3.2.2 Matrizen
Die einfache Grunddefinition lautet:
So z.B.
Die Indizes in dem rechten Schema geben die Spalten bzw. die
Zeilenpositionen an. So steht das Element
in der
-ten
Zeile und der
-ten Spalte. Dabei ist jedoch zu beachten, dass diese Zuordnung
nicht genormt ist. Man muss sich bei jedem Text vergewissern, welcher Index
Zeilen- bzw. Spaltenindex ist. Eine allgemeine Matrix sieht demnach
folgendermaßen aus:
Die übliche Notation für Matrizen ist (Varianten unbenommen)
| = |
|
um anzudeuten, daß es sich um eine Matrix handelt.
|
| = |
|
um die Matrix durch ihre Elemente und die Dimension
des Schemas zu charakterisieren.
|
| = |
|
um die Matrix und ihre Dimension abgekürzt anzudeuten.
|
Als Beispiele für Matrizen kann man insbesondere betrachten
- 1)
- Die Matrix der Koeffizienten der Transformationsgleichungen für
Drehungen in einer zweidimensionalen Welt
Dies ist ein Beispiel für eine
Matrix. Im Allgemeinen nennt man eine
Matrix mit
quadratisch.
- 2)
- Die Komponentendarstellung von Vektoren im
und
(wobei das Gleichheitszeichen endgültig übernommen wird)
Dies sind Beispiele für einzeilige oder einspaltige Matrizen. Die Spalten- oder
Zeilenform zur Darstellung von Vektoren wird wahlweise benutzt.
Aus diesem Beispiel ergibt sich die Sprechweise: Für eine
allgemeine Matrix
bezeichnet man
Bezüglich der Rechenoperationen mit Matrizen lautet die Behauptung:
Mit Matrizen kann man (fast) wie mit Zahlen rechnen. Vor der
Erläuterung der möglichen Operationen ist jedoch noch die
Vervollständigung der Liste von nützlichen Begriffen notwendig.
- (i)
- Die Kette von Elementen
einer
Matrix
bezeichnet man als die
Hauptdiagonale.
- (ii)
- Spiegelt man eine Matrix an der Hauptdiagonalen, so erhält
man die
transponierte Matrix
(Varianten in der Notation
sind angedeutet)
Ein konkretes Beispiel ist
Aufgrund der Definition folgt auch
Die Transponierte der transponierten Matrix ist die ursprüngliche Matrix.
- (iii)
- Zwei Matrizen
und
heißen
gleichartig, wenn sie die gleiche Anzahl von Zeilen und die
gleiche Anzahl von Spalten besitzen
 |
|  |
| (Zeilen) |
| (Spalten) |
- (iv)
- Zwei Matrizen
und
heißen gleich,
wenn sie gleichartig sind und wenn an gleicher Stelle stehende Elemente übereinstimmen
Man schreibt dann
.
Rechenoperationen mit Matrizen sind Addition, Multiplikation mit einer Zahl,
Subtraktion, Matrixmultiplikation und Matrixinversion.
- Die Definition der Addition von Matrizen orientiert sich an der Addition
von Vektoren, die, wie oben angedeutet, als eine spezielle Matrix aufgefasst werden
können.
Ein direktes Beispiel sagt an dieser Stelle mehr als jede weitere
Erklärung:
die Vektoraddition (hier in Spaltenform) ist ein Spezialfall
Zu betonen ist noch einmal: Die Matrizenaddition ist nur für gleichartige
Matrizen definiert.
- Entsprechend knapp kann man die zweite Operation, die
Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl,
als Erweiterung der entsprechenden Operation mit Vektoren angeben.
Im Detail sieht dies folgendermaßen aus
Für diese Operationen mit Matrizen gelten eine Reihe von
Rechenregeln, die hier ohne Kommentar zusammengestellt sind:
| Kommutativgesetz der Addition |
: |
 |
| Assoziativgesetz der Addition |
: |
 |
| Distributivgesetze |
: |
 |
| |
: |
 |
| Rechenregeln für Transposition |
: |
 |
| |
: |
 |
Ist
, so erhält man die sogenannte
Nullmatrix
- Die
Differenz zweier Matrizen ergibt sich aus den obigen
Definitionen zu
Auch die Differenz ist nur für gleichartige Matrizen definiert.
