Lösung der Aufgabe 2.5



Die Lösungen der Differentialgleichungen


mit den drei vorgegebenen Anfangsbedingungen sind
()

()

()

Die Raumkurven sind Schraubenlinien, wobei in den Fällen () und () die Projektionen in die - Ebene Ellipsen mit den Halbachsen und sind. Im Fall () ist diese Projektion ein Kreis mit Radius 1. Ein Massenpunkt steigt auf diesen Schraubenlinien mit den Ganghöhen


Der Betrag der Geschwindigkeit auf der Raumkurve variiert in den Fällen () und () mit der Zeit. Er ist
()
maximal für die Zeitpunkte mit dem Wert , minimal für die Zeitpunkte mit dem Wert ,
()
maximal für die Zeitpunkte mit dem Wert , minimal für die Zeitpunkte mit dem Wert .
(In allen Fällen nimmt die Werte ) an.
Die Geschwindigkeit hat jeweils den größten Wert für den kürzesten Abstand von der -Achse und den kleinsten für den größten Abstand. In dem Fall () ist die Geschwindigkeit unabhängig von der Zeit. Dies entspricht einem uniformen Aufstieg auf der kreisförmigen Schraubenlinie. Die Beschleunigung in den - bzw. -Richtungen ist proportial zu den Koordinaten und hat den Wert in der -Richtung. Der Betrag der Beschleunigung variiert in den Fällen () und () mit dem Abstand von der -Achse, und zwar um phasenverschoben verglichen mit der Geschwindigkeit. Die folgenden Animationen sollen die Veranschaulichung unterstützen.

Animation der Kurven




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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008