Zur Bestimmung der
Eigenmoden
des Systems stellt man die Funktionen
, durch trigonometrische Funktionen (Eigenmoden) dar.
Im Zuge der Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten werden auch die
Eigenfrequenzen ermittelt. (Siehe gegebenenfalls Kap. 6.1 !!)
Bestimme zunächst die
Eigenfrequenzen
für die angegebenen
Systemparameter
Bestimme die
Entwicklungskoeffizienten für die angegebenen
Systemparameter und notiere die normierte Lösung.
Bestimme
Anfangsbedingungen
der kartesischen Koordinaten, so dass
nur eine symmetrische bzw. antisymmetrische
Normalschwingung auftritt.
Zur Beantwortung der Frage (6) nach der Veränderung der Situation bei
Austausch der mittleren Feder gegen drei parallele Federn (jeweils mit
der Federkonstanten ) ist zunächst die folgende
Vorbetrachtung
nützlich:
Betrachte eine Masse, die an drei gleichen Federn befestigt
ist (Abb. 3), um die Strecke ausgelenkt wird und die Geschwindigkeit
hat. Wie sieht die Lagrangefunktion aus? (Siehe auch Aufg. 4.11).
Man kann die kinetische und potentielle Energie des Systems explizit
angeben und die Lagrangefunktion daraus zusammensetzen.
Man kann jedoch auch die in Abschnitt 6.1.3 erarbeitete Formel für ein
System aus Massen und Federn mit verwenden und erhält
(selbstverständlich) das gleiche Ergebnis.
Führe beide Methoden zur Übung durch.
Zuerst werden die benötigten Ableitungen berechnet
Damit ergeben sich die Lagrangegleichungen
Zur Bestimmung der
Eigenmoden
des Systems stellt man die Funktionen
, durch trigonometrische Funktionen (Eigenmoden) dar.
Im Zuge der Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten werden auch die
Eigenfrequenzen ermittelt. (Siehe gegebenenfalls Kap. 6.1 !!)
reduziert die Bewegungsgleichungen auf die Aussagen
Setzt man die lineare Unabhängigkeit der Funktionen voraus,
so ergibt sich das lineare Gleichungssystem
bzw.
Diese homogenen Gleichungssysteme haben nur nichttriviale Lösungen, wenn die
jeweilige Koeffizientendeterminante verschwindet. Aus der entsprechenden Gleichung, der
Säkulargleichung, erhält man die Eigenfrequenzen
( entspricht entweder oder )
Die Auflösung der entsprechenden quadratischen Gleichung für
ergibt
Der Ausdruck für
ist positiv definit.
Bestimme zunächst die
Eigenfrequenzen
für die angegebenen
Systemparameter
(mit den berechneten Koeffizienten ) nach den Normalkoordinaten
ergibt die Relationen
Wählt man nun als Anfangsbedingungen
sowie
so findet man im Fall (a)
und im Fall (b)
Man findet auch für das System mit unterschiedlichen Massen und Federn
eine symmetrische Normalschwingung ( mit der niedrigeren Frequenz,
Abb. 4) und eine antisymmetrische Normalschwingung ( mit
der höheren Frequenz Abb. 5), wenn auch die letztere, gegenüber
dem System mit gleichen Massen und Federn, eine etwas kompliziertere Superposition
aufweist.
Abbildung 4:
Die Eigenschwingung (schwarz) durch Superposition (symmetrisch, Fall (a))
Abbildung 5:
Die Eigenschwingung (grün) durch Superposition (antisymmetrisch, Fall (b))
beschrieben. Die Abb. 6 illustriert die beiden Lösungen.
Man erzielt das gleiche Ergebnis wenn man
wählt (bitte nachprüfen!!!). Die Koeffizienten werden durch die Anfangsbedingung
und nicht durch die Numerierung der Eigenmoden bestimmt.
Abbildung 6:
Die Schwingungen (rot) und (blau)
für die vorgegebenen Anfangsbedingungen
Zur Beantwortung der Frage (6) nach der Veränderung der Situation bei
Austausch der mittleren Feder gegen drei parallele Federn (jeweils mit
der Federkonstanten ) ist zunächst die folgende
Vorbetrachtung
nützlich:
Betrachte eine Masse, die an drei gleichen Federn befestigt
ist (Abb. 7), um die Strecke ausgelenkt wird und die Geschwindigkeit
hat. Wie sieht die Lagrangefunktion aus? (Siehe auch Aufg. 4.11).
Die Lagrangefunktion für dieses Bewegungsproblem lautet
(alle drei Federn sind um den gleichen Betrag gestaucht/gestreckt).
Die drei parallelen Federn wirken wie eine Feder mit der dreifachen
Federkonstanten.
Wie kann die Frage (6) mit
geringem Aufwand
beantwortet
werden?