Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.2
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Betrachte die
Radialkoordinate
. Welche Aussagen kann man aus deren Form
und der Parameterdarstellung der Bahnkurve ablesen?
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Zeige, dass jede
Gerade durch den Ursprung
jeden Ast der mehrdeutigen Kurve in dem
gleichen Winkel
schneidet.
-
Berechne
und daraus die
Flächengeschwindigkeit
.
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Gesucht sind die
Radial- und die Azimutalkomponente der Kraft
Man gewinnt sie durch Betrachtung der Beschleunigung.
Bestimme die Beschleunigung in kartesischen Koordinaten und schreibe sie
in Polarkoordinaten um. Gibt es eine Alternative zur Angabe der Beschleunigung?
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Der vermutete
Reibungsterm
soll proportional zu dem Geschwindigkeitsvektor
sein. Er muss in dem Term
enthalten sein. Versuche, einen Term proportional zu
in diesem Ausdruck zu isolieren.
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Setze diesen Ausdruck in die
Gleichung für die Kraft
ein.
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Benutze die Angaben in der Aufgabenstellung, um
die Zeiten
zu bestimmen, die den angegebenen Radien entsprechen.
Berechne die Zeitdifferenz
.
-
Berechne
und damit
die Differenz der kinetischen Energie
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008
3.2 Antwort zu H1
Die Form der kartesischen Komponenten legt es nahe, den radialen Abstand zu
betrachten (warum?).
Der Radius
nimmt exponentiell mit der Zeit ab, während der Massenpunkt uniform um
den Ursprung rotiert. Die Bahnkurve ist eine logarithmische Spirale mit den folgenden
Abbildung 1:
Logarithmische Spirale mit
 |
Eigenschaften: Die Zeitentwicklung des Radius ist unabhängig von
.
Abb. 1a zeigt die Bahnkurve für verschiedene Werte von
(essentiell eine Variation der Anfangsbedingung), Abb. 1b verdeutlicht die
Änderung mit dem Parameter
.
Eine Vergrößerung von
bewirkt eine
schnellere Abnahme von
(Abb. 1b). Eine Verdopplung des Parameters
bewirkt z.B., dass der Massenpunkt in der gleichen Zeit den doppelten
Winkel überstreicht. Die Spirale wird dadurch für größere Werte
von
enger (Abb. 2).
Abbildung 2:
Logarithmische Spirale mit den Parametern
für die
-Werte
(blau) und
(grün)
 |
Zeige, dass jede
Gerade durch den Ursprung
jeden Ast der mehrdeutigen Kurve in dem
gleichen Winkel
schneidet (Abb. 3).
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3.2 Antwort zu H2
Um diese Aussage
nachzuweisen, zeigt man, dass der Radiusvektor
und der Geschwindigkeitsvektor
stets den gleichen Winkel
einschließen.
Man notiert zunächst
und
mit
und bildet
Durch Vergleich der beiden Seiten dieser Gleichung findet man
Der Winkel
liegt in dem Bereich
Er hängt nur von den Größen
und
ab, jedoch nicht von der Zeit.
Abbildung 3:
Konstanz des Schnittwinkels der Geraden
und der
logarithmischen Spirale (Parameter
,
=
,
)
|
Berechne
und daraus die
Flächengeschwindigkeit
.
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3.2 Antwort zu H3
Die Geschwindigkeitskomponenten sind
Für den Vektor der Flächengeschwindigkeit erhält man damit
Die Flächengeschwindigkeit verschwindet nicht. Es liegt also keine
Zentralkraft vor.
Gesucht sind die
Radial- und die Azimutalkomponente der Kraft
Man gewinnt sie durch Betrachtung der Beschleunigung.
Bestimme die Beschleunigung in kartesischen Koordinaten und schreibe sie
in Polarkoordinaten um. Gibt es eine Alternative zur Angabe der Beschleunigung?
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3.2 Antwort zu H4
Die kartesischen Beschleunigungskomponenten sind
Zur Umschreibung in Polarkomponenten benutzt man
und erhält
Alternativ (und einfacher) kann man mit
die Standardformeln
benutzen.
Der vermutete
Reibungsterm
soll proportional zu dem Geschwindigkeitsvektor
sein. Er muss in dem Term
enthalten sein. Versuche, einen Term proportional zu
in diesem Ausdruck zu isolieren.
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3.2 Antwort zu H5
Benutzt man
so kann man die folgende Umschreibung angeben
Setze diesen Ausdruck in die
Gleichung für die Kraft
ein.
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3.2 Antwort zu H6
Man findet für den Kraftvektor
die Zerlegung
also eine harmonische Rückstellkraft mit der Federstärke
und eine Reibungskraft, die proportional zu dem
Geschwindigkeitsvektor ist mit der Stärke
.
Benutze die Angaben in der Aufgabenstellung, um
die Zeiten
zu bestimmen, die den angegebenen Radien entsprechen.
Berechne die Zeitdifferenz
.
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3.2 Antwort zu H7
Mit den vorgegebenen Radien
und
und der
Gleichung für
folgt für die gesuchten Zeiten
und
und somit für die Differenz
Berechne
und damit
die Differenz der kinetischen Energie
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3.2 Antwort zu H8
Für das Geschwindigkeitsquadrat erhält man
und somit
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