Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.11
  1. Wie lautet die allgemeine Formel   zur Berechnung der Arbeit an einem Massenpunkt? Warum kann diese nicht ohne weitere Vorbereitung angewandt werden?
  2. Wie kann man die vollständige Lösung  der zuständigen Bewegungsgleichung vermeiden und trotzdem das Arbeitsintegral auswerten?
  3. In welcher Form  muss die Geschwindigkeit vorliegen, damit das Arbeitsintegral berechnet werden kann?
  4. Wie kann man die Geschwindigkeit  berechnen?
  5. Gibt es eine alternative Möglichkeit  das Arbeitsintegral auszuwerten?
  6. Berechne die Arbeit  für die vorgegebene Situation.
  7. Zwecks Interpretation  des Ergebnisses benötigt man eine Aussage über die Bahn der Masse.



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3.11 Antwort zu H1



Die allgemeine Formel zur Berechnung der Arbeit


kann nicht direkt angewandt werden, da der Weg, entlang dessen die Arbeit berechnet werden soll, nicht bekannt ist.

   Wie kann man die vollständige Lösung  der zuständigen Bewegungsgleichung vermeiden und trotzdem das Arbeitsintegral auswerten?


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3.11 Antwort zu H2



Man kann versuchen, die Verschiebung in anderer Weise einzubringen, z.B. indem man sie mit der Geschwindigkeit in Verbindung bringt.

   In welcher Form  muss die Geschwindigkeit vorliegen, damit das Arbeitsintegral berechnet werden kann?


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3.11 Antwort zu H3



Die Verschiebung kann in


umgeschrieben werden. Damit kann auch das Arbeitsintegral umgeformt werden


Die Auswertung ist möglich, falls die Zeitabhängigkeit der Geschwindigkeitskomponenten bekannt ist.

   Wie kann man die Geschwindigkeit  berechnen?


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3.11 Antwort zu H4



Aus der Vorgabe der Kraft kann man in diesem Beispiel die Geschwindigkeit ohne große Mühe ablesen (direkte Integration):




ergibt mit den angegebenen Anfangsbedingungen



   Gibt es eine alternative Möglichkeit  das Arbeitsintegral auszuwerten?


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3.11 Antwort zu H5



Mit der Relation


erhält man


Man kann die Geschwindigkeiten zu den geforderten Zeiten in diese Energie-Arbeitsrelation direkt einsetzen.

   Berechne die Arbeit  für die vorgegebene Situation.


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3.11 Antwort zu H6



Mit dem ersten Vorschlag erhält man für das Arbeitsintegral




Die Energie-Arbeitsrelation liefert (natürlich das gleiche Ergebnis)




Für den angegebenen Wert von erhält man



   Zwecks Interpretation  des Ergebnisses benötigt man eine Aussage über die Bahn der Masse.


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3.11 Antwort zu H7



Aus erhält man durch direkte Integration
























































Unabhängig von den Werten der drei Integrationskonstanten stellt man fest: Die Bewegung setzt sich aus einer uniformen Kreisbewegung (entgegen dem Uhrzeigersinn) und einer freien Fallbewegung in der -Richtung zusammen (Abb. 1). Nur die letztere trägt zu der Arbeitsbilanz während des freien Falles auf der Schraubenlinie bei. (Warum?)

Nebenrechnung





Animation der Bahnbewegung
Abbildung 1: Raumspirale



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