Für die vier kartesischen Koordinaten liegen vier Zwangsbedingungen vor.
Die Bewegung der beiden Massen wird somit nicht durch Differentialgleichungen,
sondern alleine durch die Zwangsbedingungen bestimmt. Diese führen direkt
auf die Bahngleichungen der zweiten Masse.
Wie lauten die
Bahngleichungen
für die Massen?
Die beiden Größen sind in Abb. 3a
und 3b dargestellt.
Abbildung 3:
Position und Geschwindigkeit der Masse für
Die Abbildung illustriert ein Situation, in der die Länge der Stange nur
wenig größer ist als der Radius des Kreises. Der Massenpunkt
erreicht deswegen zu dem Zeitpunkt fast den Mittelpunkt
des Kreises. Der Betrag der Geschwindigkeit ist in einem deutlich
erkennbaren Zeitintervall um diesen Umkehrpunkt sehr klein.
Betrachte die
Position und die Geschwindigkeit
der Masse
für den Grenzfall und
fertige eine Skizze dieser Funktionen an.
da die Wurzel für die vorgegebene Anfangsbedingung mit dem positiven
Vorzeichen beiträgt.
In dem Intervall
hat die Funktion
demnach die in Abb. 5 gezeigte Form.
Abbildung 5:
Position der Masse für
Die Interpretation dieses Schaubildes ist:
Die Masse zieht die Masse in den Koordinatenursprung,
sie verharrt an dieser Stelle (während den Halbkreis vollendet) und
wird ab
wieder in Bewegung gesetzt bis sie die
Ausgangssituation erreicht.
Berechne die
Geschwindigkeit
der Masse in dem Grenzfall
und
fertige eine Skizze der Funktion an.
Was fällt auf?
Offensichtlich treten Schwierigkeiten auf. Die Funktion ist
für
an den Stellen
und
unbestimmt und die links- und rechtsseitigen Grenzwerte stimmen an diesen Stellen
nicht überein (Abb 7). Die Interpretation des Schaubildes
wäre: Die Geschwindigkeit von müsste in beliebig kurzer Zeit von
der Geschwindigkeit auf Null absinken und nach
einem Zeitraum von
, ebenfalls in beliebig kurzer Zeit,
von dem Wert Null auf den Wert springen. Dies kann nicht stimmen.
. Die Masse befindet sich für alle Zeiten in dem
Koordinatenursprung, während die Masse auf dem Kreis rotiert.
Dies entspricht nicht den vorgegebenen Anfangsbedingungen
Die andere Lösung
beschreibt die Bewegung der zweiten Masse in dem Grenzfall
für die vorgegebenen Anfangsbedingungen.
Die Beschreibung der Bewegung könnte sich folgendermaßen anhören
Die Masse beginnt an der Stelle mit der Geschwindigkeit Null.
Sie wird beschleunigt und infolge der `Trägheit` zu dem
Zeitpunkt
durch den Mittelpunkt gezogen (ohne mit
den Zwangsbedingungen in Konflikt zu kommen). Sie bewegt sich weiter
bis zu dem Punkt
, in dem sich
die Bewegung umkehrt. In gewissem Sinne zieht die Masse die Masse
in dem Zeitintervall
hinter sich her. In dem
folgenden Zeitintervall übernimmt wieder die Führung, etc.
Die Projektion der Bewegung beider Massen auf die -Achse ist
harmonisch, bei unterschiedlichen Amplituden.
Es bleibt
die Frage
zu beantworten, wieso die Bewegung von in dem
Grenzfall
nicht korrekt in dem ersten Teil der Diskussion
bestimmt werden konnte.
Zur Beantwortung dieser Frage stellt man die Lösungen der quadratischen Gleichungen
gegenüber. Die zwei Lösungen der ersten quadratischen Gleichung sind
wobei die erstere den geforderten Anfangsbedingung entspricht.
Die zwei Lösungen der zweiten quadratischen Gleichung sind
In dem Grenzfall
erhält man
Da die Wurzel selbst positiv definit ist, kann man auch schreiben
Für die vorgegebenen Anfangsbedingungen, die das Pluszeichen erfordern,
gilt dann
Die zwei Lösungen der ersten Gleichung treten auf, sind jedoch inkorrekt
vermischt.
Die Zwangsbedingung (3) ändert in dem Grenzfall ihren Charakter,
sie erlaubt eine andere Bewegungsform.
Aus diesem Grund können die Operationen Grenzübergang und Lösung der
quadratischen Gleichungen nicht vertauscht werden.