Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.10
  1. Berechne das Trägheitsmoment   des Vollzylinders. Verwende dabei zweckmäßigerweise Zylinderkoordinaten.
  2. Wähle die generalisierten Koordinaten  für das vorliegende Problem und gib die Zwangsbedingungen an.
  3. Stelle die Bewegungsgleichungen  nach Lagrange I auf.
  4. Bestimme die Lagrangemultiplikatoren  mit Hilfe von Relationen, die man durch Differentiation der Zwangsbedingungen erhält.
  5. Berechne die Komponenten  der Zwangskraft allgemein und für den Vollzylinder.
  6. Berechne die Zwangskraft  für einen Massenpunkt und vergleiche die Ergebnisse mit denen des Vollzylinders.


    Abbildung 2: Der Zylinder auf der schiefen Ebene: Mittelpunktskoordinaten




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6.10 Antwort zu H1



Es ist dann




da das Zylindervolumen


ist. (Siehe auch Aufg. 6.8)

   Wähle die generalisierten Koordinaten  für das vorliegende Problem und gib die Zwangsbedingungen an.


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6.10 Antwort zu H2



Als generalisierte Koordinaten wählt man die Koordinaten der Zylinderachse (in der angedeuteten Ebene Abb. 3) und den Drehwinkel des Zylinders (). Die Betrachtung der -Richtung ist nicht von Interesse.


Abbildung 3: Der Zylinder auf der schiefen Ebene: Drehwinkel



Die drei Freiheitsgrade werden durch die folgenden Zwangsbedingungen eingeschränkt:
(a)
Die Drehachse des Zylinders bewegt sich parallel zu der schiefen Ebene. Für die Koordinaten gilt somit


(b)
Die Strecke, um die der Zylindermantel abrollt, ist gleich der von dem Achsenpunkt zurückgelegten Strecke (siehe Abb. 3). Bezeichnet man die Anfangsposition der Zylinderachse mit , so gilt


Benutzt man die Zwangsbedingung (a), so kann man auch schreiben



   Stelle die Bewegungsgleichungen  nach Lagrange I auf.


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6.10 Antwort zu H3



Als eingeprägte Kraft wirkt nur die einfache Schwerkraft, so dass die Bewegungsgleichungen lauten




In der letzten Gleichung tritt anstelle einer Zwangskraft ein Zwangsdrehmoment auf.

   Bestimme die Lagrangemultiplikatoren  mit Hilfe von Relationen, die man durch Differentiation der Zwangsbedingungen erhält.


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6.10 Antwort zu H4



Die benötigten Relationen sind


sowie


Unter Verwendung der letzten beiden Relationen können zwei der zweiten Ableitungen aus den drei Bewegungsgleichungen eliminiert werden




Benutzt man hier noch




so kann man zwei lineare Gleichungen zur Bestimmung der Multiplikatoren gewinnen. Aus den ersten beiden Gleichungen folgt durch Elimination der Terme in


durch Substitution von aus der letzten Gleichung in die zweite


Die Lösungen dieses linearen Gleichungssystems in und sind





   Berechne die Komponenten  der Zwangskraft allgemein und für den Vollzylinder.


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6.10 Antwort zu H5



Mit der Kenntnis der Multiplikatoren können die Komponenten der Zwangskraft




und das Zwangsdrehmoment




berechnet werden. Für den Vollzylinder mit erhält man




Die Gesamtkraft, die die Translation des Zylinders bestimmt, ist . Sowohl die Translationsbewegung als auch die Rotation sind uniform beschleunigt.

   Berechne die Zwangskraft  für einen Massenpunkt und vergleiche die Ergebnisse mit denen des Vollzylinders.


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6.10 Antwort zu H6



Die entsprechenden Aussagen für einen Massenpunkt sind bei gleicher Geometrie der Ebene




Ein Punkt, der auffällt, ist die Tatsache, dass für den Massenpunkt eine vektorielle Zwangskraft der Länge auf die Koordinatenachsen projiziert wird. Für den Zylinder ist die Situation bezüglich der Zwangskraft infolge der zusätzlichen Drehbewegung nicht so durchsichtig. Der Grenzübergang reproduziert die Ergebnisse für den Massenpunkt nicht (außer der Aussage ). Der Grund dafür, ist in der Zwangsbedingung (b) zu finden, die in diesem Grenzfall die Situation für einen Massenpunkt nicht wiedergibt. Der direkte Vergleich ( vorausgesetzt) zeigt, dass die Zwangskraft in der -Richtung gegenüber dem Massenpunkt reduziert ist. Der Zylinder bewegt sich langsamer als der Massenpunkt in dieser Richtung. Die Gesamtkraft in der -Richtung hat den Wert Null für , die Zwangskraft kompensiert die Schwerkraft. Für ist die Wirkung der Gravitation reduziert und zwar stärker für den Zylinder. Ist , so erhält man für den Zylinder


so dass die Gesamtkraft in der -Richtung


ist (im Vergleich zu für den Massenpunkt). Falls der Zylinder die `steile Wand` herunterrollt, wird die Fallbewegung ebenfalls verlangsamt. Ein Teil der potentiellen Energie im Schwerefeld wird in kinetische Energie der Drehbewegung umgesetzt. Die Drehbewegung selbst wird durch die Bewegungsgleichung


mit der Lösung


beschrieben.

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