Für die Lösung von kubischen Gleichungen mit Hilfe von
Standardformeln sind Fallunterscheidungen notwendig (siehe geeignete
Formelsammlung). Zunächst bringt
man die Gleichung
mit der Substitution
auf die `Normalform`
wobei die Konstanten
sind.
Damit 3 reelle Wurzeln vorliegen, muss die Diskriminante
sein. Man bestimmt dann die Größe
wobei das Vorzeichen von
mit dem Vorzeichen von
(
) übereinstimmt.
Mit Hilfe dieser Größe berechnet man den Winkel
und benutzt die Lösungsformel
Für die kubische Gleichung
(6.5.1)
sind die Koeffizienten nach der Transformation
für die Diskriminante findet man
für die weiteren Größen
und
sowie
Bei dem Versuch der Faktorisierung helfen die Relationen (
)
oft weiter. Da die Zahl
in der Form
faktorisiert, sind
mögliche Kandidaten für eine der
Lösungen. (In der kubischen Gleichung treten nur ganze Zahlen auf.
Dies legt es nahe, dass die Wurzeln
wahrscheinlich
ganzzahlig sind. Da
aus drei Faktoren besteht und die Zahl 13
untergebracht werden muss, ergeben sich die vorgeschlagenen Zahlen für
eine der Wurzeln.)
Division der kubischen Form durch
ergibt z.B.
eine quadratische Gleichung.
Die Tatsache, dass diese Division aufgeht, ist ein Hinweis, dass man
eine der Wurzeln korrekt `erraten` hat.
Für die anderen möglichen Kombinationen
(die Hauptträgheitsmomente müssen positiv sein)
bleibt bei der Division ein Rest.
Lösung der verbleibenden quadratischen Gleichung
liefert die weiteren Wurzeln.
<Mechanik Details > R. Dreizler C. Lüdde
2008