Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.8
  1. Zeige, dass die von der Parameterdarstellung beschriebene Fläche geschlossen ist. Fertige eine Skizze der Funktionen und an.
  2. Welche Differentialgleichungen (mit welchen Anfangsbedingungen) erfüllen die Funktionen und ?
  3. Beschreibe und skizziere die Lissajousfigur (Extremalstellen, Nullstellen, Form, Umlaufsinn, etc).
  4. Wie kann die eingeschlossene Fläche berechnet werden?
  5. Gib das Integral an und führe die Integration durch. (Beachte den Umlaufsinn!!)
  6. Gilt der Flächenerhaltungssatz?



Werkzeuge




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2.8 Antwort zu H1



Als Funktionen von (setze für die folgende Argumentation ) haben


und


die Periode bzw. . Die beiden Funktionen sind in Abb. 1 für den Bereich dargestellt. Sie haben für


den gleichen Wert Null. Die durch die Parameterdarstellung beschriebene, ebene Kurve verläuft für diese -Werte durch den Koordinatenursprung. Da sich das Bild in den Intervallen


wiederholt und da die Parameterfunktionen stetig sind, liegt eine geschlossene Kurve vor.

Abbildung 1: Die Funktionen und



   Welche Differentialgleichungen (mit welchen Anfangsbedingungen) erfüllen die Funktionen und ?


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2.8 Antwort zu H2



Die Funktionen sind Lösungen der Differentialgleichungen




mit den Anfangsbedingungen und . Eine Überlagerung von Oszillatorlösungen in zwei orthogonalen Koordinatenrichtungen entspricht einer Lissajousfigur.

   Beschreibe und skizziere die Lissajousfigur (Extremalstellen, Nullstellen, Form, Umlaufsinn, etc).


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2.8 Antwort zu H3



Um die Kurve zu skizzieren, ist die Anfertigung einer groben Wertetabelle nützlich.
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
Da sich dieses Zahlenmuster (auf- und absteigend) bis auf Vorzeichen wiederholt, ist es ausreichend die Vorzeichen zu notieren.


      Intervall                                  
                                     
                                     
                                     
                                     
Die in Abb. 2 skizzierte Lissajous-Acht wird, beginnend im Koordinatenursprung, im ersten Quadranten gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Für den Parameterwert ist der höchste Punkt erreicht, die obere Schleife wird im zweiten Quadranten vollendet. Die untere Schleife beginnt ebenfalls im Koordinatenursprung (Parameterwert ), durchläuft den vierten und danach den dritten Quadranten, um für zum Ursprung zurückzukehren.


Abbildung 2: Die Funktion für die Lissajous-Acht


Die Extremalstellen der Funktionen bzw. können über die Kettenregel diskutiert werden, so findet man z.B. für


die Extremalstellen . Die entsprechenden -Werte sind (beachte die Zweideutigkeit der Funktion) .

   Wie kann die eingeschlossene Fläche berechnet werden?


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2.8 Antwort zu H4



Die Fläche der Kurve kann über die Flächengeschwindigkeit mittels Integration bestimmt werden.

   Gib das Integral an und führe die Integration durch. (Beachte den Umlaufsinn!!)


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2.8 Antwort zu H5



Die Fläche der Kurve kann mit Hilfe der Flächengeschwindigkeit


berechnet werden (siehe auch Math.Kap. 5.3.1). Mit


erhält man für


Das Kreuzprodukt ist

(1)

Nur die -Komponente ist von Null verschieden


Mit


und


vereinfacht sich die -Komponente des Kreuzproduktes zu




Der Betrag des Flächengeschwindigkeitsvektors ist also


Bei der nun anstehenden Integration ist zu beachten, dass die obere Hälfte der Lissajous-Acht im positiven Sinn (Rechte Handregel), die untere im negativen Sinn durchlaufen wird. Der gesamte Flächeninhalt der Lissajousfigur ist somit


wobei die Zeit für den vollen Umlauf ist. Aus Symmetriegründen erwartet man, dass


ist. Dies kann durch die einfache Substitution in dem rechten Integral gezeigt werden.

Nebenrechnung
Den Werkzeugen (oder einer Integraltafel) entnimmt man


Die Substitution


mit


ergibt





   Gilt der Flächenerhaltungssatz?


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2.8 Antwort zu H6



Der Flächenerhaltungssatz gilt, wenn der Betrag der Flächengeschwindigkeit konstant ist. Die Funktion ist jedoch in dem Beispiel eine Funktion der Zeit . Der Flächenerhaltungssatz gilt also in diesem Fall nicht. Für die Berechnung des Flächeninhaltes ist die Gültigkeit des Flächenerhaltungssatzes nicht erforderlich.

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