der Schwingungsdauer
schwingt.
Betrachte den
Energiesatz
, um das mathematischen Pendels mit dem
Zykloidenpendel zu vergleichen.
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4.13 Antwort zu H13
Für das Zykloidenpendel folgt aus
mit der Höhe über dem Gleichgewichtspunkt
die Aussage
Der Energiesatz des mathematischen Pendels mit der Pendellänge
lautet
(siehe (B4.36))
In beiden Fällen ist die potentielle Energie auf den tiefsten Punkt
(
bzw.
)
bezogen. Startet man jedes der Pendel mit der Winkelgeschwindigkeit
aus der Ruhelage
, so werden die maximalen
Ausschläge
erreicht.
Ein Zykloidenpendel mit dem Parameter
und ein mathematisches Pendel
mit der Pendellänge
erreichen bei gleichen Anfangsbedingungen
einen Maximalausschlag mit
. Es ist jedoch die oben erwähnte Umrechnung
zwischen den Winkeln
und
zu beachten.
Für die Schwingungsdauern gelten die Aussagen:
Die Schwingungsdauer eines Zykloidenpendels mit dem Parameter
ist genau so
groß wie die eines idealen, harmonischen Pendels mit der Länge
.
Welche
Zykloide
benutzt man zweckmäßigerweise für die Konstruktion des
Zykloidenpendels nach Huygens?
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4.13 Antwort zu H14
Man sollte in diesem Fall die Zykloide 2 (Abb. 15) benutzen
Abbildung 15:
Zykloidenpendel: Führung des Fadens
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Berechne die benötigten
Ableitungen
für die Parameterdarstellung
der Evolute. Gib die Parameterdarstellung der Evolute an.
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4.13 Antwort zu H15
Die Ableitungen der Funktionen
sind
und damit die Parameterdarstellung der Evolute
Dies ist ebenfalls eine Zykloide.
Wie kann man
diese Zykloide
im Sinne des Vorschlages von Huygens nutzen?
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4.13 Antwort zu H16
Man verschiebt diese Zykloide um die Strecke
in Richtung der negativen
-Achse und erhält
(Abb. 16) die Parameterdarstellung
Abbildung 16:
Zykloidenpendel: Realisierung

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Diese Zykloide verläuft für
durch die Punkte
Auf dieser Zykloide würde sich eine Masse bewegen, die, wie in der
Abbildung (Abb. 16) angedeutet, an einen Faden der Länge
aufgehängt ist
und sich an die Führungszykloiden anschmiegt.
Überprüfe die
Aussage
, dass sich der Faden ganz an die Führungszykloiden
anschmiegen kann.
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4.13 Antwort zu H17
Zur Überprüfung berechnet man das Bogenstück der Führungszykloide von dem Wert
bis zu dem Wert
Der Faden schmiegt sich voll an die Zykloide an.
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