Lösung der Aufgabe 2.7



Um die Kurve in der Darstellung durch Polarkoordinaten abzufahren, kann man eine beliebige `Zeitabhängigkeit` der Variablen angeben, am einfachsten . Es ist dann


Die Flächenberechnung stützt sich auf den Flächensatz


Für die Bewegung in der - Ebene ist


Die Fläche der Kardioide ist somit




Eine Bogenlänge wird mittels




berechnet. Auswertung des Integrals


ergibt mit der Substitution


nach Sortierung der korrekten Vorzeichen für die Intervalle


den Umfang der Kardioide zu


Die kartesische Darstellung gewinnt man durch Projektion der Radialkoordinate auf die kartesischen Achsen




Es kann hier wieder die Ersetzung vorgenommen werden oder direkt mit der Variablen gearbeitet werden. Man benutzt dann


Das Flächenintegral, berechnet über




liefert das gleiche Resultat wie zuvor. Zur Berechnung des Umfangs ist


auszuwerten. Auch hier erhält man nach einer leicht langatmigeren Auswertung das gleiche Resultat wie zuvor. Anhand der kartesischen Darstellung zeigt man, dass die Kardioide die implizite Kurvengleichung


erfüllt.


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008