Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.2
-
Welche
Erhaltungssätze
gelten in diesem Fall?
-
Gib die zugehörige
potentielle Energie
für die vorgegebene Kraft an.
-
Notiere die
Erhaltungssätze
in Koordinaten, die dem Problem angemessen sind.
-
Wie ist eine
stabile Kreisbahn
charakterisiert?
-
Bestimme das
Minimum
des effektiven Potentials.
-
Welche
Bedingungen
müssen demnach
und
erfüllen, damit eine stabile Kreisbahn vorliegt?
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
4.2 Antwort zu H1
Für ein Zentralkraftproblem gilt Energie- und Drehimpulserhaltung.
Gib die zugehörige
potentielle Energie
für die vorgegebene Kraft an.
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4.2 Antwort zu H2
Es ist
Notiere die
Erhaltungssätze
in Koordinaten, die dem Problem angemessen sind.
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4.2 Antwort zu H3
Der Energiesatz in ebenen Polarkoordinaten
kann bei Drehimpulserhaltung
in der Form (siehe (B4.8))
geschrieben werden.
Wie ist eine
stabile Kreisbahn
charakterisiert?
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4.2 Antwort zu H4
Eine Kreisbahn liegt vor, wenn
für jeden Punkt der Bahn ist (warum?).
Sie ist stabil, falls die effektive potentielle Energie
ein Minimum besitzt (s. Kap. 4 Abb. 4.6).
In diesem Fall müssen für den Radius der Kreisbahn (
)
die Bedingungen
gelten.
Bestimme das
Minimum
des effektiven Potentials.
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4.2 Antwort zu H5
Die erste Bedingung
führt auf
mit der Auflösung
Da die Größen
und
per Definition positiv sind,
müssen die Parameter
und
das gleiche Vorzeichen haben.
Die zweite Bedingung
ergibt
bzw. nach Einsetzen von
gemäß der ersten Bedingung
Es muss also
sein.
Welche
Bedingungen
müssen demnach
und
erfüllen, damit eine stabile Kreisbahn vorliegt?
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4.2 Antwort zu H6
Anhand der beiden gewonnenen Aussagen kann man als Bedingung für eine
stabile Kreisbahn angeben:
- (a)
- Ist
, so sind alle positiven Potenzen von
möglich. Ein
Beispiel ist der harmonischen Oszillator
ebenso könnte es ein Potential mit einer anderen positiven Potenz von
sein.
Abbildung 1:
Das
effektive Potential mit
dem Oszillatorpotential
|
- (b)
- Ist
, so ist
auf den Bereich
beschränkt,
wie z.B. für das Gravitationspotential
In diesem Fall ist das Potential attraktiv (negatives Vorzeichen).
(Kann man ohne Rechnung einsehen, warum die untere Grenze
sein muss?)
Abbildung 2:
Das effektive Potenial mit dem Coulombpotential
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