Wie berechnet man die
Abnahme
der mechanischen Energie, die infolge der
Reibung auftritt?
Wie lauten die
Lösungen
des gedämpften harmonischen Oszillatorproblems
für die drei Fälle starke (s), schwache (w) Dämpfung sowie in dem
aperiodischen (a) Grenzfall bei den gegebenen Anfangsbedingungen?
Welche
Integrale
sind im Fall der schwachen Dämpfung zu berechnen?
Berechne die einzelnen
Integrale
mittels partieller Integration.
Wie lautet das
Ergebnis
für die Zeitabhängigkeit der mechanischen
Energie
?
Welche Integrale sind im
aperiodischen
Grenzfall zu berechnen?
Berechne die
einzelnen Integrale
mittels partieller Integration
(oder benutze eine Integraltafel).
Wie in Kapitel 4.2.2 besprochen, berechnet man die Abnahme der
mechanischen Energie infolge von Reibung anhand der Gleichung
wobei
ist.
Wie lauten die
Lösungen
des gedämpften harmonischen Oszillatorproblems
für die drei Fälle starke (s), schwache (w) Dämpfung sowie in dem
aperiodischen (a) Grenzfall bei den gegebenen Anfangsbedingungen?
Die Integrale werden mitteles partieller Integration behandelt. Dabei setzt man
(unter Benutzung der Standardnotation
bei partieller Integration
).
Man erhält
Setzt man das Zwischenergebnis für in die Zwischergebnisse von
und ein, so findet man ein lineares Gleichungssystem für und
Die Abnahme der mechanische Energie
wird in jedem der drei
Fälle durch Exponentialfunktionen reguliert. Bei der schwachen
Dämpfung ist der Abfall (wie zu erwarten) am langsamsten. Die
Funktion
zeigt noch Andeutungen des
oszillatorischen Charakters der Funktion (bzw. ).
Die Abnahme der mechanischen Energie für den aperiodischen Grenzfall
und den Fall der starken Dämpfung unterscheidet sich in der Struktur
nicht wesentlich. Man findet in beiden Fällen eine starke Abnahme
bis in die Nähe des Zeitpunktes der Bewegungsumkehr und dann, infolge
der niedrigen Geschwindigkeit des Massenpunktes (angedeutet durch die
langsame Änderung der Position mit der Zeit), einen deutlich
verzögerten Abfall.