Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.6
  1. Welche Erhaltungssätze   gelten für das vorliegende Problem? Notiere diese Erhaltungssätze in Koordinaten, die dem Problem angepasst sind.
  2. Welche Aussagen  kann man (wie bei dem Keplerproblem) ohne explizite Lösung der Bewegungsgleichungen über mögliche Bahnformen machen?
  3. Welche Gleichung  benutzt man zur Berechnung der Bahnform?
  4. Welche Aussagen  ergeben sich aus der Struktur des Integranden des zur Auswertung anstehenden Integrals? (Fertige eine Skizze des Radikanden an.)
  5. Werte das Integral  für Fall 1 aus, um einen Ausdruck für die Bahngleichung zu gewinnen.
  6. Durch geschickte Wahl des Koordinatensystems  und der Anfangsbedingungen lässt sich dieser Ausdruck entscheidend vereinfachen.
  7. Beschreibe die Bahn,  auf der sich der Massenpunkt bewegt. Wie nahe kommt er dem Koordinatenursprung?
  8. Berechne die Bahnkurve  für den zweiten Fall ( Fall 2 )


  9. Vereinfache den Ausdruck  mit der Vorgabe, dass sich der Massenpunkt zum Zeitpunkt an der Stelle


    befindet. Zeige, dass dieser Wert von die maximal mögliche Entfernung vom Koordinatenursprung darstellt. Diskutiere die Bahnform.
  10. Berechne die allgemeine Lösung  für den dritten Fall ( Fall 3  )


  11. Wähle wie schon in den beiden anderen Fällen geschickte Anfangsbedingungen  und gib die spezielle Lösung an.
  12. Welche Bahn  beschreibt der Massenpunkt?
  13. Berechne die Zeitentwicklung  der Bewegung des Massenpunktes (in dem Fall3).
  14. Betrachte den Fall 3  mit den Anfangsbedingungen  und


    so dass


    ist.
  15. Berechne die Zeitentwicklung des Azimutalwinkels  . Benutze dazu den Drehimpulserhaltungssatz.
  16. Löse die Gleichung  in der Form auf.
  17. Welchen Zeitraum  benötigt der Massenpunkt, um eine Drehung von


    durchzuführen?
  18. Bestimme (zur Probe) die Bahngleichung  durch Elimination der Zeit aus den Gleichungen und im Fall 3.
  19. Welche Bedingungen  müssen erfüllt sein, damit der Massenpunkt eine gerade Bahn beschreibt? Wie sehen die Details im Fall 3 aus, wenn der Massenpunkt seine Bewegung bei beginnt und sich auf einer Geraden nach außen bewegt?



Werkzeuge




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4.6 Antwort zu H1



Es liegt ein Zentralkraftproblem vor, also gelten Energie- und Drehimpulserhaltung. Der Energiesatz lautet


oder dargestellt in ebenen Polarkoordinaten


wobei der erhaltene Drehimpuls ist.

   Welche Aussagen  kann man (wie bei dem Keplerproblem) ohne explizite Lösung der Bewegungsgleichungen über mögliche Bahnformen machen?


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4.6 Antwort zu H2



Man betrachtet die effektive potentielle Energie


und findet, dass sie für


positiv ist (siehe Abb. 1).

Abbildung 1: Das effektive Potential für




Es sind in diesem Fall nur Bahnen mit möglich. Für diese Bahnen existiert, bei gegebener Energie , ein Minimalabstand von dem Kraftzentrum, der nicht unterschritten werden kann. Ist , so ist die potentielle Energie negativ. Es sind positive und negative Energiewerte möglich (siehe Abb. 2).



Abbildung 2: Das effektive Potential für




Für negative Energien existiert ein Maximalabstand .


   Welche Gleichung  benutzt man zur Berechnung der Bahnform?


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4.6 Antwort zu H3



Die gestellte Aufgabe kann mit Hilfe der Gleichung (B4.12)


gelöst werden.

   Welche Aussagen  ergeben sich aus der Struktur des Integranden des zur Auswertung anstehenden Integrals? (Fertige eine Skizze des Radikanden an.)


