Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.2
  1. Welche Erhaltungssätze   gelten in diesem Fall?
  2. Gib die zugehörige potentielle Energie  für die vorgegebene Kraft an.
  3. Notiere die Erhaltungssätze  in Koordinaten, die dem Problem angemessen sind.
  4. Wie ist eine stabile Kreisbahn  charakterisiert?
  5. Bestimme das Minimum  des effektiven Potentials.
  6. Welche Bedingungen  müssen demnach und erfüllen, damit eine stabile Kreisbahn vorliegt?



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4.2 Antwort zu H1



Für ein Zentralkraftproblem gilt Energie- und Drehimpulserhaltung.

   Gib die zugehörige potentielle Energie  für die vorgegebene Kraft an.


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4.2 Antwort zu H2



Es ist



   Notiere die Erhaltungssätze  in Koordinaten, die dem Problem angemessen sind.


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4.2 Antwort zu H3



Der Energiesatz in ebenen Polarkoordinaten


kann bei Drehimpulserhaltung


in der Form (siehe (B4.8))


geschrieben werden.

   Wie ist eine stabile Kreisbahn  charakterisiert?


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4.2 Antwort zu H4



Eine Kreisbahn liegt vor, wenn für jeden Punkt der Bahn ist (warum?). Sie ist stabil, falls die effektive potentielle Energie


ein Minimum besitzt (s. Kap. 4 Abb. 4.6). In diesem Fall müssen für den Radius der Kreisbahn () die Bedingungen


gelten.

   Bestimme das Minimum  des effektiven Potentials.


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4.2 Antwort zu H5



Die erste Bedingung


führt auf


mit der Auflösung


Da die Größen und per Definition positiv sind, müssen die Parameter und das gleiche Vorzeichen haben. Die zweite Bedingung


ergibt


bzw. nach Einsetzen von gemäß der ersten Bedingung


Es muss also sein.

   Welche Bedingungen  müssen demnach und erfüllen, damit eine stabile Kreisbahn vorliegt?


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4.2 Antwort zu H6



Anhand der beiden gewonnenen Aussagen kann man als Bedingung für eine stabile Kreisbahn angeben:
(a)
Ist , so sind alle positiven Potenzen von möglich. Ein Beispiel ist der harmonischen Oszillator

ebenso könnte es ein Potential mit einer anderen positiven Potenz von sein.


Abbildung 1: Das effektive Potential mit dem Oszillatorpotential


(b)
Ist , so ist auf den Bereich beschränkt, wie z.B. für das Gravitationspotential


In diesem Fall ist das Potential attraktiv (negatives Vorzeichen). (Kann man ohne Rechnung einsehen, warum die untere Grenze sein muss?)


Abbildung 2: Das effektive Potenial mit dem Coulombpotential



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