Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.18
  1. Betrachte den Energiesatz,   um eine Differentialgleichung für zu gewinnen.
  2. Welche Aussage  gilt für den Umkehrpunkt ? Bestimme daraus .
  3. Wie lautet die Differentialgleichung  für die Funktion ?
  4. Welche Methode  bietet sich für die Lösung der Differentialgleichung an?
  5. Berechne das Integral.  Welche Substitution würde auf das in den Werkzeugen angegeben Integral führen?
  6. Da die Funktion gesucht wird, muss die Umkehrfunktion  bestimmt werden.
  7. Zur Diskussion  des Resultates kann man die Funktion entwickeln. Führe dies zuerst für kleine -Werte durch. Überprüfe das Ergebnis für .
  8. Betrachte die Funktion  für große -Werte.



Werkzeuge




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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































3.18 Antwort zu H1



Der Energiesatz als Ausgangspunkt der Diskussion lautet in diesem Fall



   Welche Aussage  gilt für den Umkehrpunkt ? Bestimme daraus .


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3.18 Antwort zu H2



Der Umkehrpunkt ist durch charakterisiert. Dies ergibt





   Wie lautet die Differentialgleichung  für die Funktion ?


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3.18 Antwort zu H3



Für die Berechnung der Bewegung ist die Differentialgleichung


zuständig, wobei das Minuszeichen eine Bewegung auf den Ursprung zu, das Pluszeichen eine Bewegung in entgegengesetzter Richtung beschreibt. Das Pluszeichen ist also für die Aufgabenstellung zuständig.

   Welche Methode  bietet sich für die Lösung der Differentialgleichung an?


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3.18 Antwort zu H4



Zur Lösung der Differentialgleichung genügt Variablentrennung



   Berechne das Integral.  Welche Substitution würde auf das in den Werkzeugen angegeben Integral führen?


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3.18 Antwort zu H5



Das Integral wird einfacher, wenn man die Exponentialfunktion durch eine Potenz ersetzt. Man benutzt deswegen z.B.





und


Damit erhält man


(siehe Integraltafel oder Werkzeuge)




da ist.

   Da die Funktion gesucht wird, muss die Umkehrfunktion  bestimmt werden.


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3.18 Antwort zu H6



Die Umkehrung der Relation




liefert zunächst


und mit


das Endresultat




das in




umgeschrieben werden kann.

Nebenrechnung

   Zur Diskussion  des Resultates kann man die Funktion entwickeln. Führe dies zuerst für kleine -Werte durch. Überprüfe das Ergebnis für .


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3.18 Antwort zu H7



Als Probe der Rechnung kann man die Situation für betrachten


Wenn dieses Ergebnis nicht auftritt, wurde ein Fehler gemacht (siehe Anfangsbedingungen). Für kleine Argumente gilt für den hyperbolischen Kosinus



Nebenrechnung


Abbildung 2: Bewegung im Exponentialpotential: (exakt (rot), Entwicklung für kleine t (blau), zeitliche Asymptotik (grün)). Parameterwerte: , , , )




Außerdem gilt die Entwicklung


Kombination der Entwicklungen bedingt, dass die Bewegung mit einer quadratischen Abhängigkeit der Wegstrecke von der Zeit beginnt



   Betrachte die Funktion  für große -Werte.


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3.18 Antwort zu H8



Für große Zeiten gilt


und somit für große




Die Variation der Position mit der Zeit ist für große Zeiten gleichförmig



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