Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.14
  1. Welche Erhaltungssätze   gelten für ein Bewegungsproblem mit einer Zentralkraft?
  2. Eine Zentralkraft  kann über die potentielle Energie charakterisiert werden


    Nutze diese Tatsache zur Ermittlung der Zentralkraft.
  3. Bestimme für die Kardioide  und berechne die gesuchte Kraft.
  4. Bestimme die Funktion  für die Bewegung auf einem Kreis mit dem Kraftzentrum auf dem Kreisumfang. Fertige eine Skizze der Situation an.
  5. Für (Kraftzentrum im Mittelpunkt) ist eine alternative Route  notwendig, da ist. Zur Aufbereitung der Antwort genügt der Drehimpulssatz.



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3.14 Antwort zu H1



Im Fall einer Zentralkraft gilt Drehimpulserhaltung


und Energieerhaltung



   Eine Zentralkraft  kann über die potentielle Energie charakterisiert werden


Nutze diese Tatsache zur Ermittlung der Zentralkraft.


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3.14 Antwort zu H2



Mit dem Energiesatz erhält man für


Für die Zeitableitung von gilt nach der Kettenregel


Mittels Drehimpulserhaltung kann der Ausdruck für die potentielle Energie wie folgt geschrieben werden


Gelingt es nun als Funktion von darzustellen, so ist die rechte Seite der obigen Gleichung eine Funktion von alleine und die Zentralkraft kann durch Bildung der Ableitung


bestimmt werden. Voraussetzungen an die Funktion sind: Die Funktion muss differenzierbar und invertierbar sein.

   Bestimme für die Kardioide  und berechne die gesuchte Kraft.


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3.14 Antwort zu H3



Für die Kardioide ist


Mit


und


folgt somit


und die potentielle Energie


Die Stärke der Zentralkraft ist



   Bestimme die Funktion  für die Bewegung auf einem Kreis mit dem Kraftzentrum auf dem Kreisumfang. Fertige eine Skizze der Situation an.


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3.14 Antwort zu H4


Abbildung 1: Ein nichtzentriertes Kraftzentrum


Die Funktion folgt in diesem Beispiel aus dem Kosinussatz oder der Überlegung, dass das Skalarprodukt


über


auf die Relation (Bahngleichung)


führt. Es folgt dann




und somit für die potentielle Energie




und die Stärke der Kraft


In beiden Fällen ist die Kraft anziehend und folgt einem inversen Potenzgesetz.

   Für (Kraftzentrum im Mittelpunkt) ist eine alternative Route  notwendig, da ist. Zur Aufbereitung der Antwort genügt der Drehimpulssatz.


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3.14 Antwort zu H5



Aus dem Drehimpulserhaltungsatz gewinnt man für die Aussage


Geht man damit in den Energiesatz ein, so findet man mit


Das Kraftgesetz (mit Wiedereinführung eines variablen Abstandes ) lautet also


Es liegt (wie bekannt) eine Hookesche Zentralkraft vor.

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