Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.6
  1. Gib die Beziehung zwischen kartesischen und Polarkoordinaten an.
  2. Zeige , dass die angegebenen Differentialgleichungen in Polarkoordinaten separieren.
  3. Wie kann man die Differentialgleichung für lösen? Bestimme die allgemeine Lösung sowie die Integrationskonstante für beide Sätze von Anfangsbedingungen.
  4. Wie gewinnt man die Lösung der Differentialgleichung für ? Löse diese Differentialgleichung für die Anfangsbedingung und bestimme die Integrationskonstante.
  5. Welchen Bewegungsablauf beschreiben die Funktionen und ? Betrachte die Variation der Bahnkurve mit den Parametern und .
  6. Bestimme und diskutiere die Lösung der Differentialgleichung für für den zweiten Satz von Anfangsbedingungen.
  7. Berechne die Komponenten der Geschwindigkeit und der Beschleunigung in Polar- und kartesischen Koordinaten für den ersten Satz von Anfangsbedingungen.
  8. Welche Aussage kann man bezüglich der Beträge der Vektoren und machen?
  9. Berechne die Flächengeschwindigkeit für die Anfangsbedingung .
  10. Wie ist die Krümmung der Bahn definiert? Berechne die Krümmung.
  11. Berechne die gesuchten Zahlenwerte (mit und für die Anfangsbedingungen ).


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2.6 Antwort zu H1



Die Definition der Polarkoordinaten ist




(Alle Variablen sind zeitabhängig, dies wird der Übersichtlichkeit wegen jedoch nicht immer ausgeschrieben.)

   Zeige , dass die angegebenen Differentialgleichungen in Polarkoordinaten separieren.


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2.6 Antwort zu H2



Man bildet die Zeitableitungen der Transformationsgleichungen auf Polarkoordinaten




und setzt sie in die vorgegebenen Differentialgleichungen ein. Für die erste Differentialgleichung erhält man


Entsprechend gewinnt man für die zweite Differentialgleichung



   Wie kann man die Differentialgleichung für lösen? Bestimme die allgemeine Lösung sowie die Integrationskonstante für beide Sätze von Anfangsbedingungen.


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2.6 Antwort zu H3



Die Differentialgleichung für kann per Variablentrennung integriert werden...

(Führe dies durch)























































Die Integration ergibt


bzw.


Die Anfangsbedingung erfordert als spezielle Lösung


Für den zweiten Satz von Anfangsbedingungen ist und die spezielle Lösung lautet...

(wie?)























































mit



   Wie gewinnt man die Lösung der Differentialgleichung für ? Löse diese Differentialgleichung für die Anfangsbedingung und bestimme die Integrationskonstante.


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2.6 Antwort zu H4



Die Lösung der ersten Differentialgleichung kann in die zweite ( ) eingesetzt werden, so dass man...

(was erhält?)























































erhält. Integration ergibt


mit . Da der Massenpunkt seine Bewegung am Ursprung () beginnt, kann man die Integrationskonstante nicht bestimmen.

   Welchen Bewegungsablauf beschreiben die Funktionen und ? Betrachte die Variation der Bahnkurve mit den Parametern und .


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2.6 Antwort zu H5



Die Gleichungen , sind die Parameterdarstellung einer Spirale, für die nach einem Umlauf (in der Zeit ) die Entfernung vom Ursprung um zunimmt. Bei Veränderung der Parameter , findet man die folgende Variation der Bahnkurve:

Abbildung 1: Die lineare Spirale für die Anfangsbedingung


Bei Vergrößerung von wird größer, wird kleiner. Pro Umlauf ist der Zuwachs von geringer. Die Spirale wird bei Vergrößerung von enger. Bei Vergrößerung von wird kleiner, größer und der Zuwachs von pro Umlauf ist größer. Die Spirale wird weiter.

   Bestimme und diskutiere die Lösung der Differentialgleichung für für den zweiten Satz von Anfangsbedingungen.


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2.6 Antwort zu H6



Setzt man die allgemeine Lösung der ersten Differentialgleichung in die zweite ein, so findet man


Per Variablentrennung erhält man die Lösung


mit dem Integral


Die Bahnkurve ist im Fall allgemeiner Anfangsbedingungen etwas komplizierter. Die Radialbewegung wird für kleine Zeiten (im Vergleich zu ) durch eine Parabel, und erst für große Zeiten durch eine lineare Funktion in beschrieben. Die Winkelbewegung wird anfänglich durch die Arctan-Funktion modifiziert und geht, wegen


für große Zeiten in eine (im Vergleich zu dem einfachen Fall phasenverschobene) uniforme Drehbewegung über. Die Integrationskonstante ist



Nebenrechnung
Abbildung 2: Die Spirale mit den Parametern : Vergleich der Anfangsbedingungen



Abbildung 3: Die Funktionen und : Vergleich der Anfangsbedingungen (a) (grün), (b) , (blau)




   Berechne die Komponenten der Geschwindigkeit und der Beschleunigung in Polar- und kartesischen Koordinaten für den ersten Satz von Anfangsbedingungen.


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2.6 Antwort zu H7



Es sind die Ableitungen der folgenden Gleichungen zu bilden: Für Polarkoordinaten:




sind die Geschwindigkeitskomponenten




die Beschleunigungskomponenten




Man beachte, dass und linear mit der Zeit wachsen, während und konstant sind. Für kartesische Koordinaten




definiert man


und erhält für die Geschwindigkeit




und die Beschleunigung





   Welche Aussage kann man bezüglich der Beträge der Vektoren und machen?


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2.6 Antwort zu H8



Der Betrag der Geschwindigkeit bzw. der Beschleunigung ist unabhängig von der Wahl der Koordinaten





   Berechne die Flächengeschwindigkeit für die Anfangsbedingung .


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2.6 Antwort zu H9



Gemäß der Definition


erhält man




Die zweite vorgegebene Differentialgleichung entspricht bis auf einen Faktor dem Betrag der Flächengeschwindigkeit.

   Wie ist die Krümmung der Bahn definiert? Berechne die Krümmung.


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2.6 Antwort zu H10



Zur Bestimmung der Krümmung kann man die Definition


benutzen, wobei der Vektor der Tangentenvektor ist


Die Details der Rechnung (in Polarkoordinaten) sind





Mit


und


folgt




so dass man letztlich für die Krümmung...

(was erhält?)
























































erhält. Die Krümmung beginnt mit dem Wert und geht für große Zeiten (bzw. große Werte von ) wie


gegen Null.

Animation der Kurven



   Berechne die gesuchten Zahlenwerte (mit und für die Anfangsbedingungen ).


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2.6 Antwort zu H11



Es ist

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