Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.5
  1. Fertige eine Skizze der Kraftsituation   am Punkt an. Stelle eine Gleichung für die virtuelle Gesamtarbeit an dem Kurbelsystem auf.
  2. Die (virtuellen) Verschiebungen in dem System sind durch Zwangsbedingungen  veknüpft. Wie lauten diese Zwangsbedingungen?
  3. Mittels Differentiation  der Zwangsbedingungen erhält man Relationen zwischen den drei virtuellen Verschiebungen. Wie lauten diese Relationen?
  4. Verwende diese Relationen, um die gesuchte Kraft aus dem d'Alembertprinzip zu berechnen.


    Abbildung 3: Der Kurbelmechanismus



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5.5 Antwort zu H1



Die Kraft, die über die Kurbelstange auf den Kurbelpunkt übertragen wird, kann in eine Radialkomponente und eine Tangentialkomponente zerlegt werden.


Abbildung 4: Kräfte an dem Kurbelpunkt


Die Bewegung des Punktes wird durch die Tangentialkomponente bewirkt, die Radialkomponente wird durch die Lagerung des Kurbelrades aufgefangen. Nach dem d'Alembertprinzip ist die virtuelle Gesamtarbeit an dem System durch (B5.31)


charakterisiert. Der erste Term stellt die virtuelle Arbeit an der Masse dar. Die virtuelle Verschiebung des Punktes ist durch


gegeben. Die Kraftvektoren und die Verschiebungsvektoren sind jeweils parallel, so dass man die skalare Relation


benutzen kann.

   Die (virtuellen) Verschiebungen in dem System sind durch Zwangsbedingungen  veknüpft. Wie lauten diese Zwangsbedingungen?


Abbildung 5: Die Variablen des Kurbelmechanismus


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5.5 Antwort zu H2




Abbildung 5: Die Variablen des Kurbelmechanismus


Zunächst wählt man als Ursprung eines (eindimensionalen) Koordinatensystems die Stelle aus der Sicht des Mittelpunktes des Kurbelrades (siehe Abb. 5). Die erste Zwangsbedingung lautet dann: Die Summe der Projektionen der Strecken und auf die -Achse ist gleich der Summe der Kurbelparameter ( und ) minus der momentanen Position der Masse


Bei dieser Wahl des Koordinatensystems ist eine negative Größe. Aus diesem Grund wird sie zu addiert. Die beiden Winkel und sind über die folgende Relation verknüpft



   Mittels Differentiation  der Zwangsbedingungen erhält man Relationen zwischen den drei virtuellen Verschiebungen. Wie lauten diese Relationen?


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5.5 Antwort zu H3



Aus


folgt




Aus der Relation


gewinnt man


bzw. nach Auflösung und Elimination der Größe mit der zweiten Zwangsbedingung



   Verwende diese Relationen, um die gesuchte Kraft aus dem d'Alembertprinzip zu berechnen.


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5.5 Antwort zu H4



Setzt man die zweite Relation zwischen den drei virtuellen Verschiebungen in die erste ein, so erhält man


Das d'Alembertprinzip kann nach aufgelöst werden. Mit dem obigen Ausdruck für erhält man




Diese Relation erlaubt die Berechnung von für jede Position des Kurbelrades (), falls vorgegeben ist. Die Relation ist nur für gültig.


Abbildung 6: Die Funktion für eine Periode/Umdrehung




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