Lösung der Aufgabe 6.7



(1)
Die Masse der gewichteten Kugel ist


Für die Elemente der Trägheitsmatrix in dem Kugelmittelpunktsystem findet man: Die Deviationsmomente verschwinden, die Hauptträgheitsmomente sind










Anhand der Position des Schwerpunktes


erhält man mit dem Satz von Steiner für die Trägheitsmatrix im Schwerpunktsystem

mit



Die Halbachsen des äquivalenten Trägheitsellipsoides sind




(2)
Die entsprechenden Ergebnisse für die zweite Kugel sind:

(3)
Die Ergebnisse für die Hohlkugel sind

Der Vergleich mit einer Vollkugel bei gleicher Masse und gleichem äußeren Radius ergibt somit die Aussagen




Es ist also . Das Verhältnis der Dichten ist dabei






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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008