5.7 Bewegung auf dem `atmenden` Zylinder

In Kap. 5.3.1.4 wurde die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Zylinderfläche unter dem Einfluss einer harmonischen Rückstellkraft berechnet. Eine mögliche Variante in der Problemstellung, die in Kap. 5.3.1.6 angesprochen wurde, ist ein Problem mit rheonomen Zwangsbedingungen, die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Zylinderfläche deren Radius sich mit der Zeit verändert. Die entsprechenden Betrachtungen zur Lösung der Bewegungsgleichungen und ein explizites Beispiel, ein pulsierender Zylinder, werden in dieser Aufgabe vorgestellt.

Aufgabenstellung

Auf einem Zylinder, dessen Radius sich zeitlich verändert (), bewegt sich eine Masse unter dem Einfluss einer harmonischen Rückstellkraft. Die Lagrangegleichungen für die zwei relevanten Freiheitsgrade sind




mit (Polarwinkel) und (Höhe über - Ebene).
(1)
Löse die Bewegungsgleichung der Winkelkoordinate für beliebige (differenzierbare) Funktionen .
(2)
Gib die explizite Lösung für das Beispiel


(pulsierender Zylinder mit ) an. Die Anfangsbedingungen sind


(3)
Beziehe neben der Rückstellkraft die einfache Schwerkraft ein. Gib die modifizierte Lösung mit den zusätzlichen Anfangsbedingungen


an.
Werkzeuge:








Deine Antworten:

Bei Einbeziehung der Schwerkraft ist

          
Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung


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<Mechanik Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2008