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4.6 Antwort zu H4



Der Ausgangspunkt




kann mit der üblichen Substitution in die Form




gebracht werden. Die oben erwähnten Fälle entsprechen den folgenden Aussagen über die Bestandteile des Radikanden der Quadratwurzel

     
(1)





(2)





(3)





Abbildung 3: Die Definitionsbereiche der Variablen für die drei Lösungstypen




Die Forderung nach einem positiv definiten Radikanden führt auf die Aussagen:

Im Fall 1 sind alle Werte von aus dem Intervall zulässig.

Im Fall 2 ist das zulässige Intervall (entsprechend ).

Im Fall 3 ist nur (entsprechend ) möglich.

   Werte das Integral  für Fall 1 aus, um einen Ausdruck für die Bahngleichung zu gewinnen.


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4.6 Antwort zu H5



Das anstehende Integral


kann einschlägigen Integraltafeln oder den Werkzeugen entnommen werden. Die Grundform ist


Man erhält somit im Fall 1 mit


die allgemeine Lösung




Um die anfallende Differenz der beiden hyperbolischen Areasinusfunktionen zu handhaben, benutzt man


und erhält durch Inversion der obigen Gleichung und Wiedereinführung der Variablen





   Durch geschickte Wahl des Koordinatensystems  und der Anfangsbedingungen lässt sich dieser Ausdruck entscheidend vereinfachen.


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4.6 Antwort zu H6



Der Ausdruck wird einfacher, wenn man das Koordinatensystem so wählt, dass ist und der Massenpunkt aus großer Entfernung von dem Kraftzentrum startet ( ). Es ist dann

  























































Da die Abstandsfunktion positiv und der hyperbolische Sinus eine ungerade Funktion ist, ist das positive Vorzeichen zu benutzen, falls in den Grenzen variiert (der Massenpunkt sich also gegen den Uhrzeigersinn bewegt). Das negative Vorzeichen ist für (also für eine Bewegung im Uhrzeigersinn) zuständig.

   Beschreibe die Bahn,  auf der sich der Massenpunkt bewegt. Wie nahe kommt er dem Koordinatenursprung?


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4.6 Antwort zu H7



Die Funktion


beschreibt die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Spiralbahn. Die Masse bewegt sich auf das Zentrum zu (die Funktion wächst mit ), das sie für erreicht. Das Vorzeichen bezieht sich auf den Drehsinn der Spirale (siehe Abb. 4).



Abbildung 4: Die Bahnkurve in dem Fall 1 mit unterschiedlichem Drehsinn (positives Vorzeichen: blau, negatives: grün). Parameter: , , ,





Abbildung 5: Variation der Bahnkurve mit und (Fall 1). Parameter: , , (a) (b) ,





   Berechne die Bahnkurve  für den zweiten Fall ( Fall 2



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4.6 Antwort zu H8



In diesem Fall schreibt man zweckmäßigerweise und benutzt das Integral


Das Ergebnis




kann man mit der Formel


zusammenfassen und invertieren. Man erhält (ersetze wieder durch )




Nur das positive Vorzeichen tritt auf, da der hyperbolische Kosinus eine gerade Funktion ist, die nur positive Werte annimmt.

   Vereinfache den Ausdruck  mit der Vorgabe, dass sich der Massenpunkt zum Zeitpunkt an der Stelle


befindet. Zeige, dass dieser Wert von die maximal mögliche Entfernung vom Koordinatenursprung darstellt. Diskutiere die Bahnform.


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4.6 Antwort zu H9



Für die maximal mögliche Entfernung ist , so dass sich aus dem Energiesatz


die Aussage


ergibt. Mit diesem Abstand und gewinnt man die spezielle Lösung

  
























































Die Winkelbereiche bis und bis beschreiben wiederum Drehungen gegen bzw. im Uhrzeigersinn. Es liegt auch hier eine Spiralbahn vor. Der Massenpunkt beginnt an der Stelle , erreicht den Koordinatenursprung aber erst nach unendlich vielen Drehungen (siehe Abb. 6).


