Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.17
  1. Fertige eine Skizze   an (beachte die geographische Lage der beiden Orte), sortiere die Geometrie und wähle ein geeignetes Bezugssystem.
  2. Welche Kräfte  wirken?
  3. Ersetze in der Formel für die Gravitation  die Erdmasse durch Größen, die in der Aufgabenstellung benannt werden.
  4. Welche Komponente  von trägt zu der Beschleunigung der Masse in Richtung des Tunnels bei?
  5. Wie lautet die Bewegungsgleichung  und deren allgemeine Lösung?
  6. Berechne die gesuchte `Fallzeit`  , die das Objekt benötigt um von Frankfurt nach San Francisco (oder umgekehrt) zu gelangen.



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3.17 Antwort zu H1



Zunächst muss man die Geometrie sortieren. Der Tunnel verläuft nicht durch die N-S Achse der Erde (!). Man wählt am geschicktesten den Punkt in dem Tunnel, der den kürzesten Abstand von der N-S Achse hat, als den Ursprung eines Koordinatensystems, in dem der Tunnel der -Achse entspricht. Der Vektor beschreibt die Position eines Punktes in dem Tunnel aus der Sicht des Erdmittelpunktes. Der Vektor hat die Länge (Siehe Abb 1).


Abbildung 1: Zur Geometrie der kürzesten Verbindung FFM - SF


Betrachte die Erdkugel, um die Geometrie des Tunnels zu erkennen.



   Welche Kräfte  wirken?


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3.17 Antwort zu H2



Auf ein Objekt an der Stelle in dem Tunnel wirkt die Gravitation (siehe Kap. 3.2.4.1)



   Ersetze in der Formel für die Gravitation  die Erdmasse durch Größen, die in der Aufgabenstellung benannt werden.


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3.17 Antwort zu H3



Die Gravitationskonstante und die als homogen vorausgesetzte Masse der Erde stehen über (B3.95)


in Beziehung. Die Gravitationskraft kann demnach in


umgeschrieben werden.

   Welche Komponente  von trägt zu der Beschleunigung der Masse in Richtung des Tunnels bei?


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3.17 Antwort zu H4



In dem Dreieck MPO ist der Winkel zwischen den Strecken und ein rechter Winkel. Den Winkel zwischen den Strecken und bezeichnet man mit (Abb. 2). Die Komponente der Kraft in Richtung des Tunnels ist



Abbildung 2: Zur Geometrie der kürzesten Verbindung FFM - SF



Per Definition ist aber auch gleich der Koordinate des Punktes P aus der Sicht von O: .

   Wie lautet die Bewegungsgleichung  und deren allgemeine Lösung?


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3.17 Antwort zu H5



Für die Bewegung in dem Tunnel gilt die Bewegungsgleichung


Dies ist eine Oszillatorgleichung mit der Kreisfrequenz


Startet man das Objekt aus der Ruhelage in Frankfurt, so wird es (im Rahmen der gemachten Annahmen) zunächst beschleunigt, auf dem zweiten Viertel der `Schwingung` abgebremst und kommt in San Francisco zur Ruhe. Von dort aus würde es umkehren und eine entsprechende Bewegung in Richtung Frankfurt ausführen. Die allgemeine Lösung ist . Um eine spezielle Lösung anzugeben (z.B. startet aus der Ruhlage in Frankfurt), müsste man die geographischen Daten auswerten (z.B. die Entfernung zwischen dem Punkt und Frankfurt angeben).

   Berechne die gesuchte `Fallzeit`  , die das Objekt benötigt um von Frankfurt nach San Francisco (oder umgekehrt) zu gelangen.


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3.17 Antwort zu H6



Der Bewegungsgleichung entnimmt man die Kreisfrequenz


Daraus folgt mit den angegebenen Daten für



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