Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.11
-
Mit welchen
Mitteln
kann man die Stabilität der Drehung untersuchen?
-
Wie lauten die
Eulergleichungen
bei infinitesimaler Auslenkung
aus dieser Drehachse?
-
Vernachlässige alle Terme
höherer (als erster) Ordnung
in
.
Notiere die resultierenden Differentialgleichungen.
-
Wie
löst
man dieses System von Differentialgleichungen in
?
-
Führe die Separation durch,
gewinne eine Differentialgleichung
für
.
-
Löse die
Differentialgleichung
für
, berechne anschließend
auch
.
-
Untersuche die
drei Fälle
Beginne mit dem ersten.
-
Welche
Aussage
kann man somit für die Zeitentwicklung von
und
bzw. über die Stabilität der Drehung um die
-Achse machen?
-
Betrachte den
zweiten Fall
und kommentiere das Ergebnis.
-
Betrachte den
letzten Fall
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2008
6.11 Antwort zu H1
Zur Untersuchung der Stabilität betrachtet man eine infinitesimale Veränderung
der Drehachse:
.
Zur Lösung der Aufgabe verwendet man die Eulergleichungen
(B6.151), mit den infinitesimal geänderten Drehgeschwindigkeiten.
Da die Nummerierung der Hauptachsen willkürlich ist, kann man voraussetzen,
dass der Kreisel sich anfänglich um die
-Achse dreht.
Wie lauten die
Eulergleichungen
bei infinitesimaler Auslenkung
aus dieser Drehachse?
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6.11 Antwort zu H2
Die Komponenten der Drehgeschwindigkeit sind
die entsprechenden Eulergleichungen (B6.151)
lauten
Vernachlässige alle Terme
höherer (als erster) Ordnung
in
.
Notiere die resultierenden Differentialgleichungen.
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6.11 Antwort zu H3
Unter konsistenter Berücksichtigung von Termen erster Ordnung folgt aus
der ersten Gleichung
Die zweite und die dritte Differentialgleichung lauten
Wie
löst
man dieses System von Differentialgleichungen in
?
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6.11 Antwort zu H4
Die Lösung der ersten Differentialgleichung ist
wobei die Konstante (bei entsprechender Wahl der Anfangsbedingungen) gleich
Null gesetzt werden kann. Die restlichen Differentialgleichungen können
nach dem Standardmuster (welches?) separiert werden.
Führe die Separation durch,
gewinne eine Differentialgleichung
für
.
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6.11 Antwort zu H5
Differentiation der zweiten Gleichung und Einsetzen des Resultates in
die letzte liefert
eine Differentialgleichung für
Löse die
Differentialgleichung
für
, berechne anschließend
auch
.
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6.11 Antwort zu H6
Es liegt eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten vor, die mit dem Ansatz
gelöst werden kann.
Die charakteristische Gleichung ist
Da die zwei Wurzeln
und
verschieden sind, hat die
Lösung die Form
Aus der zweiten Gleichung
gewinnt man dann die Lösung für
Untersuche die
drei Fälle
Beginne mit dem ersten.
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6.11 Antwort zu H7
Ist
ist also die
-Achse die Achse mit dem größten
Hauptträgheitsmoment, so ist
Die Lösungen für
und
lauten demnach
und
Welche
Aussage
kann man somit für die Zeitentwicklung von
und
bzw. über die Stabilität der Drehung um die
-Achse machen?
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6.11 Antwort zu H8
Die Lösung für
und
zeigen ein
oszillatorisches Verhalten um die Ausgangslage. Die Drehung um die
-Achse ist stabil.
Betrachte den
zweiten Fall
und kommentiere das Ergebnis.
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6.11 Antwort zu H9
Für
ist die
-Achse die Achse mit dem kleinsten
Hauptträgheitsmoment. Es gilt ebenfalls
Auch in diesem Fall ist die Drehung um die
-Achse stabil.
Betrachte den
letzten Fall
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6.11 Antwort zu H10
In dem Fall
ist die
-Achse die Achse mit dem mittleren
Hauptträgheitsmoment. Es gilt
Die allgemeine Lösung für
(und entsprechend
für
) hat die Form
Die Drehachse entfernt sich exponentiell aus der Ausgangslage. Die
Drehung um die
-Achse ist nicht stabil.
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