7.3 Elementare Funktionen

Eine Funktion von einer komplexen Veränderlichen



Abbildung 7.9: Definitions- und Wertebereich einer Funktion mit einer komplexen Veränderlichen

bildet einen gegebenen Bereich von Punkten der komplexen Zahlenebene (Definitionsbereich) auf einen anderen Bereich von Punkten in der komplexen Zahlenebene (Bildbereich) ab. Zur Veranschaulichung benutzt man zweckmäßigerweise neben der ursprünglichen -Ebene und eine explizite Bildebene ().

Einfache Beispiele sind:

Trotz der etwas komplizierten Form der Darstellung kann man (mit Nutzen) die gesamte Analysis im Reellen auf den komplexen Fall übertragen. Themen, die bei dieser Erweiterung anstehen würden (siehe Mathematische Ergänzungen, Band 2), sind z.B.

(Vergleiche Math.Kap. 1 für entsprechende Punkte bei Funktionen von einer reelen Veränderlichen). So lautet z.B. die Definition der Ableitung einer komplexen Funktion an der Stelle 
(9)

Zu beachten ist dabei insbesondere, dass der Grenzpunkt von allen Seiten angenähert werden kann. Dies führt zu einer Struktur, die sich von der Analysis von Funktionen einer reellen Veränderlichen in einigen (wesentlichen) Punkten unterscheidet.

Es ist üblich, höhere komplexe Funktionen durch ihre Potenzreihen zu definieren. So nennt man die Reihe


die komplexe Exponentialfunktion, da sie für reelles z die übliche Exponentialfunktion darstellt.

Eine kleine Auswahl der Eigenschaften dieser Funktion ist:

  1. Die Potenzreihe konvergiert für jedes absolut. Daraus gewinnt man (durch Multiplikation der Potenzreihen und Sortieren) die Aussage


  2. Aus dieser Formel folgt


    Betrachtet man nun die Potenzreihe für und sortiert nach Real- und Imaginärteil, so findet man



    Es gilt also


  3. Die Potenzreihe für ergibt



    Aus den Aussagen für folgt dann durch Auflösung nach bzw.



    Dies sind die Relationen, die oft bei der komplexen Darstellung von Schwingungs- oder Wellenphänomenen benutzt werden.
  4. Insbesondere folgt aus der Darstellung auch



    Aus der Formel in Punkt 1 folgt dann


    Die Exponentialfunktion ist im Komplexen eine periodische Funktion mit der Periode . Dies bedeutet, dass durch diese Funktion ein Fundamentalstreifen der - Ebene (man wählt traditionsgemäß auf die gesamte w-Ebene abgebildet wird (Abb. 7.15).

Abbildung 7.15: Definitions- und Wertebereich der Funktion

Zur Ergänzung dieser sehr kompakten Andeutung der Analysis im Komplexen sollte man die Literaturliste konsultieren.


< Mechanik     Mathematische Ergänzungen >       R. Dreizler   C. Lüdde     2008