2.7 Diskussion der Kardioide (Herzkurve)

Die Berechnung von Bogenlängen und Flächeninhalten von geschlossenen ebenen Kurven wird hier anhand der Kardioide geübt. Dabei ist die Diskussion sowohl in einer kartesischen Darstellung der Kurve als auch einer Darstellung in Polarkoordinaten durchzuführen. Welche der beiden Darstellungen ist einfacher zu handhaben?

Aufgabenstellung

Berechne die Fläche der Kardioide (Herzkurve), die durch die Parameterdarstellung


charakterisiert wird, sowie den Umfang (Bogenlänge) der Kurve.

Abbildung 1: Kardioide


Benutze Polarkoordinaten als auch kartesische Koordinaten. Zeige, dass die Kardioide auch durch die implizite Gleichung


charakterisiert werden kann.

Werkzeuge:

Additionstheoreme:




Deine Antworten:

Die Fläche der Kardioide (in Einheiten von ) ist



Die Bogenlänge der Kardioide (in Einheiten von ) ist

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008