- Die Definition der
Multiplikation zweier Matrizen
orientiert sich, wie oben angedeutet, an dem Hintereinanderausführen
von Koordinatentransformationen. Eine gute Anzahl von
mathematischen Aufgaben und physikalischen Fragestellungen kann auf
diese Weise kurz und prägnant formuliert werden. Die Definition dieser
Operation ist etwas aufwendiger.
Diese Definition erfordert eine gewisse Erläuterung.
Die Matrix
hat
Zeilen und
Spalten. Die
-te Zeile wird herausgegriffen. Die Matrix
hat
Zeilen und
Spalten. Betrachtet wird
insbesondere die
-te Spalte.
Das Element
der Produktmatrix hat die Form
Dies bedeutet: Erstes Element der
-ten Zeile von
mal
erstes Element der
-ten Spalte von
plus das Gleiche für
das jeweilige zweite Element, etc.
Die Merkregel ist also: Jede Zeile der Matrix
wird mit jeder
Spalte der Matrix
kombiniert. Da die Matrix
Zeilen und die Matrix
Spalten hat, besteht die Produktmatrix
aus
Zeilen und
Spalten. Die Operation ist nur definiert, wenn die Gestalt
der beiden Faktoren aufeinander abgestimmt ist. Die Spaltenzahl von
muss mit der Zeilenzahl von
übereinstimmen.
Einige Beispiele sollen diese Operation illustrieren.
Das erste Beispiel ist ein direktes Beipsiel für die formale Durchführung der
Matrixmultiplikation.
Das Produkt einer
Matrix mit einer
Matrix ergibt eine
Matrix. Die äußeren Indizes in jedem der
Summanden entsprechen der Zeilen- und Spaltenposition der Produktmatrix.
Das zweite Beispiel ist ein numerisches Beispiel zum Nachrechnen
In dem dritten Beispiel wird das Transformationsgesetz für Vektorkomponenten zweier
gegeneinander gedrehten Koordinatensysteme im
formuliert. Man schreibt
 |
|
| für die Komponenten des Vektors bezüglich |
| des ungestrichenen Systems |
|
 |
|
| entsprechend bezüglich des gestrichenen |
| Systems |
|
 |
|
| für die Drehmatrix, die den Übergang zwischen den |
| beiden Systemen vermittelt. |
|
Es ist dann
Die Darstellung der Vektoren als Spalten ist nicht
zwingend, doch ist diese Form (schon aus typographischen Gründen) die übliche.
Das vierte Beispiel illustriert das Hintereinanderausführen von Transformationen
Diese Gleichung ist folgendermaßen zu lesen: Eine Drehung um
im
gefolgt von einer Drehung um
entspricht einer Drehung um
.
Das fünfte Beispiel lautet:
Ein lineares Gleichungssystem von
Gleichungen in
Unbekannten lässt sich ebenfalls in Matrixform schreiben
Setzt man
so lautet die entsprechende Matrixgleichung
Die Beispiele
und
deuten an, dass zwischen der Diskussion von
Gleichungssystemen und der Transformation von Vektoren (in höherdimensionalen
Räumen) ein enger Zusammenhang besteht.
Man kann auch das Skalarprodukt von Vektoren in Matrixform fassen. Mit
der Verabredung über die Matrixdarstellung von Vektoren in der Form
von Spalten und den Aussagen über die Transposition von Matrizen gilt
z.B. im
Das Ergebnis der Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem
Spaltenvektor ist eine
Matrix, ein Skalar.
Für Matrixprodukte gibt es eine Reihe von Rechenregeln.
Der Nachweis einiger dieser Rechenregeln in voller Allgemeinheit ist
nicht trivial. Trotzdem wird auf die Beweisführung verzichtet,
da diese sich (wenn auch etwas langatmig) aus der
Definiton und den entsprechenden Rechenregeln für Zahlen ergeben.
Die Regeln werden jedoch mit einem entsprechenden Kommentar
aufgeführt.
- Regel 1: Es gilt das Assoziativgesetz
Als Einschränkung ist zu betonen: Die Gestalt der drei Matrizen muss
aufeinander abgestimmt sein.
- Regel 2: Distributivgesetze sind
- Regel 3: Für die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl gilt
- Regel 4: Schon erwähnt wurde, wenn auch indirekt: Die
Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Man darf die Reihenfolge der
Faktoren im Allgemeinen nicht vertauschen
Dies ist offensichtlich für den Fall von Produkten mit nichtquadratischen
Matrizen, so z.B.
