Lösung der Aufgabe 2.5
Die Lösungen der Differentialgleichungen
mit den drei vorgegebenen Anfangsbedingungen sind
- (
)
-
- (
)
-
- (
)
-
Die Raumkurven sind Schraubenlinien, wobei in den Fällen (
) und (
) die
Projektionen in die
-
Ebene Ellipsen mit den Halbachsen
und
sind.
Im Fall (
) ist diese Projektion
ein Kreis mit Radius 1. Ein Massenpunkt steigt auf diesen Schraubenlinien mit
den Ganghöhen
Der Betrag der Geschwindigkeit auf der Raumkurve variiert in den Fällen (
)
und (
) mit der Zeit. Er ist
- (
)
- maximal für die Zeitpunkte
mit dem
Wert
,
minimal für die Zeitpunkte
mit
dem Wert
,
- (
)
- maximal für die Zeitpunkte
mit dem
Wert
,
minimal für die Zeitpunkte
mit
dem Wert
.
(In allen Fällen nimmt
die Werte
) an.
Die Geschwindigkeit hat jeweils den größten Wert für den kürzesten
Abstand von der
-Achse und den kleinsten für den größten
Abstand.
In dem Fall (
) ist die Geschwindigkeit unabhängig von der
Zeit. Dies entspricht einem uniformen Aufstieg auf der kreisförmigen
Schraubenlinie.
Die Beschleunigung in den
- bzw.
-Richtungen ist proportial zu
den Koordinaten und hat den Wert
in der
-Richtung. Der Betrag
der Beschleunigung variiert in den Fällen (
) und (
)
mit dem Abstand von der
-Achse, und zwar um
phasenverschoben
verglichen mit der Geschwindigkeit.
Die folgenden Animationen sollen die Veranschaulichung
unterstützen.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008