Im Rahmen der Diskussion von Potenzreihen ist noch die Frage offen, unter welchen Bedingungen eine Taylorreihe die zugehörige Funktion wirklich darstellt. Die Antwort auf diese Frage ergibt sich über die Betrachtung der Konvergenz von Potenzreihen. Die Grundaussage zu der Konvergenz von Potenzreihen lautet:
Damit ist die Betrachtung der Konvergenz von Potenzreihen auf die
Betrachtung der Konvergenz von numerischen Reihen (für jeden
-Wert
aus dem Intervall) zurückgeführt.
Das größte Intervall um die Stelle
, in dem die Potenzreihe noch
konvergiert, sei durch
gegeben. Die Zahl
bezeichnet man als
den Konvergenzradius (siehe Abb. 1.14).
Zur Bestimmung des Konvergenzradius
von Potenzreihen kann man sich entweder auf
das Wurzel- oder das Quotientenkriterium stützen. Im Fall des
Wurzelkriteriums folgt aus der Bedingung
Für die Potenzreihen aus Math.Kap. 1.3.1 kann man die folgenden
Konvergenzaussagen festhalten:
Für die Exponentialreihe
Für die Sinusreihe