In dem ersten Fall erhält man eine
in dem zweiten eine
Matrix.
Jedoch auch bei Produkten mit quadratischen Matrizen ist
die Vertauschbarkeit nicht unbedingt gegeben, wie das folgende Beispiel
zeigt
Auf der anderen Seite gibt es im Fall von quadratischen Matrizen auch
Situationen, in denen Vertauschbarkeit vorliegt. Man kann explizit
nachrechnen, dass für zwei Drehungen in der Ebene gilt
Aus anschaulicher Sicht bedeutet diese Aussage: Es spielt keine Rolle in
welcher Reihenfolge man Drehungen in einer Ebene durchführt. Die Situation ist
in Bezug auf Drehungen in der dreidimensionalen Welt nicht so einfach
(siehe z.B. Buch.Kap. 6.2).
- Regel 5: Eine nützliche Regel ist die Aussage über die
Transposition von Produkten
Die Transponierte eines Produktes ist gleich dem Produkt der
Transponierten mit vertauschter Reihenfolge. Der Beweis dieser Aussage
beinhaltet die Bemerkungen
(a) Nur mit der angegebenen Reihenfolge ist die Anpassungsregel erfüllt
(b) Danach genügt das Ausschreiben des mit
indizierten Elementes auf beiden Seiten.
- Regel 6: Im Rahmen der Diskussion der Multiplikation ist die Frage
nach einem Einheitselement
von Bedeutung. Die Einheitsmatrix ist
definiert als
Das Einheitselement ist eine quadratische Matrix mit der Zahl
in den
Elementen der
Hauptdiagonalen und
in den außerdiagonalen Elementen. Diese
Matrix hat die Eigenschaft
oder kurz
Als letzte Rechenoperation mit Matrizen ist die `Matrixdivision` oder korrekter die Frage nach der Matrixinversen
zu betrachten.
Eine Matrix
, für die gilt
nennt man die Inverse der Matrix
und schreibt
Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, muss man im
Allgemeinen zwischen einer Linksinversen und einer Rechtsinversen
unterscheiden
| Rechtsinverse |
|
 |
| Linksinverse |
|
. |
Für Matrizen mit beliebiger Gestalt ist die Situation bezüglich der
Inversen kompliziert,wie das folgende direkte Beispiel zeigt.
Für die
Matrix
existiert eine Linksinverse, denn es gilt
Für die Rechtsinverse müsste gelten
Die erste Spalte der Produktmatrix auf der linken Seite der Gleichung
erfordert
Die Gleichungen widersprechen sich. Eine Rechtsinverse existiert nicht.
Für quadratische Matrizen gelten jedoch die folgenden Aussagen
- Existiert eine der Inversen, so folgt daraus die Existenz der
anderen. Der Beweis dieser Aussage ist langwierig und erfordert Mittel,
die noch nicht aufbereitet sind.
- Aus der Existenz beider Inversen folgt dann
Die beiden Inversen sind gleich. Der Beweis ist
Quadratische Matrizen, die eine Inverse besitzen, bezeichnet man als
umkehrbar oder regulär, quadratische Matrizen, die keine
Inverse besitzen als singulär.
Ein direktes Kriterium, mit dessen Hilfe man die Frage nach der Existenz
der Inverse von quadratischen Matrizen beantworten kann,
wird sich bei der Diskussion von Determinanten ergeben (Math.Kap. 3.2.4).
Für reguläre Matrizen existieren eine Reihe von nützlichen Rechenregeln:
| 1. |
|
 |
| (die Inverse eines Produktes) |
| 2. |
|
 |
| (die Inverse der Inversen) |
| 3. |
|
 |
|  |
| 4. |
|
 |
| (Vertauschung der Operationen ) |
Die zugehörigen Beweise (ohne Kommentar) sind untenstehend zusammengestellt:
1.
.
Beweis:
2.
.
Beweis:
Mit 1. :
3.
.
Beweis:
4.
.
Beweis:
Mit dem Matrixkalkül als Formulierungshilfe kann nun die
Diskussion der linearen Koordinatentransformationen fortgesetzt werden.
< Mechanik Mathematische Ergänzungen > R. Dreizler C. Lüdde 2008