Lösung der Aufgabe 5.8
Die Lagrangefunktion
liefert die Bewegungsgleichungen
Der Winkel ist eine zyklische Koordinate, es gilt Drehimpulserhaltung. Energieerhaltung
ist über die Hamiltonfunktion
zu diskutieren. Wie erwartet, stellt sie die Energie dar. Diese ist wegen
eine Erhaltungsgröße.
Die Substitution
und
führt über (Kettenregel)
und
auf die Bewegungsgleichung
Die Lösung dieser inhomogenen Oszillatorgleichung ist
bzw. nach Sortierung
mit
Wählt man das Koordinatensystem so, dass
ist,
sowie die Anfangsbedingungen
und
,
so erhält man aus dem Energiesatz unter Benutzung der obigen Lösung
die Aussage
Das Ergebnis ist also wieder die Kegelschnittgleichung des
Keplerproblems.
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<Mechanik Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2008