6.1 Die kurze, asymmetrische Federkette
Die lineare Oszillatorkette ist das grundlegende Modell eines
wechselwirkenden (über nächste Nachbarn), schwingungsfähigen
Vielteilchensystems. Sind alle Massen gleich und alle Federn gleich stark,
so ist eine allgemeine analytische Lösung, auch für Systeme mit
einer großen Anzahl von Massen und Federn, möglich. Sind die Massen
und/oder die Federn verschieden, so ist der Lösungsprozess etwas
langwieriger. Hier ist das klassische Problem der Longitudinalschwingungen
eines Systems mit zwei verschiedenen Massen und drei verschiedenen Federn
im Detail zu diskutieren.
Aufgabenstellung
Abbildung 1:
Die Problemstellung

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Zwei Massen
und
sind durch eine Feder mit der Federkonstante
verbunden und mit zwei weiteren Federn (Federkonstanten
und
) in der Form einer linearen Kette angeordnet
(Abb. 1).
Zu berechnen sind die longitudinalen Eigenschwingungen des Systems.
- (1)
- Stelle (zur Überprüfung von (B6.29)) die Lagrangefunktion und
die Lagrangegleichungen auf.
- (2)
- Berechne die Eigenfrequenzen (Überprüfung von (B6.30)).
- (3)
- Berechne die Normalschwingungen für
- (4)
- Bestimme die Anfangsbedingungen für die kartesischen Koordinaten, so
dass jeweils nur eine der Normalschwingungen auftritt.
- (5)
- Berechne und diskutiere den Bewegungsablauf für die Anfangsbedingungen
- (6)
- Wie ändert sich das Ergebnis, wenn die mittlere Feder durch drei
parallel angebrachte Federn (jede mit der Federkonstanten
) ersetzt
wird (Abb. 2)?
Abbildung 2:
Variation der Problemstellung

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zur schrittweisen Gewinnung der Lösung
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008