Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.11
  1. Bei einer seriellen Anordnung   von zwei Federn wird die zweite Feder mit einer Kraft ausgelenkt (Abb. 3a). Was geschieht mit der Feder 1? Wie bestimmt man die effektive Federkonstante?
  2. Wie ändert sich  die effektive Federkonstante, wenn man eine weitere Feder in Reihe hinzufügt? (Und noch eine, ...)
  3. Wie reagieren die Federn bei der paralleler Anordnung  auf eine Kraft? (Abb. 3b)
  4. Erweitere das System um eine, zwei, zusätzliche parallele  Federn.
  5. Berechne die effektive Federkonstante der Anordnung zwei parallele Federn  gefolgt von einer Feder in Reihe durch Kombination der vorherigen Resultate (Abb. 4a).
  6. Berechne für eine serielle Anordnung von zwei Paaren von parallelen Federn  die effektiven Federkonstanten der Untereinheiten und setze sie dann zu der Federkonstanten der Gesamtanordnung zusammen (Abb. 4b).

Abbildung 3: Illustration der Aufgaben 1 und 3



Abbildung 4: Anordnung der Federn für die Aufgaben 5 und 6


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008






















































4.11 Antwort zu H1



Durch Zug mit einer Kraft , die nach Auslenkung der Feder 2 auch an der Feder 1 angreift, werden die einzelnen Federn um die Strecken




ausgelenkt.
Abbildung 5: Zwei Federn in Reihe


Für die gesamte Auslenkung gilt somit


und die effektive Federkonstante ist


bzw.


Ist eine der Federn sehr steif (z.B. ), so wird die Auslenkung von der weichen Feder getragen ( ). Sind beide Federn gleich, so ist



   Wie ändert sich  die effektive Federkonstante, wenn man eine weitere Feder in Reihe hinzufügt? (Und noch eine, ...)


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4.11 Antwort zu H2



Fügt man eine weitere Feder hinzu, so trägt deren Auslenkung zu der Gesamtauslenkung bei


Es gilt also für Federn



   Wie reagieren die Federn bei der paralleler Anordnung  auf eine Kraft? (Abb. 3b)


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4.11 Antwort zu H3



Bei dieser Anordnung ist die Auslenkung der beiden Federn per Konstruktion gleich groß, die Kraftwirkung verteilt sich auf die beiden Federn. Dies kann man durch ein Kräfteparallelogramm, das durch Hinzufügen von sich kompensierenden Kräften konstruiert wurde, überprüfen. (Ändert sich das Ergebnis, wenn die Federn V-förmig angeordnet werden?)


Abbildung 6: Zwei parallel angeordnete Federn


Es ist

sowie



so dass


gilt. Für parallele Federn ist


die Wirkungen der Federn addieren sich. (Für V-förmig angeordnete Federn erhält man das gleiche Ergebnis. Überprüfe diese Behauptung durch ein Kräfteparallelogramm.)

   Erweitere das System um eine, zwei, zusätzliche parallele  Federn.


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4.11 Antwort zu H4



Bei mehreren Federn verteilt sich die Kraftwirkung auf alle Federn, so dass



   Berechne die effektive Federkonstante der Anordnung zwei parallele Federn  gefolgt von einer Feder in Reihe durch Kombination der vorherigen Resultate (Abb. 4a).


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4.11 Antwort zu H5



Für die beiden parallelen Federn ist die effektive Federkonstante


Abbildung 7: Drei Federn (zwei parallele Federn, gefolgt von einer Feder in Reihe)



Fügt man die Feder in Serie hinzu, so folgt


bzw.


Ist die z.B. Federkonstante sehr groß, so ist . Für gleich starke Federn wird .

   Berechne für eine serielle Anordnung von zwei Paaren von parallelen Federn  die effektiven Federkonstanten der Untereinheiten und setze sie dann zu der Federkonstanten der Gesamtanordnung zusammen (Abb. 4b).


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4.11 Antwort zu H6



Hier sind zwei Segmente aus parallelen Federn mit



in Serie anzuordnen.
Abbildung 8: Vier Federn (zwei parallele Paare in Reihe)



Dies ergibt


bzw.


Sind alle Federn gleich stark wird .




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