Detail 2.1

Lissajousproblem: Diskussion der allgemeinen Bahngleichung (B2.17)

In einem zweidimensionalen Koordinatensystem ist eine Gleichung der Form

(2.1.1)
mit den Koeffizienten
vorgegeben. Die Behauptung lautet: Diese Gleichung stellt eine um den Mittelpunkt gedrehte Ellipse dar (Abb. 2.1). Zum Beweis dieser Behauptung geht man zu einem Koordinatensystem über, das gegenüber dem System um einen Winkel gedreht ist.

Abbildung 2.1: Darstellung der Ellipse in den beiden Koordinatensystemen

Die zuständigen Transformationsgleichungen, die die Koordinaten eines Punktes aus der Sicht von mit den Koordinaten des gleichen Punktes aus der Sicht von verknüpft, ist (vergleiche (B2.52), (B2.53))
weitere Rechenschritte ...

Setzt man diese Transformation in die Ausgangsgleichung (2.1.1) ein, so erhält man

mit

 
(2.1.2)
 

Wählt man den Drehwinkel so, dass ist, so erhält man in dem System

mit
Dies ist die Standardellipsenform
vorausgesetzt die Koeffizienten und sind positiv. (Falls einer der Koeffizienten , negativ wäre, läge eine Hyperbel vor.)
Um nachzuweisen, dass dies für die vorgegebenen Gleichungen zutrifft, sind die folgenden Fallunterscheidungen notwendig.

Fall (i):

Es ist dann , so dass die Gleichungen (2.1.2) unter Verwendung von
die Form annehmen
Für die Wahl ist und
und (und damit die Koeffizienten und ) sind ungleich Null, außer für
Die Gleichung der Bahnkurve in dem System für ist also die Gleichung einer Ellipse mit


Für die ausgeschlossenen Werte ist entweder und oder und . In dem gedrehten Koordinatensystem ist die Bahngleichung oder . Der Massenpunkt bewegt sich auf einer der Koordinatenachsen des Systems . Dies ist konsistent mit der Aussage in dem System  :
Fall (ii):

In diesem Fall bedingt die Forderung einen Drehwinkel, der durch
(2.1.3)
bestimmt ist. Um diese Aussage zur Diskussion der Koeffizienten und zu verwerten, benötigt man die Umschreibung

(2.1.4)
(2.1.5)

sowie die Relationen
Der erste Satz von Relationen ergibt sich aus der Beziehung zwischen dem Tangens eines Winkels und dem entsprechenden Sinus bzw. Kosinus, der zweite Satz folgt aus dem Additionstheorem.


Es ist zunächst zu zeigen, dass der Radikand in den Ausdrücken (2.1.4) und (2.1.5) positiv ist. Dazu berechnet man

Für den größtmöglichen negativen Wert von erhält man in der Tat
und somit auch für alle anderen Werte von . Für die Koeffizienten und findet man

und
Der Koeffizient ist positiv, da dies für , und den Radikanden der Wurzel gilt. In dem Ausdruck für wird die Wurzel subtrahiert. Es interessiert also der größtmögliche positive Wert der Wurzel, der für mit
erreicht wird. Für den entsprechenden Winkel ist die Bahnkurve wieder eine Gerade, die in dem System wegen
und durch charakterisiert wird. Für alle anderen Werte von gilt
Die Bahnkurve ist (bis auf den ausgenommenen Winkel ) auch für den Fall (ii) eine Ellipse mit
Fall (iii):

kann in vollständiger Analogie zu dem Fall (ii) diskutiert werden, beginnend mit



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<Mechanik   Details >  R. Dreizler C. Lüdde     2008