Eine Funktion von einer komplexen Veränderlichen
Einfache Beispiele sind:
| obere Halbebene | (ohne positive reelle Achse) | |
|
|
|
volle |
| untere Halbebene | (ohne negative reelle Achse) | |
|
|
|
ein zweites |
| Blatt der |
||
Da man nach dem vollen Umlauf in der z-Ebene wieder auf dem ersten Blatt
der
-Ebene landen sollte, denkt man sich die beiden Blätter der
-Ebene
entlang der positiven reellen Achse aufgeschnitten und über Kreuz
zusammengefügt.
Schaut man in die Richtung der Achse, so ergibt sich das in
Abb. 7.14 dargestellte Bild.
Man bezeichnet diese doppelt belegte und entlang der reellen Achse zusammengefügte
-Ebene als die Riemannsche Fläche der Funktion
.
Auf der Fläche ist jeder Punkt zweimal (auf dem oberen und dem
unteren Blatt) belegt, der Nullpunkt (
) jedoch nur einmal.
Dieser Punkt heißt Verzweigungspunkt der Fläche.
Mit der Riemannschen Konstruktion für die Funktion
wird
die einfach überstrichene z-Ebene umkehrbar
eindeutig auf zwei Blätter der w-Ebene abgebildet.
Trotz der etwas komplizierten Form der Darstellung kann man (mit Nutzen) die gesamte Analysis im Reellen auf den komplexen Fall übertragen. Themen, die bei dieser Erweiterung anstehen würden (siehe Mathematische Ergänzungen, Band 2), sind z.B.
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Es ist üblich, höhere komplexe Funktionen durch ihre Potenzreihen zu
definieren. So nennt man die Reihe
Eine kleine Auswahl der Eigenschaften dieser Funktion ist:




Zur Ergänzung dieser sehr kompakten Andeutung der Analysis im Komplexen sollte man die Literaturliste konsultieren.