Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.4
  1. Wodurch ist die Kometenbahn   charakterisiert?
  2. Wodurch ist der minimale Abstand  bestimmt? Wie hängt der Drehimpuls des Kometen von ab?
  3. Wie kann die Verweilzeit  berechnet werden? Führe die Rechnung durch.
  4. Skizziere die Funktion  und bestimme die maximal mögliche Verweilzeit.
  5. Berechne die Verweilzeiten  für und .



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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































4.4 Antwort zu H1



Die Kometenbahn (parabolischer Orbit) ist durch und


charakterisiert.

   Wodurch ist der minimale Abstand  bestimmt? Wie hängt der Drehimpuls des Kometen von ab?


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4.4 Antwort zu H2



Für den minimalen Abstand gilt .
Aus dem Energiesatz


folgt somit für den (erhaltenen) Drehimpuls



   Wie kann die Verweilzeit  berechnet werden? Führe die Rechnung durch.


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4.4 Antwort zu H3



Die Zeit, die der Komet innerhalb der Erdbahn verbringt, kann man mittels Integration der radialen Bewegungsgleichung bestimmen. Diese entspricht dem Energiesatz des Keplerproblems mit (), der nach aufgelöst wird. Bei der Variablentrennung werden die Integrationsgrenzen wie folgt festgelegt:
Der Komet schneidet zum Zeitpunkt die (kreisförmige) Erdbahn, d.h. sein Abstand beträgt zu diesem Zeitpunkt . Nach der Hälfte der Verweilzeit befindet er sich im kürzesten Abstand zur Erde, um sich dann wieder zu entfernen. Infolge der Symmetrie der Bewegung genügt es, zu berechnen.
Die Hälfte der Zeit, die der Komet innerhalb der Erdbahn verbringt, kann man durch Integration von




berechnen. Da der Radius von dem Wert auf den Wert abnimmt, muss das negative Vorzeichen gewählt werden.

(Variablentrennung ergibt)























































Setzt man hier den Ausdruck für den Drehimpuls ein


so lautet das Integral


Das bestimmte Integral ergibt

     


























































Die Verweilzeit ist also



   Skizziere die Funktion  und bestimme die maximal mögliche Verweilzeit.


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4.4 Antwort zu H4



Der Verlauf der Funktion


in


ist in Abb. 2 angedeutet:


Abbildung 2: Variation der (skalierten) Verweilzeit mit dem Parameter



Die maximale Verweilzeit ergibt sich als

(was)























































Maximum dieser Funktion zu





   Berechne die Verweilzeiten  für und .


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4.4 Antwort zu H5



Zur vereinfachten Auswertung kann man, wie angegeben, die Umlaufzeit der Erde benutzen


Es ist dann




Somit erhält man





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