Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.4
  1. Benutze die allgemeine Lösung   des freien Wurfproblems auf der Erde aus D.tail 6.4. Berechne die Geschwindigkeiten.
  2. Notiere das Gleichungssystem  für die Integrationskonstanten für allgemeine Anfangsbedingungen bei .
  3. Löse das Gleichungssystem  für die Anfangsbedingungen (A).
  4. Entwickle die trigonometrischen Funktionen  und bestimme eine Näherung, die für kleine Werte von angemessen ist.
  5. Wie berechnet man die maximale Höhe  der Wurfbahn und die maximal erreichbare Weite?
  6. Wie kann man zeigen,  dass die Terme aufgrund der Rotation die Aussagen bezüglich der Höhe und Weite nicht wesentlich beeinflussen?
  7. Welche Näherungsformeln  kann man für und verwenden, wenn man voraussetzt, dass die in (5.) berechneten, genäherten Zeiten ausreichend genau sind?
  8. Berechne für die vorgegebene Anfangsgeschwindigkeit  (A) die maximale Weite und Höhe. Benutze dazu eine geeignete Näherung und schätze den Fehler ab.
  9. Führe die gleichen Rechnungen  mit den anderen vorgegebenen Geschwindigkeiten durch.
  10. Berechne die Abweichungen  für die fünf Breiten.
  11. Führe die Rechnung für den Wurf in östlicher/westlicher Richtung  (Fall B) durch. Bestimme zunächst die spezielle Lösung für die vorgegebenen Anfangsbedingungen und eine vertretbare Näherung.
  12. Vergleiche die Resultate  (Näherungsformeln) für die Situation (B) mit den Ergebnissen im Fall (A). Welche Schlüsse kann man daraus ziehen?

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6.4 Antwort zu H1



Die allgemeine Lösung des freien Wurfproblems auf der Erde lautet




Die Größen sind Integrationskonstanten, ist die Kreisfrequenz der Erdrotation und die geographische Breite (des Anfangspunktes). Außerdem treten die Konstanten


auf. Zu beachten ist, dass die geographische Breite in der weiteren Diskussion konstant bleibt. Für nicht zu weite Würfe ist dies eine vertretbare Näherung. Aus den drei Funktionen gewinnt man für die Geschwindigkeiten in den drei Koordinatenrichtungen





   Notiere das Gleichungssystem  für die Integrationskonstanten für allgemeine Anfangsbedingungen bei .


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6.4 Antwort zu H2



Für allgemeine Anfangsbedingungen ergibt sich das Gleichungssystem





   Löse das Gleichungssystem  für die Anfangsbedingungen (A).


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6.4 Antwort zu H3



Die Lösung dieses Gleichungssystems für die Anfangsbedingungen (A) lautet





Nebenrechnung
Die spezielle Lösung ist somit





   Entwickle die trigonometrischen Funktionen  und bestimme eine Näherung, die für kleine Werte von angemessen ist.


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6.4 Antwort zu H4



Bei Entwicklung bis zu Termen in der Ordnung 6 benötigt man




Damit folgt





   Wie berechnet man die maximale Höhe  der Wurfbahn und die maximal erreichbare Weite?


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6.4 Antwort zu H5



Zur Bestimmung der maximalen Höhe, ist der Zeitpunkt mit Hilfe der Bedingung


zu berechnen. Die maximale Höhe ist dann . Die Wurfzeit gewinnt man aus der Gleichung


Die Koordinaten des Endpunktes sind somit (vernachlässigbare Krümmung zwischen Ausgangs- und Endpunkt vorausgesetzt)



   Wie kann man zeigen,  dass die Terme aufgrund der Rotation die Aussagen bezüglich der Höhe und Weite nicht wesentlich beeinflussen?


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6.4 Antwort zu H6



Eine Vernachlässigung der Terme, die aufgrund der Rotation in der Bestimmungsgleichung auftreten, führt zu einem Fehler. Um diesen abzuschätzen, berechnet man den Unterschied zwischen dem Ergebnis mit einer Entwicklung in -ter Ordnung in den Termen aufgrund der Rotation und dem Ergebnis mit Termen bis zur -ten Ordnung. Man beginnt zweckmäßigerweise mit der einfachsten Näherung (der nullten Näherung, die eine vollständige Vernachlässigung der Terme aufgrund der Erdrotation beinhaltet). Ist der Unterschied klein genug, so liegt eine akzeptable Lösung vor. Die grobe Näherung


ergibt über


den Zeitpunkt des Auftreffens zu


Die maximale Höhe wird (in entsprechender Näherung) wegen


zu dem Zeitpunkt


erreicht. Um den Fehler in der Zeit abzuschätzen, setzt man


in die vollständige Gleichung für ein und bestimmt in linearer Näherung




Dabei wurden Terme der Ordnung und mit vernachlässigt. Für die Differenz erhält man dann





   Welche Näherungsformeln  kann man für und verwenden, wenn man voraussetzt, dass die in (5.) berechneten, genäherten Zeiten ausreichend genau sind?


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6.4 Antwort zu H7



In niedriger Ordnung erhält man




Hier wurden alle Terme, in denen Potenzen von () auftreten, vernachlässigt. In dem Ausdruck für treten nur Terme aufgrund der Erdrotation auf. Für sollte der Term dominieren.

   Berechne für die vorgegebene Anfangsgeschwindigkeit  (A) die maximale Weite und Höhe. Benutze dazu eine geeignete Näherung und schätze den Fehler ab.