Abbildung 6: Die Bahnkurve in dem Fall 2 mit unterschiedlichem Drehsinn Parameter: , , ,






Abbildung 7: Die Bahnkurve , Fall 2: Variation von und . Parameter: , , (a) (b) ,



   Berechne die allgemeine Lösung  für den dritten Fall ( Fall 3




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4.6 Antwort zu H10



In dieser Situation setzt man


und benutzt das Integral


Zur weiteren Aufbereitung des Ergebnisses




benutzt man zunächst


und dann die Formel


die für gültig ist. Es folgt dann bei allgemeiner Anfangsposition





   Wähle wie schon in den beiden anderen Fällen geschickte Anfangsbedingungen  und gib die spezielle Lösung an.


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4.6 Antwort zu H11



Eine Vereinfachung ergibt sich in diesem Fall ( vorausgesetzt), wenn der Startpunkt zum Zeitpunkt der Minimalabstand


ist. Man erhält dann

  























































Der Kosinus ist eine gerade Funktion, kann aber positive und negative Werte annehmen. Aus diesem Grund muss man die Situation genauer betrachten. Der Umlaufsinn ist (immer noch) gegen den Uhrzeigersinn für wachsendes , bzw. in dem Uhrzeigersinn, falls (beginnend bei dem Wert ) abnimmt.

   Welche Bahn  beschreibt der Massenpunkt?


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4.6 Antwort zu H12



Der Massenpunkt bewegt sich von der Stelle bis zu der Stelle , während er sich z. B. von dem Winkel bis zu dem Winkel


dreht. Bei einer Drehung um einen größeren Winkel wird die rechte Seite der Gleichung, im Widerspruch zu dem positiven Abstand, negativ. Offensichtlich entsteht die Frage, wie es mit dem Zeitablauf auf diesem Spiralenstück bestellt ist?

   Berechne die Zeitentwicklung  der Bewegung des Massenpunktes (in dem Fall 3).


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4.6 Antwort zu H13



Um den Zeitablauf zu diskutieren, beginnt man mit (B4.10)




Einfache Sortierung ergibt




Diese Aussage gilt für jeden der Fälle 1 - 3.

   Betrachte den Fall 3  mit den Anfangsbedingungen  und


so dass


ist.


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4.6 Antwort zu H14



Das Ergebnis für kann dann in der Form


notiert werden. Die Zeit ist eine positive Größe, so dass die Auflösung nach


lautet.

   Berechne die Zeitentwicklung des Azimutalwinkels  . Benutze dazu den Drehimpulserhaltungssatz.


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4.6 Antwort zu H15



Das Resultat für kann in den Drehimpulssatz eingesetzt werden, so dass für den Azimutalwinkel das Integral




zu berechnen ist. Einer Integraltafel oder den Werkzeugen entnimmt man das Grundintegral


In dem vorliegenden Fall ist die Funktion also





   Löse die Gleichung  in der Form auf.


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4.6 Antwort zu H16



Für die genannten Anfangsbedingungen ist im Fall 3



   Welchen Zeitraum  benötigt der Massenpunkt, um eine Drehung von


durchzuführen?


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4.6 Antwort zu H17



Man sieht explizit, dass für eine Drehung von bis


eine unendliche Zeitspanne verstreicht.



Abbildung 8: Fall 3 (Parameter: , , )






Abbildung 9: Die Bahnkurve Fall 3: Variation von und . Parameter: , (a) , (b)



   Bestimme (zur Probe) die Bahngleichung  durch Elimination der Zeit aus den Gleichungen und im Fall 3.


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4.6 Antwort zu H18



Setzt man den Ausdruck für


in den Ausdruck für ein


so man erhält zunächst




Mit findet man das vorherige Ergebnis



   Welche Bedingungen  müssen erfüllt sein, damit der Massenpunkt eine gerade Bahn beschreibt? Wie sehen die Details im Fall 3 aus, wenn der Massenpunkt seine Bewegung bei beginnt und sich auf einer Geraden nach außen bewegt?


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4.6 Antwort zu H19



Eine gerade Bahn wird durch beschrieben. Dies beinhaltet wiederum, dass sein muss (keine Drehung). Eine derartige Bahn ist für jeden der drei diskutierten Fälle möglich. Der angesprochene Fall betrifft die repulsive Wechselwirkung (). Mit findet man hier



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