Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.11
-
Wähle ein
Koordinatensystem
und gib die Zwangsbedingungen an.
-
Welche
Vorgabe
wurde noch nicht betrachtet?
-
Wie viele
Freiheitsgrade
verbleiben demnach und wie kann man sie
charakterisieren?
-
Zur
Aufstellung der Bewegungsgleichung
nach Lagrange II benötigt man einen Ausdruck
für die kinetische und die potentielle Energie des Systems. Bestimme die kinetische
Energie der Massen.
-
Gib die
potentielle Energie
an.
-
Welche
Form
hat somit die Lagrangefunktion?
-
Wie sind die
Gleichgewichtspositionen
des Systems (bezüglich der Auf- und
Abwärtsbewegung) zu bestimmen?
-
Berechne das
Extremum
des effektiven Potentials und charakterisiere es näher.
-
Berechne die
Ableitung der Lagrangefunktion,
die zur Aufstellung der Bewegungsgleichung
benötigt werden. Führe dies für die generalisierten Koordinaten
und
durch.
-
Zur Diskussion von
kleinen Schwingungen
um die Gleichgewichtslage
setzt man z.B.
und entwickelt bis zur Ordnung (
). Das heißt: es werden nur
lineare Terme in
verwendet, alle anderen werden vernachlässigt.
Führe diese Rechnung zunächst für die Differentialgleichung in
durch.
-
Führe die
Diskussion
von kleinen Schwingungen um die Gleichgewichtslage
auch für die Bewegungsgleichung in
durch und vergleiche
das Ergebnis für die Frequenz. Was fällt auf?
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2008
5.11 Antwort zu H1
Abbildung 2:
Variablen des Fliehkraftreglers

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Bei einer Wahl des Koordinatensystems gemäß
Abb. 2 sind die
Zwangsbedingungen:
- (a)
- Alle drei Massen liegen zu jedem Zeitpunkt in einer Ebene, der
-
Ebene.
Es gelten die drei Bedingungen
- (b)
- Vier Abstände der Massen zueinander bzw. zu dem Befestigungspunkt
sind vorgegeben
Welche
Vorgabe
wurde noch nicht betrachtet?
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5.11 Antwort zu H2
Die Drehung um die Vertikale (Winkel
) ist ebenfalls vorgegeben
Wie viele
Freiheitsgrade
verbleiben demnach und wie kann man sie
charakterisieren?
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5.11 Antwort zu H3
Drei Massen besitzen neun Freiheitsgrade, es liegen 8 Zwangsbedingungen
vor, es verbleibt demnach nur ein Freiheitsgrad, der entweder durch den
Abstand der Masse
von dem Punkt
oder durch den Winkel
zwischen der Vertikalen und den Stangen
von
zu
bzw.
charakterisiert werden kann.
Abbildung 3:
Variablen des Fliehkraftreglers

