Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.5
  1. Wähle geeignete Koordinatensysteme   und stelle die Bewegungsgleichungen eines Massenpunktes in dem rotierenden Koordinatensystem für die Teilaufgaben A und B auf.

  2. Gib die allgemeine Lösung  dieses Satzes von Differentialgleichungen für den Fall A an.

  3. Gib die spezielle Lösung  im Fall A für die genannten Anfangsbedingungen an.

  4. Bestimme den Bewegungsablauf  im Fall A aus der Sicht eines Inertialsystems.

  5. Löse die Bewegungsgleichungen  im Fall B im rotierenden System (am einfachsten direkt, also ohne Rückgriff auf Aufg. 6.4).

  6. Bestimme für den Fall B die Lösungen  und aus der Sicht eines Inertialsystems.

  7. Diskutiere und vergleiche die Bewegungsabläufe  in den beiden Fällen aus der Sicht eines Inertialsystems.

  8. Diskutiere und vergleiche die Bewegungsabläufe  in den beiden Fällen aus der Sicht des rotierenden Systems.




Zurück zur Aufgabenstellung
<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































6.5 Antwort zu H1



Das rotierende Koordinatensystem () wird so gewählt, dass die -Achse mit der Drehachse zusammenfällt. Zum Zeitpunkt sind das rotierende und das Inertialsystem () deckungsgleich (Abb. 1).


Abbildung 1: Wahl der Koordinatensysteme


Die Bewegungsgleichungen im rotierenden System sind allgemein (mit )


Die Rotationsgeschwindigkeit der Erde ist sehr klein und kann im Vergleich zu `normalen Rotationsgeschwindigkeiten` vernachlässigt werden.

Mit den Vektoren (entsprechend der Wahl des rotierenden Koordinatensystems)




erhält man über




die Bewegungsgleichungen für den Fall A (vergleiche (B6.74), (B6.75))




Im Fall B gilt per Vorgabe




Dies entspricht den Gleichungen (B6.83) mit , doch kann bei einer schnelleren Drehung des Springbrunnens die Zentrifugalwirkung eigentlich nicht vernachlässigt werden.


   Gib die allgemeine Lösung  dieses Satzes von Differentialgleichungen für den Fall A an.



Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































6.5 Antwort zu H2



Die Lösungen der gekoppelten Differentialgleichungen für die Koordinaten und wurden in Kap 6.2.2 aufbereitet. Elimination der Koordinate führt auf eine lineare Differentialgleichung vierter Ordnung für die Koordinate


Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist


Die Zeitabhängigkeit der Koordinate kann mit der Relation


berechnet werden.

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung für ist



   Gib die spezielle Lösung  im Fall A für die genannten Anfangsbedingungen an.



Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































6.5 Antwort zu H3



Die Anfangsbedingungen sind


Zur Bestimmung der vier Integrationskonstanten benötigt man und . Aussagen über die zweite und die dritte Ableitung gewinnt man aus der Bewegungsgleichung für , deren Zeitableitung und den Anfangsbedingungen für und




Um das lineare Gleichungssystem zur Bestimmung der Integrationskonstanten aufzustellen, muss man die Lösung dreimal differenzieren








und die Bedingungen zur Zeit einsetzen




Kombination der Gleichungen Nr. 2 und 4 ergibt . Aus Gleichung Nr. 1 folgt dann


Die verbleibenden Gleichungen


haben die Lösungen


Setzt man diese Resultate in den Ausdruck für ein und fasst die Exponentialfunktionen zu trigonometrischen Funktionen zusammen, so erhält man




Zur Angabe der speziellen Lösung für benötigt man die Ableitungen




Die schon benannte Relation


ergibt dann


Für die Koordinate findet man mit den vorgegebenen Anfangsbedingungen


Bezüglich der -Richtung liegt ein Standardfallproblem vor. Die Bewegung in der -Richtung ( im Fall ) wird, aus der Sicht des rotierenden Systems, durch die Drehung modifiziert. In der -Richtung tritt eine `Abweichung` auf.


   Bestimme den Bewegungsablauf  im Fall A aus der Sicht eines Inertialsystems.



Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































6.5 Antwort zu H4



Die Zeitabhängigkeit der Koordinaten und kann entweder durch Lösung der Bewegungsgleichungen


mit den Anfangsbedingungen


oder durch Anwendung der Transformation




bestimmt werden. Man erhält das erwartete Resultat für eine uniforme Bewegung


Aus der Sicht des Inertialsystems liegt eine Anfangsgeschwindigkeit in der -Richtung vor.


   Löse die Bewegungsgleichungen  im Fall B im rotierenden System (am einfachsten direkt, also ohne Rückgriff auf Aufg. 6.4).



Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































6.5 Antwort zu H5



Die Bewegungsgleichung für die Koordinate ist unverändert und muss nicht weiter diskutiert werden. Aus den Differentialgleichungen


kann eliminiert werden (differenziere und ersetze). Die lineare Differentialgleichung dritter Ordnung


hat die allgemeine Lösung


Die Koordinate kann aus der Relation


per Einsetzen auf der rechten Seite und direkte Integration bestimmt werden.

Zur Bestimmung der Integrationskonstanten benötigt man die erste und zweite Ableitung von und die Anfangsbedingungen. Mit der Bewegungsgleichung und erhält man zur Bestimmung der Konstanten das lineare Gleichungssystem




Die Lösung


ergibt


Integration von


liefert dann


Die Koordinate oszilliert zwischen den Werten und mit der Frequenz , die Koordinate mit der gleichen Frequenz zwischen den Werten und .


   Bestimme für den Fall B die Lösungen  und aus der Sicht eines Inertialsystems.



Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































6.5 Antwort zu H6



Benutzt man, wie für den Fall A, die Transformation




so findet man im Fall B, nach Auflösung der trigonometrischen Funktionen mit dem Argument , die Aussagen




Auch die Koordinaten in den - und -Richtungen zeigen ein oszillatorisches Verhalten. Um dieses Verhalten zu verstehen, muss man die Differentialgleichungen


betrachten, die der kräftefreien Bewegung, korrigiert um die bei der Diskussion im rotierenden System unterdrückten Zentrifugalwirkung, entsprechen. Die Lösung dieser (harmonischen) Oszillatorgleichung


mit den Anfangsbedingungen


sind in der Tat




Zu bemerken ist noch:
Die Tatsache, dass die Komponenten der Zentrifugalkraft im Inertialsystem durch die Ersetzung und den Vorzeichenwechsel gewonnen werden können, beruht auf der Koinzidenz beider -Achsen mit der Drehachse.


   Diskutiere und vergleiche die Bewegungsabläufe  in den beiden Fällen aus der Sicht eines Inertialsystems.



Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































6.5 Antwort zu H7



Die Flugzeit des Massenpunktes (eines `Tropfens` in dem Strahl) beträgt . Die Projektion der Bewegung in der - Ebene aus der Sicht eines Inertialsystems (wie oben gewählt) kann folgendermaßen charakterisiert werden:

Der Fall A gibt die Bewegung der Massenpunkte korrekt wieder, solange die Drehgeschwindigkeit groß im Vergleich zu der Rotationsgeschwindigkeit der Erde ist. Um den Wasserstrahl zu modellieren, muss man jedoch berücksichtigen, dass der nachfolgende `Wassertropfen` eine andere Ausgangsposition und somit einen anderen Auftreffpunkt hat (siehe Abb. 2a). In der - und der - Richtung greifen aus der Sicht des Inertialsystems keine Kräfte an. Die Bewegung entspricht dem Wurf unter dem Einfluss der einfachen Schwerkraft. Die Rotation der Scheibe äußert sich in einer Anfangsgeschwindigkeit .


Abbildung 2: Bewegung aus der Sicht des Inertialsystems


Im Fall B erhält man nur eine konsistente Aussage in Bezug auf Transformationsgleichungen und Bewegungsgleichungen, wenn man in den Bewegungsgleichungen eine negative Zentrifugalkraft als effektive Kraft im Inertialsystem berücksichtigt. Die negative Zentrifugalkraft wirkt dann wie eine Zentripetalkraft und hält die Massenpunkte (sprich Wassertropfen) in der Nähe des Drehzentrums.


   Diskutiere und vergleiche die Bewegungsabläufe  in den beiden Fällen aus der Sicht des rotierenden Systems.



Zurück zu den Hinweisen


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































6.5 Antwort zu H8



Aus der Sicht des rotierenden Systems ergeben sich die Aussagen, die in den folgenden Abbildungen illustriert werden. Sie beziehen sich auf negative Werte von (Anfangsbewegung nach innen) und positive Werte von .

Nicht illustriert wurde die Variation mit den Vorzeichen von (anfängliche Bewegung nach außen) und (Umkehrung des Drehsinnes). Den Resultaten (überprüfe selbst) entnimmt man die Aussagen:

Animation der Bahnkurven eines Massenpunktes in dem `Springbrunnenproblem` aus der Sicht des rotierenden und des Inertialsystems. Gezeigt werden in allen Filmen die Folge von vollständigen Bahnen eines `Wassertropfens` als Funktion der Drehgeschwindigkeit . Dies entspricht nicht der Form der wirklichen Wasserstrahlen. Um diese zu berechnen, müsste man für einen -Wert die zeitliche Abfolge der Bewegung von vielen `Wassertropfens` mit versetzten Anfangspositionen aufzeichnen.

Animation der Kurven



(Die Animationen sind hier auch getrennt für den Fall A und den Fall B aufzurufen.)


JAVA
Aufruf eines Applets zum Spielen...




Zurück zu den Hinweisen            Zurück zur Aufgabenstellung            Zurück zum Inhaltsverzeichnis


<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008