Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.7
  1. Die Integration einer Differentialgleichung vom Typ wird durch die Substitution ermöglicht. Löse die Differentialgleichung   für die Winkelkoordinate.
  2. Berechne die allgemeine Lösung  für . Bestimme die spezielle Lösung für die vorgegebenen Anfangsbedingungen.
  3. Wie ändert sich die Lagrangegleichung,  wenn die einfache Schwerkraft einbezogen wird?



Werkzeuge




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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































5.7 Antwort zu H1



Durch die Substitution wird die Differentialgleichung


in


übergeführt. Diese Differentialgleichung kann mittels Variablentrennung




behandelt werden. Der Integrand des Zeitintegrals ist eine logarithmische Ableitung


Die Ausführung der angedeuteten Integrationen ergibt also




Auflösung nach und Zusammenfassung der Integrationskonstanten (es wurde einmal integriert) liefert



Nebenrechnung
Nochmalige Integration liefert das im Buch zitierte Resultat



   Berechne die allgemeine Lösung  für . Bestimme die spezielle Lösung für die vorgegebenen Anfangsbedingungen.


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5.7 Antwort zu H2



Für die Funktion


kann das anstehende Integral den Standardintegraltafeln oder den Werkzeugen entnommen werden.
Werkzeuge


Die explizite Berechnung dieses Integrals ist als Übung zu empfehlen, auch wenn sie etwas langwierig ist. Die Winkelkoordinate ergibt sich demnach zu

  
























































Die Anfangsbedingungen erfordern


und


Die spezielle Lösung ist somit




Im Grenzfall ist


Man erhält somit die Lösung der Differentialgleichung mit den Anfangsbedingungen und



   Wie ändert sich die Lagrangegleichung,  wenn die einfache Schwerkraft einbezogen wird?


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5.7 Antwort zu H3



Die potentielle Energie ist unter Einbeziehung der Schwerkraft


Dies besagt, dass nur die Variable durch die Schwerkraft beeinflusst wird. Die Lagrangegleichung enthält jetzt einen Term


so dass die Oszillatorgleichung in


übergeht. Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen linearen Differentialgleichung ist, wegen


Die Anfangsbedingungen


erfordern hier




Die Lösung ist also


Die Funktion beschreibt eine Oszillation mit der Amplitude


um die Gleichgewichtslage


Sie ist in Abb. 1 für die Fälle


dargestellt.


Abbildung 1: Die Funktion für (blau) und (grün)




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