|
Zwischen den alternativ möglichen, generalisierten
Koordinaten besteht die Relation
eine Umrechnung zwischen diesen Koordinaten ist also problemlos möglich.
Zur
Aufstellung der Bewegungsgleichung
nach Lagrange II benötigt man einen Ausdruck
für die kinetische und die potentielle Energie des Systems. Bestimme die kinetische
Energie der Massen.
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5.11 Antwort zu H4
Die kinetische Energie der Masse
wird alleine durch die Änderung
der Koordinate
bestimmt
Die kinetische Energie der Massen
und
ergibt sich aus zwei
möglichen Verschiebungen:
Da die beiden Verschiebungen orthogonal zueinander sind, kann man das
Betragsquadrat bilden
und daraus die Geschwindigkeit
berechnen.
Die kinetische Energie der Massen
und
ist
Gib die
potentielle Energie
an.
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5.11 Antwort zu H5
Die potentielle Energie des Gesamtsystems ist
wenn das Koordinatensystem wie angedeutet gewählt wurde.
Welche
Form
hat somit die Lagrangefunktion?
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5.11 Antwort zu H6
Die Lagrangefunktion kann entweder in der Koordinate
oder alternativ durch die Koordinate
dargestellt werden.
Wie sind die
Gleichgewichtspositionen
des Systems (bezüglich der Auf- und
Abwärtsbewegung) zu bestimmen?
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5.11 Antwort zu H7
Das System ist im Gleichgewicht (bezüglich der Auf- und
Abwärtsbewegung), falls sich der Winkel
nicht mit der Zeit
ändert und die restliche Lagrangefunktion
(zusammengefasst als effektive potentielle Energie) ein Minimum besitzt. Alternativ
kann man das effektive Potential
betrachten.
Berechne das
Extremum
des effektiven Potentials und charakterisiere es näher.
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5.11 Antwort zu H8
Die Ableitung der Größe
ergibt
Die zweite Ableitung ist
Es liegt also ein Minimum vor. Die Minimalstelle ist
Eine zusätzliche Bedingung ist:
kann nicht größer als
sein. Es
gilt also die geometrische Einschränkung
Auf der anderen Seite kann man die Größe
einstellen, z.B. durch Reduktion der Winkelgeschwindigkeit
bei gegebenen
Massen und Länge
so, dass sie größer als
ist.
In diesem Fall gibt es nur eine (stabile) Situation:
. Die Massenpunkte
hängen, falls die Drehgeschwindigkeit zu niedrig ist, in der Vertikalen
(
).
Die Arbeitsweise des Fliehkraftreglers beruht auf der Ausnutzung der
Relation
. Bringt man auf der Vertikalen einen
Kontakt an, so kann man beim Erreichen einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit
einen Vorgang regeln (z.B. Drehzahlbegrenzer für Motoren).
(Zusatzübung: Führe die Bestimmung des Minimums auch mit
durch.)
Berechne die
Ableitung der Lagrangefunktion,
die zur Aufstellung der Bewegungsgleichung
benötigt werden. Führe dies für die generalisierten Koordinaten
und
durch.
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5.11 Antwort zu H9
Die Lagrangefunktion in Abhängigkeit von
lautet
Die benötigten Ableitungen errechnen sich zu
Damit erhält man als Bewegungsgleichung
Entsprechend benötigt man für die Bewegungsgleichung in
und erhält
Zur Diskussion von
kleinen Schwingungen
um die Gleichgewichtslage
setzt man z.B.
und entwickelt bis zur Ordnung (
). Das heißt: es werden nur
lineare Terme in
verwendet, alle anderen werden vernachlässigt.
Führe diese Rechnung zunächst für die Differentialgleichung in
durch.
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5.11 Antwort zu H10
Aus
folgt mit
Unter Vernachlässigung aller Terme höherer
Ordnung erhält man
Setzt man den Ausdruck für
in die Bewegungsgleichung ein, so heben
sich der zweite und der letzte Term weg und es bleibt
die Oszillatorgleichung
Hier kann als Frequenz der Schwingung
abgelesen werden.
Anstelle von
kann man die Variable
benutzen. Es ist
Löst man diese Relation nach
auf
so kann man die Frequenz auch in der Form
angeben.
Führe die
Diskussion
von kleinen Schwingungen um die Gleichgewichtslage
auch für die Bewegungsgleichung in
durch und vergleiche
das Ergebnis für die Frequenz. Was fällt auf?
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5.11 Antwort zu H11
Setze
in die Bewegungsgleichung ein,
vernachlässige alle nichtlinearen Terme in
Dabei wurde die Reihenentwicklung der trigonometrischen Funktionen
verwendet und konsequent Terme höherer Ordnung vernachlässigt
Durch das Ersetzen von
durch
in der Bewegungsgleichung, erhält man
Man erhält selbstverständlich die gleiche Frequenz wie bei dem ersten
Durchgang.
Abbildung 6:
Variation der Oszillationsfrequenz mit dem Gleichgewichtswinkel

|
Die Abhängigkeit der Oszillationsfrequenz von dem Gleichgewichtswinkel
ist in Abb. 6 dargestellt. Die Frequenz wächst über
einen weiten Bereich nahezu linear mit
an, um letztlich für den
maximal möglichen Winkel
zu divergieren. Offensichtlich ist
die Linearisierung der (nichtlinearen) Bewegungsgleichung in
bzw.
in diesem Winkelbereich nicht vertretbar.
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