4.12 Rotator: Das schnelle mathematische Pendel
Das mathematische Pendel ist ein beliebtes Objekt zur Illustration
einer etwas komplizierteren periodischen Bewegung, die durch die
Lösung einer nichtlinearen Bewegungsgleichung beschrieben wird.
Die Diskussion beschränkt sich jedoch meist auf maximale Ausschläge
mit einem Winkel, der kleiner als
ist. Die mögliche
Bewegung mit Überschlag des Pendels wird in dieser Aufgabe besprochen.
Aufgabenstellung
Diskutiere die Lösung des Bewegungsproblems für das mathematische
Pendel (Kap. 4.2.1) für den Fall, dass das Pendel überschlägt.
Beantworte insbesondere die Punkte:
- (1)
- Welche anfängliche Winkelgeschwindigkeit
muss das Pendel haben, damit es überschlägt, wenn es
aus der Gleichgewichtslage (
) beginnt?
- (2)
- Gib die Differentialgleichung des überschlagenden Pendels
und deren Lösung an.
- (3)
- Gib die Standardform des elliptischen Integrals, das in der Lösung auftritt, an.
- (4)
- Skizziere den Integranden des elliptischen Integrals und kommentiere.
- (5)
- Inwieweit beschreibt das elliptische Integral die Drehbewegung des
überschlagenden Pendels?
- (6)
- Welche Aussage kann man über die Periodizität der Bewegung machen?
Werkzeuge:
Definition des elliptischen Integrals
Deine Antworten:
Fragen
zur schrittweisen Gewinnung der Lösung
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008