5.3 Noch eine Fallmaschine
Die Grundform der Atwood'schen Fallmaschine wird in dieser Aufgabe
leicht variiert. Auch dieses Problem mit Zwangsbedingungen kann mit den
Standardmethoden bearbeitet werden.
Aufgabenstellung
Eine Variante der Atwood'schen Fallmaschine ist in der
Abb. 1 dargestellt.
Abbildung 1:
Die Fallmaschine
|
Zwei Massen
und
bewegen sich auf zwei schiefen Ebenen mit dem
Steigungswinkel
bzw.
. Die Massen
sind durch ein nichtdehnbares (gewichtsloses) Seil der Länge
verbunden,
das über eine `Pseudorolle` verläuft.
(`Pseudorolle` bedeutet: Die Rolle dient nur zur Führung des
Seiles. Ansonsten kann sie vernachlässigt werden.)
Auf jede der Massen wirkt die einfache Gravitation
).
- (1)
- Berechne den Bewegungsablauf der einzelnen Massen für die
Anfangsbedingungen: Die Bewegung findet in der angedeuteten
Ebene (z.B. der
-
Ebene) statt.
Die Masse
befindet sich zur Zeit
an der
Stelle der (punktförmigen) Pseudorolle und hat eine Geschwindigkeit
mit dem Betrag
(Richtung `nach unten` ) entlang der Ebene mit
dem Steigungswinkel
.
Bestimme die Zeitabhängigkeit der kartesischen Koordinaten der beiden Massen
- (2)
- Welche Zeit benötigt die zweite Masse, um bei
den angegebenen Anfangsbedingung an die Position der Rolle zu gelangen?
- (3)
- Betrachte den Bewegungsablauf der beiden Massen mit den obigen
Anfangsbedingungen für
und
und kommentiere.
- (4)
- Bestimme den expliziten Bewegungsablauf der beiden Massen
für
- (5)
- Wie ändert sich die Situation, wenn man eine reale Rolle in die
Betrachtung einbezieht?
Abbildung 2:
Die Fallmaschine mit realer Rolle
|
Als eine reale Rolle kann ein Zylinder mit dem Trägheitsmoment
bezüglich der Drehachse dienen, wobei
die Masse und
der Radius des
Zylinders ist. Die kinetische Energie der Drehbewegung der Rolle ist
(mit der Drehgeschwindigkeit
).
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Fragen
zur schrittweisen Gewinnung der Lösung
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008