Eine Funktion
hat an der Stelle
den Grenzwert
, falls
für jede Zahlenfolge
mit
stets
ist.
Diese Definition ist (wie schon bemerkt) nicht sonderlich praktisch, da die Forderung
`für jede Zahlenfolge` lautet. Sie hat aber den Vorteil, dass man sie
direkt auf den Fall von mehreren Variablen übertragen kann. Man muss nur die
Aussage `Zahlenfolge` durch den Ausdruck
`Punktfolge` ersetzen.
Für eine Funktion von zwei
Veränderlichen ist der Definitionsbereich ein Gebiet der
-
Ebene.
Im Unterschied zu einem Punkt auf einem Zahlenstrahl kann man einen Punkt
in einer Ebene (oder im Raum) nicht nur aus zwei sondern aus beliebig
vielen Richtungen annähern. Für eine Funktion von
Variablen kann
man also Punktfolgen der Form
Zur Erläuterung des Kriterium folgen zwei Beispiele. Für die Funktion
Für jede Punktfolge entlang der
-Achse gilt
Der Definitionsbereich der Funktion
Es besteht die Möglichkeit die vollständige Liste von Grenzwertkriterien im Fall einer Variablen (z.B. das Cauchy-Kriterium, etc.) zu übertragen. Es soll hier jeoch nur eine Bemerkung zu dem Begriff Stetigkeit angefügt werden.
Die Übertragung dieses Begriffes lautet folgendermaßen:
In diesem Sinn ist es z.B. nicht möglich, die Funktion
Das Thema, das im Rahmen der Grenzwertbetrachtungen für Funktionen von mehreren Veränderlichen hauptsächlich interessiert, ist die Differentiation.