Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.2
  1. Betrachte die Radialkoordinate . Welche Aussagen kann man aus deren Form und der Parameterdarstellung der Bahnkurve ablesen?
  2. Zeige, dass jede Gerade durch den Ursprung jeden Ast der mehrdeutigen Kurve in dem gleichen Winkel schneidet.
  3. Berechne und daraus die Flächengeschwindigkeit .
  4. Gesucht sind die Radial- und die Azimutalkomponente der Kraft

    Man gewinnt sie durch Betrachtung der Beschleunigung. Bestimme die Beschleunigung in kartesischen Koordinaten und schreibe sie in Polarkoordinaten um. Gibt es eine Alternative zur Angabe der Beschleunigung?
  5. Der vermutete Reibungsterm soll proportional zu dem Geschwindigkeitsvektor sein. Er muss in dem Term enthalten sein. Versuche, einen Term proportional zu in diesem Ausdruck zu isolieren.
  6. Setze diesen Ausdruck in die Gleichung für die Kraft ein.
  7. Benutze die Angaben in der Aufgabenstellung, um die Zeiten zu bestimmen, die den angegebenen Radien entsprechen. Berechne die Zeitdifferenz .
  8. Berechne und damit die Differenz der kinetischen Energie




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3.2 Antwort zu H1



Die Form der kartesischen Komponenten legt es nahe, den radialen Abstand zu betrachten (warum?).


Der Radius nimmt exponentiell mit der Zeit ab, während der Massenpunkt uniform um den Ursprung rotiert. Die Bahnkurve ist eine logarithmische Spirale mit den folgenden


Abbildung 1: Logarithmische Spirale mit


Eigenschaften: Die Zeitentwicklung des Radius ist unabhängig von . Abb. 1a zeigt die Bahnkurve für verschiedene Werte von (essentiell eine Variation der Anfangsbedingung), Abb. 1b verdeutlicht die Änderung mit dem Parameter . Eine Vergrößerung von bewirkt eine schnellere Abnahme von (Abb. 1b). Eine Verdopplung des Parameters bewirkt z.B., dass der Massenpunkt in der gleichen Zeit den doppelten Winkel überstreicht. Die Spirale wird dadurch für größere Werte von enger (Abb. 2).


Abbildung 2: Logarithmische Spirale mit den Parametern für die -Werte (blau) und (grün)



   Zeige, dass jede Gerade durch den Ursprung jeden Ast der mehrdeutigen Kurve in dem gleichen Winkel schneidet (Abb. 3).


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3.2 Antwort zu H2



Um diese Aussage nachzuweisen, zeigt man, dass der Radiusvektor und der Geschwindigkeitsvektor stets den gleichen Winkel einschließen. Man notiert zunächst


und


mit


und bildet


Durch Vergleich der beiden Seiten dieser Gleichung findet man


Der Winkel liegt in dem Bereich


Er hängt nur von den Größen und ab, jedoch nicht von der Zeit.


Abbildung 3: Konstanz des Schnittwinkels der Geraden und der logarithmischen Spirale (Parameter , = , )





   Berechne und daraus die Flächengeschwindigkeit .


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3.2 Antwort zu H3



Die Geschwindigkeitskomponenten sind




Für den Vektor der Flächengeschwindigkeit erhält man damit




Die Flächengeschwindigkeit verschwindet nicht. Es liegt also keine Zentralkraft vor.

   Gesucht sind die Radial- und die Azimutalkomponente der Kraft


Man gewinnt sie durch Betrachtung der Beschleunigung. Bestimme die Beschleunigung in kartesischen Koordinaten und schreibe sie in Polarkoordinaten um. Gibt es eine Alternative zur Angabe der Beschleunigung?


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3.2 Antwort zu H4



Die kartesischen Beschleunigungskomponenten sind




Zur Umschreibung in Polarkomponenten benutzt man




und erhält




Alternativ (und einfacher) kann man mit




die Standardformeln




benutzen.

   Der vermutete Reibungsterm soll proportional zu dem Geschwindigkeitsvektor sein. Er muss in dem Term enthalten sein. Versuche, einen Term proportional zu in diesem Ausdruck zu isolieren.


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3.2 Antwort zu H5



Benutzt man




so kann man die folgende Umschreibung angeben



   Setze diesen Ausdruck in die Gleichung für die Kraft ein.


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3.2 Antwort zu H6



Man findet für den Kraftvektor




die Zerlegung




also eine harmonische Rückstellkraft mit der Federstärke


und eine Reibungskraft, die proportional zu dem Geschwindigkeitsvektor ist mit der Stärke .

   Benutze die Angaben in der Aufgabenstellung, um die Zeiten zu bestimmen, die den angegebenen Radien entsprechen. Berechne die Zeitdifferenz .


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3.2 Antwort zu H7



Mit den vorgegebenen Radien und und der Gleichung für folgt für die gesuchten Zeiten


und


und somit für die Differenz





   Berechne und damit die Differenz der kinetischen Energie




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3.2 Antwort zu H8



Für das Geschwindigkeitsquadrat erhält man


und somit







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