Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.10
-
Notiere den
Energiesatz
für die beiden Objekte.
-
Welche
Bedingung
muss erfüllt sein, damit die Masse/Kugel
im höchsten Punkt des Loops nicht abstürzt?
-
Bestimme aus dem Energieerhaltungssatz und der Zusatzbedingung für beliebige
Anfangssituationen eine
Relation
zwischen der Anfangsgeschwindigkeit und
der Anfangshöhe.
-
Was kann man zu diesen
Ergebnissen
bemerken?
-
Berechne die notwendige
Anfangsgeschwindigkeit
, wenn die beiden Objekte
auf der Erdoberfläche starten. Wie groß ist die Endgeschwindigkeit
,
wenn die Objekte nach Passieren des Loops wieder auf der Erdoberfläche sind?
-
Betrachte die
Zusammensetzung
der Gesamtenergie der beiden Objekte bei einem
Startpunkt auf der Erdoberfläche für die drei Zeitpunkte
,
(im Maximum der Schleife) und
.
Die Anfangsgeschwindigkeit
soll dabei die Minimalgeschwindigkeit
sein, bei der das jeweilige Objekt den Loop gerade noch durchläuft.
-
Betrachte den Fall
,
für die drei
Zeitpunkte
,
(im Maximum der Schleife)
und
.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
3.10 Antwort zu H1
In dem Gravitationsfeld gilt Energieerhaltung.
Für den Massenpunkt (A) hat man kinetische und potentielle Energie
im Detail
Für die Kugel (B) setzt sich die Gesamtenergie aus den kinetischen Energien
der Translation (des Kugelmittelpunktes) und der Rotation sowie der
potentiellen Energie (ebenfalls bezogen auf die Position des
Kugelmittelpunktes) zusammen
im Detail für zwei beliebige Zeiten
Welche
Bedingung
muss erfüllt sein, damit die Masse/Kugel
im höchsten Punkt des Loops nicht abstürzt?
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2008
3.10 Antwort zu H2
Die Zentrifugalkraft muss im höchsten Punkt der Schleife der Schwerkraft
die Waage halten.
Für den Massenpunkt (A) bedeutet dies
wobei
die Geschwindigkeit des Massenpunktes in dem höchsten Punkt
der Schleife ist.
Für die Kugel (B) ist der Bezugspunkt der Kugelmittelpunkt. Aus diesem Grund gilt
Es wird (natürlich) vorausgesetzt, dass
ist. In
vielen Fällen kann der Kugelradius vernachlässigt werden.
Bestimme aus dem Energieerhaltungssatz und der Zusatzbedingung für beliebige
Anfangssituationen eine
Relation
zwischen der Anfangsgeschwindigkeit und
der Anfangshöhe.
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2008
3.10 Antwort zu H3
Für den Massenpunkt (A) gilt:
Mit der Loopbedingung
erhält man
Für die Kugel (B) ist die Auflösung des Energiesatzes nach
wegen des Auftretens von
nicht sofort möglich. Man
benötigt einen Zusammenhang zwischen der Drehgeschwindigkeit
und der Geschwindigkeit des Kugelmittelpunktes zu einem beliebigen Zeitpunkt
Dieser lautet
Benutzt man diese Relation, so lautet die Gesamtenergie der Kugel
Bei der Nutzung der Zusatzbedingung ist zu beachten, dass sich der
Kugelmittelpunkt in dem höchsten Punkt des Loops in der Höhe
befindet. Es gilt deswegen
und nach Ersetzung von
und Auflösung nach
Was kann man zu diesen
Ergebnissen
bemerken?
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2008
3.10 Antwort zu H4
Ist
, so ist eine bestimmte Anfangshöhe notwendig.
Besitzen die Objekte eine Anfangsgeschwindigkeit
,
so gelangen die zwei Objekte auch bei einer niedrigeren Anfangshöhe
noch durch die Schleife.
Vergleicht man Kugel und Massenpunkt so findet man für den Fall
- (a)
- Bei Vernachlässigung der Kugelausdehnung muss die Kugel
eine um 8 % größere Anfangshöhe haben, um es noch durch die
Schleife zu schaffen.
- (b)
- Ist der Kugelradius z.B.
, also ca.
des
Durchmessers der Schleife, so rollt die Kugel bei derselben Anfangshöhe
des Mittelpunktes wie die des Massenpunktes noch durch den Loop.
- (c)
- Die Unterschiede sind dadurch bedingt, dass bei dem Massenpunkt die
potentielle Energie alleine in Energie der Translationsbewegung
umgesetzt wird. Bei der Kugel findet man ca.
der anfänglichen
potentiellen Energie als kinetische Energie der Translationsbewegung
und ca.
als kinetische Energie der Drehung wieder.