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6.4 Antwort zu H8



Die vorgegebenen Größen sind für den ersten Fall

Mit erhält man als maximale Höhe der Bahn

Die maximale Weite beträgt (der dominante Term ist ausreichend)


Die Abweichung in der -Richtung berechnet man mit

zu

Der Fehler in der Berechnung der Zeit (für gilt eine analoge Abschätzung) ergibt sich mit

zu
ist also vernachlässigbar.

   Führe die gleichen Rechnungen  mit den anderen vorgegebenen Geschwindigkeiten durch.


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6.4 Antwort zu H9



Vergleiche Deine Ergebnisse mit den Einträgen in der Tabelle.

   Tabelle mit den Ergebnissen






















































Tabelle 1: Höhe, Weite und Abweichung im Fall (A), ( )
 

 (m/s) (m/s) (s) (m) (m) (m)
 

 
 
 
 
 
 

         

Während die Ergebnisse für die Höhe und die Weite recht durchsichtig sind, bedarf das Abweichungsmuster einer genaueren Diskussion. Um die Systematik zu erfassen, betrachtet man die Abweichungen als Funktion der Breite.

   Berechne die Abweichungen  für die fünf Breiten.


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6.4 Antwort zu H10



Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst.

Tabelle 2: Die Abweichung (in ) im Fall (A) als Funktion der geographischen Breite
 

 (m/s) (m/s)          
 

 
 
 
 
 
 

           

Für eine Ausgangssituation am Nordpol hat das Vektorprodukt der zwei Geschwindigkeitsvektoren (und damit die Corioliskraft) für die Paare 1, 3 und 5 ein entgegengesetztes Vorzeichen zu den Paaren 2, 4 und 6. Da die Vektoren in jedem Paar die gleiche Länge haben und der eingeschlossene Winkel dem Betrag nach gleich ist, ergeben sich entgegengesetzte Abweichungen. Diese Situation ist in Abb. 1a (mit Andeutung der Richtung der anfänglichen Corioliskraft) dargestellt.


Abbildung 1: Wurf auf der rotierenden Erde: Anfangsgeschwindigkeiten bei verschiedenen geographischen Breiten





Abbildung 2: Wurf auf der rotierenden Erde: Die Auswirkung von in zwei Situationen auf der nördlichen Halbkugel bei



Die Situation bei (Abb. 1b) ist dadurch charakterisiert, dass bei dem steilen Wurf der -Vektor für beide Geschwindigkeitsvektoren (unterschieden durch ) in die gleiche Richtung gedreht wird und somit die Corioliskraft und (cum grano salis auch die Abweichung) in die gleiche Richtung zeigt (Abb. 2a). Für die anderen Anfangsbedingungen, die in der Tabelle angesprochen werden, liegt der -Vektor zwischen den zwei Geschwindigkeitsvektoren des Paares. Es treten somit entgegengesetzte Vorzeichen in der Richtung der Corioliskraft und somit in der Abweichung in der Ost-West Richtung auf (Abb. 2b).

Am Äquator haben alle Geschwindigkeitsvektoren die gleiche Orientierung bezüglich des -Vektors. Aus diesem Grund haben alle Abweichungen das gleiche Vorzeichen (Abb. 3a). Auf der südlichen Halbkugel kehrt sich die Situation insofern um, als die Rolle der Winkel vertauscht ist (Abb. 3b).


Abbildung 3: Wurf auf der rotierenden Erde



   Führe die Rechnung für den Wurf in östlicher/westlicher Richtung  (Fall B) durch. Bestimme zunächst die spezielle Lösung für die vorgegebenen Anfangsbedingungen und eine vertretbare Näherung.


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6.4 Antwort zu H11



Das lineare Gleichungssystem für die Integrationskonstanten lautet im Fall der Anfangsbedingungen (B)





Nebenrechnung


Die spezielle Lösung für den 2. Satz von Anfangsbedingungen ist




Die für den Fall (A) benutzten Näherungen können auch hier verwendet werden. In der entsprechenden Ordnung erhält man





   Vergleiche die Resultate  (Näherungsformeln) für die Situation (B) mit den Ergebnissen im Fall (A). Welche Schlüsse kann man daraus ziehen?


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6.4 Antwort zu H12



Im Fall (A) wird die Koordinate bis auf Korrekturen durch den Term bestimmt, die Koordinate entsprechend durch die zwei Terme bis zur Ordnung




Die interessante Koordinate ist hier , die die Abweichung von der dominanten Nord-Süd Bewegung beschreibt. Dieser Beitrag ist bei den vorgegebenen Geschwindigkeitswerten von der Größenordnung bis m. Die Abweichung


ist für keinen Breitengrad gleich Null. Im Fall (B) mit der dominanten Ost-West Bewegung vertauschen und bezüglich der Zeitabhängigkeit ihre Rollen




Die Abweichung ist hier proportional zu , variiert also ganz systematisch mit dem Breitengradwinkel. Für eine Bewegung entlang des Äquators ist die Abweichung Null, ansonsten von ähnlicher Größenordnung wie die Ost-West Abweichung im Fall (A). Für findet man einen zusätzlichen Term in , doch ist dieser bei den vorgegebenen Geschwindigkeitswerten wenigstens um zwei Größenordnungen kleiner als der Gravitationsbeitrag. Trotzdem führt seine (nicht notwendige) Vernachlässigung zu einem merklicheren Fehler (bis zu einer Größenordnung von bei den vorgegebenen Geschwindigkeiten). Zusatzfrage (Beantwortung freigestellt): Betrachte die Situation auf einem schnell rotierenden Himmelskörper.


JAVA
Aufruf eines Applets



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