Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.11
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Bestimme die (implizite)
Gleichung der Kurven
der angedeuteten Scharen durch
Elimination je eines der Parameter aus der Parameterdarstellung.
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Zeige, dass die beiden
Kurvenscharen
orthogonal zueinander sind.
-
Zeige, dass für zwei Winkel, deren Differenz
ist
(Abb. 1),
die Relation
besteht. Verifiziere, dass dies für die obigen Winkel zutrifft.
Abbildung 1:
Zum Produkt der Tangenswerte
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Warum ist der
Gradient
einer Funktion
ein nützliches
Instrument für die Darstellung der Basisvektoren des lokalen
Koordinatensystems der elliptischen Koordinaten?
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Stelle die beiden
Basisvektoren
und
durch Gradienten dar und notiere die Zerlegung in kartesische Koordinaten.
-
Berechne die
Gradienten
der Funktionen
und normiere
die so bestimmten Vektoren.
-
Welche
Vorzeichen der Koeffizienten
sollte man wählen?
Werkzeuge
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
2.11 Antwort zu H1
Löse die vorgegebenen Gleichungen nach
bzw.
auf, quadriere
und addiere die Gleichungen
Für
const. stellt dies eine Ellipse
mit den Halbachsen
und
dar, variiert man
so erhält man eine Schar
von konzentrischen Ellipsen.
Da in dem angegebenen Bereich von
ist, entspricht die große Halbachse
einer Strecke auf der
-Achse.
Für die Elimination von
werden die vorgegebenen Gleichungen
nach
bzw.
aufgelöst und
quadriert
Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt auf der rechten Seite
und somit
Für
const. stellt dies die Gleichung einer Hyperbel dar.
Die Hyperbeln dieser Schar (als Funktion von
) sind durch die
Scheitelpunkte
und die Brennpunkte
charakterisiert. Die Asymptoten
einer Hyperbel
entsprechen den Geraden
Zeige, dass die beiden
Kurvenscharen
orthogonal zueinander sind.
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2.11 Antwort zu H2
Um die Orthogonalität nachzuweisen, löst man die impliziten Kurvengleichungen
(für die obere bzw. untere Halbebene) nach
auf, differenziert die
Funktion
und erhält so die Steigung der Tangente in einem
Kurvenpunkt.
Für die Ellipsen gilt:
wobei das Pluszeichen für die obere Halbebene zuständig ist. Die
Steigung ist
Die entsprechende Rechnung für die Hyperbeln ergibt
und
Zeige, dass für zwei Winkel, deren Differenz
ist
(Abb. 2),
die Relation
besteht. Verifiziere, dass dies für die obigen Winkel zutrifft.
Abbildung 2:
Zum Produkt der Tangenswerte
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2.11 Antwort zu H3
Bei einem Differenzwinkel von
ist
bzw.
Nach dem Additionstheorem gilt
Da die Winkel
und
per Definition nicht gleich
sind, folgt
Für die Steigungswinkel der Ellipsen und der Hyperbeln in einem
Raumpunkt erhält man
Damit ist die Orthogonalität der Kurvenscharen nachgewiesen (Illustration in Abb. 3).
Abbildung 3:
Die konfokalen elliptischen Koordinaten
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Warum ist der
Gradient
einer Funktion
ein nützliches
Instrument für die Darstellung der Basisvektoren des lokalen
Koordinatensystems der elliptischen Koordinaten?
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2.11 Antwort zu H4
Der Gradient einer Funktion
steht senkrecht auf der zugehörigen Kurve
und zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion
.
Entsprechende Eigenschaften sollen die Basisvektoren haben.
Stelle die beiden
Basisvektoren
und
durch Gradienten dar und notiere die Zerlegung in kartesische Koordinaten.
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2.11 Antwort zu H5
Für die lokalen Basisvektoren gilt der Ansatz:
mit der Funktion
sowie
mit
Die 'Konstanten'
und
sind aus den
Normierungsbedingungen
zu bestimmen.
Berechne die
Gradienten
der Funktionen
und normiere
die so bestimmten Vektoren.
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2.11 Antwort zu H6
Der Gradient der Funktion
ist
Die Normierungsbedingung
entspricht
so dass man für den Normierungskoeffizienten
erhält. Bei Benutzung der Parameterdarstellung erhält man für
die kartesische Zerlegung des Einheitsvektors
Die entsprechende Rechnung für den Vektor
beinhaltet die Schritte:
Mit der Normierungsbedingung
wird
bestimmt:
und
Welche
Vorzeichen der Koeffizienten
sollte man wählen?
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2.11 Antwort zu H7
Wählt man die Vorzeichen der Einheitsvektoren, so dass sie in Richtung der
Gradientenvektoren zeigen, so erhält man (mit positiven Koeffizienten
als auch
) für die gesuchte Transformation
(in der Ebene)
mit
Für diese Basisvektoren gilt
sie stehen (im Einklang mit der Diskussion unter
Hinweis 3
) senkrecht aufeinander. Außerdem ist
Die Vektoren
,
und
bilden ein rechtshändiges Koordinatensystem.
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2008