Berechne die notwendige
Anfangsgeschwindigkeit
, wenn die beiden Objekte
auf der Erdoberfläche starten. Wie groß ist die Endgeschwindigkeit
,
wenn die Objekte nach Passieren des Loops wieder auf der Erdoberfläche sind?
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2008
3.10 Antwort zu H5
Für den Massenpunkt (A) ist die anfängliche Höhe
Aus der Bedingung
zwischen
und
erhält man somit
Aus dem Energiesatz folgt für die Endsituation
Anfangs- und Endgeschwindigkeit sind gleich groß.
Für die Kugel (B) ist die Anfangshöhe des Mittelpunktes
.
Gemäß der Relation zwischen
und
muss die Anfangsgeschwindigkeit gleich
sein, bei vernachlässigbarem Kugelradius ist
Aus dem Energiesatz
ergibt sich auch hier die Ausage, dass
und
gleich groß sind.
Betrachte die
Zusammensetzung
der Gesamtenergie der beiden Objekte bei einem
Startpunkt auf der Erdoberfläche für die drei Zeitpunkte
,
(im Maximum der Schleife) und
.
Die Anfangsgeschwindigkeit
soll dabei die Minimalgeschwindigkeit
sein, bei der das jeweilige Objekt den Loop gerade noch durchläuft.
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2008
3.10 Antwort zu H6
Die anfängliche Gesamtenergie des Massenpunktes (A) ist kinetisch
In dem höchsten Punkt der Schleife (
)
setzt sich die Gesamtenergie aus den Anteilen
zusammen, was einer Aufteilung in 20 % kinetischer Energie und 80 %
potentieller Energie entspricht. Die Situation für
entspricht
der Situation für
Im Fall der Kugel (B) ist die anfängliche Gesamtenergie
bzw. bei dem vorgegebenen Kugelradius
Es entfallen ca. 70.9 % auf den Translationsanteil, ca. 28.4 % auf den
Rotationsanteil und ca. 0.8 % auf die potentielle Energie.
In dem höchsten Punkt
ist
bei dem Kugelradius
also
Hier ist die Aufteilung ca. 18.4 % Translationsanteil, ca. 7.4 %
Rotationsanteil und ca. 74.3 % potentielle Energie. Die Endsituation entspricht
wieder der Anfangssituation.
Im Vergleich der beiden Objekte ist zu bemerken:
Die Gesamtenergie ist für die Kugel um ca 6.6 % höher als für den
Massenpunkt.
Die benötigte anfängliche Geschwindigkeit
ist für den Massenpunkt
größer als für die Kugel:
da ein Teil der benötigten anfänglichen kinetischen Energie im Fall
der Kugel als Rotationsenergie vorliegt.
In dem höchsten Punkt sind die Geschwindigkeiten
versus
Die Geschwindigkeit des Massenpunktes ist um ca. 2 % höher, was
dadurch bedingt ist, dass der Mittelpunkt der Kugel an der höchsten Stelle
der Schleife etwas unterhalb des Massenpunktes liegt.
Bei kleinem Kugelradius
kann die Kugel essentiell als
Massenpunkt betrachtet werden. Dabei ist jedoch zu bedenken, dass die
Energie der Drehbewegung in keinem Fall vernachlässigt werden darf. Die
Relation
besagt, dass bei
vorgegebener Geschwindigkeit
des Zentrums der Kugel eine Verkleinerung von
eine
Vergrößerung von
bedingt. Die kinetische
Energie der Drehbewegung ist aber unabhängig davon
Betrachte den Fall
,
für die drei
Zeitpunkte
,
(im Maximum der Schleife)
und
.
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2008
3.10 Antwort zu H7
Ist
, so sind die notwendigen Anfangshöhen
Die benötigte Höhe
ist für die Kugel um 6.6% höher als für den
Massenpunkt. Ein entsprechender Unterschied besteht für die potentielle Energie.
Ein Vergleich mit dem Ergebnis für die vorherigen Anfangsbedingungen zeigt,
dass die Gesamtenergie in beiden Fällen sowohl für den Massenpunkt
als auch für die Kugel übereinstimmt. Die
anfängliche Gesamtenergie wird, falls die Forderung besteht, dass das Objekt gerade
durch die Schleife gelangen soll ohne abzustürzen, alleine durch die Loopbedingung
bestimmt. Die beiden Sätze von Anfangsbedingungen unterscheiden sich nur
insofern als in einem Fall die Anfangsenergie kinetisch, in dem anderen Fall
potentiell ist.
Die gleichgroße Anfangsenergie bedingt jedoch, dass für beide
Anfangsbedingungen die gleichen Verteilungen der Gesamtenergie auf
kinetische und potentielle Anteile zu den Zeiten
und
vorliegen
wie im Fall der Anfangssituation mit
.
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2008
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